BÍ KÍP OÂN THI QUOÁC GIA MOÂN TOAÙN

BÍ KÍP OÂN THI QUOÁC GIA MOÂN TOAÙN BÍ KÍP OÂN THI QUOÁC GIA MOÂN TOAÙN GV Ñoaøn Quoác Ñoâng ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I Các hằng đẳng thức đáng nhớ + = + + + = + + + − = − + − = − + − − = + − + = + − + − =[.]

BÍ KÍP ÔN THI QUỐC GIA MÔN TOÁN  Phương trình có nghiệm trái dấu GV Đoàn Quốc Đông ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I.Các đẳng thức đáng nhớ:  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 a2 − b2 = (a + b)(a − b) Phương trình có nghiệm dương phân biệt a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) 2  II.Phương trình bậc hai: Phương trình có nghiệm âm phân biệt ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 1.Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai:   ∆0 : Phương trình vơ nghiệm III.Dấu đa thức: 1.Dấu nhị thức bậc nhất: : Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = − : Phương trình có nghiệm phân biệt: b 2a x1 < x2 < ∆ >  ⇔ P > S <   < x1 < x2 ∆ >  ⇔ P > S >  a − b = (a − b)(a + ab + b ) x1 < < x2 ⇔ P < x −∞ ax + b trái dấu a ; b a − f (x) = ax + b(a ≠ 0) +∞ dấu a “Phải cùng, trái trái” −b − ∆ −b + ∆ 2.Dấu tam thức bậc hai: x2 = 2a 2a f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 2.Cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai: Nếu “b chẵn” (ví dụ ) ta dùng cơng thức x −∞ +∞ ∆0 x1 = x2 = − x1 x2 a dấu a trái dấu a dấu a f (x)  : Phương trình có nghiệm phân biệt: ∆'> “Trong trái, cùng” ; 3.Dấu đa thức bậc 3: Bắt đầu từ ô bên phải dấu với hệ số a −b'− ∆ ' −b'+ ∆ ' x1 = x1 = ≥ a a số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi  Chú ý: với hai nghiệm dấu x1, x2 ax + bx + c = = a(x − x1)(x − x2) IV.Điều kiện để tam thức không đổi dấu phương trình bậc 2: R ax + bx + c = Cho tam thức bậc hai: f (x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 3.Định lí Viet: Nếu phương trình bậc có nghiệm a > a > ax2 + bx + c = f (x) > 0∀x∈ R ⇔  f (x) ≥ 0∀x∈ R ⇔  ∆ <  ∆ ≤ thì: x1, x2 a < a < f (x) < 0∀x∈ R ⇔  f (x) ≤ 0∀x∈ R ⇔   “Tổng bà, tích ca” ∆ < ∆ ≤  b V.Phương trình bất phương trình chứa trị tuyệt đối S = x1 + x2 = − a 1.Phương trình :  A  P = x x = c ,khi A ≥ A =  a − A ,khi A < 4.Các trường hợp đặc biệt phương trình bậc 2:   Nếu phương trình có nghiệm:  A ≥ a + b+ c =  x1 =   A = B A = B ⇔  x = c   a  A <  − A = B  Nếu phương trình có nghiệm:  a− b+ c =  x1 = −1  B ≥ x = − c  A = B ⇔  A = B  a  A = − B 5.Dấu nghiệm số:  ax + bx + c = 0(a ≠ 0) x1 =  sinα = OK A = B A= B ⇔  A = −B 2.Bất phương trình:  A < B A < B⇔   A > −B cosα = OH tanα = AT cotα = BS A ≤ B A ≤ B⇔   A ≥ −B  2.Các công thức lượng giác bản:  A < −B A >B⇔  A > B sinα cosα cosα 2)cotα = sinα 1)tanα =  A ≤ −B A ≥ B⇔  A ≥ B  3)sin2 α + cos2 α = 1 cos2 α 3.Các giá trị lượng giác đặc biệt: A < B ⇔ A2 < B2 ⇔ A2 − B2 < ⇔ ( A − B)(A + B) < 4)1+ tan2 α = 5)1+ cot2 α = sin2 α 6)tanα cotα = A ≤ B ⇔ A2 ≤ B2 ⇔ A2 − B2 ≤ VI.Phương trình bất phương trình chứa ẩn dấu bậc hai 1.Phương trình:   B ≥ A= B⇔   A = B   A ≥ 0(B ≥ 0) A= B⇔ A = B 2.Bất phương trình:  B <   A ≥ A > B⇔     B ≥   A > B2 4.Công thức cộng: cos(a + b) = cosacosb − sinasinb ;sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa cos(a − b) = cosacosb + sinasinb ;sin(a − b) = sinacosb − sinbcosa tana − tanb tana + tanb tan(a − b) = ;tan(a + b) = 1+ tanatanb 1− tanatanb 5.Công thức nhân đôi: sin2a = 2sinacosa  B <   A ≥ A≥B⇔    B ≥   A ≥ B2 cos2a = cos2 a − sin2 a = 2cos2 a − = 1− 2sin2 a tan2a =  A ≥  A < B ⇔ B >  A < B2  Hệ quả: sin x.cosx = sin2x 6.Công thức hạ bậc: 1− cos2x 1+ cos2x 1− cos2x ;cos2 x = ;tan2 x = 2 1+ cos2x 7.Công thức nhân ba: sin2 x = A ≥  A ≤ B ⇔ B ≥  A ≤ B2   2tana 1− tan2 a sin3a = 3sina − 4sin3 a;cos3a = 4cos3 a − 3cosa 8.Công thức biến đổi tích thành tổng: A ≥ A< B⇔ A < B  cos(a − b) + cos(a + b) 2 sinasinb =  cos(a − b) − cos(a + b) sinacosb = sin(a − b) + sin(a + b) 9.Công thức biến đổi tổng thành tích: cosacosb = A ≥ A≤ B⇔ A ≤ B VII LƯỢNG GIÁC 1.