iii Mục lục Lời cảm ơn iii Lời mở đầu iv 1 Tập nghiệm của họ đa thức 1 1 1 Tập đại số 1 1 2 Mối quan hệ giữa tập đại số và iđêan 5 1 3 Định lý cơ sở Hilbert 8 2 Mối quan hệ giữa tập đại số và iđêan că[.]
iii Mục lục Lời cảm ơn iii Lời mở đầu iv Tập nghiệm họ đa thức 1.1 Tập đại số 1.2 1.3 Mối quan hệ tập đại số iđêan Định lý sở Hilbert Mối quan hệ tập đại số iđêan 14 2.1 2.2 Định lý không điểm Hilbert 14 Mối quan hệ tập đại số iđêan 21 2.3 Tập đại số bất khả quy 24 2.4 2.5 Một ứng dụng xét tính bất khả quy đa thức nhiều biến 29 Một ứng dụng xét tính nguyên tố iđêan vành đa thức nhiều biến 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iv LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu suốt q trình tơi thực luận văn Mặc dù bận rộn công việc cô dành nhiều thời gian tâm huyết việc hướng dẫn, động viên, khuyến khích tơi từ tơi tiếp cận đề tài đến tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới cô Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Tốn - Tin Phịng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy, Cô tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện luận văn Cuối xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè, người không ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho suốt trình học tập thực luận văn Thái Nguyên, ngày 04 tháng 10 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Đài Trang v LỜI MỞ ĐẦU Đối với đa thức biến trường K, tốn tìm nghiệm tốn Trong đa thức nhiều biến nhìn chung có vơ số nghiệm việc nghiên cứu nghiệm riêng lẻ không khả thi Thay vào đó, người ta nghiên cứu tập nghiệm đa thức hay họ đa thức Cho K trường, cho S tập vành đa thức n biến với hệ số K Tập nghiệm S gọi tập đại số kí hiệu Z(S) Mục đích luận văn trình bày lại số vấn đề tập đại số K n (tức tập nghiệm họ đa thức n biến trường K) Luận văn thuộc lĩnh vực Hình học đại số, người ta dùng cơng cụ Đại số (vành đa thức, iđêan, iđêan nguyên tố, ) để nghiên cứu vật Hình học (tập đại số, tập đại số bất khả quy, ) Luận văn gồm hai chương Chương trình bày khái niệm ví dụ tập đại số, đồng thời nêu lại chứng minh Định lí sở Hilbert tính hữu hạn sinh iđêan vành đa thức Định lí sở Hilbert cho phép ta quy tập đại số tập nghiệm họ gồm hữu hạn đa thức Chương trình bày lại Định lý khơng điểm Hilbert Định lí phát biểu tập nghiệm iđêan thực vành đa thức trường đóng đại số tập khác rỗng Định lý không điểm Hilbert tổng quát Định lý Đại số Nhờ Định lí này, thiết lập quan hệ song ánh tập đại số K n iđêan vành đa thức n biến K, K đóng đại số Phần Chương dành để tập trung nghiên vi cứu tập đại số bất khả quy (tức tập đại số khác rỗng không hợp hai tập đại số bé hơn) Định lí phân tích tập đại số thành hợp hữu hạn tập đại số bất khả quy Sử dụng Định lí sở Hilbert, mối quan hệ song ánh tập đại số bất khả quy K n iđêan nguyên tố vành đa thức n biến trường đóng đại số K Hai tiết cuối Chương trình bày ứng dụng xét tính bất khả quy đa thức