SỰ CẦN THIẾT CỦA MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC TOÁN NGUYỄN THỊ TÂN AN* TÓM TẮT Người ta thường nghĩ toán học ở nhà trường ít được sử dụng trong cuộc sống hàng ngày Mô hình hóa toán học sẽ là cầu nối các s[.]
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Tân An SỰ CẦN THIẾT CỦA MƠ HÌNH HĨA TRONG DẠY HỌC TỐN NGUYỄN THỊ TÂN AN* TĨM TẮT Người ta thường nghĩ tốn học nhà trường sử dụng sống hàng ngày Mơ hình hóa tốn học cầu nối suy luận lớp học suy luận tình thực tế Bài báo trình bày số lí cần thiết mơ hình hóa dạy học tốn, yếu tố chu trình mơ hình hóa minh họa cho yếu tố đó; giới thiệu tóm tắt lịch sử tiếp cận lí thuyết mơ hình hóa giáo dục tốn để thấy quan tâm giới lĩnh vực Từ khóa: mơ hình hóa tốn học, chu trình mơ hình hóa tốn học ABSTRACT The relevance of modelling in teaching mathematics Mathematics in schools is often considered impractical Thus mathematical modelling will be the bridge between classroom reasoning and real-life reasoning This article presents some reasons why mathematical modelling should be introduced into teaching practice, draws out elements of the mathematical modelling process and illustrates these elements The article also gives a brief history and discusses some theoretical approaches to modelling in mathematics education to show that this field is gaining an international interest Keywords: mathematical modelling, mathematical modelling cycle Giới thiệu Mọi người sử dụng nhiều kiến thức toán học khác tình quen thuộc hàng ngày từ cịn nhỏ Ví dụ, em bé biết xấp xỉ lượng thức ăn đĩa so sánh với phần anh/ chị mình; biết đo phát triển cách đánh dấu chiều cao tường; biết đếm để đảm bảo có lượng kẹo cơng Việc sử dụng kiến thức tốn khơng thức tiếp tục thể em lớn hơn, chẳng hạn biết kiểm tra tiền trước vào chợ kiểm tra thay đổi lượng tiền Khi trở thành người lớn, em * NCS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM lên kế hoạch cho việc chi tiêu thân xếp đồ đạc chuyển nhà để đạt hiệu Và thường người ta không nhận kiến thức toán sử dụng ngầm ẩn tình Tuy nhiên, lớp học tốn, học sinh có hội xây dựng, phát triển khả sử dụng toán để hiểu giải vấn đề thực tiễn, mà thường thực nhiệm vụ quen thuộc dạy cách làm nào, nghĩa có quy trình, có thuật tốn Lấy ví dụ chương Hàm số bậc bậc hai, Đại số 10 nâng cao, học sinh yêu cầu tìm tập xác định, khảo sát biến thiên, xét tính chẵn lẻ, phép tịnh tiến đồ thị, vẽ đồ thị hàm số Điều không chuẩn bị cho em cách giải vấn đề khơng quen thuộc tốn học lĩnh vực khác Những áp dụng toán giới thiệu chương trình phổ thơng chủ yếu nhằm mục đích minh họa nhấn mạnh khái niệm kĩ toán dạy Chẳng hạn tốn bóng đá (tr 60), tốn cổng Arch (tr 61), toán tàu vũ trụ (tr 62) (Đại số 10 – Nâng cao) tập chương hàm số bậc bậc hai đặt ngữ cảnh thực tế (tổng số tập chương 46 bài); nhiên, yêu cầu học sinh xác định rõ ràng tìm hàm số bậc hai có phần đồ thị trùng với đồ thị cho tương ứng toán Những minh họa quan trọng khơng đủ để học sinh mơ hình hóa tình thực tế, chọn sử dụng kiến thức, kĩ toán phù hợp (từ nội dung tốn học khơng liên quan đến chủ đề em dạy) để giải vấn đề chúng xuất Lí mà tốn học ln chiếm thời lượng lớn chương trình, từ lịch sử nay, người ta nhận thấy lợi ích tốn học thực tiễn Trước đây, mục đích việc dạy tốn trang bị kĩ để tính tốn ngày, ngày tất kĩ nhờ vào thiết bị cơng nghệ thông tin Những thập kỉ gần đây, cần thiết để thúc đẩy mơ hình hóa (MHH) tốn học nhà trường ngày chấp nhận rộng rãi nhằm đáp ứng mục tiêu tăng cường giáo dục toán theo hướng thực tế đặt nhiều quan điểm giáo dục từ kỉ XX đến Mơ hình hóa tốn học gì? Mơ hình mẫu, kế hoạch, đại diện, minh họa thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành đối tượng, hệ thống hay khái niệm Mơ hình theo ý nghĩa vật lí nó, sao, thường nhỏ đối tượng Mơ hình có nhiều tính chất với đối tượng gốc: có điểm đặc trưng, màu sắc chí chức với đối tượng mà mơ hình biểu diễn Một mơ hình lí thuyết vật tượng tập hợp quy tắc biểu diễn vật tượng đầu người quan sát [1] MHH toán học trình chuyển đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán học cách thiết lập giải mơ hình tốn học, thể đánh giá lời giải ngữ cảnh thực tế, cải tiến mơ hình cách giải khơng thể chấp nhận [7] MHH toán học hoạt động phức hợp, địi hỏi học sinh phải có nhiều lực khác lĩnh vực toán học khác có kiến thức liên quan đến tình thực tế xem xét Thông qua MHH, học sinh học cách sử dụng biểu diễn khác nhau, lựa chọn áp dụng phương pháp, cơng cụ tốn học phù hợp việc giải vấn đề Việc đưa MHH toán học vào dạy học toán nhiều ủng hộ lí sau: - MHH phương tiện góp phần phát triển kĩ năng, lực toán học thái độ học sinh, cụ thể khả giải vấn đề, tính tị mị, sáng tạo, suy luận tốn học giao tiếp - MHH toán học cho phép học sinh kết nối toán học nhà trường với giới thực, khả ứng dụng ý tưởng toán MHH cung cấp cho học sinh tranh rộng hơn, phong phú toán học, giúp cho việc học toán trở nên ý nghĩa hơn, giúp học sinh thấy mối liên hệ toán học với thực tế ngược lại - MHH hỗ trợ việc học khái niệm q trình tốn học học sinh tạo động cơ, giúp hình thành hiểu khái niệm , đặc biệt củng cố việc hiểu tốn áp dụng vào tình - MHH giúp trang bị cho học sinh lực để sử dụng tốn giải tình sống MHH tốn học giáo dục thức xuất hội nghị Freudenthal (1968) ([4]), nhà giáo dục toán đưa nhiều vấn đề liên quan đến MHH: Tại phải dạy tốn để có ích (Freudenthal)? Tại nhiều học sinh sử dụng kiến thức toán học để giải vấn đề thực tế đạt chứng xuất sắc mơn học (Siller)? Dạy tốn phải dạy cho học sinh áp dụng tốn vào tình đơn giản sống (Klamkin) Mối liên hệ toán MHH tiếp tục đề cập đến hội nghị nước nói tiếng Đức (1977) – bao gồm thảo luận khía cạnh tốn học ứng dụng giáo dục Một dấu mốc quan trọng việc giới thiệu MHH toán học vào nhà trường nghiên cứu Pollak năm 1979: Ảnh hưởng toán học lên môn học khác nhà trường Theo ông, giáo dục tốn phải có trách nhiệm dạy cho học sinh cách sử dụng tốn sống hàng ngày Từ đó, dạy học MHH nhà trường trở thành chủ đề bật phạm vi tồn cầu Ví dụ, nghiên cứu PISA, chương trình đánh giá học sinh quốc tế (Programme for International Student Assessment), nhấn mạnh mục đích giáo dục tốn phát triển khả học sinh sử dụng toán sống tương lai Hội nghị quốc tế dạy mơ hình hóa áp dụng tốn ICTMA (International Conferences on the Teaching of Mathematical Modelling and Applications) tổ chức năm lần với mục đích thúc đẩy ứng dụng MHH tất lĩnh vực giáo dục toán Xu hướng đưa MHH toán học vào chương trình, sách giáo khoa với mức độ khác ngày gia tăng Chẳng hạn Đức, Hà Lan, Úc, Mĩ, MHH toán học lực bắt buộc chuẩn giáo dục quốc gia mơn tốn Ở Singapore, MHH tốn học đưa vào chương trình tốn năm 2003 với mục đích nhấn mạnh tầm quan trọng MHH việc học toán đáp ứng thách thức kỉ XXI Các nhiệm vụ MHH toán học thường yêu cầu học sinh phát triển mơ hình khám phá để đáp ứng yêu cầu đó, cung cấp hội để học sinh phát triển kĩ giải vấn đề khảo sát toán Đối với hướng dẫn để thiết kế nhiệm vụ MHH, công cụ chiến lược nhiệm vụ MHH thực MHH cụ thể cần thiết, chu trình MHH lớp học tốn học a Sơ đồ Blum (2005): sơ đồ Chu trình mơ hình hóa tốn học xem sở cho tất hoạt động Nhiều sơ đồ sử dụng để MHH thay đổi chu chất hoạt động MHH tốn học, trình MHH ngày Sơ đồ Chu trình MHH bước Blum [2] Bước 1: Hiểu tình cho, xây dựng mơ hình cho tình đó; Bước 2: Đơn giản hóa tình đưa biến phù hợp