ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN Tên đề tài luận án Tính giải được và các tính chất của nghiệm cho một số phương trình phi tuyến chứa số hạng phi địa phương dạng Kirchhoff Carrier Ngành Toá[.]
TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN Tên đề tài luận án: Tính giải tính chất nghiệm cho số phương trình phi tuyến chứa số hạng phi địa phương dạng Kirchhoff-Carrier Ngành: Tốn Giải tích Mã số ngành: 62460102 Họ tên nghiên cứu sinh: Lê Hữu Kỳ Sơn Khóa đào tạo: 2017-2020 Người hướng dẫn khoa học: Phó Giáo sư, Tiến sĩ, Lê Thị Phương Ngọc Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG.HCM TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN ÁN: Luận án tập trung nghiên cứu tính giải số tính chất nghiệm cho số phương trình phi tuyến chứa số hạng phi địa phương dạng Kirchhoff-Carrier Nội dung luận án trình bày ba chương (chương 2, 4) sau: Chương 2, khảo sát toán biên phi tuyến cho phương trình 2 utt − µ ( t , u ( 1, t ) ,|| u ( t ) ||0 ,|| u x ( t ) ||0 ) u xx + x u x ÷ = f ( x, t , u , u , u ,|| u ( t ) ||2 ) , ρ < x < 1, < t < T , x t (1) u ρ , t = u 1, t + ζ u 1, t = 0, ) x( ) ( ) ( u ( x, ) = u% % ( x ) , ut ( x, ) = u0 ( x ) , % u% , u1 , µ , f hàm số cho trước; ρ ∈ ( 0,1) ζ ≥ số Bằng cách sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính, kết hợp với phương pháp Faedo-Galerkin, phương pháp điểm bất động, phương pháp compact luận án thu kết tồn nghiệm yếu địa phương Bài tốn (1) Ngồi ra, trường hợp µ ≡ µ ( || u ( t ) ||0 ) f ≡ f ( x, t , u ,|| u (t ) ||02 ) , để tăng tốc độ hội tụ, thuật giải lặp cấp cao thiết lập nhằm thu dãy hàm hội tụ nghiệm yếu Bài toán (1) đến cấp N Hơn nữa, phương pháp khai triển tiệm cận luận án thiết lập khai triển tiệm cận nghiệm yếu theo 2 tham số bé ε Bài toán (1) tương ứng µ ≡ µ ( || u ( t ) ||0 ) + εµ1 ( || u ( t ) ||0 ) , f ≡ f ( x, t , u , u x , ut ,|| u (t ) ||02 ) + ε f1 ( x, t , u, u x , ut ,|| u (t ) ||02 ) Chương 3, khảo sát toán biên phi tuyến 2 utt − µ ( t ,|| u ( t ) ||0 ,|| u x ( t ) ||0 ) u xx + x u x ÷ = f ( x, t , u, u , u ,|| u ( t ) ||2 ,|| u ( t ) ||2 ) , ρ < x < 1, < t < T , x t x (2) u ρ , t = g t , u 1, t = g t , ) ( ) ( ) 1( ) ( u ( x, ) = u% % ( x ) , ut ( x, ) = u ( x ) , % u% , u1 , g , g1 , µ , f hàm số cho trước; số ρ ∈ ( 0,1) Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính, kết hợp với phương pháp Faedo-Galerkin số phép nhúng compact, luận án thu tồn nghiệm yếu địa phương Bài toán (2) Hơn nữa, phương pháp thiết lập phiếm hàm lượng phù hợp, luận án thu kết bùng nổ nghiệm sau thời gian hữu hạn tính tắt dần mũ nghiệm t → +∞ trường hợp g = g1 = , µ ≡ µ ( || u x (t ) ||02 ) , f ≡ −λut + f ( u ) + F ( x, t ) với λ > Chương 4, khảo sát trường hợp riêng Bài toán (1), ứng với µ ≡ µ ( ζ u ( 1, t ) + || u x ( t ) ||02 ) , f = −λut + f ( u ) + F ( x, t ) , với λ > Trong trường hợp riêng này, với kỹ thuật thiết lập phiếm hàm lượng Chương 3, luận án vận dụng kỹ thuật cách phù hợp để xét tính bùng nổ nghiệm sau thời gian hữu hạn tính tắt dần mũ nghiệm t → +∞ NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN: - Chứng minh tồn nghiệm yếu địa phương Bài toán (1) Thiết lập dãy hàm hội tụ nghiệm yếu Bài toán (1) đến cấp N Thiết lập khai triển tiệm cận nghiệm yếu theo tham số bé ε trường hợp riêng Bài toán (1) ứng với µ ≡ µ ( || u ( t ) ||02 ) + εµ1 ( || u ( t ) ||02 ) , f ≡ f ( x, t , u , u x , ut ,|| u (t ) ||02 ) + ε f1 ( x, t , u, u x , ut ,|| u (t ) ||02 ) - Chứng minh tồn nghiệm Bài tốn (2) tính chất nghiệm tính bùng nổ nghiệm thời gian hữu hạn tính tắt dần mũ nghiệm thời gian tiến vô - Thiết lập kết bùng nổ thời gian hữu hạn tắt dần mũ nghiệm t → +∞ trường hợp riêng Bài toán (1) CÁC ỨNG DỤNG/ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN HAY NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU - Khảo sát tính tắt dần bùng nổ của Bài tốn (1) trường hợp µ ≡ µ ( || u x ( t ) ||0 ) , f = −λut + f ( u ) + F ( x, t ) , với λ > TẬP THỂ CÁN BỘ HƯỚNG DẪN PGS TS Lê Thị Phương Ngọc NGHIÊN CỨU SINH Lê Hữu Kỳ Sơn XÁC NHẬN CỦA CƠ SỞ ĐÀO TẠO HIỆU TRƯỞNG THESIS INFORMATION Thesis title: The solvability and the properties of the solutions for nonlinear wave equation containing nonlocal terms of Kirchhoff-Carrier type Speciality: Mathematical Analysis Code: 62460102 Name of PhD Student: Le Huu Ky Son Academic year: 2017-2020 Supervisor: Associate professor Dr Le Thi Phuong Ngoc At: VNUHCM - University of Science SUMMARY: This thesis focuses on studying the solvability and the properties of the solutions for nonlinear wave equation containing nonlocal terms of Kirchhoff-Carrier type Main results are presented in three chapters as follows Chapter 2, we consider the boundary problem for nonlinear wave equation 2 utt − µ ( t , u ( 1, t ) ,|| u ( t ) ||0 ,|| u x ( t ) ||0 ) u xx + x u x ÷ = f ( x, t , u , u , u ,|| u ( t ) || ) , ρ < x < 1, < t < T , x t (1) u ρ , t = u 1, t + ζ u 1, t = 0, ) x( ) ( ) ( u ( x, ) = u% % ( x ) , ut ( x, ) = u0 ( x ) , % where u% , u1 , µ , f are given functions; ρ , ζ are given constants, with < ρ < By combining the linearization method for nonlinear terms, the Faedo-Galerkin method, and the weak compact method, we prove that the problem (1) has a unique weak solution Next, we construct a high order iterative scheme to obtain a convergent sequence at a rate of order N to the local weak solution of 2 the problem (1), where µ ≡ µ ( || u ( t ) ||0 ) f ≡ f ( x, t , u,|| u (t ) ||0 ) Moreover, we establish an 2 asymptotic expansion of solution of the problem (1) where µ ≡ µ ( || u ( t ) ||0 ) + εµ1 ( || u ( t ) ||0 ) , f ≡ f ( x, t , u, u x , ut ,|| u (t ) ||02 ) + ε f1 ( x, t , u, u x , ut ,|| u (t ) ||02 ) Chapter 3, we are concerned with the following the boundary problem 2 utt − µ ( t ,|| u ( t ) ||0 ,|| u x ( t ) ||0 ) u xx + x u x ÷ = f ( x, t , u , u , u ,|| u ( t ) ||2 ,|| u ( t ) ||2 ) , ρ < x < 1, < t < T , x t x (2) u ρ , t = g t , u 1, t = g t , ) 0( ) ( ) 1( ) ( u ( x, ) = u% % ( x ) , ut ( x , ) = u0 ( x ) , % where u% are given functions; and ρ ∈ ( 0,1) is a given constant We prove the , u1 , g , g1 , µ , f existence and uniqueness of a weak solution of the problem (2) by using Faedo-Galerkin method, the linearization method, and the weak compact method Next, the problem (2) is considered in case of g = g1 = , µ ≡ µ ( || u x (t ) ||0 ) , f ≡ −λut + f ( u ) + F ( x, t ) with λ > We establish a suitable Lyapunov functional to prove that the weak solution u of the problem (2) blows-up at finite time and the energy of the solution decays exponentially as t → +∞ 2 Chapter 4, we consider the problem (1) where µ ≡ µ ( ζ u ( 1, t ) + || u x ( t ) ||0 ) , f = −λut + f ( u ) + F ( x, t ) , with λ > Motivated by the technique of establishing suitable energy functionals as in Chapter 3, we prove that the solution blows-up in finite time and the global weak solution decays exponentially as t → +∞ NOVELTY OF THESIS: - Prove the existence and uniqueness of the weak solution of the problem (1) Construct a high order iterative scheme to obtain a convergent sequence at a rate of order N to the local weak solution of the problem (1) Establish an asymptotic expansion of the solution of the problem (1), where µ ≡ µ ( || u ( t ) ||02 ) + εµ1 ( || u ( t ) ||02 ) , f ≡ f ( x, t , u , u x , ut ,|| u (t ) ||02 ) + ε f1 ( x, t , u, u x , ut ,|| u (t ) ||02 ) - Prove the existence and uniqueness of the weak solution of the problem (2) Obtain the results of blow-up in finite time and exponential decay as t → +∞ of the weak solution of the problem (2) - Obtain the results of blow-up in finite time and exponential decay as t → +∞ of the weak solution for some specific cases of the problem (1) APPLICATIONS/ APPLICABILITY/ PERSPECTIVE Investigation of blow-up in finite time and exponential decay as t → +∞ of the weak solution of the problem (1) in case of µ ≡ µ ( || u x ( t ) ||0 ) , f = −λut + f ( u ) + F ( x, t ) , with λ > SUPERVISOR PhD STUDENT Le Thi Phuong Ngoc Le Huu Ky Son CERTIFICATION UNIVERSITY OF SCIENCE PRESIDENT ... Bài tốn (2) tính chất nghiệm tính bùng nổ nghiệm thời gian hữu hạn tính tắt dần mũ nghiệm thời gian tiến vô - Thiết lập kết bùng nổ thời gian hữu hạn tắt dần mũ nghiệm t → +∞ trường hợp riêng... hàm lượng Chương 3, luận án vận dụng kỹ thuật cách phù hợp để xét tính bùng nổ nghiệm sau thời gian hữu hạn tính tắt dần mũ nghiệm t → +∞ NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN: - Chứng minh tồn nghiệm