Së GD&§T Thanh ho¸ Kú thi chän häc sinh giái líp 12 Së GD&§T Thanh ho¸ Kú thi chän häc sinh giái líp 12 Trêng THPT CÈm Thuû 3 N¨m häc 2008 – 2009 M«n thi To¸n Thêi gian 180 phót Câu 1 (5 0 ®iÓm) 1) Kh[.]
Sở GD&ĐT Thanh hoá Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Trờng THPT Cẩm Thuỷ 2009 Năm học: 2008 Môn thi: Toán - Thời Họ tên: gian: 180 …… SBD: :………………………… Câu (5.0 ®iĨm): 1) Khảo sát hàm số 2) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình C©u (2.0 điểm): Giải hệ phơng trình: Câu 3(2.0 điểm): Tìm số nguyên dơng n cho: Câu 4(2.0 điểm): Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm với x thuộc tập xác định Câu 5(2.0 điểm): Giải phơng trình: Câu 6(6.0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AK cắt cạnh SB , SD lần lợt M N Đặt V1= VS.AMKN , V = VS.ABCD 1) Khi mp(P)//BD, hÃy tính tỷ số thể tích 2) Đặt x = , y= TÝnh theo x vµ y 3) Chứng minh rằng: Câu 7(1.0 điểm): Cho n số nguyên dơng lẻ n 3, Chứng minh rằng: m < -2 th× cã 1nghiƯm 0.5 Khi (m +1)2(2 - m) = m = -2 m =1 0.25 có nghiệm 0.5 Khi ph ơng trình có nghiệm Khi (m +1)2(2 - m) = m = -1 m = 0.25 có nghiÖm Khi (m +1)2(2 - m) < m > có 1nghiệm Giải hệ phơng trình Đặt 0.5 2.0 , §iỊu kiƯn: 0.5 0.5 Tacã hƯ 0.5 Suy nghiệm là: 0.5 Tìm số nguyên dơng n Xét hàm số: 0.5 = Ta cã = = Do ®ã = Suy ra: 0.5 2n + = 2009 n = 1004 0.5 0.5 Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm với x thuộc tập xác định Đặt t2 = -x2 + 2x + 24 Do suy Khi ®ã ta có bất phơng trình: t2 + t 24 m.(*) Xét hàm số đoạn [0 ; 5] Có bảng biến thiên: t g(t) + g(t) -24 0.5 0.5 0.5 Để bpt đà cho nghiệm x thuộc TXĐ bpt (*) phải nghiệm ®óng víi mäi t tho¶ m·n Tõ b¶ng biÕn thiên suy ra: Giải phơng trình: (*) 0.5 (*) (sinx - cosx)[2 +2(sinx+ cosx) + sinxcosx] = 0.5 0.5 0.5 GiảI (2): Đặt 0.5 Tacó t2 + 4t +3 = t = -1 v t = -3(lo¹i) Víi t = -1 6.1 Khi mp(P)//BD, h·y tÝnh tû sè thÓ tÝch Gäi O giao điểm 2đờng chéo S I giao ®iĨm cđa AK vµ SO K Do (P)//BD, qua I kẻ đờng song song với N BD cắt SB SD M M I M Trong tam giác SAC có I trọng tâm D Suy ra: O A ; B 0.5 C 0.5 Vì SABCD hbh nªn Vs.ABC = Vs.ADC = V Ta cã 0.5 Tơng tự ta có Mà V = Vs.ABC + Vs.ADC V1 = VS.AMK+ VS.ANK 0.5 Suy 6.2 Đặt x = , y= Ta cã T¬ng tù ta cã TÝnh theo x vµ y 1.0 0.5 Suy 6.3 0.5 (1) Chøng minh r»ng: Do V1 = VS.AMN+ VS.MNK vµ Vs.ABC = Vs.ADC = V Mµ 0,25 0,25 Suy (2) Tõ (1) vµ (2) suy 0,25 Do x>0; y> nên x> Vì VËy ta cã XÐt hµm sè f(x) = Cã f’(x) = = víi 0,25 BBT: 0,25 x 0,25 f’(x) f(x) - + 0,5 Tõ BBT suy Cho n số nguyên dơng lẻ n 3, Chứng minh rằng: 0 Suy bảng biến thiên: 0.25 x f(x) f(x) + - 0,25 Tõ BBT suy f(x)< , suy (®pcm) ...Sở GD&ĐT Thanh hoá Trờng THPT Cẩm Thuỷ học: 2008 – 2009 C©u 1.1 híng dÉn chÊm Thi chän HSG Năm Môn thi: Toán Nội dung Điể m Khảo sát vẽ đồ thị hàm số * TXĐ: R * Giới hạn: 0.5 *Bảng biến thi? ?n:... Xét hàm số đoạn [0 ; 5] Có bảng biến thi? ?n: t g’(t) + g(t) -24 0.5 0.5 0.5 Để bpt đà cho nghiệm x thuộc TXĐ bpt (*) phải nghiệm với t thoả mÃn Từ bảng biến thi? ?n suy ra: Giải phơng trình: (*)... =- ].G(x)+ F(x) [- G(x) - ] [F(x)+G(x)] =- Do n lẻ nên với x khác ta có: 0.25 >0 Suy bảng biến thi? ?n: 0.25 x f’(x) f(x) + - 0,25 Tõ BBT suy f(x)< , suy (®pcm)