TÊN BÀI BÁO PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TRONG MẶT PHẲNG GEOMETRIC METHOD TO SOLVE LINEAR PROGRAMMING PROBLEM ON A PLANE VŨ TUẤN ANH Bộ môn Toán, Khoa Cơ sở Cơ bản, Trường Đ[.]
PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TRONG MẶT PHẲNG GEOMETRIC METHOD TO SOLVE LINEAR PROGRAMMING PROBLEM ON A PLANE VŨ TUẤN ANH Bộ mơn Tốn, Khoa Cơ sở Cơ bản, Trường ĐHHH Việt Nam Tóm tắt Bài tốn quy hoạch tuyến tính lớp toán tối ưu quan trọng ứng dụng rộng rãi thực tiễn Bài báo trình bày phương pháp hình học, phương pháp đơn giản, trực quan thường dùng để minh họa trình tìm nghiệm tối ưu (cực tiểu hay cực đại) cho toán quy hoạch tuyến tính mặt phẳng Từ khóa: Phương pháp hình học, quy hoạch tuyến tính mặt phẳng, toán tối ưu Abstract Linear programming problem is one of the most important optimization problems and has been applied widely in practice This article presents a geometric method, which is a simple and visual one often used to illustrate the process to find optimal solution (minimum or maximum) of linear programming problems on a plane Key words: Geometic method, linear programming prolems on a plane, optimization problems Đặt vấn đề Bài tốn quy hoạch tuyến tính mặt phẳng có dạng chuẩn: f ( x1 , x2 ) = n1 x1 + n2 x2 → với điều kiện ai1 x1 + x2 ≥ bi (1) Trong n1 , n2 ∈ ¡ ; ai1 , ∈ ¡ ; i = 1, 2, , m Kí hiệu: D = {(x1 , x2 ):ai1 x1 + x2 ≥ bi } Ta gọi f ( x1 , x2 ) hàm mục tiêu hay hàm chi phí, tập D gọi tập ràng buộc hay miền chấp nhận Một véctơ (điểm) x ∈ D gọi phương án (lời giải hay nghiệm) chấp nhận Véctơ x* ∈ D cho f ( x* ) ≤ f ( x ) với x ∈ D gọi phương án (lời giải hay nghiệm) tối ưu toán f ( x* ) gọi giá trị tối ưu f ( x1 , x2 ) D, thường kí hiệu f ( x1 , x2 ) Với tập ràng buộc (1) tốn tối ưu có ràng buộc Chú ý: i) Trong (1) ta xét ràng buộc bất đẳng thức " ≥ " biến đổi từ ràng buộc bất đẳng thức " ≤ " nhờ đổi dấu từ ràng buộc đẳng thức " = " nhờ biến bù ii) Do min{f ( x ) : x ∈ D} = - max{-f ( x ) : x ∈ D} nên toán (1) đưa toán: f ( x1 , x2 ) = n1 x1 + n2 x2 → max với điều kiện ai1 x1 + x2 ≥ bi ( 2) giá trị tối ưu f ( x1 , x2 ) D, thường kí hiệu f max ( x1 , x2 ) Phương pháp hình học giải tốn quy hoạch tuyến tính mặt phẳng Trước hết, từ ý nghĩa hình học, ràng buộc bất đẳng thức ai1 x1 + x2 ≥ bi ; i = 1, 2, , m xác định nửa mặt phẳng Do đó, tập buộc D xác định giao m nửa mặt phẳng đa giác lồi (hay đơn hình) mặt phẳng NBH: 01/01/2014-REV:01 BM.02-QT.KHCN.05 r Phương trình n1 x1 + n2 x2 = α , α ∈ ¡ có véctơ pháp tuyến n = ( n1 , n2 ); α thay đổi xác định đường thẳng song song với mà ta gọi đường mức (với giá trị mức α ) Mỗi điểm t = (t1 , t ) ∈ D nằm đường mức với mức α t = k1t1 + k2t2 = f (t1 , t2 ) Như vậy, toán (1) phát biểu sau: Trong số đường mức cắt tập D, tìm đường mức có giá trị nhỏ Ta nhận thấy, dịch chuyển song song đường mức theo hướng véctơ pháp tuyến r n = ( n1 , n2 ) giá trị mức α tăng, dịch chuyển theo hướng ngược lại giá trị mức α giảm Từ phân tích trên, ta đề xuất phương pháp hình học giải tốn quy hoạch tuyến tính mặt phẳng gồm bước sau: Bước 1: Vẽ miền D Bước 2: Bắt đầu từ đường mức cắt D, ta dịch chuyển song song đường mức theo r hướng