Tóm tắt Cho (R,m) là vành giao hoán Noether địa phương, M là R môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dimM = d Quỹ tích không Cohen Macaulay của M , ký hiệu nCM(M), là tập các iđêan nguyên tố p của R sao c[.]
Tóm tắt Cho (R, m) vành giao hốn Noether địa phương, M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay M , ký hiệu nCM(M ), tập iđêan nguyên tố p R cho Mp không Cohen-Macaulay Khi R thương vành Gorenstein địa phương, M có mơđun tắc KM Ta nói M Cohen-Macaulay tắc (tương ứng Cohen-Macaulay suy rộng tắc) mơđun tắc KM M Cohen-Macaulay (tương ứng Cohen-Macaulay suy rộng) Luận án nghiên cứu mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc số quỹ tích khơng Cohen-Macaulay: quỹ tích khơng CohenMacaulay nCM(M ), quỹ tích khơng Cohen-Macaulay nCM(KM ), quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s M, ký hiệu nCM>s (M ) Trong luận án, đặc trưng cấu trúc mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Chúng tơi làm rõ mối quan hệ quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc KM quỹ tích khơng CohenMacaulay M Chúng nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều số bội môđun đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển phẳng, từ đưa cơng thức tính chiều quỹ tích không CohenMacaulay theo chiều > s Luận án chia thành chương Chương nhắc lại số kiến thức sở môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, mơđun Artin, mơđun tắc mơđun khuyết Trong Chương 2, giới thiệu khái niệm hệ tham số tắc, mối quan hệ hệ tham số tắc hệ tham số chuẩn tắc Chúng thiết lập đặc trưng môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc thơng qua hệ tham số tắc cải tiến kết trước cấu trúc mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc Trong Chương 3, đưa mối liên hệ chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun M chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc KM Đặc biệt hơn, chúng tơi rằng, ngồi mối quan hệ bao hàm nCM(KM ) ⊆ nCM(M ) hai quỹ tích độc lập với Trong Chương 4, làm rõ thay đổi tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều số bội môđun đối đồng điều địa phương Artin bP , P ∈ Spec(R) b p = P ∩ R qua chuyển phẳng ϕ : Rp → R Sử dụng kết này, đưa cơng thức tính chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả trước đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Lưu Phương Thảo Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn tới giáo kính u tơi GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cơ tận tình bảo, hướng dẫn tơi từ ngày tập làm nghiên cứu khoa học Với tất niềm đam mê nghiên cứu khoa học tâm huyết người thầy, cô truyền thụ cho tơi khơng tri thức tốn học mà phương pháp nghiên cứu, cách phát giải vấn đề Cô gương sáng cho lớp học trị chúng tơi phấn đấu noi theo nỗ lực vượt qua khó khăn để đạt tới thành cơng Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn thứ hai - TS Trần Nguyên An Thầy quan tâm, động viên, khích lệ hỗ trợ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu Tơi xin trân trọng cảm ơn GS TSKH Nguyễn Tự Cường Thầy người giảng dạy cho kiến thức Đại số giao hốn từ ngày tơi cịn học viên cao học Cho tới nay, học nghiên cứu sinh, thầy quan tâm, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình học tập Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên cho hội học tập nghiên cứu Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo đồng nghiệp Tổ Hình học - Đại số, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm quan tâm động viên giúp đỡ nhiều mặt thời gian làm nghiên cứu sinh Tôi xin cảm ơn chị Nguyễn Thị Kiều Nga, em Trần Đỗ Minh Châu anh chị em nhóm seminar Đại số Đại học Thái Nguyên đồng hành tôi, động viên, khích lệ, chia sẻ với tơi học tập sống Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình mình, đặc biệt Bố mẹ, Chồng hai Con trai yêu quý, động viên, chia sẻ khó khăn ln mong mỏi tơi thành cơng Đó nguồn động viên lớn, giúp tơi