1 Lời nói đầu Với mỗi số nguyên dương n, e2πi/n là nghiệm của một đa thức chia đường tròn nên là một số đại số Do đó cos 2π n = 1 2(e 2πi/n + e−2πi/n) là một số đại số Nói cách khác cos 2π n là nghiệm[.]
1 Lời nói đầu Với số nguyên dương n, e2πi/n nghiệm đa thức chia đường tròn 2πi/n nên số đại số Do cos 2π + e−2πi/n ) số đại số Nói n = (e cách khác cos 2π n nghiệm đa thức với hệ số hữu tỷ Việc tìm đa thức cực tiểu Ψn (x) cos 2π n câu hỏi tự nhiên, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Nghiên cứu đa thức cực tiểu Ψn (x) thực D H Lehmer vào năm 1933, ông đưa phương pháp để xây dựng đa thức Ψn (x) từ đa thức chia đường tròn Năm 1993, W Watkins J Zeitlin đưa phương pháp khác để tìm đa thức cực tiểu Ψn (x) nhờ sử dụng đa thức Chebychev loại I Sau D Surowski P McCombs chứng minh lại kết phương pháp khác đưa công thức cụ thể đa thức cực tiểu cos 2π p với p số nguyên tố vào năm 2003 Một năm sau, S Beslin V De Angelis đưa công thức 2π đa thức cực tiểu cos 2π p sin p p số nguyên tố Mặt khác, dựa vào kết W Watkins J Zeitlin, năm 2012, B Ozgur, A Yurttas I N Cangul trình bày phép tính Ψn (x) cách sử dụng ngơn ngữ lập trình Maple, giúp tìm nhanh đa thức Ψn (x) cho trường hợp n lớn Các nghiên cứu gần đa thức cực tiểu Ψn (x), tác giả I N Cangul, Yusuf Z Gurtas, tập trung vào việc tìm cơng thức tính trực tiếp hệ số đa thức Ψn (x) Mục đích luận văn tìm hiểu mối liên hệ đa thức cực tiểu Ψn (x) cos 2π n với đa thức Chebysev Thông qua mối liên hệ này, chúng tơi trình bày phương pháp tìm đa thức cực tiểu Ψn (x) tính hệ số tự đa thức cực tiểu Các kết trình bày dựa báo C Adiga, I N Cangul, H N Ramaswamy [5], Yusuf Z Gurtas [6] W Watkins, J Zeitlin [7] Luận văn chia thành ba chương Chương kiến thức chuẩn bị, bao gồm định nghĩa, số tính chất đa thức Chebyshev đa thức chia đường tròn Trong chương nhắc lại khái niệm mở rộng trường, số đại số, từ trình bày định nghĩa đa thức cực tiểu Ψn (x) cos 2π n Chương tập trung xét mối liên hệ đa thức cực tiểu Ψn (x) với đa thức Chebyshev loại I, Tn (x) loại II, Un (x) Kết chương đưa công thức hồi quy liên hệ đa thức Chebyshev đa thức cực tiểu Ψn (x), từ áp dụng tính tốn đa thức cực tiểu Một kết luận quan trọng đưa chương là, đa thức Tn (x) − 1, Tn (x) + Un (x) tồn dạng tích đa thức cực tiểu Ψd (x), với d ước n Nội dung chương dựa vào mối liên hệ đa thức cực tiểu Ψn (x) đa thức Chebyshev loại I để tính toán hệ số tự đa thức cực tiểu Ψn (x) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc với TS Đoàn Trung Cường Thầy người dành nhiều thời gian để bảo, động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhờ có tận tình, chu đáo tâm huyết thầy mà tác giả hoàn thành luận văn "Đa thức cực tiểu cos 2π n " Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy giáo thuộc Khoa Tốn - Tin, Phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả trình học tập nghiên cứu Cuối xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, ngày 10 tháng 06 năm 2018 Tác giả luận văn Tô Duy Hiển Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương tìm hiểu số kiến thức sở để chuẩn bị cho việc trình bày đa thức cực tiểu Ψn (x) cos 2π n chương sau Nội dung chương bao gồm định nghĩa, số tính chất đa thức Chebyshev đa thức chia đường tròn Một phần chương dành để nhắc lại khái niệm mở rộng trường, số đại số, từ trình bày định nghĩa đa thức cực tiểu Ψn (x) cos 2π n Các kết chương tham khảo từ tài liệu [1, 2, 3, 4] 1.1 Đa thức Chebyshev Đa thức Chebyshev đặt theo tên nhà toán học tiếng người Nga Pafnuty Chebyshev (1821 - 1894) Đa thức Chebshev đóng vai trị quan trọng lý thuyết gần có nhiều ứng dụng lĩnh vực Toán học khác Trong nghiên cứu đa thức cực tiểu cos 2π n , năm 1993, W Watkins J Zeitlin đưa phương pháp để tính tốn đa thức cực tiểu Ψn (x) cos 2π n nhờ sử dụng đa thức Chebychev Nội dung tiết trình bày định nghĩa, số tính chất quan hệ đa thức Chebyshev loại I loại II Các kết tiết tham khảo từ tài liệu [4] Định nghĩa 1.1.1 Các đa thức Tn (x) với n ∈ N xác định quy nạp T0 (x) = 1, T1 (x) = x, Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) gọi đa thức Chebyshev loại I Ví dụ 1.1.2 Một số đa thức Chebyshev loại I T0 (x) = T1 (x) = x T2 (x) = 2x2 − T3 (x) = 4x3 − 3x T4 (x) = 8x4 − 8x2 + T5 (x) = 16x5 − 20x3 + 5x T6 (x) = 32x6 − 32x4 + 2x2 + Định nghĩa 1.1.3 Các đa thức Un (x) với n ∈ N xác định quy nạp U0 (x) = 1, U1 (x) = 2x, Un+1 (x) = 2xUn (x) −Un−1 (x) gọi đa thức Chebyshev loại II Ví dụ 1.1.4 Một số đa thức Chebyshev loại II U0 (x) = U1 (x) = 2x U2 (x) = 4x2 − U3 (x) = 8x3 − 4x U4 (x) = 16x4 − 12x2 + U5 (x) = 32x5 − 32x3 + 6x U6 (x) = 64x6 − 80x4 + 24x2 − Tiếp theo ta tìm hiểu số tính chất đa thức Chebyshev Kết sau tính chất đặc trưng đa thức Chebyshev loại I Mệnh đề 1.1.5 Với α ∈ R n ∈ N ta có Tn (cos α) = cos (nα) Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề phép quy nạp theo n Dễ thấy mệnh đề với n = n = Giả sử mệnh đề đến n = k, ta có Tk+1 (cos α) = cos α.Tk (cos α) − Tk−1 (cos α) = cos (α) cos (kα) − cos ((k − 1) α) = cos ((k + 1) α) Đa thức Chebyshev loại II liên quan đến công thức sin (nα) Mệnh đề 1.1.6 Với n ∈ N, α 6= kπ, k ∈ Z, ta có Un (cos α) = sin (n + 1) α sin α Chứng minh Dễ kiểm tra mệnh đề với n = n = 1, giả sử