ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN ĐỀ 12 pot

Nguoithay.vn BÀI Câu 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) : x y cho giao tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu (S) : 2x z x2 y2 z2 2x 2y 2z laø đường tròn có bán kính r = Câu 2: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có mặt bên hình vuông cạnh a Gọi D, F trung điểm cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách hai đường thẳng A'B B'C' GI Câu 1: Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x y 2) + n(2x (P) : (m 2n)x my nz 2m 6n z 6) = Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = (P) cắt (S) theo đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = R2 d(I; P) r2 m 2n m n 2m 6n (m 2n)2 m2 n2 5m2 22m.n 17n2 2m2 5n2 4m 7n 5m Cho n 22m 17 Vậy, có mặt phaúng (P): m 17 hay m (P1 ) : x y z (P2 ) : 7x 17y 5z Câu 2: 4m.n A/ Cách 1: Vì mặt bên lăng trụ hình vuông AB BC CA A/ B/ B/ C/ C/ A/ a tam giác ABC, A/B/C/ tam giác B/ C/ //(A/ BC) Ta có: B/ C/ // BC / / / / / / C/ B/ H C A / d(A B; B C ) d(B C ; (A BC)) d(F; (A BC)) BC FD Ta coù: BC (A / BC) / / / BC A D ( A BC cân A ) Dựng FH A/ D Vì BC (A/ BC) BC H 1 / AF FD2 a 21 Vaäy, d(A / B; B/ C/ ) FH A/FD vuông có: FH2 FH F D B (A/ BC) 3a2 Nguoithay.vn a2 3a2 FH a 21 Trang Nguoithay.vn Cách 2: Vì mặt bên lăng trụ hình vuông ABC, A/B/C/ tam giác cạnh a Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông góc, A(0; 0; 0), a a a a B ; ;0 ,C ; ; , A / (0; 0; a), 2 2 a a a a ; ; a , C/ ; ;a 2 2 Ta coù: B/ C/ // BC, B/ C/ // (A/ BC) A/ B B/ C D y B d(B/ ; (A/ BC)) a a ; ; a 2 a2 3 a2 0; 1; a2 n, với n 2 / / Phương trình mp (A BC) qua A với pháp vectơ n : 0(x 0) 1(y 0) (z a) a (A / BC) : y z 2 a 3 a a a a 21 2 2 d(B/ (A / BC)) 7 a 21 Vaäy, d(A / B; B/ C/ ) [A / B; A / C] A x d(B/ C/ ; (A/ BC)) a a ; ; a , A/ C 2 a / A B/ d(B/ C/ ; A/ B) C/ z 0; a2 ; 0; 1; BÀI Câu 1: Trong không gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) đường thẳng x y z ( ): 2 Tìm điểm M thuộc ( ) để thể tích tứ diện MABC Tìm điểm N thuộc ( ) để thể tích tam giác ABN nhỏ Câu 2: (1,0 điểm) Nguoithay.vn Trang Nguoithay.vn Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác cạnh a SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) h Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc GI Câu 1: x 2t Phương trình tham số (D): y t z 2t M ( ) M(1 2t; t; 2t) AB (2; 1; 2), AC ( 2; 2;1) [AB; AC] ( 3; 6; 6) 3(1; 2; 2) 3.n , với n (1; 2; 2) Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ n : (ABC): x + 2y 2z = 1 SABC [AB; AC] ( 3)2 ( 6)2 62 2 Đường cao MH tứ diện MABC khoảng từ M đến (ABC): 2t 2( t) 2(3 2t) 4t 11 MH d(M(ABC)) 4 4t 11 V Thể tích tứ diện MABC 3 17 4t 11 t hay t 4 3 15 11 Vậy, có điểm M cần tìm là: M ; ; hay M ; ; 2 N ( ) N(1 2t; t; 2t) 1 [NA; NB] 32t 128t 146 2 max SABN 4t t 2 Vậy, điểm N cần tìm laø N(-3; 0; 1) SABN (4t 8)2 Câu 2: Cách 1: Gọi O tâm ABC SA SB SC Ta coù: OA OB OC ( ABC đều) S I SO trục đường tròn (ABC) SO (ABC) Mà : AO Dựng BI BC; SO BC SA , suy ra: SA BC A (SOA) (IBC) 2 SA BC IC SA C O M B BIC góc phẳng nhị diện (B, SA, C) Nguoithay.vn Trang Nguoithay.vn SOA vuông có: SA SO OA h a2 3h2 a2 3h2 SA a2 Gọi M trung điểm BC Ta có: BM (SOA), BI SA IM SA (định lý đường vuông góc) MIA SOA AM SA a 3 3h2 a2 SAC (c.c.c) IB IC MI SO SAB (SAB) (SAC) 3ah h 3h2 a2 IBC caân I IBC vuông cân I IM BC 3ah a 3h 3h a2 2 2 3h a 9h2 3h a2 h a a Vaäy, h z S Cách 2: Gọi H tâm ABC M trung điểm BC SA SB SC Ta có: HA HB HC ( ABC đều) Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông goùc A(0; 0; 0), B a a ; ;0 ,C 2 SA 0; [SA; SB] với n1 H M z y B a a a a ; ; , H 0; ; , S 0; ;h 2 a ; h , SB a a ; ; h , SC a a ; ; h a2 a (3h 3; 3h; a 3) a n1, ah a2 ; a (3h 3; 3h; a 3) a n , ah ah ; ; 2 (3h 3; 3h; a 3) [SA; SC] với n2 C A ah ; (3h 3; 3h; a 3) Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ phương SA; SB nên có pháp vectơ n1 Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ phương SA; SC nên có pháp vectơ n (SAB) (SAC) cos(n1; n2 ) Nguoithay.vn Trang Nguoithay.vn 3h 3.3h 3h.3h a 3( a 3) 18h2 Vaäy: h 3a2 h 27h 9h 3a2 a a BÀI Câu 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) mặt cầu (S): (d) : 2x 2y z ; x 2y 2z (S) :x2 y2 z2 4x 6y m Tìm m để (d) cắt (S) hai điểm M, N cho MN = Câu 2: Cho tứ diện OABC có đáy OBC vuông O, OB = a, OC = a 3, (a 0) đường cao OA a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM GI Câu 1: Mặt cầu (S): (x 2)2 (y 3)2 z2 13 m có tâm I(-2; 3; 0), bán kính R IN 13 m , với m < 13 Dựng IH MN MH HN IH IN2 HN2 M H N I 13 m 16 m , với m < -3 x t Phương trình tham số đường thẳng (d): y t z t (d) có vectơ phương u AI ( 2; 2; 1); [AI; u] 1; ; (2; 1; 2) qua điểm A(0; 1; -1) (3; 6; 6) Nguoithay.vn Trang Nguoithay.vn Khoaûng cách h từ I đến đường thẳng (d): [AI; u] 32 62 62 81 h u 22 12 22 Ta coù: IH = h m 3 m m 12 (thỏa điều kiện) Vậy, giá trị cần tìm: m = -12 Câu 2: Cách 1: Gọi N điểm đối xứng C qua O Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình) OM // (ABN) d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)) Dựng OK Ta có: AO BN, OH AK (K BN; H AK) (OBC); OK BN AK BN BN OK; BN AK BN (AOK) BN OH AK; OH BN OH (ABN) d(O; (ABN) OH OH Từ tam giác vuông OAK; ONB coù: OH2 OA2 OK OA2 Vaäy, d(OM; AB) OH OB2 ON2 3a2 a2 3a2 3a2 a 15 OH z a A Cách 2: N Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz đôi vuông goùc O(0; 0; 0), A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0), M a 15 C O a a a a a ; ; ; vaø N 0; 2 2 M B a x trung điểm AC MN đường trung bình ABC AB // MN AB // (OMN) OM d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)) a a ; ; , ON 2 [OM; ON] 0; a a ; 2 3a2 a2 a2 ; ; 4 a2 3; 1; a2 n , với n ( 3; 1; 1) Phương trình mp (OMN) qua O với pháp vectơ n : 3x y z Nguoithay.vn Trang y Nguoithay.vn Ta có: d(B; (OMN)) Vậy, d(AB; OM) 3.a 0 1 a a 15 a 15 BÀI Câu 1: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2x y + z = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến ( ) mặt phẳng (xOy) (P) tạo với mặt phẳng 125 tọa độ tứ diện tích 36 Câu 2: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vuông cân A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu S đáy trùng với trọng tâm G ABC Đặt SG = x (x > 0) Xác định giá trị x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) 60o GI Câu 1: Phương trình mặt phẳng (xOy): z = Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác định ( ) (xOy) có dạng: (P) : 2mx my (m n)z 5m m(2x y + z 5) nz = Giao điểm A, B, C (P) trục Ox, Oy, Oz có tọa độ: 5m A ; 0; , B(0; 5; 0), C 0; 0; m n Thể tích tứ diện OABC baèng 125 1 5m 125 V OA.OB.OC 36 6 m n 36 m n 3m m 1, n m n 3m m n 3m m 1, n Vậy, có phương trình mặt phẳng (P): (P1 ) : 2x y 3z (m 1; n (P2 ) : 2x y 3z (m 1; n Câu 2: Cách 1: Gọi M trung điểm BC AM BC ( ABC vuông cân) Ta có: SG (ABC) Suy ra: BC (SAM) IM Dựng BI SA SG 2) 4) S I C BC SA vaø IC SA Nguoithay.vn A G B M Trang Nguoithay.vn BIC góc phẳng nhị dieän (B; SA; C) SAB SAC (c.c.c) IB IC IBC cân I BC a 2; AM BM AIM ~ AGS IM IM Ta coù: BIC 60o a a BC ; AG 2 AM a SG x AS SG AG2 MC 3ax 2 9x2 BIM 30o 9x2 x 2a2 a 2 IM.tg30o BM 2a2 18x2 Vaäy, x 2a2 ax 2a2 3.3ax 2 9x2 2a2 9x 2a2 27x2 9x2 3x a2 x a a z Caùch 2: BC a Gọi M trung điểm BC a a AM ; AG Goïi E, F hình chiếu G AB, AC Tứ giác AEGF hình vuông a AG AE AE AF Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), a a a a C(0; a; 0), G ; ; , S ; ; x 3 2 a a 2a a SA ; ; x , SB ; ; x , SC 3 3 [SA; SB] 0; ax; a2 a 0; x; a [SA; SC] ( ax; 0; a2 ) a x; 0; a x C F A y G E M B x a 2a ; ; x 3 a.n1 , với n1 a.n , với n2 0; x; x; 0; a a Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ phương SA, SB nên có pháp vectơ n1 Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ phương SA, SC nên có pháp vectơ n Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) baèng 60o Nguoithay.vn Trang Nguoithay.vn 0.x x.0 cos60o x 2 a2 9x a a Vaäy, x a a 3 a2 a2 x 9x2 a2 a2 9x2 2a2 9x2 a2 a2 x a BÀI Câu 1: Trong không gian Oxyz, tìm Ox điểm A cách đường thẳng (d) : x y z mặt phẳng ( ) : 2x y 2z = Caâu 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác có cạnh 2a , SA vuông góc với (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB, BC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SE AF GI Câu 1: Gọi A(a; 0; 0) Ox 2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ) : d(A; ) 22 12 ( ) qua M0 (1; 0; 2) có vectơ phương u (1; 2; 2) Đặt M0 M1 22 2a u Do đó: d(A; ) đường cao vẽ từ A tam giaùc AM0 M1 d(A; ) 2.SAM0M1 M0 M1 [AM0 ; u] u Theo giả thiết: d(A; ) = d(A; ) 2a 8a2 24a 36 4a2 3 4(a 3) a 8a2 24a 36 8a2 24a 36 Nguoithay.vn 4a2 24a 36 Trang Nguoithay.vn Vậy, có điểm A(3; 0; 0) Câu 2: Cách 1: Gọi M trung điểm BF EM // AF (SA; AF) (EM; AF) SEM SAE vuông A có: SE2 SA2 AE a2 2a2 2a AF 3a2 S SE a A H a K SB2 SA2 AB2 SA2 AF2 a2 6a2 F E M a ; BF a 2 a2 8a2 9a2 SB 3a SF2 C EM BM MF 7a2 SF B a Áp dụng định lý đường trung tuyến SM SBF coù: SB2 SF 2.SM2 BF 2 15a2 2 2 9a 7a 2SM 2a SM 2 Gọi góc nhọn tạo SE AF Áp dụng định lý hàm Côsin vào SEM coù: 3a2 15a2 3a2 2 ES EM SM 2 cos cosSEM 2.ES.EM a .a 45o Dựng AK Vì AF // ME ME; AH a vaø AH d(AF; (SME)) AH SK Ta coù: AK d(SE; AF) MF 1 1 2 2 AH SA AK a2 a2 a Vậy, d(SE; AF) Cách 2: Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông góc, A(0; 0; 0), B(a 2; a 6; 0), C( a 2; a 6; 0), S(0; 0; a), SAK vuông có: E 2 a a ; ; ; F(0; a 6; 0) 2 a2 (SME) a 3 AH z a S C A x a ; a 6; vaø M F E M y B Nguoithay.vn Trang 10 Nguoithay.vn SE a a ; ; a ; AF 2 Gọi góc nhọn tạo SE AF.ta có: cos cos(SE; AF) (a; a 6; 0), SM a 2 a ; a 6; a a 0( a) a2 3a2 a2 2 a 6a2 3a2 a 6.a 45o a2 a2 a2 a2 [SE; SM] ; 0; ( 2; 0; 1) n, với n ( 2; 0; 1) 2 2 Phương trình mặt phẳng (SEM) qua S với pháp vectơ n : 2x z a Khoảng cách từ A đến (SEM): d(A;SEM) Vì AF // EM AF //(SEM) Vaäy, d(SE; AF) d(SE; AF) 0 a a d(A; SEM) a Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) mặt cầu (S): (P): 2x 2y z m2 3m (S) : (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 0; Tìm m để (P) tiếp xúc (S) Với m tìm xác định tọa độ tiếp điểm Câu : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh MAB cân tính diện tích MAB theo a L Caâu 1: (P) : 2x 2y z m2 3m (S) : (x 1)2 (y 1)2 (x 1)2 (P) tiếp xúc (S) d[I, (P)] có tâm I(1; -1; 1) bán kính R = R Nguoithay.vn Trang 11 Nguoithay.vn 2.1 2.( 1) 1.1 m 3m 22 22 12 m 3m m 3m 9 m 3m m m Vậy, (P) tiếp xúc (S) m = -5 hay m = 2, (P): 2x + 2y + z 10 = Đường thẳng (d) qua I vuông góc với (P) có phương trình: x y z 2 x 2x 2y z 10 Tọa độ tiếp điểm nghiệm hệ: x y y z 1 z Vậy, tọa độ tiếp điểm M(3; 1; 2) S Câu 2: Cách 1: Ta có: SA (ABC) SA M AC Do SAC vuông A có AM trung tuyến nên MA SC SA (ABC) Ta lại có: AB BC ( ABC vuông B) SB A K B BC (định lý đường vuông góc) Do SBC vuông B có BM trung tuyến nên MB Suy ra: MA = MB MAB cân M Dựng MH // SA HK // BC (H AC; K vì: C H SA (ABC) MH (ABC) BC AB HK AB MHK vuông H có: MK2 Diện tích MAB: SMAB MK.AB Cách 2: ABC vuông B có: AC2 AB2 BC2 a2 4a2 AB) SA a BC a MH HK MH2 SC HK2 a2 a2 a 2.a 2a2 MK a a2 2 z 5a 2a S AC a Dựng BH AH AC (H AC), ta có: AB2 AC a2 a M a A Nguoithay.vn K H C y a 5Trang 12 Nguoithay.vn BH2 1 AB BC2 2a BH 5 4a2 Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông góc 2a a A(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B ; ; 5 Tọa độ trung điểm M SC M 0; Ta có: MA a ;a a 3a ;a MA 2 2a 3a 3a ; ; a MB 5 0; MB suy ra: MA = MB Ta coù: [MA; MB] Diện tích MAB: SMAB MAB cân M a2 ; 2a2 ;a [MA; MB] a2 [MA; MB] a 2 a2 BÀI Câu 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc 90o ) Tính thể tích khối hình chóp S.ABC khoảng cách từ đỉnh (0o A đến mặt phẳng (SBC) Câu 2: Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng: x 2t x y (d1) : y t ; (d2) : 4x 4y 3z 12 z Chứng minh (d1) (d2) chéo Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính đoạn vuông góc chung (d1) (d2) GI Câu 1: S Cách 1: Gọi H trung điểm BC Do S.ABC ABC nên chân đường cao đỉnh S trùng với A C O Nguoithay.vn H Trang 13 Nguoithay.vn giao điểm ba đường cao trực tâm O ABC có SBC cân S suy ra: BC SH, BC AH, nên SHA Ta có: OH AH a SHO vuông góc: SO a tg SH HO.tg SO.SABC Thể tích hình chóp S.ABC: V HO cos a 6.cos a a2 tg a3tg 24 a2 SH.BC 12.cos Dieän tích SBC: SSBC Gọi h khoảng cách từ A đến (SBC), ta có: V h.SSBC h 3.V SSBC a3tg a2 : 24 12 cos a sin Cách 2: Vì S.ABC hình chóp nên chân đường cao đỉnh S trùng với tâm O đường tròn (ABC) Gọi M trung điểm BC Ta coù: - AO AM - AM BC, SM S a a vaø OM BC z C A SMA O - M y SOM vuông có: B a x SO OM.tg tg Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông góc, A(0; 0; 0), a a a a a a a a B ; ; ,C ; ; ,M 0; ; , O 0; ; , S 0; ; tg 2 2 3 Thể tích hình chóp: V a ; Ta coù: BS [BS; BC] 0; SO.SABC a a ; tg 6 a2 tg ; a3tg 24 , BC ( a; 0; 0) a2 n Phương trình mặt phẳng (SBC) qua B với vectơ pháp tuyến n : O x a a2 tg y a a2 (z 0) Nguoithay.vn Trang 14 Nguoithay.vn a tg Khoảng cách d từ A đến (SBC): (SBC) : tg y z a tg tg O O d tg2 a tg cos a sin Caâu 2: (d1) qua điểm A(0; 0; 4) có vectơ phương u1 (2; 1; 0) (d2) qua điểm B(3; 0; 0) có vectơ phương u2 (3; 3; 0) AB (3; 0; 4) AB.[u1; u2 ] 36 AB, u1, u2 không đồng phẳng Vậy, (d1) (d2) chéo x (d2) có phương trình tham số: t/ y t/ z Gọi MN đường vuông góc chung (d1) (d2) M (d1 ) M(2t; t; 4) , N (d2 ) N(3 t / ; t / ; 0) MN (3 t / Ta coù: 2t; t / t; 4) MN u1 2(3 t / MN u2 t/ 2) (t / 2t (t / t) t) t/ t M(2; 1; 4) N(2; 1; 0) MN 2 (z 2)2 Tọa độ trung điểm I MN: I(2; 1; 2), bán kính R Vậy, phương trình mặt cầu (S): (x 2)2 (y 1)2 BÀI Câu 1: Trong không gian Oxyz có mặt phẳng (P): 3x + 12y (Q): 3x (d1): 3z = 0, 4y + 9z + = đường thẳng: x y z ; (d ) : x y z 2 Nguoithay.vn Trang 15 Nguoithay.vn Viết phương trình đường thẳng ( ) song song với hai mặt phẳng (P) (Q), cắt hai đường thẳng (d1) (d2) Câu 2: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a M, N trung điểm AB C'D' Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN) GI Câu 1: (P) có pháp vectơ nP (Q) có pháp vectơ nQ / / 3nP , với nP (3; 12; 3) 3(1; 4; 1) (1; 4; 1) (3; 4; 9) (d1) có vectơ phương u1 (2; 4; 3) (d2) có vectơ phương u2 ( 2; 3; 4) ( / ) (P) P (Q) (P / ), (d ) (d1 ) u u P/ u1 (Q / ) / / ( ) có vectơ phương u [nP ; nQ ] Bd d1 Suy ( ) laø giao tuyến hai mặt phẳng (P ) (Q/), vaø ( ) // ( /) / u2 A / với u Q/ u (P / )//(P), (Q / )//(Q) Goïi: nq Q np (32; 12; 16) / 4(8; 3; 4) 4u , (8; 3; 4) / mp (P/) coù cặp vectơ phương u1 u nên có pháp vectô: n P/ / [u1; u ] (25; 32; 26) Phương trình mp (P/) chứa (d1) qua điểm A(-5; 3; -1) 25(x + 5) + 32(y (P ) : 25x 32y 26z 55 / (d1 ) với n P / laø: 3) + 26(z + 1) = / mp (Q/) có cặp vectơ phương u2 u nên có pháp vectơ: nQ/ / [u2 ; u ] (0; 24; 18) Phương trình mp (Q/) chứa (d2) ñi qua ñieåm B(3; -1; 2) 0(x 3) 24(y 1) 18(z 2) / (Q ) : 4y 3x 10 Ta coù: ( ) (P / ) (d ) với n Q/ là: (Q/ ) Vậy, phương trình đường thẳng ( ) : 25x 32y 26z 55 4y 3z 10 Câu 2: Cách 1: Bốn tam giác vuông AA/ M, BCM, CC/ N, A/ D/ N baèng (c.g.c) Nguoithay.vn D/ N Trang 16 C/ Nguoithay.vn A/ M MC CN NA/ A/ MCN hình thoi Hai hình chóp B/A/MCN B/.A/NC có chung đường cao vẽ từ đỉnh B/ SA/ MCN nên: VB/ A/ MCN Maø: VB/ ANC 2.VB/ A/ NC VC.A/ B/ N Ta coù: SA/ MCN 2.SA/ NC CC/ SA/ B/ N a3 1 a .a.a / A C.MN, với A/ C a 3; MN VB/ A/ MCN BC/ a a2 SA/ MCN Gọi H hình chiếu B/ (A/MCN), ta có: VB/ A/ MCN / BH a3 3.VB/ A/ MCN a3 a2 : SA/ MCN / B H.SA/ MCN a Cách 2: Chọn hệ trục Dxyz, với Dx, Dy, Dz đôi vuông góc, A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(0; a; 0), D(0; 0; 0), A/(a; 0; a), B/(a; a; a), C/(0; a; a), D/(0; 0; a), a a M a; ; , N 0; ; a 2 z / a D A/ C a y D A a / Ta coù: A C ( a; a; a), MN ( a; 0; a) [A / C; MN] C/ N M B x (a2 ; 2a2 ; a2 ) a2 (1; 2; 1) a2 n với n (1; 2; 1) Phương trình mp (A/MCN) qua C(0; a; 0) với pháp vectơ n : 1(x 0) 2(y a) 1(z 0) (A/ MCN) : x 2y z 2a Khoảng cách d từ B/(a; a; a) đến mp(A/MCN): d a 2a a 2a Nguoithay.vn 2a a Trang 17 Nguoithay.vn Câu 1: Trong không gian Oxyz cho đường thaúng: x t x t' (d1) : y z t ; vaø (d2) : y 3t ' z 2t t' Gọi K hình chiếu vuông góc điểm I(1; -1; 1) (d2) Tìm phương trình tham số đường thẳng qua K vuông góc với (d1) cắt (d1) Câu 2: Tính thể tích hình chóp S.ABC, biết đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên lại tạo với đáy góc GI Câu 1: (d1) có vectơ phương u1 (1; 1; 2) (d2) có vectơ phương u2 (1; 3; 1) K(t / ; 3t / K (d2 ) 6; t / 1) IK (t / 1; 3t / 5; t / 2) 18 18 12 K ; ; 11 11 11 11 Giả sử ( ) cắt (d1) H(t; t; 2t), (H (d1 )) IK t / 9t / 15 t / u2 18 56 t; 11 11 18 HK u1 t 11 30 HK 4; ; 11 HK t; 56 11 11 t/ 59 2t 11 118 t 4t t 11 (44; 30; 7) 11 26 11 18 44 11 12 y 30 11 z 11 x Vậy, phương trình tham số đường thẳng ( ): Câu 2: Cách 1: Dựng SH AB Ta coù: (SAB) (ABC), (SAB) SH S (ABC) AB, SH (SAB) (ABC) SH đường cao hình chóp Dựng HN BC, HP AC B N Nguoithay.vn H Trang 18 C Nguoithay.vn SN BC, SP SHN = SHP AC SPH SNH HN = HP AHP vuông có: HP SHP vuông có: SH HA.sin 60o a a tg SH.SABC HP.tg Theå tích hình chóp S.ABC : V Cách 2: Dựng SH AB Ta coù: (SAB) (ABC), (SAB) a a2 tg 4 (ABC) B, SH Vì (SAC) (SBC) tạo với (ABC) góc H trung điểm AB Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz đôi vuông góc, H(0; 0; 0), a a A ; 0; ; B ; 0; , 2 C 0; a ; , S(0; 0; h), (h với n2 a tg Thể tích hình chóp S.ABC: V z h S A (SAC) tạo với (ABC) goùc : 0 a cos 0 12h2 4h2 3a2 16h2 3a2 tg cos2 3a2 h ABC đều, nên suy C H x (SAC) : 2h 3x 2hy a 3z ah (ABC) B Phương trình mp (SAC): x y z a a h 3a2 tg2 16 SH 0) Phương trình mp (ABC): z = 0, với pháp vectơ n1 (0; 0;1) h2 (SAB) a3 tg 16 h.SABC a a (2h 3; 2h; a 3) a 16h 3a2 a a2 tg 4 a3 tg 16 Câu 1: Nguoithay.vn Trang 19 y Nguoithay.vn Trong không gian Oxyz cho đường thẳng: x y z x y z ( 1) : ; ( ): 1 Lập phương trình tắc đường thẳng ( 3) đối xứng với ( 2) qua ( 1) Xét mặt phẳng ( : x + y + z + = Viết phương trình hình chiếu ( 2) theo phương ( 1) lên mặt phẳng ( ) Tìm điểm M mặt phẳng ( ) để MM1 MM2 đạt giá trị nhỏ biết M1(3; 1; 1) M2(7; 3; 9) Câu 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = a, góc BAC 120o , cạnh bên BB' = a Gọi I trung điểm CC' Chứng minh AB'I vuông A tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB'I) GI Caâu 1: x 7t1 ( ) : y 2t1 có vectơ phương u1 ( 7; 2; 3) z 3t1 x ( 7t ): y 2t z t2 qua A (7; 3; 9), B(8; 5; 8) có vectơ phương u2 B (1; 2; 1) A Gọi H hình chiếu A ( 1) H ( 1) H(3 7t1; 2t1; 3t1 ) AH ( 7t1; 2t1; 3t1 ) AH u1 7( 7t1 ) 2( 2t1 ) 3( 3t1 ) t1 H(3; 1; 1) u1 H K A/ B/ Gọi A/ điểm đối xứng A qua H A/(-1; -1; -7) Gọi K hình chiếu B ( 1) B/ điểm đối xứng B qua K Tương tự ta tìm được: 114 25 22 20 105 204 K ; ; B/ ; ; 31 31 31 31 31 31 11 74 13 1 A / B/ ; ; (11; 74; 13) a với a (11; 74; 13) 31 31 31 31 31 Phương trình đường thẳng ( 3) đối xứng với ( 2) qua ( 1) phương trình đường thẳng A / B/ qua A/ với vectơ phương a x y z Vậy, phương trình tắc ( 3): 11 74 13 Mặt phẳng ( ) chứa ( 2) ( ) // ( 1) ( ) có cặp vectơ phương u1 ( 7; 2; 3), u2 (1, 2, 1) Nguoithay.vn Trang 20 Nguoithay.vn [u1; u2 ] ( 8; 4; 16) 4n , với n 4(2; 1; 4) Phương trình mp ( ) qua A(7; 3; 9) ( ( ) : 2x y 4z 53 Ta coù: ( ) ( ) ( / 2 (2; 1; 4) ) với pháp tuyến n : ) hình chiếu ( 2) lên ( ) theo phương ( 1) Vậy, phương trình hình chiếu ( Gọi I trung điểm M1M2 Ta có: MM1 MM2 / ): x y z 2x y 4z 53 ( ) I(5; 2; 5) M2 2MI I u M1 2MI nhỏ MM1 MM2 nhỏ M hình chiếu I ( ) Phương trình đường thẳng ( ) qua I vuông góc với ( ) laø: x t M0 M y t z t Gọi M giao điểm ( ) vaø ( ) M ( ) M(5 t; t; t) M ( ) t t t t M(0; 3; 0) Vaäy, điểm M cần tìm: M(0; -3; 0) Câu 2: Cách 1: Gọi H trung điểm BC AH BC AH ABH nửa tam giác cạnh AB = a a BC a IB/ C/ vuông có: a2 IB/ IC/ B/ C/ 3a2 a BH AIC vuông có: AI 2 IC 13a2 AC B/ a2 a 5a2 5a2 13a2 2a IB/ Ta coù: AI AB 4 (AB/ đường chéo hình vuông AA/B/B cạnh a) Vậy, AB/I vuông A /2 Ta coù: SAB/ I AI.AB/ a a 2 SABC AH.BC a a 2 C/ A/ B I H C 30o A a2 10 a2 Nguoithay.vn Trang 21 Nguoithay.vn góc hai mặt phẳng (ABC) (AB/I), theo công thức chiếu, ta có: Goïi SABC SAB/ I cos a2 a2 10 : 4 30 10 Cách 2: Gọi H trung điểm BC AH BC ABH nửa tam giác cạnh AB = a a a BH BC a 2 Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông góc, A(0; 0; 0), a AH B a a ; ;0 , C 2 a a ; ;a ,I 2 a a ; ; a , AI 2 / AB / Ta coù: AB AI / AB a A/ B/ I C A a a ; ; , A / (0; 0; a), 2 a a ; ; a , C/ 2 B/ C/ z 60o H z y B a a a ; ; 2 a a a ; ; 2 a a a a a 2 3a2 a2 2a2 Vậy, AB/I vuông A AI * Phương trình mp(ABC): z = có pháp vectơ n1 * mp (AB/I) có cặp vectơ phương AB , AI , nên có pháp vectơ: (0; 0; 1) / / [AB ; AI] với n2 Gọi a2 ; 3a2 2a2 ; 4 a2 (1; 3; 3) a2 n (1; 3; 3) góc (ABC) (AB/I), ta có: 0 cos 0 1 27 12 Nguoithay.vn 40 30 10 Trang 22 ... cách h từ I đến đường thẳng (d): [AI; u] 32 62 62 81 h u 22 12 22 Ta coù: IH = h m 3 m m 12 (thỏa điều kiện) Vậy, giá trị cần tìm: m = -12 Câu 2: Cách 1: Gọi N điểm đối xứng C qua O Ta có: OM //... N(1 2t; t; 2t) 1 [NA; NB] 32t 128 t 146 2 max SABN 4t t 2 Vậy, điểm N cần tìm laø N(-3; 0; 1) SABN (4t 8)2 Câu 2: Cách 1: Gọi O tâm ABC SA SB SC Ta coù: OA OB OC ( ABC đều) S I SO trục đường tròn... trục Ox, Oy, Oz có tọa độ: 5m A ; 0; , B(0; 5; 0), C 0; 0; m n Thể tích tứ diện OABC baèng 125 1 5m 125 V OA.OB.OC 36 6 m n 36 m n 3m m 1, n m n 3m m n 3m m 1, n Vậy, có phương trình mặt phẳng