vượt qua khó khăn để tơi hồn thành luận án Tác giả Lưu Phương Thảo Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 18 1.1 Môđun Cohen-Macaulay Cohen-Macaulay suy rộng 18 1.2 Môđun Artin 21 1.3 Mơđun tắc mơđun khuyết 25 Chương Môđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc 28 2.1 Hệ tham số tắc 29 2.2 Mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc 35 Chương Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc 46 3.1 Một số tính chất qua chuyển phẳng 47 3.2 Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc 51 Chương Đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển phẳng quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s 58 4.1 Iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương qua chuyển phẳng 59 4.2 Chiều bội qua chuyển phẳng 64 4.3 Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s qua chuyển phẳng 70 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 79 Mở đầu Cho (R, m) vành giao hoán Noether địa phương với m iđêan cực đại nhất, M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d Ta ln có mối liên hệ hai bất biến độ sâu chiều M cho công thức depth M ≤ dim M Nếu depth M = dim M M gọi mơđun Cohen-Macaulay Khi R R-mơđun Cohen-Macaulay, ta nói R vành Cohen-Macaulay Lớp môđun Cohen-Macaulay mở rộng chúng thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Cấu trúc lớp môđun đặc trưng qua hầu hết lý thuyết quen biết Đại số giao hoán (số bội, đối đồng điều địa phương, địa phương hóa, đầy đủ hóa, ) Các mơđun xuất nhiều lĩnh vực khác Toán học Đại số đồng điều, Lý thuyết bất biến, Tổ hợp Hình học đại số Luận án liên quan đến hai hướng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay sau Mở rộng thứ dựa theo hiệu số I(x; M ) độ dài `(M/xM ) số bội e(x; M ) với x hệ tham số M Chú ý M Cohen-Macaulay I(x; M ) = với (hoặc với mọi) hệ tham số x Từ đó, giả thuyết đặt D A Buchsbaum [11] năm 1965 sau: I(x; M ) := `(M/xM ) − e(x; M ) số không phụ thuộc vào hệ tham số x M Câu trả lời phủ định cho giả thuyết W Vogel J Stu ¨ckrad [51] đưa năm 1973, họ nghiên cứu lớp vành môđun thỏa mãn điều kiện giả thuyết, gọi vành môđun Buchsbaum [42] Năm 1978, N T Cường, P Schenzel N V Trung [48] giới thiệu mở rộng lớp mơđun Buchsbaum, lớp mơđun M thỏa mãn điều kiện sup I(x; M ) < ∞, cận lấy theo hệ tham số x M , họ gọi chúng môđun Cohen-Macaulay suy rộng Ngày nay, khái niệm môđun Buchsbaum môđun Cohen-Macaulay suy rộng trở nên quen biết Đại số giao hoán Tiếp tục mở rộng theo hướng này, ta lớp môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s, với s ≥ −1 số nguyên (xem [45]) Chú ý M Cohen-Macaulay Cohen-Macaulay theo chiều > −1 Khi R thương vành Cohen-Macaulay, M Cohen-Macaulay suy rộng M Cohen-Macaulay theo chiều > Hướng mở rộng thứ hai lớp môđun Cohen-Macaulay dựa vào cấu trúc mơđun tắc, trường hợp R ảnh đồng cấu vành Gorenstein địa phương (R0 , m0 ) chiều n0 Với số nguyên n −i i i := ExtR R-môđun hữu hạn sinh i ≥ 0, đặt KM (M, R0 ) Khi KM gọi môđun khuyết thứ i M Đặc biệt, với i = d ta ký d gọi mơđun tắc M Khi KM Cohenhiệu KM := KM Macaulay, ta nói M Cohen-Macaulay tắc Chú ý M mơđun Cohen-Macaulay KM mơđun Cohen-Macaulay Vì thế, lớp mơđun Cohen-Macaulay tắc mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay Khái niệm vành mơđun Cohen-Macaulay tắc xuất phát từ tốn sau: Giả sử (R, m) miền nguyên, địa phương Ký hiệu Q(R) trường thương R Câu hỏi tự nhiên đặt tồn hay không vành trung gian R ⊆ B ⊆ Q(R) cho B R-môđun hữu hạn sinh B vành Cohen-Macaulay? Vành B (nếu tồn tại) gọi Macaulay hóa song hữu tỷ R Đây toán quan trọng Đại số giao hoán Năm 2004, P Schenzel [38] chứng minh miền nguyên Noether địa phương R có Macaulay hóa song hữu tỷ R vành Cohen-Macaulay tắc Năm 2006, L T Nhàn [33] đưa đặc trưng mơđun Cohen-Macaulay tắc thơng qua tính triệt tiêu độ dài thặng dư môđun đối đồng điều địa phương ứng với hệ tham số f -dãy chặt giới thiệu [15] Tiếp theo, năm 2012, M