Định nghĩa giá trị lượng giác: a+ b a− b cos 2 a+ b a− b cosa − cosb = −2sin sin 2 a+ b a− b sina + sinb = 2sin cos 2 a+ b a− b sina − sinb = 2cos sin 2 cosa + cosb = 2cos 10.Cung liên kết: Sin – bù; cos – đối; phụ – chéo; π - tan,  cot  Hai cung bù nhau: α sin(π − α ) cos(π − α ) tan(π − α ) cot(π − α )  Hai cung đối nhau: α Hai cung phụ nhau:  = sinα = − cosα = − tanα = − cotα cos(−α ) sin(−α ) tan(−α ) cot(−α )  π −α cot x + tan x =   −α  = cosα = − sinα = − tanα = − cotα α   π π sin x − cosx = 2sin x − ÷ = − 2cos x + ÷ 4    sin2x cot x − tan x = 2cot2x 1± sin2x = ( sin x ± cosx) ( ) sin4 x + cos4 x = sin2 x + cos2 x − 2sin2 xcos2 x = 1− sin2 2x  ( )( = 1− sin2 2x 13.Phương trình lượng giác π −α u = v + k2π sinu = sinv ⇔  u = π − v + k2π u = arcsina + k2π sinu = a ⇔  u = π − arcsina + k2π Đặc biệt: π sinu = ⇔ u = + k2π sinu = ⇔ u = kπ π sinu = −1⇔ u = − + k2π π  tan − α ÷ = cotα 2  π  cot − α ÷ = tanα 2  Hai cung sin( α ± π ) π : cos( α ± π ) tan( α ± π ) cot( α ± π ) α α ±π  u = v + k2π cosu = cosv ⇔  u = arccosa + k2π  u = −v + k2π cosu = a ⇔  u = − arccosa + k2π Đặc biệt: cosu = ⇔ u = k2π π cosu = ⇔ u = + kπ cosu = −1⇔ u = π + k2π = − sinα = − cosα = tanα = cotα Hệ quả: sin(x + kπ ) cos(x + kπ )  sin x = − sin x  cosx = − cosx ,kchaü n ,klẻ k∈ Z ,kchẵ n ,klẻ k∈ Z tan(x + kπ ) = tan x cot(x + kπ ) = cot x  Hai cung : π α π α+ 2  π sin α + ÷ 2   π cos α + ÷ 2   π tan α + ÷ 2   π cot α + ÷ 2  tanu = tanv ⇔ u = v + kπ tanu = a ⇔ u = arctana + kπ cotu = cot v ⇔ u = v + kπ cot u = a ⇔ u = arccot a + kπ Lưu ý: a) Khi giải phương trình lượng giác ta phải đặt điều kiện gặp hai trường hợp sau: TH1: Phương trình có chứa hàm số tang cotang (trừ phương trình bậc bậc hai theo hàm số tang cotang) • Phương trình có chứa : Điều kiện tanx π x ≠ + kπ • Phương trình có chứa : Điều kiện cotx x ≠ kπ • Phương trình có chứa : Điều kiện tanx cotx π x≠ k TH2: Phương trình có chứa ẩn mẫu Điều kiện: mẫu → ≠0 k∈ Z k∈ Z = cosα = − sinα = − cotα = − tanα • • “Sin góc lớn = cos góc nhỏ - Cos góc lớn = trừ sin góc nhỏ” 11.Cơng thức tính theo : sin x,cosx,tan x x tan Nếu đặt thì: x 2t 1− t2 2t t = tan sin x = ;cos x = tan x = 2 1+ t 1+ t 1− t2 12.Một số công thức khác:  ) sin6 x + cos6 = sin2 x + cos2 x sin4 x − sin2 xcos2 x + cos4 x π  sin − α ÷ = cosα 2  π  cos − α ÷ = sinα 2   sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ cosx ≠ ⇔ x ≠ • π + kπ tan x ≠ ⇔ x ≠ k π cot x ≠ ⇔ x ≠ k π • b)   π π sin x + cosx = 2sin x + ÷ = 2cos x − ÷ 4 4   Cách chuyển hàm: TH1: vào (*) π sin x = cosx = ⇔ x = + kπ TH2: Chia vế (*) cho ta phương trình bậc cosx ≠ cos2 x π  sinα = cos − α ÷   π  cosα = sin − α ÷   π  tanα = cot − α ÷ 2  π  cotα = tan − α ÷ 2  c) tanx Lưu ý: Phương trình asin2 x + bsin x.cosx + ccos2 x = d đưa dạng (*) cách: 17 Phương trình đối xứng phản xứng : phương trình có dạng a(sin x ± cosx) + bsin x cosx + c =  Đặt :   π→ t = sin x + cosx = 2sin x + ÷ 4  asin2 x + bsin x + c = acos2 x + bcosx + c = ⇒ sin xcosx = atan x + btan x + c = acot2 x + bcot x + c =  −1≤ t ≤ ⇒ sin xcosx = Khơng có điều kiện t ( u ± v) a +b Vì b sin x + a +b 2 ' nên tồn cung α a +b ⇔ sin(x + α ) =  Điều kiện có nghiệm: (cosu)' = − sinuu ' ' u' 1(tanu) = (1+ tan u).u' = cos2 u cos x (cot x)' = −(1+ cot2 x) = − ' (cot ) = − u' = −(1+ cot2 u).u' sinux sin u a +b ≤ 1⇔ c (ex )' = ex (eu )' = eu.u' (ax )' = ax.lna (au)' = au.lnau ' x (loga x)' = a +b 2 (lnu)' = u' u xlna (loga u)' = u' ulna a b '  ax + b  c d ad − cb =  ÷= 2  cx + d  (cx + d) (cx + d) a +b ≥c c (sinu)' = cosuu ' (tan x)' = 1+ tan2 x = (ln x)' = c ( ) (cosx)' = − sin x cho  a cosα =  a2 + b2  b sinα =  a + b2  Khi phương trình trở thành: ' (sin x)' = cosx     a b  ÷ +  ÷ =1 2 ÷ 2 ÷  a +b   a +b  sin x.cosα + sinα cosx = '  1  ÷ = − v' v  v ' u' u = u ( ) a + b2 ' (un)' = nu n−1.u'  1  ÷=− x  x ' x = x (ku)' = k.u' ( uv) = u'v + uv' ( uvw) = u'vw + uv'w + uvw' = u'± v' (xn)' = n.xn−1 c cosx = ' ' cos2x = 2cos2 x − 1= 1− 2sin2 x 15 Phương trình bậc đối vối sinx cosx : Là phương trình có dạng asin x + bcos x = c Chia vế phương trình cho ta được: a2 + b2 a − 2≤ t≤ 1− t2  u  u'v − uv'  ÷= v2  v  Điều kiện (x)' = (c)' = sin2 x = 1− cos2 x sin x + cos x = 1⇒  2  cos x = 1− sin x − 2≤ t≤ VIII.Cơng thức tính đạo hàm: Các cơng thức cần nhớ:  Điều kiện t2 −  π → t = sin x − cosx = 2sin x − ÷ 4   Đặt: t = tan x( t = cot x) → d≠ ⇔ asin2 x + bsin x.cosx + ccos2 x = d(sin2 x + cos2 x) 14 Phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác: Là phương trình có dạng t = sin x( t = cosx) → với asin2 x + bsin x.cosx + ccos2 x = d − cosα = cos(π − α ) Điều kiện ) theo Cách loại dấu trừ: − sinα = sin(−α ) − tanα = tan(−α ) − cotα = cot(−α ) Ngoại lệ: ( a b a c b c x +2 x+ '  ax2 + bx + c  a' b' a' c' b' c'  ÷ ÷= (a' x2 + b' x + c')2  a' x + b' x + c'   Công thức cần nhớ: sinα cosβ ± sinβ cosα = sin(α ± β ) 16.Phương trình bậc hai: phương trình có dạng (*) asin2 x + bsin x.cosx + ccos2 x = “anh bạn ăn cơm chén” IX.Các dạng toán hàm số: 1.Các bước chung khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu *) ∗ ∗ Tập xác định: ∗ Đạo hàm: Các dạng đồ thị hàm số phân thức Giới hạn (và tiệm cận hàm phân thức ax + b y= cx + d ) y= ax + b (c ≠ 0,ad − bc ≠ 0) cx + d y' > y' < y'  Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình y' = tìm nghiệm  Đối với hàm phân thức ax + b y= cx + d : (hoặc a b c d ad − bc y' = = >0 (cx + d)2 (cx + d)2 ∗ ∗ ax + b y= cx + d Tập xác định tam thức bậc y' = 3ax2 + 2bx + c  Hàm số đồng biến  Hàm số nghịch biến Vẽ đồ thị: R y = ax + bx + cx + d(a ≠ 0) a< a> D=R Đạo hàm ) Các dạng đồ thị hàm số bậc ba Số nghiệm phương trình y' = y' = 2.Tìm điều kiện tham số m để hàm số đơn điệu khoảng xác định: a.Hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d Bảng biến thiên: Nhận xét chiều biến thiên cực trị Bảng giá trị:(5 điểm hàm bậc 3, bậc 4; điểm hàm phân thức ∗ ) < ∀x∈ D b.Hàm biến: y= ∆  y' ≤ ⇔ y' ≥ 0,∀x∈ R ⇔  ay' > R ∆  y' ≤ ⇔ y' ≤ 0,∀x∈ R ⇔  ay' < ax + b cx + d Tập xác định  d D = R \ −   c Đạo hàm có dấu phụ thuộc vào dấu tử ad − cb y' = (cx + d)2 có nghiệm phân biệt Hàm số đồng biến khoảng xác định (Khơng có dấu “=”) ⇔ y' > 0,∀x∈ D ⇔ ad − cb >  Hàm số nghịch biến khoảng xác định (Khơng có dấu “=”) ⇔ y' < 0,∀x ∈ D ⇔ ad − cb < 3.Cực trị hàm số:  Hàm số đạt cực trị y = f (x) x0 ⇔  y'(x0 ) =   y''(x0 ) ≠  Hàm số đạt cực đại y = f (x) x0 ⇔  y'(x0 ) =   y''(x0 ) <  Hàm số đạt cực tiểu y = f (x) x0 ⇔  y'(x0) =   y''(x0) >  y' = có nghiệm kép y' = vô nghiệm Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c(a ≠ 0) a> a< a.Hàm bậc 3: y' = có nghiệm phân biệt y = ax3 + bx2 + cx + d(a ≠ 0) ⇒ y' = 3ax2 + 2bx + c  Hàm số có cực trị (cực đại cực tiểu) y' = y' = có nghiệm  có nghiệm phân biệt Hàm số khơng có cực trị ⇔ ∆ y' > ⇔ ay' ≠ Phương trình ⇔ phương trình y' = vơ nghiệm có nghiệm kép (C1) : y = f1(x) (C2 ) : y = f2(x)  Phương trình hồnh độ giao điểm : (C1) (C2 ) (*) f1(x) = f2(x)  cắt điểm phân biệt n (C1) (C2) phương trình (*) có nghiệm phân biệt n Lưu ý : Trục hồnh có phương trình y=  ∆  y' ≤ ⇔ ay' ≠ b.Hàm bậc trùng phương: y = ax4 + bx2 + c(a ≠ 0) ⇒ y' = 4ax3 + 2bx Ta có: y' = ⇔ 4ax3 + 2bx = ⇔ 2x(2ax2 + b) = x = ⇔  2ax + b = x = ⇔  −b x =  2a   ⇔ phương trình (2)  ⇔ Phương trình có nghiệm y' = Phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác −b ⇔ >0 2a Hàm số có cực trị ⇔ 7.Dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình Cho đồ thị Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm (C ) : y = f (x) (1) Hàm số có cực trị phân biệt  ⇔ Phương trình −b ⇔ ≤0 2a 4.Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: a.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số xác y = f (x)  Hàm số liên tục đoạn  Tính đạo hàm  Giải [a; b] dạng (*) h(x,m) = f (x) = g(m) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai đồ thị :  y = f (x) (C )   y = g(m) (d) M0(x0; y0) trình y' = là: y = f '(x0 )(x − x0 ) + y0 Lưu ý: Ta phải tìm đại lượng:  x0   y0 = f (x0 )  f '(x )  Tìm xi ∈ [a; b](i = 1,2,3 )  Tính , , y(a) y(b) y(xi )  So sánh kết luận b.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng nửa khoảng Biến đổi phương trình tuyến đồ thị điểm [a; b] y' phương h(x,m) =  Bảng kết : m g(m) Số giao điểm Số nghiệm … … … … Lưu ý: Nếu toán yêu cầu tìm giá trị m để phương trình có nghiệm, nghiệm,… ta khơng cần lập bảng kết mà cần rõ trường hợp thỏa đề (Dựa vào đồ thị ta thấy (C) (d) cắt điểm, điểm …) 8.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: Cho hàm số có đồ thị đường cong (C) Phương trình tiếp y = f (x) có nghiệm y' = Phương trình (2) vơ nghiệm có nghiệm kép định đoạn Cho hai đồ thị nghiệm Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết hồnh độ tiếp điểm y = f (x) (a;b),(a; +∞ ),(−∞; b),[a;b),(a; b] …  Tính đạo hàm  Thay  Thay x0 vào vào y' tính y y0 tính y' x0 f '(x0 ) Phương trình tiếp tuyến: y = f '(x0 )(x − x0 ) + y0 Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến biết tung độ tiếp điểm Tìm tập xác định Tính đạo hàm y'  Lập bảng biến thiên  Dựa vào bảng biến thiên, so sánh kết luận 5.Tìm giao điểm hai đường  Cho hai đồ thị (C1) : y = f1(x) (C2 ) : y = f2(x)  Phương trình hồnh độ giao điểm : (C1) (C2) (*) f1(x) = f2(x)  Giải phương trình (*) ta hoành độ giao điểm, vào hàm số tung độ y = f1(x) y = f2(x) giao điểm 6.Tìm điều kiện tham số m để hai đường cong cắt với số điểm cho trước    tìm f (x0 ) = y0 x0  Thay vào tính y' x0 f '(x0 )  Phương trình tiếp tuyến: y = f '(x0 )(x − x0 ) + y0 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k  Giả sử tiếp điểm M0(x0; y0)  Giải phương trình tìm f '(x0 ) = k x0  Thay vào ta tìm y x0 y0  Giải phương trình y0 x0 Phương trình tiếp tuyến:  Lưu ý:  Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng f '(x0) = a Nếu tiếp tuyến vng góc với đường thẳng  f '(x0 ).a = −1⇔ f '(x0 ) = − a X.Các công thức lũy thừa lôgarit: 1.Công thức lũy thừa: a0 = a− n = an y = ax + b(a ≠ 0) a af ( x) > ag( x) ⇔ f (x) > g(x) (a ) ( ab) = am.n n 0< a< af ( x) > ag( x) ⇔ f (x) < g(x) XII.Phương trình bất phương trình lơgarit: 1.Phương trình lơgarit:  loga x = b ⇔ x = ab  loga f (x) = b ⇔ f (x) = ab  loga f (x) = loga g(x) ⇔ f (x) = g(x) 2.Bất phương trình lơgarit:  a>1 loga x > b ⇔ x > ab a>1 loga f (x) > b ⇔ f (x) > ab  0< a< loga x > b ⇔ x < ab 0< a< loga f (x) > b ⇔ f (x) < ab  a>1 loga f (x) > loga g(x) ⇔ f (x) > g(x) = an.bn an = n a Các tính chất quan trọng:  Nếu a>1 aα > aβ ⇔ α > β  Nếu 0< a< aα > aβ ⇔ α < β Công thức lôgarit: 1) 2) 3) loga = loga a = loga bα = α loga b 4) logaα b = 5) 6) 7) loga n b = log b n a 0< a< loga f (x) > loga g(x) ⇔ f (x) < g(x) Lưu ý đặt điều kiện cho phương trình, bất phương trình mũ lơgarit:  Khơng có điều kiện af ( x) →  Điều