Đang tải... (xem toàn văn)
Mở đầu Đa thức hoán vị là một lĩnh vực nghiên cứu thú vị Chúng có các ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như lý thuyết mã hóa, mật mã và thiết kế tổ hợp Loại đa thức đơn giản nhất là đơn thức Một đ[.]
Mở đầu Đa thức hoán vị lĩnh vực nghiên cứu thú vị Chúng có ứng dụng lĩnh vực khác lý thuyết mã hóa, mật mã thiết kế tổ hợp Loại đa thức đơn giản đơn thức Một đơn thức xn hoán vị Fq gcd (n, q − 1) = Nhưng nhị thức tam thức tình khơng dễ dàng Chỉ có vài loại nhị thức hốn vị tam thức biết đến Chúng đặc biệt quan tâm đến lớp tam thức hoán vị trường hữu hạn với đặc số chẵn Chú ý rằng, khơng có nhị thức trường hữu hạn có đặc số chẵn Điều thúc đẩy chúng tơi tìm lớp tam thức hốn vị với hệ số tầm thường trường hữu hạn với đặc số chẵn Tuy nhiên, nay, số lớp tam thức hốn vị F2m biết đến Trong luận văn này, trình bày chứng minh chi tiết năm lớp tam thức hốn vị trường hữu hạn có đặc số chẵn Nội dung luận văn trình bày thành hai chương: Chương 1: Trường hữu hạn nhập môn đa thức hốn vị Trong chương này, chúng tơi trình bày cấu trúc số phần tử trường hữu hạn, số tính chất đa thức hoán vị trường hữu hạn đa thức hoán vị modulo số tự nhiên Chương 2: Một số lớp đa thức hoán vị trường hữu hạn có đặc số chẵn Chương chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn hoán vị đa thức số lớp tam thức hoán vị Đặc biệt chương chúng tơi trình bày lại chi tiết kết hai báo [4] R Gupta R Sharama, [3] C Ding, L Qu, Q Wang, J Yuan, P Yuan lớp tam thức hốn vị trường có đặc số chẵn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Em chân thành cảm ơn cô Lê Thị Thanh Nhàn tận tình hướng dẫn em triển khai đề tài luận văn Em chân thành cảm ơn thầy cô tổ Đại số, khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, người tận tình giảng dạy trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho em suốt trình học tập trường Vì thời gian kiến thức cịn hạn chế nên thân cố gắng nhiều luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Em xin mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn em hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 05 năm 2019 Học viên Nguyễn Văn Việt Chương Trường hữu hạn nhập môn đa thức hoán vị Để chuẩn bị cho việc trình bày đa thức hốn vị số lớp đa thức hốn vị trường hữu hạn có đặc số chẵn Chương 2, chương này, chúng tơi trình bày cấu trúc số phần tử trường hữu hạn, số tính chất đa thức hoán vị trường hữu hạn đa thức hoán vị modulo số tự nhiên 1.1 Trường hữu hạn Mục đích chương giới thiệu khái niệm trường hữu hạn làm rõ cấu trúc số phần tử trường hữu hạn Trường tập hợp T với hai phép toán cộng nhân cho hai phép toán kết hợp, giao hoán, phép nhân phân phối với phép cộng, T có phần thử 0, có phần tử đơn vị 1, phần tử a ∈ T có đối xứng −a ∈ T phần tử a ∈ T, a 6= có phần tử nghịch đảo a−1 ∈ T Chẳng hạn Z2 trường, vành Z4 khơng trường phần tử 6= ∈ Z4 khơng có phần tử nghịch đảo Tổng qt, Zn trường n nguyên tố Một số ví dụ trường vơ hạn trường Q số hữu tỷ; trường R số thực; trường C số phức Định nghĩa 1.1.1 Trường hữu hạn trường có hữu hạn phần tử Chú ý 1.1.2 Với trường T , phần tử a ∈ T số nguyên n ta định nghĩa bội nguyên na sau: • na = n = 0, • na = a + + a (n hạng tử a) n > 0, • na = (−a) + + (−a) (−n hạng tử a) n < Định nghĩa 1.1.3 Giả sử T trường Nếu tồn số nguyên dương nhỏ n cho n1 = 0, phần tử đơn vị T , ta nói trường T có đặc số n Nếu không tồn số n ta nói trường T có đặc số Chẳng hạn, trường Z5 có đặc số Trường Q có đặc số 0, trường Zp có đặc số p (với số nguyên tố p) Mệnh đề 1.1.4 Đặc số trường T hữu hạn số nguyên tố Chứng minh Giả sử trường hữu hạn T có đặc số Khi đó, với số nguyên n > m ta có (n − m)1 6= 0, tức n1 6= m1 Vì T chứa tập {n1 | n ∈ Z} tập vô hạn, vơ lý Do T phải có đặc số p > Giả sử p hợp số Khi p = mn với < m, n < p Ta có p1 = = mn1 = (m1)(m1) Do T trường nên (m1) = n1 = 0, vơ lý Do p số ngun tố Tiếp theo, cần nhắc lại số khái niệm không gian véc tơ Định nghĩa 1.1.5 Cho T trường Một tập V có trang bị phép tốn cơng với ánh xạ T × V → V (gọi phép nhân vơ hướng) gọi không gian véc tơ trường T hay T không gian véc tơ phép cộng có tính chất giao hốn, kết hợp, có phần tử 0, phần tử V có đối xứng phép nhân vô hướng thỏa mãn tính chất sau đây: với x, y ∈ T α, β ∈ V ta có: (i) Phân phối: (x + y)α = xα + yα x(α + β) = xα + xβ; (ii) Kết hợp: x(yα) = (xy)α; (iii) Unita: 1α = α Định nghĩa 1.1.6 Giả sử V T - không gian véc tơ (i) Một hệ véc tơ {vi }i∈I V gọi hệ sinh V phần tử x ∈ V biểu thị tuyến tính theo hệ đó, tức tồn hữu hạn phần tử vi1 , · · · , vik hệ {vi }i∈I hữu hạn P phần tử ai1 , · · · , aik T cho x = kj=1 aij vij Nếu V có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử V gọi T -không gian hữu hạn sinh (ii) Một hệ véc tơ {vi }i∈I V gọi hệ độc lập tuyến tính P từ ràng buộc tuyến tính hệ kj=1 aij vij = ta có aij = với j = 1, · · · , k (iii) Một hệ véc tơ V gọi sở V hệ sinh độc lập tuyến tính Nếu V có sở gồm n phần tử ta nói V có chiều n ta viết dimT V = n Giả sử V V không gian véc tơ trường T Ta nói ánh xạ f : V → V ánh xạ tuyến tính f (a + b) = f (a) + f (b) f (ra) = rf (a) với a, b ∈ V , r ∈ T Mệnh đề 1.1.7 Cho T trường hữu hạn có q phần tử Khi q lũy thừa số nguyên tố p với p đặc số T Chứng minh Đặt K = {n1 | n ∈ Z} Vì T trường hữu hạn nên theo Mệnh đề 1.1.4, T có đặc số p nguyên tố Ta chứng minh K trường có p phần tử Rõ ràng, phép cộng nhân phép toán K, ∈ K, ∈ K Do để chứng minh K trường, ta cần chứng minh n1 6= n1 có phần tử nghịch đảo Cho n1 6= Vì T có đặc số p p1 = suy n không bội p Do p nguyên tố nên (n, p) = 1, tức tồn x, y ∈ Z cho = nx + py Suy = (nx + py)1 = (n1)(x1) Vì x1 ∈ K x1 nghịch đảo n1 Do K trường Với ≤ n < m < p, ta có n1 6= m1 Thật vậy, n1 = m1 (m−n)1 = 0, < m−n < p, điều vô lý Suy K chứa p phần tử khác Cho n ∈ Z tùy ý Viết n = pr + s, ≤ s < p Ta có n1 = (pr + s)1 = s1 Vậy K có p phần tử Xét T K- Không gian véc tơ Vì T trường hữu hạn nên T có số chiều hữu hạn t Đặt dimT T = t số phần tử T pt Định lý 1.1.8 (Về cấu trúc trường hữu hạn) Các phát biểu sau đúng: (i) Nếu T trường có hữu hạn q phần tử, q lũy thừa số nguyên tố (ii) Nếu q lũy thừa số nguyên tố, tồn trường có q phần tử Chứng minh Xem tài liệu [1] Định nghĩa 1.1.9 Nhóm tập G với phép toán nhân cho phép nhân kết hợp, có phần tử đơn vị phần tử G có nghịch đảo a−1 ∈ G Một tập H G gọi nhóm G H đóng kín phép nhân lập thành nhóm với phép nhân Nhận xét 1.1.10 Nếu T trường tập T ∗ = T \{0} nhóm với phép nhân Nhóm G gọi xyclic tồn phần tử a ∈ G cho: G = {an | n ∈ Z} Khi ta viết G =< a > ta nói G nhóm xyclic sinh a Chú ý nhóm nhóm xyclic xyclic Mệnh đề 1.1.11 Cho T trường Khi nhóm T ∗ = T \{0} nhóm nhân xyclic Chứng minh Xem tài liệu [1] Trong lý thuyết nhóm hữu hạn, Định lý Lagrange phát biểu G nhóm có n phần tử H nhóm G có m phần tử m ước n Do a ∈ G, an = Chú ý 1.1.12 Nếu T trường có q phần tử nhóm nhân T ∗ = T \{0} có q − phần tử Vì aq−1 = với a ∈ T ∗ = T \{0} 1.2 Một số tính chất đa thức hoán vị Sau khái niệm số kết đa thức hoán vị trường hữu hạn Định nghĩa 1.2.1 Cho T trường hữu hạn Một đa thức f (x) với hệ số T gọi hoán vị ánh xạ cảm sinh f : T → T cho ứng phần tử a với f (a), song ánh Ví dụ 1.2.2 Trên trường Z2 đa thức f (x) = x g(x) = x + đa thức hốn vị, f (0) = f (1) = 1; g(0) = 1; g(1) = (tức ánh xạ cảm sinh f, g : Z2 → Z2 song ánh); đa thức h(x) = x2 + x + khơng hốn vị h(0) = h(1) = Mệnh đề 1.2.3 Cho T trường hữu hạn có q phần tử Các phát biểu sau (i) Các đa thức bậc khơng khơng hốn vị T (ii) Các đa thức bậc ln hốn vị T (iii) Đơn thức xn hoán vị T gcd (q − 1, n) = Đặc biệt, x2 hoán vị T T có đặc số (tức q số chẵn) (iv) Nếu n số nguyên tố xn hốn vị T q không đồng dư với theo mođun n (v) Đa thức ax2 + bx + c với a 6= a, b, c ∈ T , hoán vị T b = T có đặc số (tức q số chẵn) Chứng minh Xem tài liệu [2] Sau tính hốn vị tam thức trường hữu hạn (xem tài liệu [2]) Mệnh đề 1.2.4 Cho T trường có q phần tử Cho k > j hai số nguyên dương Cho a ∈ T phần tử khác Khi tam thức axk + bxj + c (trong a, b, c ∈ T ) hoán vị T b = gcd(k, q − 1) = 1.3 Đa thức hoán vị modulo số tự nhiên Trong phần nhắc lại khái niệm số kết đa thức với hệ số nguyên hoán vị modulo số tự nhiên 10 Định nghĩa 1.3.1 Cho f (x) = ad xd + + a1 x1 + a0 đa thức có hệ số nguyên, ad 6= Cho n số tự nhiên Ta nói f (x) hốn vị modulo n ánh xạ ϕ : Zn → Zn cho ϕ(a) = f (a) song ánh Ví dụ 1.3.2 Cho n = Khi đa thức f (x) = 6x3 + 3x + hoán vị modulo ta có f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = Z4 Đa thức g(x) = 6x3 khơng hốn vị modulo ta có g(0) = 0, g(1) = 2, g(2) = 0, g(3) = Z4 Kết sau (xem tài liệu [2]) cho ta điều kiện tính hốn vị đa thức modulo Mệnh đề 1.3.3 Đa thức f (x) = a0 + a1 x + + ad xd hoán vị modulo a1 + a2 + + ad lẻ Kết (xem tài liệu [2]) cho ta điều kiện cần tính hốn vị modulo 2m với m số chẵn Mệnh đề 1.3.4 Cho f (x) = a0 + a1 x + + ad xd đa thức với hệ số nguyên cho n = 2m số tự nhiên với m số chẵn Nếu f (x) hoán vị modulo n a1 số lẻ Cho n = 2w m = 2w−1 Kết sau (xem tài liệu [2]) cho ta mối quan hệ tính hốn vị modulo n tính hốn vị modulo m Mệnh đề 1.3.5 Cho f (x) = a0 + a1 x + + ad xd đa thức với hệ số nguyên Cho n = 2w m = 2w−1 Khi f (x) hốn vị modulo m f (x) hốn vị modulo n 11 ...và đa thức hoán vị modulo số tự nhiên Chương 2: Một số lớp đa thức hoán vị trường hữu hạn có đặc số chẵn Chương chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn hốn vị đa thức số lớp tam thức hoán vị Đặc biệt... cấu trúc số phần tử trường hữu hạn, số tính chất đa thức hoán vị trường hữu hạn đa thức hoán vị modulo số tự nhiên 1.1 Trường hữu hạn Mục đích chương giới thiệu khái niệm trường hữu hạn làm rõ... năm 2019 Học viên Nguyễn Văn Việt Chương Trường hữu hạn nhập mơn đa thức hốn vị Để chuẩn bị cho việc trình bày đa thức hốn vị số lớp đa thức hoán vị trường hữu hạn có đặc số chẵn Chương 2, chương