mệnh đề đến n = k, ta có Uk+1 (cos α) = cos αUk (cos α) −Uk−1 (cos α) cos α sin (k + 1) α sin kα = − sin α sin α sin (k + 2) α = sin α Tìm hiểu bậc hệ số đa thức Chebyshev, ta thu kết sau Mệnh đề 1.1.7 Với n ≥ 1, đa thức Tn (x), Un (x) có bậc n, hệ số nguyên hệ số cao 2n−1 2n Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp đa thức Tn (x), trường hợp Un (x) chứng minh hồn tồn tương tự Ta có T1 (x) = x, T2 (x) = 2x2 − Vậy mệnh đề với n = n = Giả sử mệnh đề đến n = k, Tk (x), Tk−1 (x) có hệ số nguyên, có bậc k, k − có hệ số cao 2k , 2k−1 Từ Tk+1 (x) = 2xTk (x) − Tk−1 (x) suy Tk+1 (x) phải có hệ số nguyên, có bậc k + hệ số cao 2.2k = 2k+1 Ta điều phải chứng minh Quan sát đa thức Chebyshev đầu tiên, ta thấy T1 (x) = x, T3 (x) = 4x3 −3x, T5 (x) = 16x5 −20x3 +5x, chúng hàm số lẻ, T0 (x) = 1, T2 (x) = 2x2 −1, T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1, chúng hàm số chẵn Liệu điều tổng quát hóa hay khơng? Bằng phép quy nạp, ta thu tính chất thú vị sau đa thức Chebyshev Mệnh đề 1.1.8 Các hàm số Tn (x), Un (x) chẵn n chẵn lẻ n lẻ Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề cho trường hợp hàm số Tn (x), trường hợp Un (x) chứng minh hoàn toàn tương tự Dễ dàng kiểm tra mệnh đề với n = n = Giả sử mệnh đề đến n = 2k + 1, ta có T2k+2 (−x) = (−x) T2k+1 (−x) − T2k (−x) = 2x.T2k+1 (x) − T2k (x) = T2k+2 (x) , T2k+3 (−x) = (−x) T2k+2 (−x) − T2k+1 (−x) = −2x.T2k+2 (x) + T2k+1 (x) = −T2k+3 (x) Vậy T2k+2 (x) hàm chẵn T2k+3 (x) hàm lẻ Ta điều phải chứng minh Kết nói nghiệm đa thức Chebyshev loại I loại II Mệnh đề 1.1.9 Với n ≥ 1, (i) Tn (x) có n nghiệm phân biệt cos (2k+1)π 2n , với k = 0, 1, , n − 1; kπ , với k = 1, 2, , n (ii) Un (x) có n nghiệm phân biệt cos n+1 Chứng minh (i) Giả sử x ∈ [−1; 1] nghiệm Tn (x) Đặt x = cos α, với (2k + 1) π α ∈ [0; π] Ta có = Tn (x) = Tn (cos α) = cos nα Từ suy α = , k= 2n (2k + 1) π 0, 1, , n−1 Với k ∈ {0, 1, , n − 1}, ta n giá trị khác cos 2n Vậy Tn (x) có n nghiệm phân biệt cos (2k+1)π 2n , với k = 0, 1, , n − Vì Tn (x) có bậc n nên tất nghiệm Tn (x) (ii) Tương tự, giả sử x ∈ (−1; 1) nghiệm Un (x) Đặt x = cos α, sin (n + 1) α Từ suy với α ∈ (0; π) Ta có = Un (x) = Un (cos α) = sin α kπ n+1 , k = 1, 2, , n Với k ∈ {0, 1, , n − 1}, ta kπ kπ Vậy Un (x) có n nghiệm phân biệt cos n+1 cos n+1 α= n giá trị khác Vì bậc Un (x) n nên tất nghiệm Un (x) Mệnh đề chứng minh Phần cuối tiết trình bày mối liên hệ đa thức Chebyshev loại I loại II Các kết sử dụng chương 2, toán phân tích nhân tử đa thức Chebyshev theo đa thức cực tiểu Ψn (x) Mệnh đề 1.1.10 Cho số nguyên dương n, (i) Với n ≥ 2, ta có Un (x) = 