véctơ pháp tuyến n = ( n1 , n2 ) (đối với toán (2)) theo ngược hướng véctơ pháp r tuyến n = ( n1 , n2 ) (đối với toán (1)) việc dịch chuyển làm cho đường mức khơng cịn cắt D dừng Các điểm D nằm đường mức cuối lời giải giá trị giá trị tối ưu cần tìm Ví dụ minh họa Giả sử xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm I II Để sản xuất đơn vị sản phẩm I cần có đơn vị nguyên liệu loại A đơn vị nguyên liệu loại B, với đơn vị sản phẩm II tiêu Lượng nguyên liệu dự trữ kho xí nghiệp loại A B có 60 80 đơn vị Hãy tìm phương án sản xuất đạt lợi nhuận lớn nhất, biết lợi nhuận đơn vị sản phẩm bán sản phẩm l II (đơn vị tiền tệ)? Giải: Gọi x1 , x2 số đơn vị sản phẩm loại I II mà xí nghiệp cần sản xuất Từ giả thiết toán ta đưa tốn quy hoạch tuyến tính mặt phẳng sau: x1 + x2 ≤ 60 f ( x1 , x2 ) = x1 + x2 → max với ràng buộc: x1 + x ≤ 48 x ,x ≥ Tiếp theo ta thực bước phương pháp đề xuất: Bước 1: Vẽ miền D NBH: 01/01/2014-REV:01 BM.02-QT.KHCN.05 Theo hình vẽ, miền chấp nhận D miền giới hạn tứ giác OABC Bước 2: Trong miền giới hạn tứ giác OABC, tìm điểm ( x1 , x2 ) cho hàm f ( x1 , x2 ) = x1 + x2 đạt giá trị lớn Ta vẽ đường mức x1 + x2 = 24 (ở ta chọn α = 24 bội số chung để việc tìm tọa độ giao điểm với hai trục tọa độ (3,0) (0,4) thuận lợi) Các điểm nằm đường mức cho giá trị hàm mục tiêu 24 Tương tự, ta vẽ đường mức x1 + x2 = 48 cắt hai trục tọa độ điểm (6,0) (0,8) r Ta nhận thấy tịnh tiến đường mức theo hướng véctơ pháp tuyến n = ( 4, 3) giá trị hàm mục tiêu f ( x1 , x2 ) = x1 + x2 tăng lên Do đó, hàm f ( x1 , x2 ) đạt giá trị lớn đường mức qua điểm B(12,6) (là giao điểm hai đường thẳng x1 + x2 = 60 x1 + x2 = 48) Vậy, xí nghiệp cần sản xuất theo phương án 12 đơn vị sản phẩm loại I đơn vị sản phẩm loại II thu lợi nhuận lớn f max = 132 (đơn vị tiền tệ) Kết luận Từ phương pháp hình học giải tốn quy hoạch tuyến tính mặt phẳng trình bày trên, ta rút số kết luận: i) Nếu tập ràng buộc D toán quy hoạch tuyến tính mặt phẳng khác rỗng giới nội tốn chắn có lời giải ii) Nếu tốn quy hoạch tuyến tính mặt phẳng có lời giải có đỉnh miền ràng buộc D lời giải Sở dĩ nói có trường hợp đường mức vị trí giới hạn trùng với cạnh D, điểm cạnh lời giải Vì thế, để giải tốn quy hoạch tuyến tính mặt phẳng ta cần xét đỉnh D (số đỉnh hữu hạn) Điều trường hợp nhiều chiều Kết luận hình học quan trọng dẫn tới việc đề xuất phương pháp đơn hình để giải tốn quy hoạch tuyến tính iii) Với tốn qui hoạch tuyến tính xảy ba trường hợp sau: Bài tốn khơng có phương án (tập ràng buộc D rỗng) Bài tốn có phương án, khơng có phương án tối ưu Bài tốn có phương án tối ưu (lời giải) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Bạch Kim, Các phương pháp tối ưu: Lý thuyết thuật toán, Nhà xuất Bách khoa Hà Nội, 2008 [2] Trần Vũ Thiệu, Giáo trình tối ưu tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [3] Trần Vũ Thiệu, Giáo trình tối ưu phi tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011 NBH: 01/01/2014-REV:01 BM.02-QT.KHCN.05 ... tốn qui hoạch tuyến tính xảy ba trường hợp sau: Bài tốn khơng có phương án (tập ràng buộc D rỗng) Bài tốn có phương án, khơng có phương án tối ưu Bài tốn có phương án tối ưu (lời giải) TÀI LIỆU