TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG – LẦN 1

TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG – LẦN 1 TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG – LẦN 1 NĂM HỌC 2014 2015 Môn thi Toán lớp 8 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4 điểm) P[.]

TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG – LẦN NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn thi: Toán lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 - 26x + 24 c) x2 + 6x + b) 3 x − x + x −1 d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 Bài 2:4 điểm) x− y a)Tính giá trị biểu thức P = x + y Biết x – y = x y (x + y ≠ 0, y ≠ 0) b) Tìm số dư phép chia biểu thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2015 cho đa thức x + 10 x + 21 Bài (4 điểm): Cho biểu thức A = 4xy y − x2   : + 2 ÷ y + xy + x   y −x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nếu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Bài : (6 điểm) Cho hình vng ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vng góc với cắt BC P R, cắt CD Q S a) Chứng minh ∆AQR ∆APS tam giác cân b) QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật c) Chứng minh P trực tâm ∆SQR d) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng Bài : (2 điểm) a) d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = với x,y nguyên dương b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = Chứng minh a3 + b3+ ab ≥ - Hết HƯỚNG DẪN CHẤM THANG ĐIỂM 2 Bài a) 5x - 26x + 24 = 5x - 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - 6)(x 0,5 điểm (2 - 4) 3 điểm) 0,5 điểm 3 1  1  1  1  b) x3 − x + x − =  x  − 3. x  + 3. x .12 − 13 =  x − 1 BÀI NỘI DUNG 2  c) x + 6x + = x + x + 5x + = x(x + 1) + 5(x + 1) = ( x + 1)( x + 5) 2  2  2  4 3 2 d) x + 2015x + 2014x + 2015 = x + x + x – x – x – x + 2015x + 2015x +2015 = x2 (x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2015) 0,5 điểm 0,5 điểm 7 Bài 0,5 điểm  a) ( x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1)  3x − ÷ = 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + (1,5 4  điểm) −77 7x – 3x + = 4 b) x – 2y = xy ⇔ x2 – xy – 2y2 = ⇔ (x + y)(x – 2y) = 2 Vì x + y ≠ nên x – 2y = ⇔ x = 2y Khi A = 2y − y y = = y + y 3y c) P( x) = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2015 = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 2015 Đặt t = x + 10 x + 21 (t ≠ −3; t ≠ −7) , biểu thức P(x) viết lại: 0,5 điểm 0,5 điểm P ( x ) = ( t − ) ( t + 3) + 2015 = t − 2t + 2000 Do chia t − 2t + 2000 cho t ta có số dư 2000 Bài a) Điều kiện: x ≠ ± y; y ≠ 0,25 điểm (1,25 b) A = 2x (x+y) 0,5 điểm điểm) c) Cần giá trị lớn A, từ tìm tất giá trị 0,25 điểm nguyên dương A Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = ⇒ 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) =1 ⇒ 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = ⇒ A + (x – y + 1)2 = ⇒ A = – (x – y + 1)2 ≤ (do (x – y + 1) ≥ (với x ; y) ⇒ A ≤   x − y + 1= x=    + A = 2x( x + y) = ⇔  y =  x ≠ ± y;y ≠   2 (x − y + 1) =  + A = 2x( x + y) = Từ đó, cần cặp giá trị   x ≠ ± y;y ≠ 0,25 điểm  2−1 x =  x y, chẳng hạn:  y = +  2 + Vậy A có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = Bài a) x3 - 2x2 - 5x + = ⇔ x3 - x2 - x2 + x - 6x + = ⇔ (x - 1)(x2 - x - 6) 0,5 điểm (2  x =1 điểm) = ⇔ (x - 1)(x + 2)(x - 3) = ⇔  x = −2   x = b) − 3x = 3x − ⇔ 3x − = 3x − ⇔ 3x − ≥ ⇔ x ≥ c) ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; ⇔ + ( x + 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) 0,5 điểm 0,25 điểm = + ( x − 3) ( x + )   1   1   ⇔ − − − ÷+  ÷= +  ÷  x +1 x +   x + x +   x − x +  ( x − 3) ( x + 1) ( x − 3) ( x + 1) ⇔ = + ⇔ = + x +1 x − 3 ( x + 1) ( x − ) ( x + 1) ( x − 3) ( x + 1) ( x − ) ⇒ x2 − 8x = ⇔ x ( x − 2) = 0,25 điểm ⇔ x = x = (thỏa mãn điền kiện) Vậy tập nghiệm phương trình: S = d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = với x,y nguyên dương 0,5 điểm 2 2 x - y + 2x - 4y - 10 = ⇔ (x +2x+1) - (y +4y+4) – = ⇔ (x+1)2 - (y+2)2 = ⇔ (x – y - 1)(x + y + 3) = Vì x, y nguyên dương Nên x + y + > x – y – > ⇒ x + y + = x – y – = ⇒ x = 3; y=1 Phương trình có nghiệm dương (x , y) = (3 ; 1) Bài Vẽ hình, cân đối đẹp 0,25 điểm (2,75 a) a) ∆ADQ = ∆ABR chúng hai tam điểm giác vng (2 góc có cạnh t.ư vng góc) DA = BD (cạnh hình vng) Suy AQ=AR, nên ∆AQR tam giác vuông cân Chứng minh tương tự ta có: ∆ABP = ∆ADS AP =AS ∆APS tam giác cân A b) AM AN đường trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN ⊥ SP AM ⊥ RQ 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm · · Mặt khác : PAN = 450 nên góc MAN vng Vậy tứ giác AHMN = PAM có ba góc vng, nên hình chữ nhật c) Theo giả thiết: QA ⊥ RS, RC ⊥ SQ nên QA RC hai đờng cao 0,25 điểm ∆SQR Vậy P trực tâm ∆SQR d) Trong tam giác vng cân AQR MA trung điểm nên AM = QR 0,25 điểm ⇒ MA = MC, nghĩa M cách A C Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vng SCP, ta có NA = NC, nghĩa N cách A C Hay MN trung trực 0,5 điểm AC e) Vì ABCD hình vuông nên B D cách A C Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cách A C nên chúng phải nằm đường trung trực AC, nghĩa chúng thẳng hàng Bài a) A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + (0,5 2015 0,25 điểm 2 2 điểm = y + 2y(2x - 1) + (2x -1) + 9x - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1) + (3x - 2) + 2010 Chứng tỏ A ≥ 2010, dấu " =" xảy (x = Vậy A = 2010 (x = b) Ta có a3+ b3 + ab ≥ ;y= − ) 3 ;y= − ) 3 1 (1) ⇔ a3+b3+ab - ≥ ⇔ (a+b)(a2+ b2-ab) + ab2 2 ≥ ⇔ a2+b2- ≥ (vì a + b =1) ⇔ 2a2+2b2-1 ≥ ⇔ 2a2+2(1-a)2-1 ≥ (vì b 0,25 điểm = 1- a) ⇔ 2a2+2 - 4a + 2a2 - ≥ ⇔ 4(a2- a + ) ≥ ⇔ 4 a −  ≥ ∀a 2  (2) đpcm TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: điểm) Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức A c Tìm giá trị x để A <   10 − x2   x A = + + ÷:  x − + x + ÷  x − 2− x x + 2   b Tính giá trị A , Biết | x| = d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Bài 2: (3,0 điểm) Tìm x, biết: a 3x − = ; b) x + x + x + x +1 + = + 2011 2012 2013 2014 Bài 3: (4,0 điểm) a + 4a + Tìm a ∉ Z để A số nguyên a + 2a − 4a − b/ Tìm số tự nhiên n để n5 + chia hết cho n3 + Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhỏ 900 Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C, bờ đường thẳng AB vẽ AF vng góc với AB AF = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B, bờ đường thẳng AC vẽ AH vuông góc với AC AH = AC Gọi D trung điểm BC Trên tia đối tia DA lấy điểm I cho DI = DA Chứng minh rằng: a/ AI = FH ; b/ DA ⊥ FH Bài 5: (2 điểm)Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự trung điểm AB, CD a/ Chứng minh đường thẳng AC, BD, EF cắt trung điểm đường b/ Gọi giao điểm AC với DE BF theo thứ tự M N Chứng minh EMFN hình bình hành HẾT a/ Cho A = HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN MƠN: TỐN