Brodmann L T Nhàn [5] với điều kiện d ≥ x phần tử tham số f -chặt, M Cohen-Macaulay tắc M/xM Cohen-Macaulay tắc Một cách tự nhiên, N T H Loan L T Nhàn [26] giới thiệu lớp mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc, lớp môđun M cho KM Cohen-Macaulay suy rộng Họ đặc trưng lớp môđun thông qua tồn chặn cho độ dài thặng dư môđun đối đồng điều địa phương ứng với hệ tham số f -dãy chặt Chú ý M Cohen-Macaulay suy rộng, M Cohen-Macaulay suy rộng tắc Luận án nghiên cứu lớp mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc số quỹ tích khơng Cohen-Macaulay vành Noether địa phương Mục đích thứ luận án đặc trưng cấu trúc lớp mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc R thương vành Gorenstein địa phương Mục đích thứ hai làm rõ mối quan hệ quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc KM quỹ tích khơng CohenMacaulay M Mục đích thứ ba nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều số bội môđun đối đồng điều địa phương Artin tác bP , P ∈ Spec(R), b p = P ∩ R động chuyển phẳng Rp → R R tùy ý không thiết thương vành Gorenstein, từ đưa cơng thức tính chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s Về phương pháp nghiên cứu, để đặc trưng lớp mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc, chúng tơi khai thác tính chất đặc thù mơđun đối đồng điều địa phương Artin sử dụng linh hoạt hệ tham số f -dãy chặt Về mối quan hệ hai quỹ tích khơng Cohen-Macaulay nCM(KM ) nCM(M ), cần đến Định lý cấu trúc vành Buchsbaum [19, Định lý 1.1], Định lý cấu trúc mơđun tắc qua chuyển phẳng [4, Định lý 4.1] công thức chiều môđun khuyết tác động mở rộng chuỗi lũy thừa hình thức Để nghiên cứu môđun đối đồng điều 10 bP , áp dụng địa phương tác động chuyển phẳng Rp → R hữu hiệu tính chất chuyển dịch qua địa phương hóa đầy đủ hóa L T Nhàn P H Quý [35, Định lý 1.1] công thức số bội liên kết cho môđun đối đồng điều địa phương Artin đưa M Brodmann R Y Sharp [9] Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận án chia làm chương Chương nhắc lại số kiến thức sở phục vụ cho chương sau, bao gồm đặc trưng môđun Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay suy rộng; tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều bội mơđun Artin; mơđun tắc mơđun khuyết Trong Chương 2, chúng tơi trình bày đặc trưng mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc dựa theo phần báo [1] Chương dành để đưa mối quan hệ quỹ tích khơng Cohen-Macaulay mơđun tắc KM quỹ tích khơng Cohen-Macaulay môđun M dựa theo kết phần báo [1] Trong Chương 4, làm rõ thay đổi tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều số bội môđun đối đồng điều bP địa phương với giá cực đại tác động mở rộng phẳng Rp → R b p = P ∩ R Sử dụng kết này, đưa với P ∈ Spec(R) công thức tính chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay theo chiều > s Các kết Chương viết dựa theo báo [31], [43] Trong suốt luận án, ln giả thiết (R, m) vành giao hốn Noether địa phương, M R-mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d Trong Chương 2, cho R thương vành Gorenstein địa phương Ký hiệu KM mơđun tắc M Chú ý KM R-môđun hữu hạn sinh Hmd (M ) ∼ = HomR (KM , E(R/m)), E(R/m) bao nội xạ trường thặng dư R/m Theo N T H Loan L T Nhàn [26], M gọi mơđun Cohen-Macaulay suy rộng tắc KM Cohen-Macaulay suy rộng Mục đích Chương ... ý M Cohen- Macaulay suy rộng, M Cohen- Macaulay suy rộng tắc Luận án nghiên cứu lớp mơđun Cohen- Macaulay suy rộng tắc số quỹ tích khơng Cohen- Macaulay vành Noether địa phương Mục đích thứ luận. .. môđun tắc M Khi KM Cohenhiệu KM := KM Macaulay, ta nói M Cohen- Macaulay tắc Chú ý M mơđun Cohen- Macaulay KM mơđun Cohen- Macaulay Vì thế, lớp mơđun Cohen- Macaulay tắc mở rộng lớp môđun Cohen- Macaulay. .. Cohen- Macaulay theo chiều > −1 Khi R thương vành Cohen- Macaulay, M Cohen- Macaulay suy rộng M Cohen- Macaulay theo chiều > Hướng mở rộng thứ hai lớp môđun Cohen- Macaulay dựa vào cấu trúc mơđun tắc,