1 Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt psd đa thức nửa xác định dương pd đa thức xác định dương sos đa thức biểu diễn được dưới dạng tổng của bình phương các đa thức AM −GM bất đẳng thức giữa trung[.]
1 Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt psd đa thức nửa xác định dương pd đa thức xác định dương sos đa thức biểu diễn dạng tổng bình phương đa thức AM − GM bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân GCD ước chung lớn Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Hà Huy Khoái Thầy hướng dẫn tạo điều kiện tốt tác giả hoàn thành luận văn Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Toán K10Q K11D; trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên; khoa Toán - Tin tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tập thể lớp cao học Toán K10Q K11D, gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tạo điều kiện tốt cho tác giả học tập nghiên cứu Mặc dù thân có nhiều cố gắng điều kiện thời gian ngắn, trình độ kinh nghiệm nghiên cứu khoa học cịn hạn chế, nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp thầy bạn đồng nghiệp để tác giả tiếp tục nghiên cứu tốt Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018 Tác giả Cao Hà Dương Lời nói đầu Lagrange rằng, số nguyên dương a biểu diễn thành tổng bình phương bốn số nguyên Vậy câu hỏi tự nhiên sinh là: "Nếu thay số nguyên đa thức, đa thức biểu diễn thơng qua tổng bình phương đa thức khác? Nếu biểu diễn cần tối thiểu bình phương đa thức để tạo nên biểu diễn ấy? Điều kiện cần đủ gì?" Đã có nhiều cơng trình khoa học nhà tốn học tiếng nghiên cứu vấn đề này, Motzkin, Robinson, Choi, Lam, ; có nhiều ví dụ phản ví dụ đưa Tại Đại hội toán học quốc tế họp Paris năm 1900, Hilbert nêu vấn đề Bài toán thứ 17 danh mục 23 toán tiếng ơng Bài tốn giải Artin, nhiều cách tiếp cận mở rộng khác đưa Luận văn có mục tiêu trình bày lịch sử vấn đề số kết đạt hướng nghiên cứu toán Hilbert 17 mở rộng Mặc dù tốn Hilbert 17 trước đề cập đến nội dung Luận văn thạc sĩ toán học Phan Văn Dân với tên "Về định lí Hilbert thứ 17" vào năm 2017 trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên; kết nghiên cứu Tác giả luận văn toán Hilbert 17 khác biệt Trong luận văn mình, tác giả nêu kết đạt nhà toán học nghiên cứu toán Hilbert 17 cách chi tiết cụ thể hơn, ngồi cịn có bổ sung thêm nhiều kết khác Hơn nữa, chứng minh định lý Artin hai luận văn khác Cuối khác biệt đến từ chương luận văn này, tác giả quan tâm trình bày nội dung định lý Polya với mở rộng hướng nghiên cứu toán Hilbert 17 mà luận văn Phan Văn Dân khơng có Do vậy, luận văn tác giả bổ sung thêm kết với tiếp cận khác toán Hilbert 17 Tên luận văn "Biểu diễn đa thức dương dạng tổng bình phương hai đa thức" Tuy nhiên trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả dành phần nhiều thời gian để nghiên cứu thấy kết biểu diễn đa thức dương nhìn nhận cách yếu cho đa thức khơng âm Do nội dung luận văn có thiên hướng trình bày kết đạt đa thức không âm nhiều kết cho đa thức dương Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày cách khái quát lịch sử vấn đề; ví dụ đa thức khơng âm hay khơng thể biểu diễn thành tổng bình phương đa thức khác; với giải toán Hilbert 17 Artin Chương 2: Trình bày số tiếp cận số kết mở rộng Bài toán Hilbert 17 Chương BÀI TOÁN HILBERT THỨ 17 1.1 Lịch sử vấn đề Vào năm 1900, Đại hội toán học quốc tế Paris, Hilbert nêu lên tốn thứ 17 sau: "Có thể hay không biểu diễn đa thức thực không âm dạng tổng bình phương hàm hữu tỷ" Trước đó, khởi đầu tốn Hilbert thứ 17 bắt nguồn từ luận án tiến sĩ Hermann Minkowski, bảo vệ tại Đại học Koxnigsberg vào năm 1885, mà Hilbert người phản biện Trong buổi bảo vệ, Minkowski khẳng định rằng: "Tồn đa thức thực khơng âm tồn Rn khơng biểu diễn dạng tổng hữu hạn bình phương đa thức thực" Mặc dù khơng có chứng minh cho khẳng định trên, sau Hilbert có nói ơng bị thuyết phục khám phá Sau vào năm 1888, Hilbert chứng minh báo tiếng tồn đa thức thực hai biến bậc sáu không âm R2 tổng bình phương đa thức thực Ví dụ tường minh đưa T.Motzkin vào năm 1967 Đó đa thức: M (x, y) = x4 y + x2 y + − 3x2 y Trong báo thứ hai chủ đề vào năm 1893, Hilbert chứng minh lý luận khéo léo khó hiểu rằng, đa thức không âm p ∈ R [x, y] R2 biểu diễn tổng hữu hạn bình phương hàm hữu tỷ thuộc R (x; y) Mặc dù không nêu rõ, chứng minh mình, Hilbert gần p tổng bốn bình phương hàm hữu tỷ Năm 1899, Hilbert chứng minh kết quan trọng, làm sở cho khẳng định mà thời điểm cịn chưa chứng minh, rằng: "Bất kì hàm hữu tỷ không âm Q (x1 , , xn ) tổng bình phương hàm hữu tỷ Q (x1 , , xn )" Dựa ý tưởng từ cơng trình trước đây, Hilbert nêu toán tiếng thứ 17 Đại hội toán học quốc tế Paris vào năm 1900 với câu hỏi: "Nếu f ∈ R [x1 , , xn ] đa thức không âm, có thiết biểu diễn tổng bình phương hàm hữu tỷ R (x1 , , xn ) hay khơng?" Bài tốn Hilbert thứ 17 giải câu trả lời khẳng định vào năm 1926 Artin Chứng minh Artin mang đến khởi đầu cho số chủ đề hình học đại số thực 1.2 Một số kết biểu diễn đa thức không âm Trước vào trình bày kết đạt được, có kí hiệu định nghĩa sau: i) Hd (K n ): tập đa thức bậc d với n biến với hệ số trường K n + d − Do p ∈ Hd (K n ) xác định N = hệ số nó, n−1 nên Hd (K n ) ≈ K N ii) Với m số nguyên, đa thức p ∈ Hm (Rn ) gọi nửa xác định dương (viết tắt psd) p (x1 , , xn ) ≥ với (x1 , , xn ) ∈ Rn iii) Tập tất psd Hm (Rn ) kí hiệu Pn,m iv) Đa thức psd p (x1 , , xn ) gọi xác định dương (viết tắt pd) p (x1 , , xn ) = xj = 0, với ≤ j ≤ n v) Nếu p ∈ Hm (Rn ) biểu