Bài 1: (4 điểm) a/ a2 – 7a + 12 = a2 – 3a – 4a + 12 = a(a – 3) – 4(a – 3) = (a – 3)(a – 4) b/ x + 2015x + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 + 2014x2 + 2014x + 2014 – x3 + = x2(x2 + x + 1) + 2014(x2 + x + 1)–(x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x4 + 2014 – x + 1) = (x2 + x + 1)(x4– x + 2015) 3 3 c/ x + y + z – 3xyz = (x + y) – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz = = (x + y + z)3 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y + z)2 – 3z(x + y) – 3xy] = (x + y + z)[x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy] = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) d/ (x2 - 8)2 + 36 = (x2+ 6x+10)(x2 -6x +10) Bài 2: (4 điểm) 2 a/ x + = −12 ⇔ x = −16 ⇔ x = −24 Vậy x = -24 3 1 15  15  1 b/ + : x = −3 ⇔ : x = − ⇔ x = :  − ÷ ⇔ x = − Vậy x = − 4 4  4 15 15 c/ x − = Xét trường hợp: * Nếu x ≥ 5/3 ta có: 3x - = ⇔ 3x = ⇔ x = (t/m ĐK trên) * Nếu x < 5/3 ta có: 3x-5 = - ⇔ 3x = ⇔ x = 1/3 (t/m ĐK xét) Vậy x = ; x = 1/3 x + x + x + x +1  x +   x +   x +   x +1  + = + ⇔ + 1÷+  + 1÷ =  + 1÷+  + 1÷ d/ 2011 2012 2013 2014  2011   2012   2013   2014  x + 2015 x + 2015 x + 1015 x + 2015 ⇔ + = + 2011 2012 2013 2014 1   ⇔ ( x + 2015 )  + − − ÷=  2011 2012 2013 2014  1 1 ⇔ x + 2015 = ⇔ x = −2015 + − − ≠0 2011 2012 2013 2014 Vậy x = - 2015 Bài 3: (2,0 điểm) a/ Rút gọn A = a−2 ⇔ a = 1; a = Để A nguyên ⇔ nguyên ⇔ M a−2 b/ n5 + Mn3 + ⇔ n2 (n3 + 1) - (n2 - 1) M(n3 + 1) ⇔ (n + 1)(n - 1) M(n3 + 1) ⇔ (n + 1)(n - 1) M(n + 1)(n2 – n + 1) ⇔ (n - 1) M(n2 – n + 1) (vì n + ≠ 0) + Nếu n = M1 + Nếu n > (n - 1) < n(n - 1) + < n2 – n + nên xảy n - Mn2 – n + Vậy giá trị n tìm n = Bài 4: (2,0 điểm) a/ Ta có: a − b + c − 5a − 3b + 4c − 20 = = = = = 10 12 24 a − b + c − ( 5a − 3b − 4c ) − − + 20 ⇒ = = = 10 − 12 + 24 Vì 5a - 3b - 4c = 46 nên: a − b + c − 46 + 52 = = = = = −2 −26 −26 Suy a - = - ⇔ a = -3; b + = - ⇔ b = -11; c - = -12 ⇔ c = - Vậy a = -3; b = - 11 ; c = - b/ Ta có a + b = ab ⇔ a = ab - b = b(a-1) Do đó: a : b = b(a - 1) = a - nên a + b = a - ⇔ b = -1 a = -1(a - 1) ⇔ a = -a + ⇔ 2a = ⇔ a = 0,5 Vậy a = 0,5 ; b = -1 Bài 5: (2,0 điểm) a/ Phân tích giả thiết để suy đfcm 1 + + Phần có a+b+c thay = a b c 1 1 + + = b/ Ta có: a + b a + c b + c 2011 a + b + c = 2014 ⇒ a = 2014- (b + c); b = 2014-(a + c); c = 2014 - (a + b) Do đó: 2014 − ( b + c ) 2014 − ( a + c ) 2014 − ( a + b ) S= + + b+c a+c a +b 2014 2014 2014 = −1 + −1+ −1 b+c a+c a +b 1   = 2014  + + ÷− b+c a+c a+b − = − = −2 = 2014 2014 Vậy S = - Câu 6: (3,0 điểm) H K Phân tích A F B D C a/ - Xét ∆ BDI ∆ CDA có: DB = DC (gt), I · · (đối đỉnh), DA = DI (gt) BDI = CDA ⇒ ∆ BDI = ∆ CDA (c.g.c) ⇒ BI = CA (2 cạnh tương ứng), · · (2 góc tương ứng) Mặt khác góc vị trí so le nên suy BI//AC BID = CAD - Xét ∆ ABI ∆ FAH có: · · AB=AF (gt), ·ABI = FAH (cùng bù với BAC ), BI = AH (cùng = AC) ⇒ ∆ ABI = ∆ EAH (c.g.c) ⇒ AI = FH (2 cạnh tương ứng) b/ Gọi K giao điểm DA FH ta có: · · · BAI + FAK = 900 , mà ·AFH = BAI · · hay ·AFK = BAI nên ·AFH + FAK = 900 · - Xét ∆ AFK có ·AFH + FAK = 900 · ⇒ FKA = 900 ⇒ AK ⊥ FK ⇒ AI ⊥ FH (vì I, K thuộc đường thẳng AD, K thuộc EH) Bài 7: (2 điểm) a/ - Hình vẽ: - Gọi O giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD, ta có O trung điểm BD - Chứng minh BEDF hình bình hành - Có O trung điểm BD nên O trung điểm EF D - Vậy EF, BD, AC đồng quy O b/ Xét ∆ ABD có M trọng tâm, nên OM = OA - Xét ∆ BCD có N trọng tâm, nên ON = OC - Mà OA = OC nên OM = ON - Tứ giác EMFN có OM = ON OE = OF nên hình bình hành Bài 8: (1 điểm) A( x ) = ( x − x + ) ( x − x + 12 ) + 10 A E // // B M O N // F // C Đặt x − x + = t ⇒ A( t ) = t ( t + ) + 10 = t + 6t + + = ( t + 3) + ≥ A( t ) Min = đạt t = -3 ⇒ A( x ) Min = đạt x − x + = -3 ⇔ x2 - 7x + = ⇒ x = + 13 ; x = − 13 2 PGD&ĐT TRƯỜNG THCS ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN THỨ BA - NĂM HỌC Mơn thi: Tốn Lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài (4 điểm)  x +1 x+3  − Cho biểu thức: A =  + ÷:  x −1 2x − 2x +  4x − 1) Hãy tìm điều kiện x để giá trị biểu thức A xác định 2) Chứng minh giá trị biểu thức xác định không phụ thuộc vào giá trị biến x Bài (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đôi khác thoả mãn: ab + bc + ca = ( a + b) ( b + c) ( c + a ) Tính giá trị biểu thức: A = ( 1+ a ) ( 1+ b ) ( 1+ c ) x + y = a + b 2) (1,5 điểm) Cho  2 2 x + y = a + b 2 Chứng minh với số nguyên dương n ta có: xn + yn = an + bn Bài (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Tìm dư chia x2015 + x1945 + x1930 - x2 - x + cho x2 - 2) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x2 + 3x + 4)2 Bài (3,0 điểm) a) C/m a+b+c chia hết cho a3 + b3 +c3 chia hết cho b) Tim số tự nhiên cho tông chúng tích chúng Bài (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AD, BC Đường chéo AC cắt đường chéo BD O đoạn BE, DF P, Q 1) Chứng minh rằng: P trọng tâm tam giác ABD 2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC 3) Lấy M thuộc đoạn DC Gọi I, K theo thứ tự điểm đối xứng M qua tâm E, F Chứng minh I, K thuộc đường thẳng AB 4) Chứng minh: AI + AK không đổi M thuộc đường thẳng AB Bài (2 điểm) 2 1  1  ) Cho x, y > thoả mãn x + y = Chứng minh rằng:  x + ÷ +  y + ÷ ≥ x  y  HẾT PGD&ĐT THỌ XUÂN TRƯỜNG THCS LAM SƠN Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG CẤP TRƯỜNG LẦN THỨ BA - NĂM HỌC 2014-2015 Mơn: Tốn Lớp Câu Nội dung   x = 2x  x − ÷ 25  25   2  = x  3x + ÷ x − ÷  5  3 a(a + 2b) - b(2a + b) = a[(a + b) + b]3 - b[a + (a + b)]3 = a[(a + b)3 + 3(a + b)2b + 3(a + b)b2 + b3] - b[a3 + 3a2(a + b) + + 3a(a + b)2 + (a + b)3 = a(a + b) + 3ab(a + b)2 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) – - 3ab(a + b)2 - b(a + b)3 = a(a + b) + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) - b(a + b)3 = (a + b)[a(a + b)2 + 3ab2 -ab(a - b) - 3a2b -b(a + b)2] = (a + b)(a3 + 2ª2b + ab2 + 3ab2 - a2b + ab2 - 3a2b - a2b - 2ab2 - b3] = (a + b) (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3) = (a + b)(a - b)3 Đặt A = (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + A = (x – 2)(x – 5)(x – 4)(x – 5) + = (x2 – 7x + 10)(x2 – 7x + 12) + = (x2 – 7x + 11 – 1)(x2 – 7x + 11 + 1) + = (x2 – 7x + 11)2 – + = (x2 – 7x + 11)2 18x3 - Biểu điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 7 49 x2 – 7x + 11 = x2 – 2x +  ÷ + 11 −  2 2 +  7−  7  5   x − x − =  x − ÷ −  =  ÷ ÷ ÷  ÷ ÷ 2  ÷     2 2  7+   7−  x − Vậy A =  x − ÷  ÷  ÷ ÷     a) Giá trị biểu thức A xác định với điều kiện:  x2 −1 ≠  x2 ≠   2 x − ≠ ⇔  x ≠ ⇔ x ≠ ±1  2 x + ≠  x ≠ −1  4 x − ≠  Với x ≠ ±1 , ta có:  x +1 x +  4x2 − + − A=    ( x − 1)( x + 1) 2( x − 1) 2( x + 1)  + ( x + 1) − ( x + 3)( x − 1) 4( x − 1)( x + 1) = 2( x − 1)( x + 1) 2 (6 + x + x + − x − x + 3).2 = =4 Vậy giá trị biểu thức xác định khơng phụ thuộc vào giá trị 0,5 0,5 1,0 0,5 10