nhiều biến tính nguyên tố iđêan vành đa thức nhiều biến (xem Định lí 2.4.5, Định lí 2.5.1) Kết hai tiết đóng góp luận văn Tài liệu tham khảo luận văn sách [2] Riêng phần Định lí khơng điểm Hilbert, chúng tơi chủ yếu dựa vào sách [4] Thái Nguyên, ngày 04 tháng 10 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Đài Trang Chương Tập nghiệm họ đa thức Trong suốt chương giả thiết V vành giao hoán Ký hiệu V [x1 , , xn ] tập đa thức n biến x1 , , xn với hệ số V Chú ý vành V [x1 , , xn ] vành giao hoán với phép cộng nhân đa thức, với phần tử đơn vị đa thức phần tử không đa thức Cho V1 vành giao hoán chứa V Cho K trường Các tài liệu tham khảo Chương [1] [2] 1.1 Tập đại số Trong tiết tập trung giới thiệu khái niệm tập đại số, đồng thời đưa số ví dụ tập đại số Định nghĩa 1.1.1 Một n phần tử (α1 , , αn ) ∈ V1n gọi nghiệm đa thức f (x1 , , xn ) ∈ V [x1 , , xn ] f (α1 , , αn ) = Khi ta nói (α1 , , αn ) nghiệm phương trình đa thức f (x1 , , xn ) = Định nghĩa 1.1.2 Cho đa thức f (x1 , , xn ) ∈ V [x1 , , xn ] Khi ta có ánh xạ f : V n → V cho ứng phần tử (a1 , , an ) ∈ V n với phần tử f (a1 , , an ) ∈ V Ta gọi f hàm đa thức n biến V tương ứng với đa thức f (x1 , , xn ) Kết quan trọng sau cho phép ta đồng đa thức với hàm đa thức, giả thiết V miền nguyên vô hạn Nhắc lại vành giao hoán V gọi miền nguyên V khác vành a, b ∈ V hai phần tử khác 0, ab 6= Định lý 1.1.3 Nếu V miền nguyên vô hạn ánh xạ ϕ cho tương ứng đa thức f (x1 , , xn ) ∈ V [x1 , , xn ] với hàm đa thức f song ánh từ tập đa thức V [x1 , , xn ] đến tập hàm đa thức n biến V Đặc biệt, đa thức f (x1 , , xn ) đa thức hàm đa thức f hàm không Chứng minh Nếu f (x1 , , xn ) đa thức rõ ràng hàm đa thức tương ứng hàm Ta chứng minh chiều ngược lại quy nạp theo n Giả thiết f hàm 0, tức f (a1 , , an ) = với (a1 , , an ) ∈ V n Cho n = Khi f (a1 ) = với a1 ∈ V Do đa thức biến f (x1 ) nhận phần tử V làm nghiệm Vì V vơ hạn nên f (x1 ) có vơ hạn nghiệm Suy f (x1 ) = Cho n > giả thiết kết cho trường hợp n − biến Biểu diễn f (x1 , , xn ) = k X fi (x1 , , xn−1 )xin , i=0 fi (x1 , , xn−1 ) ∈ V [x1 , , xn−1 ] với i ∈ {0, 1, , k} Với phần tử a = (a1 , , an−1 ) ∈ V n−1 , đặt ga (xn ) = f (a1 , , an−1 , xn ) Khi ga (xn ) = k X fi (a1 , , an−1 )xin ∈ V [xn ] i=0 Theo giả thiết, ga (xn ) đa thức biến nhận phần tử V làm nghiệm Do V miền nguyên vơ hạn nên ta có ga (xn ) đa thức Vì fi (a1 , , an−1 ) = với i ∈ {1, , k} Như vậy, đa thức fi (x1 , , xn−1 ) ∈ V [x1 , , xn−1 ] nhận phần tử V n−1 làm nghiệm Theo giả thiết quy nạp, fi (x1 , , xn−1 ) đa thức với i ∈ {0, , k} Do f (x1 , , xn ) đa thức Cuối ta chứng minh ánh xạ ϕ cho tương ứng đa thức f (x1 , , xn ) với hàm đa thức f song ánh từ V [x1 , , xn ] đến tập hàm đa thức từ V n đến V Rõ ràng ϕ toàn ánh Nếu hai đa thức f (x1 , , xn ) g(x1 , , xn ) cho hai hàm đa thức đa thức f (x1 , , xn ) − g(x1 , , xn ) cho hàm đa thức Theo kết trên, f (x1 , , xn ) − g(x1 , , xn ) đa thức 0, tức f (x1 , , xn ) = g(x1 , , xn ) Vì ϕ đơn ánh Chú ý V có hữu hạn phần tử ánh xạ Định lý 1.1.3 nói chung khơng song ánh Thật vậy, V = {a1 , , ar } với số tự nhiên n, ta có đa thức n biến khác n X f (x1 , , xn ) = (xi − a1 ) (xi − ar ), i=1 hàm đa thức tương ứng hàm Chú ý 1.1.4 Đối với đa thức biến trường K, tốn tìm nghiệm toán Chú ý đa thức khác khơng K[x] có hữu hạn nghiệm (số nghiệm khơng vượt q bậc nó) Trong đa thức nhiều biến nhìn chung có vơ số nghiệm việc nghiên cứu nghiệm riêng lẻ không khả thi Thay vào đó, người ta nghiên cứu tập nghiệm đa thức hay họ đa thức Những tập nghiệm gọi tập đại số Ký hiệu K n = {(a1 , , an ) | ∈ K, i = 1, , n} Ta gọi K n không gian affin n chiều Đặc biệt K = K gọi đường thẳng affin, K gọi mặt phẳng affin Với tập S K[x1 , , xn ], ký hiệu Z(S) = {(a1 , , an ) ∈ K n | f (a1 , , an ) = 0, ∀f ∈ S} Tập Z(S) gọi tập nghiệm S (hay tập không điểm chung S) Định nghĩa 1.1.5 Một tập X K n gọi tập đại số (hay đa tạp affin) tồn S ⊆ K[x1 , , xn ] cho X = Z(S) Khi ta nói X tập đại số định nghĩa S Cho X = Z(S) tập đại số K n Nếu S = {f } ta viết X = Z(f ) Nếu f khác Z(f ) gọi siêu mặt K n Nếu S = {f1 , , fk } tập hữu hạn ta viết X = Z(f1 , , fk ) Chú ý tập đại số (khác ∅ khác K n ) giao họ T siêu mặt, ta có X = Z(S) = Z(f ) f ∈S Ví dụ 1.1.6 (i) Tập X = {(0, 0)} ⊆ R2 tập đại số Vì tập nghiệm họ gồm hai đa thức {x1 , x2 } ⊆ K[x1 , x2 ] (ii) Tập X = {tm , tn ) | t ∈ R} với m, n hai số nguyên tố tập đại số (Chúng ta xem Hệ 2.4.7 Chương 2, có chứng minh chi tiết X tập đại số) Ví dụ 1.1.7 (i) Trong mặt phẳng affin Rn , tập đại số Z(x2 + y − 4) đường tròn bán kính tâm gốc tọa độ Trong hình học giải tích, đường trịn, đường elip, parabol, hypebol tập đại số (ii) Trong không gian affin 3-chiều R3 , tập đại số Z(z − x2 − y ) mặt paraboloid tròn xoay, thu cách quay parabol z = x2 quanh truc z Các mặt bậc hai ellipsoid, hyperboloid tập đại số Ví dụ 1.1.8 Cho X = {(a, a) ∈ R2 | a 6= 1} Khi X không tập đại số R2 Thật vậy, giả sử X tập đại số Khi tồn tập S vành đa thức hai biến R[x, y] cho X = Z(S) Lấy f (x, y) ∈ S tùy ý Đặt g(t) = f (t, t) xét g(t) đa thức biến t với hệ số thực Vì f (x, y) ∈ S nên f (x, y) triệt tiêu X Do ta có f (a, a) = với a ∈ R a 6= Suy g(a) = với a ∈ R a 6= Do R trường (và miền ngun) có vơ hạn phần tử, nên g(t) đa thức biến nhận vơ hạn nghiệm Do g(t) đa thức Do g(1) = Suy f (1, 1) = Như vậy, (1, 1) nghiệm đa thức S Do (1, 1) ∈ Z(S) Suy (1, 1) ∈ X Điều vơ lí Vậy, X khơng tập đại số Bằng lập luận tương tự Ví dụ 1.1.8, ta có ví dụ sau tập Rn không tập đại số Ví dụ 1.1.9 Các tập hợp sau không tập đại số Rn (i) X = {(a, a) ∈ R2 | a 6= r}, n = r số thực tùy ý cho trước (ii) Y = {(a, sa) ∈ R2 | a 6= r}, n = r, s số thực tùy ý cho trước (iii) Z = {(s1 a, s2 a, , sn a) ∈ Rn | a 6= r}, r, s1 , , sn số thực tùy ý cho trước với số i cho si 6= 1.2 Mối quan hệ tập đại số iđêan Mệnh đề 1.2.1 Mỗi tập đại số K n tập nghiệm iđêan vành đa thức K[x1 , , xn ] Chứng minh Giả sử X = X(S) tập đại số, S ⊆ K[x1 , , xn ] Đặt I = (S) iđêan K[x1 , , xn ] sinh S Ta có (S) = {f1 g1 + + fk gk | k ∈ N, fi ∈ S, gi ∈ K[x1 , , xn ],∀i} Suy X = Z(S) = Z(I) Các phát biểu (i), (ii), (iii) mệnh đề sau họ tập đại số làm thành họ tập đóng khơng gian tơpơ K n Ta gọi tôpô tôpô Zariski Mệnh đề 1.2.2 Trong không gian affin K n , phát biểu sau (i) Giao họ tùy ý tập đại số tập đại số (ii) Hợp họ hữu hạn tập đại số tập đại số (iii) Ø K n tập đại số (iv) Mỗi tập hữu hạn K n tập đại số Chứng minh (i) Giả sử {Xi } họ tập đại số K n Khi Xi = Z(Si ) với i, Si ⊆ K[x1 , xn ] Ta có \ \ [ Xi = Z(Si ) = Z( Si ) i Do T i i Xi tập đại số i (ii) Giả sử X1 , , Xk tập đại số K n Theo Mệnh đề 1.2.1 với i ta có Xi = Z(Ii ), Ii iđêan K[x1 , xn ] Khi k [ Xi = i=1 Cho (a1 , , an ) ∈ Z( k T k [ i=1 Z(Ii ) ⊆ Z( k \ Ii ) i=1 Ii ) Giả sử (a1 , , an ) ∈ / i=1 k S Z(Ii ) Khi với i=1 i, tồn gi ∈ Ii , cho gi (a1 , , an ) 6= Suy g(a1 , , an ) 6= 0, k k k T S T g = g1 gk ∈ Ii Điều vơ lí Vì Xi = Z( Ii ) i=1 tập đại số i=1 i=1 (iii) Vì Ø = Z(1) K n = Z(0) nên Ø K n tập đại số (iv) Với điểm a = (a1 , , an ) ∈ K n ta có Z(x1 − a1 , , xn − an ) = {a} Do {a} tập đại số Theo (ii), tập hữu hạn K tập đại số, hợp hữu hạn tập, tập gồm phần tử Trong phần trên, liên kết iđêan I với tập đại số Z(I) không điểm chung I Bây quan tâm chiều ngược lạị Chúng ta liên kết tập đại số K n với iđêan K[x1 , , xn ] Bổ đề 1.2.3 Với tập đại số X K n , kí hiệu I(X) tập đa thức triệt tiêu X, tức I(X) = {f ∈ K[x1 , , xn ] | f (a1 , , an ) = 0, ∀(a1 , , an ) ∈ X} Khi I(X) iđêan K[x1 , , xn ] Chứng minh Ta có ∈ I(X), đa thức đa thức triệt tiêu K n Vì I(X) 6= ∅ Giả sử, f, g ∈ I(X) h ∈ K[x1 , , xn ] Cho (a1 , , an ) ∈ X Khi f (a1 , , an ) + g(a1 , , an ) = + = 0, h(a1 , , an )f (a1 , , an ) = h(a1 , , an ).0 = Do đó, I(X) iđêan K[x1 , , xn ] Định nghĩa 1.2.4 Với kí hiệu trên, ta gọi I(X) iđêan định nghĩa tập đại số X Ví dụ 1.2.5 (i) Với X = {(0, 0)} ⊆ R2 , ta có I(X) = (x, y) (ii) Với X = K n K vơ hạn, ta có I(X) = (iii) Với X = Z(y − x2 , z − x3 ) ⊆ R3 , ta có I(X) = (y − x2 , z − x3 ) Chứng minh (i) Cho X = {(0, 0)} Rõ ràng (x, y) ⊆ I(X) x y P triệt tiêu (0, 0) Cho f (x, y) ∈ I(X) với f (x, y) = aij xi y j , aij ∈ R Khi f (0, 0) = Suy a00 = Vì f ∈ (x, y) (ii) Cho X = K n Rõ ràng ∈ I(X) Cho f ∈ I(X) Khi f triệt tiêu ... ứng đa thức f (x1 , , xn ) ∈ V [x1 , , xn ] với hàm đa thức f song ánh từ tập đa thức V [x1 , , xn ] đến tập hàm đa thức n biến V Đặc biệt, đa thức f (x1 , , xn ) đa thức hàm đa thức. .. vơ số nghiệm việc nghiên cứu nghiệm riêng lẻ không khả thi Thay vào đó, người ta nghiên cứu tập nghiệm đa thức hay họ đa thức Cho K trường, cho S tập vành đa thức n biến với hệ số K Tập nghiệm. .. vành đa thức Định lí sở Hilbert cho phép ta quy tập đại số tập nghiệm họ gồm hữu hạn đa thức Chương trình bày lại Định lý khơng điểm Hilbert Định lí phát biểu tập nghiệm iđêan thực vành đa thức