diễn dạng tổng bình phương đa thức p gọi sos Nếu p ∈ Hm (Rn ) p = P k h2k với hk ∈ R [x1 , , xn ] hk ∈ Hm/2 (Rn ) P vi) Tập tất sos Hm (Rn ) kí hiệu n,m Ta có: X ⊆ Pn,m n,m P Do kí hiệu ∆n,m = Pn,m \ n,m tập tất đa thức psd mà không sos 1.2.1 Kết Hilbert Trước tiên có kết quan trọng sau: Mệnh đề 1.1 Mọi đa thức psd f (x) ∈ R [x] tổng bình phương đa thức R [x] Chứng minh, Chú ý f (x) đa thức nửa xác định dương nên nghiệm thực có f (x) phải có bội chẵn Thật vậy, ta thấy từ biểu diễn f (x) = (x − α)n g(x) với α ∈ R g (α) 6= 0, n lẻ, có (x − α)n nên f đổi dấu lân cận α, điều mâu thuẫn với việc f psd Do ta viết f (x) dạng: Y ni 2ni Y ni Y f (x) = c (x − αi ) (x − βi ) x − βi với αi ∈ R βi ∈ / R, c ∈ R Đặt: Y ni Y ni h (x) = (x − βi ) (x − αi ) Khi ta có: f (x) = ch(x)h(x) Với h(x) = p(x) + iq(x) p (x) , q (x) ∈ R [x] thì: √ √ 2 2 f (x) = c p(x) + q(x) = ( cp(x)) + ( cq(x)) Nhận xét 1.1 Trong trường hợp tổng quát với n biến, kết ln ln cho đa thức Ta có ví dụ: Ví dụ 1.1 Xét f (x, y) = x2 + y − x2 y + ∈ R [x, y] Hiển nhiên f psd, áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho x2 , y 2 , ta được: xy x2 + y + 2 xy ≥ 1, suy ra: x2 + y − ≥ − 2 xy Do f ≥ 0, ∀x, y Giả sử rằng: f = f12 + f22 + + fn2 fi ∈ R [x, y] với i ≤ n degfi ≤ Khi tổng cộng bậc f Do f (x, 0) = f (0, y) = nên fi (x, 0) fi (0, y) số Vì vậy: fi (x, y) = + xy (bi + ci x + di y) , ∀1 ≤ i ≤ n Bây ta được: f= n X fi2 = i=1 n X (ai + xy (bi + ci x + di y))2 i=1 Vì hệ số x2 y f −3 nên Vậy f không sos Mệnh đề 1.2 Pn,m = P n,m P b2i = −3, điều vơ lí m = n = Chứng minh, Giả sử m = Khi đa thức psd bậc hai p với n biến chéo hóa tổng rank(p) ≤ n bình phương dạng tuyến tính Nếu với n = 2, ta có p(x, y) ∈ P2,m , f (t) = p (t, 1) ≥ với số thực t, nghiệm f số thực (có thể nghiệm bội) xuất cặp số phức liên hợp hệ số f dương Vì có phân tích: f (t) = c r Y j=1 2αj (t − tj ) s Y k=1 (t − (αk + iβk )) s Y (t − (αk − iβk )) k=1 = P (t)2 (Q (t) + iR (t)) (Q (t) − iR (t)) = (P (t) Q (t))2 + (P (t) R (t))2 Bằng cách hoá f ta suy p tổng bình phương hai đa thức Nhận xét 1.2 Giả sử chứng minh trên, f có 2s nghiệm phức phân biệt Khi có 2s−1 cách để ghép nhân tử tuyến tính liên hợp thành cặp khơng có thứ tự {Q + iR, Q − iR} đa thức phức liên hợp Vì Q + iR ln ln monic nên deg Q > deg R Chúng ta có 2s−1 biểu diễn khác f = g + h2 với deg h < 21 deg f Chẳng hạn với s = ta có: 2 2 2 t6 + = t3 + 12 = t3 − 2t + 2t2 − !2 √ !2 √ 3 = t3 − t ± + t3 ∓ t− 2 2 Năm 1888, 26 tuổi, Hilbert chứng minh hai kết quan trọng P Mệnh đề 1.3 3,4 = P3,4 Mệnh đề 1.4 Nếu n ≥ m ≥ n ≥ m ≥ tồn p ∈ Pn,m mà không sos Năm 1893, Hilbert tổng quát kết trước P3,4 Mệnh đề 1.5 Cho p ∈ P3,m Với m ≥ tồn p1 ∈ P3,m−4 h1k ∈ Hm−2 R cho pp1 = h211 + h212 + h213 10 1.2.2 Ví dụ Motzkin