2Tn (x) +Un−2 (x) ; (ii) Với n ≥ 1, ta có x2 − Un−1 (x) = Tn+1 (x) − Tn−1 (x) Chứng minh (i) Với n ≥ α 6= kπ, k ∈ Z, ta có sin (n − 1) α sin α sin α cos nα + sin nα cos α − cos nα sin α = sin α sin (n + 1) α = sin α = Un (cos α) 2Tn (cos α) +Un−2 (cos α) = cos nα + Vậy ta Un (x) = 2Tn (x) +Un−2 (x) (ii) Với n ≥ α 6= kπ, k ∈ Z, ta có sin nα cos2 α − Un−1 (cos α) = cos2 α − sin α = −2 sin nα sin α = cos (n + 1) α − cos (n − 1) α = Tn+1 (cos α) − Tn−1 (cos α) Vậy suy x2 − Un−1 (x) = Tn+1 (x) − Tn−1 (x) Mệnh đề 1.1.11 Với số nguyên n ≥ 1, ta có (i) Tn2 (x) − = x2 − Un−1 (x) ; (ii) Un2 (x) − = Un+1 (x)Un−1 (x) Chứng minh (i) Với n ≥ α 6= kπ, k ∈ Z, ta có sin2 nα cos α − Un−1 (cos α) = cos α − sin2 α = −sin2 nα = cos2 nα − = Tn2 (cos α) − Vậy suy Tn2 (x) − = x2 − Un−1 (x) 10 (ii) Với n ≥ α 6= kπ, k ∈ Z, ta có sin nα sin (n + 2) α sin2 α cos 2α − cos (2n + 2) α = 2sin2 α sin2 (n + 1) α −1 = sin2 α = Un2 (cos α) − Un−1 (cos α)Un+1 (cos α) = Vậy suy Un2 (x) − = Un−1 (x)Un+1 (x) 1.2 Đa thức chia đường tròn Đa thức chia đường tròn Φn (x) xác định tích đa thức tuyến tính x − ε, ε chạy tập nguyên thủy bậc n đơn vị Đa thức chia đường trịn có nhiều ứng dụng quan trọng Đại số, Lý thuyết số Hình học Có nhiều nghiên cứu xung quanh đa thức này, từ cơng trình đầu kỷ 19 cơng trình xuất gần Nghiên cứu đa thức cực tiểu Ψn (x) cos 2π n , ta thấy chúng có nhiều điểm tương 2π đồng với đa thức chia đường tròn Φn (x) Nếu ε1 = cos 2π n + i sin n nghiệm Φn (x) để ý rằng, phần thực ε1 , cos 2π n nghiệm Ψn (x) Đa thức chia đường trịn đa thức cực tiểu 2π ε1 = cos 2π n + i sin n Năm 1933, D H Lehmer mô tả phương pháp xây dựng đa thức cực tiểu Ψn (x) từ đa thức chia đường tròn Trong khuôn khổ luận văn này, sử dụng đa thức chia đường tròn để chứng minh kết bậc nghiệm đa thức cực tiểu Ψn (x) Các mối liên hệ đa thức cực tiểu Ψn (x) với đa thức Chebyshev trình bày chương xây dựng dựa kiến thức đa thức chia đường trịn Mục đích tiết trình bày khái niệm số tính chất đa thức chia đường ... 1.3 Đa thức cực tiểu cos 2π n Trong tồn luận văn này, ta ln kí hiệu Ψn (x) đa thức cực tiểu cos 2π n Nội dung tiết trình bày khái niệm phần tử đại số, đa thức cực tiểu phần tử đại số đa thức cực. .. Chương Đa thức cực tiểu cos 2π n đa thức Chebyshev Mục đích chương trình bày kết bậc nghiệm đa thức cực tiểu Ψn (x) cos 2π n , sở trình bày mối liên hệ đa thức cực tiểu Ψn (x) với đa thức Chebyshev... cực tiểu số phức i Với số nguyên dương n, ta biết cos 2π n số đại số Do đó, ln tồn đa thức cực tiểu Ψn (x) cos 2π n Với n = 1, 2, 3, n = 6, cos 2π n số hữu tỉ nên đa thức cực tiểu chúng đa thức