vào để mơ hình thực tình huống; Bước 3: Chuyển từ mơ hình thực sang mơ hình tốn; Bước 4: Làm việc mơi trường tốn học để đạt kết toán; Bước 5: Thể kết ngữ cảnh thực tế; Bước 6: Xem xét tính phù hợp kết hay phải thực chu trình lần 2; Bước 7: Trình bày cách giải b Sơ đồ Stillman (2007) Sơ đồ Chu trình MHH Stillman [7] Các mục A-G biểu diễn bước để xem xét tiếp tục thực trình MHH, mũi tên đậm biểu thị chuyển đổi bước c Sơ đồ theo PISA (2006) gồm bước : Toàn trình MHH theo dấu Bước 1: Bắt đầu từ vấn đề mũi tên chiều kim đồng hồ Quá đặt thực tế; trình kết thúc việc thể kết Bước 2: Nhận kiến thức toán MHH tiếp tục chu trình phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề MHH khác kết khơng thỏa theo khái niệm tốn học; đáng phương diện Các Bước 3: Khơng ngừng cắt tỉa hoạt động trí tuệ mà người MHH cần nỗ yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành lực để chuyển từ bước sang bước toán mà thể trung thực cho mơ tả bước 1-7 tình huống; Các mũi tên ngược lại (màu nhạt) nhấn Bước 4: Giải toán; mạnh tồn hoạt động phản ánh, Bước 5: Làm cho lời giải nghĩa người thực MHH tốn có ý nghĩa tình thực quay lại bước chu trình tế, xác định hạn chế lời giải Thế giới thực Thế giới toán học Lời giải thực tế Lời giải toán học Vấn đề thực tế Vấn đề toán học 1, 2, Sơ đồ Chu trình MHH theo PISA [5] Các chu trình MHH tốn học giới - Tốn học hóa: q trình chuyển thiệu gồm yếu tố chính: đổi từ vấn đề thực sang vấn đề tốn tốn học hóa, làm việc với tốn, chuyển cách thiết lập mơ hình tốn học Để đổi phản ánh Các yếu tố mô tả làm điều này, học sinh đòi hỏi phải hoạt động mà học sinh thực hiểu vấn đề, nghiên cứu thơng tin suốt q trình MHH cho, loại bỏ thơng tin khơng cần thiết, Q trình MHH bắt đầu với vấn đưa giả thuyết phù hợp đơn đề thực tế - vấn đề xuất phát từ giản hóa vấn đề để giải Học giới thực với liệu thực sinh cần nhận khái niệm toán học, biến biểu diễn vấn đề dạng tốn học, đưa mơ hình tốn hình vẽ, đồ thị, hàm số hệ phương trình - Giải tốn: bước địi hỏi học sinh lựa chọn, sử dụng phương pháp công cụ phù hợp để giải vấn đề Sản phẩm cuối bước kết toán học - Chuyển đổi: xem xét kết toán học ngữ cảnh tình thực tế ban đầu - Phản ánh: xem lại giả thuyết hạn chế mơ hình, phương pháp công cụ sử dụng giải vấn đề Điều dẫn đến cải tiến mơ lời giải tạo chu trình cần thiết Ví dụ Bên phải hình ảnh thang trượt sân bay Đồ thị so sánh người thang trượt người lối bên cạnh thang trượt Giả sử đồ thị, tốc độ hai người gần giống Hãy vẽ thêm vào đồ thị đường thẳng biểu diễn khoảng cách theo thời gian người đứng thang trượt, biết tốc độ thang trượt nhỏ tốc độ trung bình người Người thang trượt Khoảng cách từ điểm bắt đầu thang trượt Người thang trượt Thời gian Đây mơ hình thực (theo sơ đồ giải Q trình MHH thực Blum) tình thực tế, sau: giáo viên đơn giản hóa, thêm vào giả thiết, thơng tin để phù hợp với đối - Tốn học hóa: Để thiết lập mơ hình tốn tình huống, học sinh cần: tượng học sinh lớp 10 Tuy nhiên đọc tình huống, học sinh chưa thấy xuất• Hiểu vấn đề đặt ra; yếu tố toán học cần sử dụng để• Nhận kiến thức tốn liên quan Trong trường hợp hàm số bậc biễu diễn khoảng cách theo thời gian Hàm số đồ thị tương Các tiếp cận mô hình hóa ứng với người thang trượt, giáo dục tốn người ngồi thang trượt, người Nếu phân tích ví dụ mơ hình đứng thang trượt S=v1t, hóa nay, thấy có S=v2t, S=v3t, v1=v2+v3 v2>v3; nhiều hướng tiếp cận mơ hình hóa tốn • Vẽ đồ thị hàm số S=v 3t hệ học khác Các tiếp cận bắt trục nguồn từ quan điểm lí thuyết khác Giải tốn: nhau, có mục đích khác đặc • Học sinh dựa vào tính chất hệ số góc trưng cho khía cạnh khác của đồ thị hàm số bậc để vẽ đồ thị MHH ([3], [6]): thứ với giả thiết v3