Ví dụ 1.2 Đa thức M (x, y) = x4 y + x2 y + − 3x2 y psd khơng sos Chứng minh, Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho x4 y , x2 y , ta có: x4 y + x2 y + p ≥ x6 y = x2 y Từ suy M ≥ 0; ∀x, y Vậy M psd P Giả sử M = j fj2 với fj đa thức thực Vì M (0, y) = M (x, 0) = nên đa thức fj (0, y) fj (x, 0) số Do fj có dạng: fj = aj + bj xy + cj x2 y + dj xy P So sánh hệ số x2 y đẳng thức M = j fj2 ta được: X −3 = b2j j Điều vơ lí Vậy M khơng sos Ví dụ 1.3 Đa thức M (x, y, z) = x2 + y − 3z x2 y + z = x4 y + x2 y + z − 3x2 y z psd không sos Chứng minh, Rõ ràng M psd, áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho x4 y , x2 y , z ta được: x4 y + x2 y + z p ≥ x6 y z = x2 y z Từ suy M ≥ 0; ∀x, y, z Giả sử M sos ta có đẳng thức: X M (x, y, z) = h2k (x, y, z) k hk ∈ H3 R3 vành bé trường bé E chứa K α Định nghĩa 1.15 Một trường K gọi thực hình thức có Pn i=1 = với ∈ K = với ≤ i ≤ n Một điều kiện tương đương là: −1 biểu diễn tổng bình phương phần tử K Chú ý trường thực hình thức phải có đặc số Thật vậy, đặc số số nguyên tố p từ 12 + + 12 = với tổng có p số hạng, ta có −1 = 1| + {z + 1}2 , điều mâu thuẫn p−1 Ta có trường R, Q, R (x) thực hình thức; cịn C khơng phải 20 Định nghĩa 1.16 Một trường thực hình thức K gọi là trường thực đóng khơng có trường mở rộng hữu hạn thực K thực hình thức Một trường thực hình thức trường thực đóng có tính chất sau: (i) Căn bậc hai phần tử dương tồn tại; (ii) Tất đa thức bậc lẻ trường có nghiệm trường Định nghĩa 1.17 Tập P trường K đóng với phép cộng nhân K gọi thứ tự K = P ∪ −P P ∩ −P = {0} Khi P −P tương ứng gọi tập phần tử dương âm K Nếu tồn thứ tự P , K gọi trường thứ tự Ta viết a ≥ b a − b ∈ P Phần tử a trường K gọi hoàn toàn dương a ∈ ∩Pi với thứ tự Pi K Ví dụ 1.11 (Thứ tự trường) i) Với K trường R Một thứ tự K P = {x ∈ K : x ≥ 0} ii) Lấy K = Q (x) Một thứ tự K P = {f /g : f (π)/g (π) ≥ }, ý lấy số siêu việt để thay cho π iii) Cho K = R (x) Một thứ tự K P = {f /g : a > 0} với f g = axl Trong thứ tự x vô hạn nhỏ tất số thực dương iv) Cho K = R (x) Một thứ tự K là: P = {f /g : hệ số đứng đầu f g > 0} Trong trường hợp x vơ hạn lớn tất số thực ... nguyên dương a ln biểu diễn thành tổng bình phương bốn số nguyên Vậy câu hỏi tự nhiên sinh là: "Nếu thay số nguyên đa thức, đa thức biểu diễn thơng qua tổng bình phương đa thức khác? Nếu biểu diễn. .. Do vậy, luận văn tác giả bổ sung thêm kết với tiếp cận khác toán Hilbert 17 Tên luận văn "Biểu diễn đa thức dương dạng tổng bình phương hai đa thức" Tuy nhiên trình nghiên cứu thực luận văn, tác... thấy kết biểu diễn đa thức dương nhìn nhận cách yếu cho đa thức không âm Do nội dung luận văn có thiên hướng trình bày kết đạt đa thức không âm nhiều kết cho đa thức dương Luận văn gồm hai chương: