tom tat lats nguyen thi thanh ha 9876

BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ ——————– * ——————— NGUYỄN THỊ THANH HÀ THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2022 Cơng trình hồn thành Học viện Kỹ thuật Quân Người hướng dẫn khoa học: TS Bùi Văn Định TS Đào Trọng Quyết Phản biện 1: GS TSKH Phạm Kỳ Anh Phản biện 2: PGS TS Dương Anh Tuấn Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Văn Quý Luận án bảo vệ Hội đồng đánh giá luận án cấp Học viện theo định số 110/QĐ-HV, ngày 11 tháng 01 năm 2022 Giám đốc Học viện Kỹ thuật Quân sự, họp Học viện Kỹ thuật Quân vào hồi ngày tháng năm 2022 MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý chọn đề tài Bài toán cân (Equilibrium problem), theo cách gọi tác giả L.D Muu W Oettli [Nonlinear Anal TMA., 18 (1992), 1159-1166], E Blum W Oettli [Math Student, 63 (1994), 127-149], xuất lần đầu cơng trình Nikaido - Isoda [Pac J Math., (1955), 807-815] tổng qt hóa tốn cân Nash lý thuyết trị chơi khơng hợp tác, phát biểu dạng bất đẳng thức minimax K Fan [Academic Press, (1972), 103-113], toán EP(C, f ) phát biểu dạng: Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y ) ≥ 0, ∀y ∈ C, C tập lồi, đóng khơng gian Hilbert H, f : C × C → R ∪ {+∞} song hàm cân C , tức f (x, x) = ∀x ∈ C Ta kí hiệu tập nghiệm EP(C, f ) Sol(C, f ) Các phương pháp giải toán cân EP(C, f ) thường địi hỏi tính lồi song hàm theo biến thứ hai tính đơn điệu đơn điệu suy rộng f , tính đến có số thuật toán hiệu để giải toán này, f đơn điệu mạnh giả đơn điệu mạnh Gần số tác giả B.V Dinh D.S Kim [J Comput Appl math., 302 (2016), 537-553], J.J Strodiot et al [J Global Optim., 64 (2016), 159-178] mở rộng thuật toán kiểu chiếu giải tốn bất đẳng thức biến phân khơng đơn điệu cho tốn cân khơng đơn điệu Tuy nhiên kết chưa nhiều Mặt khác, nhiều tốn cân nảy sinh kinh tế có song hàm không đơn điệu nên luận án này, tiếp tục tập trung nghiên cứu, xây dựng số thuật toán giải toán cân mà song hàm không đơn điệu Cùng với việc nghiên cứu, xây dựng phương pháp giải toán cân bằng, gần nhiều tác giả quan tâm đến việc tìm nghiệm chung họ toán cân Giả sử fi : C × C → R, i ∈ I, song hàm xác định C , I tập số hữu hạn đếm Bài toán tìm nghiệm chung họ tốn cân tốn: Tìm x∗ ∈ C cho fi (x∗ , y ) ≥ 0, ∀y ∈ C ∀i ∈ I Giả sử αi ∈ (0, 1), cho i∈I αi = 1, xét toán cân tổ hợp: Tìm x∗ ∈ C cho αi fi (x∗ , y ) ≥ 0, ∀y ∈ C CEP i∈I Ký hiệu tập nghiệm toán cân tổ hợp Sol(C, αi fi ) Gần đây, tác giả S Suwannaut, A Kangtunyakarn [Fixed Point Theory Appl., (2013), 291:26] khẳng định tập số I hữu hạn, tức I = {1, 2, , N }, song hàm fi , i ∈ I đơn điệu thỏa mãn số giả thiết cho trước thì: i∈I N ∩N i=1 Sol(C, fi ) = Sol(C, αi fi ) (1) i=1 Để xây dựng phương pháp giải số toán liên quan đến nghiệm chung toán cân đơn điệu, tác giả S.A Khan et al [Comput Appl Math., 37 (5) (2018), 6283-6307], W Khuangsatung A Kangtunyakarn [Fixed Point Theory Appl., (2014), 2014:209], S Suwannaut A Kangtunyakarn [Fixed Point Theory Appl., (2014), 167:26], S Suwannaut A Kangtunyakarn [Thai J Math., 14 (2016), 77-97] sử dụng đẳng thức (1) nhằm chuyển toán họ toán liên quan đến toán cân tổ hợp Tuy nhiên, luận án này, giả thiết tính đơn điệu song hàm fi , i = 1, 2, , N chưa đủ để hai tập nghiệm Đồng thời, thiết lập điều kiện đủ để đẳng thức Ngồi vấn đề tìm nghiệm chung tốn cân họ toán cân bằng, gần tốn tìm nghiệm chung tốn cân toán điểm bất động đề tài thu hút quan tâm, nghiên cứu nhiều nhà khoa học ngồi nước Một số thuật tốn đề xuất cho tốn tìm nghiệm chung thường sử dụng phương pháp đạo hàm tăng cường cho toán cân bằng, kết hợp với phép lặp Mann, phép lặp Halpern cho ánh xạ điểm bất động Trong luận án cách kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường với phương pháp lặp Ishikawa, chúng tơi đề xuất thuật tốn giải tốn tìm nghiệm chung tốn cân với song hàm f giả đơn điệu, thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz, số kiểu Lipschitz khơng biết trước, tốn điểm bất động ánh xạ tựa không giãn Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Trong luận án nghiên cứu nội dung sau: Nội dung Xây dựng phương pháp giải tốn cân với song hàm khơng đơn điệu Nội dung Chứng minh với giả thiết song hàm fi , i = 1, 2, , N đơn điệu khơng đủ để tập nghiệm tốn cân tổ hợp giao tập nghiệm toán cân bằng đồng thời thiết lập điều kiện đủ để hai tập nghiệm Nội dung Xây dựng thuật toán tìm điểm chung tập nghiệm tốn cân với song hàm giả đơn điệu, thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz tập điểm bất động ánh xạ tựa không giãn Phương pháp nghiên cứu ❼ Để giải toán cân với song hàm không đơn điệu, sử dụng phương pháp chiếu nhúng kết hợp với phương pháp tìm kiếm theo tia ❼ Để tập nghiệm toán cân tổ hợp giao họ hữu hạn tập nghiệm tốn cân không với giả thiết song hàm đơn điệu, chúng tơi sử dụng phản ví dụ Tiếp theo, sử dụng công cụ giải tích lồi để chứng minh hai tập nghiệm với số giả thiết thích hợp ❼ Chúng sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi, phương pháp điểm bất động lý thuyết tối ưu để xây dựng thuật toán tìm nghiệm chung tốn cân với song hàm giả đơn điệu, thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz toán điểm bất động ánh xạ tựa không giãn Kết luận án Luận án đạt kết sau đây: ❼ Đề xuất số thuật toán giải tốn cân với song hàm khơng đơn điệu, chứng minh hội tụ mạnh thuật toán đề xuất ❼ Chỉ tập nghiệm toán cân tổ hợp giao tập nghiệm tốn cân khơng song hàm đơn điệu Đồng thời thiết lập điều kiện đủ để hai tập ❼ Xây dựng thuật tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân với song hàm giả đơn điệu, thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz số tập điểm bất động ánh xạ tựa không giãn, chứng minh hội tụ mạnh thuật tốn đến nghiệm toán ban đầu Cấu trúc luận án Luận án gồm bốn chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số thuật toán giải tốn cân khơng đơn điệu Chương 3: Hệ toán cân toán cân tổ hợp Chương 4: Một thuật tốn tìm nghiệm chung toán cân toán điểm bất động Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại khái niệm kết bổ trợ cần thiết sử dụng chương sau 1.1 Một số khái niệm kết Mục trình bày số khái niệm liên quan đến tập lồi, hàm lồi, đạo hàm vi phân hàm lồi kết liên quan 1.2 Bài toán cân tồn nghiệm Mục dành để trình bày tốn cân bằng, trường hợp riêng toán cân tồn nghiệm 1.3 Bài tốn điểm bất động số phương pháp tìm điểm bất động Các kiến thức ánh xạ khơng giãn, ánh xạ tựa khơng giãn, , tốn điểm bất động số phương pháp tìm điểm bất động trình bày mục Chương Một số thuật toán giải toán cân không đơn điệu Trong chương này, nghiên cứu số thuật toán giải toán cân mà song hàm không đơn điệu không gian Hilbert Mỗi thuật toán kết hợp phương pháp chiếu nhúng phương pháp tìm kiếm theo tia Nội dung Chương công bố báo [CT1] thuộc Danh mục cơng trình liên quan đến Luận án 2.1 Thuật toán đạo hàm tăng cường phương pháp chiếu nhúng Giả sử Ω ⊂ H tập lồi mở chứa tập lồi đóng C f : Ω × Ω → R song hàm cân C Xét toán cân EP(C, f ) Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y ) ≥ 0, với y ∈ C, toán liên kết với EP(C, f ) gọi toán cân Minty MEP(C, f ) Tìm y ∗ ∈ C cho f (x, y ∗ ) ≤ ∀x ∈ C Ta ký hiệu tập nghiệm toán EP(C, f ) MEP(C, f ) tương ứng Sol(C, f ) SM Trong mục này, nhắc lại hai thuật tốn, thuật tốn đạo hàm tăng cường (D.Q Tran et al [Optimization, 57 (2008) 749-776]) phương pháp chiếu nhúng (W Takahashi et al [J Math Anal Appl., 341 (2008) 276-286]) mà kết hợp để đưa thuật toán giải toán cân không đơn điệu 2.2 Một số thuật tốn giải tốn cân khơng đơn điệu Bằng cách kết hợp thuật toán đạo hàm tăng cường phương pháp chiếu nhúng nói trên, chúng tơi đề xuất thuật toán để giải toán cân khơng gian Hilbert thực mà khơng có giả thiết giả đơn điệu song hàm Để đạt mục tiêu đó, chúng tơi giả sử song hàm f thỏa mãn giả thiết sau (B1 ) f (x, ) lồi Ω với x ∈ C ; (B2 ) f liên tục yếu đồng thời Ω × Ω Dưới số thuật toán đề xuất để giải toán cân không đơn điệu không gian Hilbert thực H a Thuật toán 2.1 Bước khởi tạo Chọn x0 = xg ∈ C , chọn tham số η, µ ∈ (0, 1), < ρ ≤ ρ¯, {ρk } ⊂ [ρ, ρ¯], γk ∈ [γ , γ¯ ] ⊂ (0, 2), đặt C0 = C ¯ ¯ ¯ Bước lặp k (k = 0, 1, 2, ) Có xk ta thực bước sau: Bước Giải tốn quy hoạch lồi mạnh tìm nghiệm y k = arg f (xk , y ) + y − xk ρk : y∈C CP (xk ) Nếu y k = xk , dừng thuật tốn Trái lại, thực Bước Bước (Quy tắc tìm kiếm tia Armijo thứ nhất) Tìm mk số nguyên dương nhỏ m cho  z k,m = (1 − η m )xk + η m y k , f (z k,m , xk ) − f (z k,m , y k ) ≥ µ 2ρ k xk − y k (2.1) Đặt ηk = η mk , z k = z k,mk Bước Lấy wk ∈ ∂2 f (z k , xk ) tính uk = PC (xk − γk σk wk ), σk = f (z k ,xk ) wk Bước Tính xk+1 = PCk+1 (xg ), với Ck+1 = {x ∈ Ck : x − uk ≤ x − xk }, quay Bước lặp k với k thay k + Nhận xét 2.1 Nếu y k = xk xk nghiệm toán EP(C, f ) Định lý sau thiết lập hội tụ mạnh dãy {xk } tới nghiệm toán cân EP(C, f ) Định lý 2.1 Giả sử song hàm f thỏa mãn giả thiết (B1 ), (B2 ) Nếu tập SM khác rỗng, dãy {xk }, {uk } sinh Thuật toán 2.1 hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ toán EP(C, f ) Thay quy tắc tìm kiếm tia thứ (2.1) quy tắc khác, ta thu thuật toán sau b Thuật toán 2.2 Bước khởi tạo Chọn x0 = xg ∈ C , chọn tham số η, µ ∈ (0, 1), < ρ ≤ ρ¯, {ρk } ⊂ [ρ, ρ¯], γk ∈ [γ , γ¯ ] ⊂ (0, 2), đặt C0 = C ¯ ¯ ¯ Bước lặp k (k = 0, 1, 2, ) Có xk ta thực bước sau: Bước Giải toán quy hoạch lồi mạnh tìm y k = arg f (xk , y ) + y − xk ρk : y∈C CP (xk ) Nếu y k = xk , dừng thuật tốn Trái lại, thực Bước Bước (Quy tắc tìm kiếm tia Armijo thứ hai) Tìm mk số nguyên dương nhỏ m cho  z k,m = (1 − η m )xk + η m y k f (z k,m , y k ) + µ 2ρk xk − y k (2.2) ≤ Đặt ηk = η mk , z k = z k,mk Nếu ∈ ∂2 f (z k , z k ), dừng thuật toán Trái lại, thực Bước Bước Chọn wk ∈ ∂2 f (z k , z k ) tính uk = PC (xk − γk σk wk ), σk = f (z k ,xk ) wk 10 Chương Hệ toán cân toán cân tổ hợp Trong chương này, nghiên cứu mối liên hệ tập nghiệm hệ toán cân với tập nghiệm toán cân tổ hợp Cụ thể, với giả thiết song hàm fi , i = 1, 2, , N đơn điệu tập nghiệm hai tốn khơng Tiếp theo, chúng tơi thiết lập điều kiện đủ để hai tập nghiệm trùng Nội dung chương công bố báo [CT2] thuộc Danh mục công trình liên quan đến Luận án 3.1 Mở đầu Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert H Giả sử fi : C × C → R, i = 1, N song hàm xác định C Bài tốn tìm nghiệm chung họ hữu hạn toán cân ký hiệu CSEP tốn: Tìm x∗ ∈ C cho fi (x∗ , y ) ≥ 0, ∀y ∈ C i = 1, 2, , N, tương đương, tìm x∗ ∈ X := ∩N i=1 Sol(C, fi ) Với αi ∈ (0, 1), i = 1, , N cho N i=1 αi = 1, xét song hàm tổ hợp: N αi fi (x, y ), ∀x, y ∈ C i=1 11 Bài toán cân tổ hợp viết tắt CEP toán: N ∗ ∗ αi fi (x∗ , y ) ≥ 0, ∀y ∈ C Tìm x ∈ C cho f (x , y ) = i=1 Ký hiệu Sol(C, N i=1 αi fi ) tập nghiệm toán cân tổ hợp Chúng nhắc lại số giả thiết sử dụng sau đây: Giả thiết C (C1 ) ϕ(x, x) = với x ∈ C ; (C2 ) ϕ đơn điệu C ; (C3 ) ϕ nửa liên tục theo tia (upper hemicontinuous), tức là, với x, y, z ∈ C , lim sup ϕ(tz + (1 − t)x, y ) ≤ ϕ(x, y ); t→0+ (C4 ) Với x ∈ C , ϕ(x, ·) nửa liên tục (lower semicontinuous) lồi C ; (C5 ) Với r > cố định, z ∈ C , tồn tập lồi, compact khác rỗng B ⊂ H x ∈ C ∩ B , cho ϕ(y, x) + r y − z, z − x < 0, ∀y ∈ C \ B Dưới năm phát biểu trình bày số báo khơng Phát biểu 3.1 (S Suwannaut, A Kangtunyakarn [Fixed Point Theory Appl., (2013) 291:26]) Giả sử song hàm fi , i = 1, 2, , N thỏa mãn giả thiết (C1 ) − (C4 ) ∩N i=1 Sol(C, fi ) = ∅ Khi N ∩N i=1 Sol(C, fi ) = Sol(C, αi fi (x, y )), n=1 N đó, αi ∈ (0, 1) với i = 1, 2, , N αi = n=1 12 Nếu Phát biểu 3.1 cho phép tìm nghiệm chung N toán cân bằng cách giải toán cân tổ hợp Phát biểu 3.2 (S Suwannaut, A Kangtunyakarn [Fixed Point Theory Appl., (2014) 167:26]) Giả sử F ánh xạ co với hệ số co τ H A toán tử tuyến tính bị chặn, dương mạnh H với hệ số γ¯ , < γ < γ¯ τ Với i = 1, 2, , N , giả sử fi : C × C → R song hàm thỏa mãn giả thiết (C1 ) − (C4 ) với X = ∩N i=1 Sol(C, fi ) = ∅ Giả sử {xk }, {y k }, {z k } dãy sinh x1 ∈ H  N   α f (z k , y ) + ρ1k y − z k , z k − xk ≥ 0, ∀y ∈ C,   i=1 i i y k = θk PC (xk ) + (1 − θk )z k ,    xk+1 = δ γF (xk ) + (I − δ A)y k , k k {δk }, {θk }, {ρk } ⊂ (0, 1), < αi < 1, ∀i = 1, , N Giả sử điều kiện (i) − (v ) sau (i) limk→∞ δk = ∞ k =0 δk = ∞; (ii) < θ ≤ θk ≤ θ¯ < 1, với θ, θ¯ ∈ (0, 1); ¯ < 1, với α, α ¯ ∈ (0, 1); (iii) < α ≤ αk ≤ α (iv) (v) N i=1 αi = 1; N i=1 |δk +1 − δk | < ∞, ∞ i=1 |θk +1 − δk | < ∞, ∞ i=1 |ρk +1 − ρk | < ∞ Khi dãy {xk }, {y k }, {z k } hội tụ tới q = PX (I − A + γF )q Phát biểu 3.3 (W Khuangsatung, A Kangtunyakarn [Fixed Point Theory Appl., (2014) 2014:209]) Giả sử song hàm fi , i = 1, 2, , N thỏa mãn k giả thiết (C1 ) − (C4 ) X = ∩N i=1 Sol(C, fi ) = ∅ Giả sử dãy {x } {y k } sinh u, x1 ∈ H   N α f (y k , y ) + y − y k , y k − xk ≥ 0, ∀y ∈ C, i=1 i i ρk xk+1 = λ u + µ xk + δ y k k k k {λk }, {µk }, {δk } ⊂ (0, 1) λk + µk + δk = 1; {ρk } ⊂ (ρ, ρ¯) ⊂ (0, 1), < αi < 1, ∀i = 1, , N Giả sử điều kiện (i) − (iii) đúng: 13 (i) limk→∞ λk = (ii) (iii) N i=1 αi ∞ k =0 λk = ∞; = 1; N i=1 |δk +1 − δk | < ∞ Khi dãy {xk }, {y k } hội tụ tới q = PX (u) Phát biểu 3.4 (S Suwannaut, A Kangtunyakarn [Thai J Math., 14 (2016) 77-97]) Cho F ánh xạ co với hệ số τ H giả sử fi , i = 1, 2, , N thỏa mãn giả thiết (C1 ) − (C4 ) Với giả thiết X = ∩N i=1 Sol(C, fi ) = ∅, giả sử dãy {xk } {y k } sinh x1 ∈ C   N α f (y k , y ) + y − y k , y k − xk ≥ 0, ∀y ∈ C, i=1 i i ρk xk+1 = λ F (xk ) + µ P (xk ) + δ y k k k C k {λk }, {µk }, {δk } ⊂ (0, 1) cho λk + µk + δk = ∀k ; {ρk } ⊂ (ρ, ρ¯) ⊂ (0, 1), < αi < 1, ∀i = 1, , N Ngoài ra, giả sử điều kiện (i) − (iii) đúng: (i) limk→∞ λk = (ii) (iii) N i=1 αi ∞ k =0 λk = ∞; = 1; ∞ i=1 |ρk +1 − ρk | < ∞ Khi dãy {xk }, {y k } hội tụ tới q = PX (u) Phát biểu 3.5 (S.A Khan et al [Comput Appl Math., 37(5) (2018) 62836307]) Giả sử song hàm fi , i = 1, 2, , N thỏa mãn Giả thiết C k k k X = ∩N i=1 Sol(C, fi ) = ∅ Với x , x ∈ H, giả sử dãy {x }, {y } {z } sinh    y k = xk + θk (xk − xk−1 )   N k k k k ≥ 0, ∀y ∈ C, i=1 αi fi (z , y ) + ρk y − z , z − y    xk+1 = λ xk + µ z k k k {θk } ⊂ [0, θ], θ ∈ [0; 1], {λk }, {µk } ⊂ (0, 1) λk + µk = với k ; {ρk } ⊂ (ρ, ρ¯) ⊂ (0, 1), < αi < 1, ∀i = 1, , N Giả sử điều kiện sau đúng: 14 (i) θk xk − xk−1 < ∞; ∞ i=1 αi (ii) < ∞ limi→∞ αi = 0; ∞ i=1 |ρk +1 (iii) − ρk | < ∞, ∞ i=1 |λk +1 − λk | < ∞ Khi dãy {xk } hội tụ tới q = PX (u) Nhận xét 3.1 ❼ Mỗi Phát biểu 3.2 - 3.5 khẳng định dãy {xk } nhận theo thuật toán tương ứng hội tụ tới nghiệm toán CSEP ❼ Trong Hệ 3.1 cho thấy Phát biểu 3.2 - 3.5 khơng 3.2 Mối liên hệ tập nghiệm hệ toán cân toán cân tổ hợp Trong mục với giả thiết (C1 ) − (C4 ), Phát biểu 3.1 - 3.5 khơng Với C tập lồi, đóng, khác rỗng H fi , i = 1, , N song hàm xác định C cho X = ∩N i=1 Sol(C, fi ) = ∅ Xét song hàm tổ hợp xác định N αi fi (x, y ), ∀x, y ∈ C, i=1 N i=1 αi = ∗ ∩N i=1 Sol(C, fi ) fi (x , y ) ≥ 0, đó, αi ∈ (0, 1), i = 1, , N Rõ ràng, x∗ ∈ Do ∀y ∈ C, i = 1, 2, , N N αi fi (x∗ , y ) ≥ 0, ∀y ∈ C Vì x∗ ∈ Sol(C, i=1 N i=1 αi fi (x, y )) N ∩N i=1 Sol(C, fi ) ⊂ Sol(C, αi fi (x, y )) i=1 (3.1) 15 Định lý sau chứng tỏ với giả thiết (C1 ) − (C4 ) bao hàm thức ngược lại (3.1) Định lý 3.6 Với số nguyên N ≥ 2, tồn tập C lồi, đóng, khác rỗng H, tồn song hàm f1 , f2 , , fN xác định C thỏa mãn giả thiết (C1 ) − (C4 ) tồn số αi ∈ (0, 1), i = 1, 2, , N, cho N i=1 αi = 1, N Sol C, αi fi ⊂ ∩N i=1 Sol(C, fi ) i=1 Từ định lý này, ta có hệ sau Hệ 3.1 Các Phát biểu 3.1 - 3.5 Từ Định lý 3.6 ta thấy với giả thiết (C1 ) − (C4 ) khẳng định ∩N i=1 Sol(C, fi ) = Sol(C, f ), khơng phải ln Vì câu hỏi tự nhiên với điều kiện đẳng thức Định lý sau cho ta câu trả lời với giả thiết: (C ) ϕ para-giả đơn điệu (parapseudomonotone) C Định lý 3.7 Giả sử fi , i = 1, 2, song hàm thỏa mãn giả thiết (C1 ), (C ), (C3 ) (C4 ) cho ∩∞ i=1 Sol(C, fi ) = ∅ song hàm f (x, y ) = ∞ i=1 αi fi (x, y ), αi > 0, ∀i = 1, 2, C , tức là, f (x, y ) = ∞ i=1 αi fi (x, y ) ∞ i=1 αi = xác định tốt hội tụ với ∀x, y ∈ C Khi ∩∞ i=1 Sol(C, fi ) = Sol(C, f ) (3.2) Nhận xét 3.2 ❼ Định lý 3.7 H không gian Banach thực ❼ Với giả thiết (C1 ), (C ), (C3 ), (C4 ) ∩∞ i=1 Sol(C, fi ) = ∅, song hàm f khơng xác định tốt C , chí song hàm f khơng xác định điểm (x, y ) ∈ C × C mà x = x = y Thật vậy, ta xét ví dụ sau: fi (x, y ) = 4i x(y − x), ∀x, y ∈ C = [0, +∞) i = 1, 2, 16 Khi thấy song hàm fi thỏa mãn giả thiết (C1 ), (C ), (C3 ) (C4 ), với ∀i ≥ ∩∞ i=1 Sol(C, fi ) = {0} Tuy nhiên, với αi = 2−i , song hàm tổ hợp f (x, y ) = ∞ i i=1 x(y − x) ∞ i i=1 = ∞ ∞ i=1 αi fi (x, y ) = không xác định tốt C Chẳng hạn: f (1, 2) = ❼ Lấy fi (x, y ) = với i > N , công thức (3.2) trở thành ∩N i=1 Sol(C, fi ) = Sol(C, f ) Do đó, Phát biểu 3.1 giả thiết (C2 ) thay giả thiết (C ) ❼ Các tác giả S Suwannaut Kangtunyakarn [Fixed Point Theory Appl., (2013) 291:26.] khẳng định với giả thiết (C1 ) − (C4 ) ∗ fi (¯ x, x∗ ) = 0, ∀i = 1, 2, , N , x¯ ∈ Sol(C, N i=1 αi fi ) x ∈ ¯ = x∗ Ω Nhưng điều với giả thiết (C1 ) không thiết dẫn đến x Thật vậy, Định lý 3.6, ta có: N Sol C, αi f i = [0, ∞) × [0, ∞) ¯ = x∗ = (0, 0) = Ω (1, 1) = x i=1 ❼ Các Phát biểu 3.2 - 3.5 giả thiết (C2 ) thay giả thiết (C2bis ): (C2bis ) ϕ para-đơn điệu C ❼ Khi toán cân trở thành tốn bất đẳng thức biến phân Phát biểu 3.1 không Chẳng hạn, ta xét tập C = [0, +∞) × [0, +∞), ánh xạ F1 , F2 xác định C , cho bởi: F1 (x) = (x2 , −x1 ), F2 (x) = (−x2 , x1 ) Khi đó, ta nhận F1 (x), y − x = x2 y1 − x1 y2 = f1 (x, y ), F2 (x), y − x = x1 y2 − x2 y1 = f2 (x, y ), tức là, toán bất đẳng thức biến phân tốn cân với song hàm f1 f2 xét chứng minh Định lý 3.6 17 Chương Một thuật tốn tìm nghiệm chung tốn cân toán điểm bất động Trong năm gần đây, tốn tìm nghiệm chung toán cân toán điểm bất động biến thể nghiên cứu nhiều nhà khoa học Trong chương này, đề xuất thuật tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân giả đơn điệu toán điểm bất động ánh xạ tựa khơng giãn khơng gian Hilbert Thuật tốn xem kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường (subgradient extragradient) cho toán cân phương pháp Ishikawa cho toán điểm bất động Sự hội tụ mạnh dãy lặp sinh thuật toán tới nghiệm chung tốn thu giả thiết ánh xạ điểm bất động nửa đóng (demiclosed) số kiểu Lipschitz song hàm f khơng biết Nội dung chương công bố báo [CT3] thuộc Danh mục cơng trình liên quan đến Luận án 4.1 Mở đầu Giả sử C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert H, f : C × C → R song hàm cân C , T : C → C ánh xạ tựa không giãn, với Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T Trong chương này, xét toán sau đây:  f (x∗ , y ) ≥ 0, ∀y ∈ C ∗ Tìm x ∈ C cho (4.1) T (x∗ ) = x∗ 18 4.2 Một thuật tốn tìm nghiệm chung toán cân toán điểm bất động Bằng cách mở rộng thuật toán đạo hàm tăng cường Halpern (xem D.V Hieu [RACSAM., 111(3) (2017), 823-840], đề xuất kết hợp thuật toán đạo hàm tăng cường toán cân cân mà song hàm giả đơn điệu phương pháp lặp Ishikawa cho toán điểm bất động ánh xạ tựa khơng giãn Để làm điều đó, ta giả sử song hàm f thỏa mãn giả thiết sau Giả thiết D (D1 ) f liên tục yếu C × C ; (D2 ) f (x, ·) lồi khả vi phân C với x ∈ C ; (D3 ) f giả đơn điệu C tương ứng với Sol(C, f ); (D4 ) f thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz C ; (D5 ) T ánh xạ tựa không giãn cho I − T nửa đóng 0, tức thỏa mãn tính chất: ∀{xk } ⊂ C , xk x, T (xk ) − xk → 0, T (x) = x Dưới thuật toán đề xuất cho toán (4.1) Thuật toán 4.1 Bước khởi tạo Chọn x0 = xg ∈ C , ρ0 > 0, δ ∈ (0, 1) chọn dãy {µk }, {αk }, {βk }, {γk } cho {µk } ⊂ [0, 1], limk→∞ µk = 1, {αk } ⊂ [α, α] ⊂ (0, 1), {βk } ⊂ [β, β ] ⊂ (0, 1), {γk } ⊂ [γ, γ ] ⊂ (0, 1) αk + βk + γk = 1, ∀k Bước lặp k (k = 0, 1, 2, ) Có xk ta thực bước sau: Bước Giải tốn quy hoạch lồi mạnh tìm y k = arg f (xk , y ) + y − xk 2ρk : y∈C CP (xk ) 19 Bước Chọn wk ∈ ∂2 f (xk , y k ) cho xk − ρk wk − y k ∈ NC (y k ) tính z k = arg f (y k , y ) + y − xk 2ρk : y ∈ Hk , Hk = x ∈ H : xk − ρk wk − y k , x − y k ≤ 0} Bước Tính tk = λk xg + (1 − λk )z k , uk = µk xk + (1 − µk )T (xk ), xk+1 = αk uk + βk z k + γk T (tk ) Đặt ρ = f (xk , z k ) − f (y k , z k ) − f (xk , y k ) đặt  min δ xk − y k + z k − y k , ρ , ρ > k 2ρ ρk+1 = ρ , trái lại k quay Bước lặp k với k thay k + Định lý sau cho ta hội tụ Thuật toán 4.1 Định lý 4.1 Giả sử S = Sol(C, f )∩ Fix(T ) = ∅, dãy {λk } ⊂ (0, 1), thỏa ∞ mãn k =0 λk = ∞, lim λk = Khi với Giả thiết D dãy {xk }, {y k }, k→∞ {z } sinh Thuật toán 4.1 hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ = PS (xg ) k Định lý chứng minh dựa vào bổ đề sau Bổ đề 4.1 Các dãy {xk }, {z k }, {tk } {uk } bị chặn Khi T ≡ I - ánh xạ đồng H, ta nhận thuật toán sau để giải tốn EP(C, f ), số kiểu Lipschitz song hàm f khơng địi hỏi phải biết Thuật toán 4.2 Bước khởi tạo Chọn x0 = xg ∈ C , ρ0 > 0, δ ∈ (0, 1) dãy {αk }, {βk }, {γk } cho {αk } ⊂ [α, α] ⊂ (0, 1), {βk } ⊂ [β, β ] ⊂ (0, 1), {γk } ⊂ [γ, γ ] ⊂ (0, 1) αk + βk + γk = 1, ∀k 20 Bước lặp k (k = 0, 1, 2, ) Có xk ta thực bước sau: Bước Giải tốn quy hoạch lồi mạnh tìm y k = arg f (xk , y ) + y − xk 2ρk CP(xk ) : y∈C Bước Chọn wk ∈ ∂2 f (xk , y k ) cho xk − ρk wk − y k ∈ NC (y k ) tính z k = arg f (y k , y ) + y − xk 2ρk : y ∈ Hk , đó, Hk = x ∈ H : xk − ρk wk − y k , x − y k ≤ 0} Bước Tính tk = λk xg + (1 − λk )z k , xk+1 = αk xk + βk z k + γk tk Đặt ρ = f (xk , z k ) − f (y k , z k ) − f (xk , y k ) đặt  min δ xk − y k + z k − y k , ρ , k 2ρ ρk+1 = ρ , k ρ > trái lại quay Bước lặp k với k thay k + Hệ sau khẳng định hội tụ mạnh Thuật toán 4.2 suy trực tiếp từ Định lý 4.1 ∞ Hệ 4.1 Giả sử Sol(C, f ) = ∅, dãy {λk } ⊂ (0, 1) cho λk = ∞ k =0 k lim λk = Khi với giả thiết (D1 ) − (D4 ), dãy {x }, {y k } k→∞ k {z } sinh Thuật toán 4.2 hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ = PSol(C,f ) (xg ) Khi f (x, y ) = F (x), y − x với x, y ∈ C , với ánh xạ F : C → H, toán cân EP(C, f ) trở thành toán bất đẳng thức biến phân (VIP) sau đây: Tìm x∗ ∈ C cho F (x), y − x ≥ 0, ∀y ∈ C 21 Ký hiệu Sol(C, F ) tập nghiệm tốn (VIP) Khi đó, ta nhận thuật tốn tìm phần tử chung tập nghiệm S = Sol(C, F )∩ Fix(T ) toán (VIP) tập điểm bất động ánh xạ tựa không giãn T không gian Hilbert H Thuật toán 4.3 Bước khởi tạo Chọn x0 = xg ∈ C , ρ0 > 0, δ ∈ (0, 1) dãy {µk }, {αk }, {βk }, {γk } cho {µk } ⊂ [0, 1], limk→∞ µk = 1, {αk } ⊂ [α, α] ⊂ (0, 1), {βk } ⊂ [β, β ] ⊂ (0, 1), {γk } ⊂ [γ, γ ] ⊂ (0, 1) αk + βk + γk = 1, ∀k Bước lặp k (k = 0, 1, 2, ) Có xk thực bước sau: Bước Tính y k = PC (xk − ρk F (xk )) Bước Lấy wk = xk tính z k = PHk (xk − ρk F (y k )), đó, Hk = x ∈ H : xk − ρk wk − y k , x − y k ≤ 0} Bước Tính tk = λk xg + (1 − λk )z k , uk = µk xk + (1 − µk )T (xk ), xk+1 = αk uk + βk z k + γk T (tk ) Đặt ρ = F (xk ), z k − xk − F (y k ), z k − y k − F (xk ), y k − xk đặt ρk+1  min = ρ , δ 2ρ xk − y k + zk − yk , ρk , k ρ > trái lại quay Bước lặp k với k thay k + Từ Định lý 4.1, ta có hệ sau hội tụ mạnh Thuật toán 4.3 Hệ 4.2 Giả sử S = Sol(C, F ) ∩ Fix(T ) = ∅, dãy λk ∈ (0, 1), thỏa mãn ∞ k =0 λk k = ∞, limk→∞ λk = Khi với Giả thiết D dãy {xk }, {y k } {z } sinh Thuật toán 4.3 hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ = PS (xg ) 22 Kết luận kiến nghị Kết đạt Trong luận án này, tập trung nghiên cứu số vấn đề toán cân toán điểm bất động Luận án đạt số kết sau: ❼ Xây dựng hai Thuật toán 2.1 2.2 cách kết hợp phương pháp chiếu nhúng quy tắc tìm kiếm tia tương ứng để giải toán cân mà song hàm không đơn điệu Chứng minh dãy lặp sinh thuật tốn hội tụ mạnh tới nghiệm toán cân (Định lý 2.1 Định lý 2.2) ❼ Chứng minh tập nghiệm toán cân tổ hợp giao tập nghiệm họ tốn cân khơng song hàm đơn điệu (Định lý 3.6) Chúng đưa điều kiện đủ để hai tập nghiệm trường hợp hữu hạn (fi , i = 1, 2, , N ) trường hợp vô hạn (fi , i = 1, 2, ) (Định lý 3.7) ❼ Bằng cách kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường với phương pháp lặp Ishikawa, đề xuất thuật tốn tìm nghiệm chung tập nghiệm tốn cân EP(C, f ) với song hàm f giả đơn điệu, thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz tốn điểm bất động ánh xạ tựa khơng giãn T (Thuật tốn 4.1) Chúng tơi chứng minh dãy lặp sinh thuật toán hội tụ mạnh tới nghiệm chung toán xét (Định lý 4.1) 23 Một số hướng nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, thời gian tới dự định nghiên cứu vấn đề sau: ❼ Xây dựng số thuật tốn khơng phải kiểu chiếu nhúng giải tốn cân khơng đơn điệu khơng gian Hilbert không gian Banach ❼ Tiếp tục nghiên cứu mối quan hệ tập nghiệm Bài toán cân tổ hợp giao tập nghiệm toán cân với giả thiết nhẹ tính para-đơn điệu, para-giả đơn điệu, đồng thời áp dụng vào lớp toán liên quan đến tập nghiệm chung họ toán cân ❼ Xây dựng thuật tốn tìm nghiệm chung tốn cân toán điểm bất động trường hợp song hàm không đơn điệu 24 Danh mục cơng trình khoa học tác giả có liên quan đến luận án [CT1] B.V Dinh, N.T.T Ha, N.N Hai, and T.T.H Thanh (2018), Strong convergence algorithms for equilibrium problems without monotonicity, Journal of Nonlinear Analysis and Optimization, (2), pp 139-150 [CT2] N.T.T Ha, T.T.H Thanh, N.N Hai, H.D Manh, and B.V Dinh (2019), A note on the combination of equilibrium problems, Mathematical Methods of Operations Research, 91, pp 311-323, (SCIE) [CT3] H.D Manh, N.T.T Ha, T.T.H Thanh, and B.V Dinh (2020), The Ishikawa subgradient extragradient method for equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert spaces, Numerical Functional Analysis and Optimization, 41 (9), pp 1065–1088, (SCIE) Các kết luận án báo cáo Xêmina Bộ mơn Tốn, Khoa Cơng nghệ Thơng tin, Học viện Kỹ thuật Quân Xêmina Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân Hội nghị Khoa học nhà nghiên cứu trẻ lần thứ XV (20/02/2020), Học viện Kỹ thuật Quân Hội thảo Tối ưu tính tốn Khoa học lần thứ 18 (20-22/8/2020), Hòa Lạc, Hà Nội Hội nghị cựu học viên Viện Toán học - Một số vấn đề Toán học đương đại (11-12/9/2020), Hà Nội ... giả thi? ??t (C1 ) không thi? ??t dẫn đến x Thật vậy, Định lý 3.6, ta có: N Sol C, αi f i = [0, ∞) × [0, ∞) ¯ = x∗ = (0, 0) = Ω (1, 1) = x i=1 ❼ Các Phát biểu 3.2 - 3.5 giả thi? ??t (C2 ) thay giả thi? ??t... Ha, N.N Hai, and T.T.H Thanh (2018), Strong convergence algorithms for equilibrium problems without monotonicity, Journal of Nonlinear Analysis and Optimization, (2), pp 139-150 [CT2] N.T.T Ha, ... tập nghiệm toán cân tổ hợp Cụ thể, với giả thi? ??t song hàm fi , i = 1, 2, , N đơn điệu tập nghiệm hai tốn khơng Tiếp theo, thi? ??t lập điều kiện đủ để hai tập nghiệm trùng Nội dung chương công bố