kiện: logf ( x) g(x) →  f (x) >   f (x) ≠  g(x) >   loga b α (lơgarit tích tổng loga(bc) = loga b + loga c lôgarit) (lôgarit thương hiệu b loga = loga b − loga c c lôgarit) (đổi số) logc b loga b = logc a 8) loga b = 9) Đặc biệt:  t = ax → Điều kiện: t> Đặt Nguyên hàm loga b.logb c = loga c ∫1.dx = x + C Đặc biệt: alogb c = clogb a Đặt Khơng có điều kiện t t = loga x → XIII.Cơng thức ngun hàm-tích phân  Cơng thức nguyên hàm:  logb a 10) a>1  a n = n am  am = am− n an n af ( x) = ag( x) ⇔ f (x) = g(x) 2.Bất phương trình mũ:  a>1 ax > b ⇔ x > loga b a>1 af ( x) > b ⇔ f (x) > loga b  0< a< ax > b ⇔ x < loga b 0< a< af ( x) > b ⇔ f (x) < log b m n y = ax + b am.an = am+ n m  a  an  ÷ = n  b b  y = f '(x0 )(x − x0 ) + y0 aloga b = b xα +1 ∫ x dx = α + + C α Các tính chất quan trọng:  Nếu a>1 loga α > loga β ⇔ α > β  Nếu 0< a< loga α > loga β ⇔ α < β XI.Phương trình bất phương trình mũ: 1.Phương trình mũ:  ax = b ⇔ x = loga b  af ( x) = b ⇔ f (x) = loga b ∫ x dx = ln x + C ∫ x ∫x dx = x + C dx = − +C x ∫ cosxdx = sin x + C Nguyên hàm mở rộng a dx = ax + C ∫ (ax + b)α +1 dx = +C a α +1 1 ∫ ax + b dx = a.ln ax + b + C 1 ∫ ax + b dx = a.2 ax + b + C ∫ (ax + b) α ∫ (ax + b) 1 dx = − +C a ax + b ∫ cos(ax + b)dx = a.sin(ax + b) + C  ∫ sinxdx = − cosx + C ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C ∫ cos2 x dx = tan x + C 1 ∫ cos2(ax + b) dx = a.tan(ax + b) + C ∫ sin2 x dx = − cot x + C 1 ∫ sin2(ax + b) dx = − a.cot(ax + b) + C ∫ e dx = e ∫e x x +C Đặc biệt: dx = eax+ b + C a −x  αx α ax+ b +C α ax+ bdx = +C ∫ lnα a lnα Phương pháp đổi biến số dạng 1: x ∫ α dx = b t( b) a t( a) I = ∫ f [t(x)].t'(x)dx = ∫ ∫ f (e )e dx → x   Đặt Công thức: ∫ f (cosx)sinxdx →  Đặt Đặt Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn hai đồ thị đồ thị hàm số y = f (x), y = g(x) x y = f (x)  dx → b XIV.Số Phức 1.Định nghĩa số phức: Số phức biểu thức có dạng t = cot x đặt m n ∫ sin xcos xdx A a,b t= n A : Phương pháp đổi biến số dạng 2:  Hàm có chứa đặt x = asint a2 − x2  Hàm có chứa đặt 2 a x −a x= sint  Hàm có chứa hay đặt 2 x = atant 2 a + x a +x b a a z = a + bi : z = a2 + b2 z = a + bi z = a − bi (a + bi ) + (a'+ b'i ) = (a + a') + (b + b')i  Phép trừ hai số phức: a (a + bi ) − (a'+ b'i) = (a − a') + (b − b')i  Phép nhân hai số phức: (a + bi ).(a'+ b'i) = (aa'− bb') + (ab'+ ba')i  Phép chia hai số phức: (nhân tử mẫu cho P (x) P (x) ≥ Q(x)  Số phưc nghịch đảo : Chia đa thức tử cho mẫu ) z2 z1 z1.z2 = z2 z2.z2 ∫ Q(x) dx Bậc “Thực  Phép cộng hai số phức: sin x    ln x → P (x) →  cos x ex    Bậc a = a' a + bi = a'+ b'i ⇔  b = b'  Số phức liên hợp: số phức Thứ thự ưu tiên:  C thực, ảo ảo”  Môđun số phức b Phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ: , số thực, phần ảo t = cosx b i = −1 a: gọi phần thực b: gọi phần ảo  Tập hợp số phức ký hiệu z = a + bi  Số phức có phần thực gọi số ảo  Hai số phức nhau: có phần thực = uv − ∫ vdu ∫ udv  quay V = π ∫ [ f (x)]2 dx Nếu m n chẵn ta dùng công thức hạ bậc Nếu m chẵn, n lẻ ta đặt t = sin x Nếu m lẻ, n chẵn ta đặt Tích phân phần: x = a, x = b a  Khi tính tích phân dạng  , trục hồnh hai đường thẳng quanh trục hoành tạo thành vật thể trịn xoay tích là: t = tan x n o b Tính thể tích vật thể trịn xoay: Cho hình (H) giới hạn đồ thị hàm số  Nếu biểu thức dấu tích phân có chứa o o x = a, x = b a  t = cos x Đặt ∫ f (cot x) sin , hai đường thẳng S = ∫ f (x) − g(x) dx  a  t = sin x ∫ f (tanx) cos x dx → , trục b Công thức: Đặt x = a, x = b y = f (x) S = ∫ f (x) dx t= e ∫ f (sinx)cosxdx → Tính diện tích hình phẳng  Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số f (t)dt x x : Phân tích mẫu thành tích Q(x) → 1  1  = −  ÷ (x − a)(x − b) a − b  x − a x − b  hoành, hai đường thẳng Một số cách đổi biến thường gặp:  Đặt t = ln x ∫ f (lnx) x dx →  Bậc Ñaë t P (x) P (x) A B C = = + + Q(x) (x − a) (x − b) (x − a)2 x − a x − b ⇒ ∫ e dx = −e + C  P (x) < biến đổi theo cách sau: ax+ b −x Bậc z là: z = z z.z 2.Giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập số phức: Cho phương trình bậc hai ( ) a≠ az2 + bz + c = a,b,c ∈ R Cnk = ∆ = b2 − 4ac  ∆0 − b + −∆i 2a x2 = x1 = x2 = − b 2a  IV.Xác suất  ; −b − ∆ 2a  Chú ý:  Khi giải phương trình trùng phương phức C , ta đặt t = z2 az4 + bz2 + c = (không cần điều kiện cho t = Cn0an + Cn1an−1b + Cn2an− 2b2 + L + n  n  = ∑ Cnkan− kbk  = ∑ Cnkakbn− k ÷ k=  k=  : Phương trình có nghiệm thực phân biệt: x2 = n Cnkan− kbk + + Cnn−1abn−1 + Cnnbn −b − −∆i 2a : Phương trình có nghiệm kép thực : −b + ∆ x1 = 2a (0 ≤ k ≤ n) n! k!(n − k)! tập số  ) Số hạng tổng quát: Cnkan− kbk Cnkakbn− k Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) thí nghiệm, phép đo hay quan sát tương mà: Kết khơng đốn trước Có thể xác định tập hợp tất kết xảy phép thử Khơng gian mẫu: Tập hợp tất kết xảy phép thử Kí hiệu (ơ-mê-ga) Ω Biến cố: Là tập không gian mẫu Biến cố không biến cố không xảy ∅ -  z = − a(a > 0) ⇔ z = ±  TỔ HỢP – XÁC SUẤT I Quy tắc đếm Quy tắc cộng: Một cơng việc hồn thành hai phương án A B Nếu có m cách thực phương án A, n cách thực phương án B có m+n cách hồn thành cơng việc Quy tắc nhân: Một công việc thực qua hai hành động liên tiếp A B Nếu có m cách thực hành động A, n cách thực hành động B có cách hồn thành cơng việc m× n Lưu ý: Đối với toán thành lập số ta phải xét hai trường hợp thỏa mãn điều kiện sau:  Đề cho có chữ số  Số cần tìm có chữ số khác  Số cần tìm số chia hết cho (số chẵn) số chia hết cho II.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Hoán vị: Từ n phần tử thứ tự →  Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( ) Mỗi cách Biến cố chắn Ω biến cố xảy Phép toán biến cố: : Hợp biến cố A B ( xảy A∪ B A∪ B A xảy B xảy ra) ⇔ (hay ): Giao biến cố A B ( A∩ B A.B xảy A B đồng thời xảy ra) ⇔ A∩ B ta nói A B biến cố xung khắc A∩ B = ∅  n≥  thứ tự n phần tử tập A gọi hoán vị n phần tử  Số hốn vị n phần tử: Pn = n! = n(n − 1) 2.1 n!: đọc “n giai thừa” Chỉnh hợp: Từ n lấy k thứ tự → →  Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( ) Lấy k (không đồng thời xảy ra) gọi biến cố đối biến cố A A= Ω \ A (A xung khắc ) A A∪ A = Ω Xác suất biến cố: n(A) P (A) = n(Ω) Trong đó: : Số kết thuận lợi cho biến cố A n( A) : Số phần tử khơng gian mẫu n(Ω) Tính chất xác suất: P (∅) = 0, P (Ω) = - , với biến cố A ≤ P (A) ≤ Nếu A B xung khắc thì: (cơng thức cộng xác suất) P ( A ∪ B) = P (A) + P(B) , với biến cố A P A = 1− P (A) n≥ phần tử xếp chúng theo thứ tự đó, kết thu được gọi chỉnh hợp chập k n phần tử HÌNH HỌC PHẲNG  Số chỉnh hợp chập k n phần tử: I Một số công thức thường dùng hình học phẳng: (0 ≤ k ≤ n) n! k An = = n(n − 1) (n − k + 1) Hệ thức lượng tam giác: Cho , ký hiệu (n − k)! ∆ABC Tổ hợp: Từ n lấy k - a, b, c: độ dài cạnh →  Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( ) Lấy k - R: bán kính đường trịn ngoại tiếp n≥  Định lí cơsin: phần tử, kết thu được gọi chỉnh hợp chập a2 = b2 + c2 − 2bc cos A k n phần tử  2 b = a + c − 2ac cosB  Số tổ hợp chập k n phần tử: c2 = a2 + b2 − 2abcosC  ( )    Định lí sin: a b c = = = 2R sin A sinB sinC Cơng thức tính độ dài trung tuyến:  2b2 + 2c2 − a2 ma =   2a2 + 2c2 − b2 mb =   2a2 + 2b2 − c2 mc =    Hệ thức lượng tam giác vuông:    BC = AB + AC (địnhlí Pitago)    S = pr (r: bán kính đường trịn nội tiếp, AB = BH BC AC = CH BC : nửa chu vi)  (Công thức Hê-rông) S = p( p − a)( p − b)( p − c) Tam giác vuông: x tích cạnh góc vng S= Tam giác đều: cạnh2 S= Hình vng: S = Cạnh2 Hình chữ nhật: S = dà i × rộ ng  Hình bình hành:  Hình thoi: 2 a+ b+ c p= S = đá cao S = đá y × cao hoặc S = AB.AD.sin A S = AB.AD.sin A x tích đường chéo S=  Hình thang: (đá ylớ n+ đá ybé ) × cao S=  Hình trịn: S = π R2 II.Các đường tam giác: 1.Đường trung tuyến_Trọng tâm  Xuất phát từ đỉnh  Qua trung điểm cạnh đối diện A AG = AM;GM = AM 3 AH = BH CH AH BC = AB.AC  1 = + 2 AH AB AC Tỉ số lượng giác góc nhọn: G sinα cosα tanα cotα AC BC AB = BC AC = AB AB = AC = B Đố i (Đi học) Huyề n Kề = (Khó choà i) Huyề n Đố i = (Đừ ngkhó c) Kề Kề = (Kẹâ y) Đố i = Lưu ý:  Trong tam giác vuông, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vng có độ dài ½ cạnh huyền  Hình vng có độ dài đường chéo cạnh x  Cạnh huyển tam giác vng cân có độ dài cạnh góc vuông x  Đường cao tam giác có độ dài cạnh 5.Các cơng thức tính diện tích:  Tam giác thường:  ( : độ dài đường cao) 1 ,hb,hc S = aha = bhb = chc 2  1 S = absinC = acsinB = bcsin A 2  abc S= 4R 10 C M * Tính chất:  Ba đường trung tuyến tam giác cắt điểm điểm gọi trọng tâm tam giác  Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh độ dài đường trung tuyến 2.Đường cao_Trực tâm  Xuất phát từ đỉnh  Vng góc cạnh đối diện A J H B C I * Tính chất:  Ba đường cao tam giác cắt điểm điểm gọi trực tâm tam giác 3.Đường trung trực_Tâm đường tròn ngoại tiếp  Qua trung điểm cạnh  Vng góc với cạnh A I B C Cách tìm góc đường thẳng β d  Tìm hình chiếu d’ d  Khi góc d (α ) (α ) d mặt phẳng (α ) : góc d d’: Ta trình bày sau: - Vì nên hình chiếu O O O ∈ (α ) (α ) α d ⊥ (α )   ⇒ (α ) ⊥ (β ) d ⊂ (β ) - Vì Tính chất:  Hai mặt phẳng vng góc với nhau, đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng ⇒ AH ⊥ (α ) nên hình chiếu A (α ) H Hình chiếu AO HO · ,HO) = AOH · ⇒ (·AO,(α )) = (AO 3) Góc hai mặt phẳng: Là góc hai đường thẳng nằm mặt phẳng, vng góc với giao tuyến β b d I  (α ) ⊥ (β )  (α ) ∩ (β ) = d  ⇒ a ⊥ (α ) a ⊂ (β ),a ⊥ d  Hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba   (α ) ∩ (β ) = d   a ⊂ (α ),a ⊥ d  ⇒ ((α ),(β )) = (a,b) b ⊂ (β ),b ⊥ d Cách tìm góc hai mặt phẳng : (α ) (β ) Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (α ) (β ) Tìm đường thẳng a b nằm hai mặt phẳng  α a (β ) (α ) mà vng góc với giao tuyến d Khi góc hai mặt phẳng (α ) (β ) góc hai đường thẳng a b IV Khoảng cách: 1) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:  (α ) ⊥ (γ )  (β ) ⊥ (γ )  ⇒ d ⊥ (γ ) (α ) ∩ (β ) = d III Góc: 1) Góc hai đường thẳng: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng cắt a’ b’ song song (hoặc trùng) với a b Từ A kẻ AH ⊥ (α ) ⇒ d( A,(α )) = AH Phương pháp tìm đoạn AH: Chọn (hoặc dựng) mặt phẳng phụ chứa A vng góc (β ) với mặt phẳng theo giao tuyến đường thẳng a (α ) - Trong mặt phẳng , kẻ (β ) AH ⊥ a ⇒ AH ⊥ (α ) ⇒ d( A,(α )) = AH - (a,b) = (a',b') 2) Góc đường thẳng mặt phẳng: Góc đường thẳng d mặt phẳng (α ) góc d hình chiếu d’ d (α ) (d,(α )) = (d,d') 12  Lưu ý: Nếu AO ∩ (α ) = O 1) d( A,(α )) AO = d(I ,(α )) IO 2) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:  Tính chất hình chóp đều:  Đường cao qua tâm đáy  Các mặt bên tam giác cân hợp với đáy góc  Các cạnh bên hợp với đáy góc Cách 1: Bằng độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng MN gọi đoạn vng góc chung hai đường thẳng a Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy đa giác tất cạnh bên Chú ý:  Tứ giác hình vng, ta thường vẽ hình bình hành có tâm giao điểm đường chéo  Đối với tam giác ta vẽ tam giác thường có tâm giao điểm hai đường trung tuyến  Tứ diện tứ diện có tất cạnh 2) Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy: b M ∈ a  N ∈ b  MN ⊥ a, MN ⊥ b   Cách 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách đường thẳng với mặt phẳng song song với chứa đường thẳng cịn lại d(a,b) = d(b,(α )) = d(M ,(α )) = d(M ,( ABC )) = Trong (α ) Chú ý: Giả thiết tốn cho hai dạng sau:  SA ⊥ (ABCD)  vng góc với (SAB) (SAD) ( ABCD) 3VM ABC SABC Ta có: mặt phẳng chứa đường thẳng a song song với đường thẳng b M điểm tùy ý đường thẳng b V Hình chóp – khối chóp: Thể tích khối chóp phần ba diện tích dáy nhân với chiều cao V = Sđáy × cao Một số lưu ý tính diện tích đa giác:  Trong tam giác ABC, M điểm tùy ý cạnh BC ta có: S∆ABM BM = S∆ABC BC   Đường trung tuyến tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích Hai đường chéo hình bình hành chia hình bình hành thành phần có diện tích VI Các khối hình chóp thường gặp: 13 3) (SAB) ⊥ (ABCD)  (SAD) ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ (ABCD) (SAB) ∩ (SAD) = SA  Cơ sở định lý: “Hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba đó” Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy: đường cao mặt bên đường cao hình chóp Chú ý:  Cơ sở định lý: “Hai mặt phẳng vng góc với nhau, đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng kia”  Đường cao SH đường cao hình chóp ∆SAB nên vẽ SH thẳng đứng  Thường toán cho “ tam giác nằm ∆SAB mặt phẳng vng góc với đáy” ta trình bày sau: - Gọi H trung điểm AB - Vì SH đường cao ⇒ ∆SAB ∆SAB ⇒ SH ⊥ AB Ta có: Trong đó: (SAB) ⊥ ( ABCD)  (SAB) ∩ ( ABCD) = AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD)  SH ⊂ (SAB),SH ⊥ AB  VA.SBC = VB.SAC = VC SAB = VS.ABC IX Hình lăng trụ - khối lăng trụ: Thể tích khối lăng trụ diện tích đa giác đáy nhân với chiều cao VII Tỉ số thể tích khối chóp: Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ khác với S V = Sđáy × cao Ta có: Tính chất hình lăng trụ:  Các cạnh bên song song  Các mặt bên mặt chéo hình bình hành  Hai đáy nằm hai mặt phẳng song song, hai đa giác nhau, có cạnh tương ứng song song 1) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy Đối với hình lăng trụ đứng:  Các cạnh bên đường cao  Các mặt bên hình chữ nhật nằm mặt phẳng vng góc với đáy 2) Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy đa giác Đối với lăng trụ đều, mặt bên hình chữ nhật 3) Hình hộp:  Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành  Hình hộp đứng hình hộp có cạnh bên vng góc với đáy  Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Thể tích hình hộp chữ nhật (a, b, c: kích thước) V = abc  Hình lập phương hình hộp chữ nhật có tất cạnh Thể tích hình lập phương (a: độ dài cạnh) V = a3 X Mặt cầu – Khối cầu: 1) Định nghĩa: Mặt cầu tâm I bán kính R ký hiệu S(I;R) tập hợp tất điểm không gian cách điểm I cố định khoảng R không đổi Mặt cầu với phần khơng gian bên gọi khối cầu (Công thức dùng cho VS.A ' B 'C ' SA' SB ' SC ' = VS.ABC SA SB SC khối chóp tam giác) Các trường hợp đặc biệt:  C ≡ C' VS.A' B 'C ' SA' SB' = VS.ABC SA SB  C ≡ C '; B ≡ B' VS.A' B 'C ' SA' = VS.ABC SA VIII Ứng dụng cơng thức thể tích để tìm khoảng cách từ điểm đến 2) mặt phẳng: Ta có: Diện tích mặt cầu thể tích khối cầu:  Diện tích mặt cầu: 1 VS.ABC = SABC cao = SABC d(S,(ABC )) 3 3V ⇒ d(S,( ABC )) = S.ABC SABC Tương tự: d(A,(SBC )) = 3VA.SBC SSBC d(B,(SAC )) = 3VB.SAC SABC d(C ,(SAB)) = 3VC.SAB SSAB  Thể tích khối cầu: S = 4π R2 V = π R3 XI Mặt trụ – Hình trụ - Khối trụ: 1) Định nghĩa: Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh AB cạnh CD vạch thành mặt tròn xoay gọi mặt trụ 14 ( : chiều cao) 1 h V = Sđáy.cao = π r h 3 XIII Cách xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp số hình chóp thường gặp Hình 1: Hình chóp S.ABC có vng B, SA ⊥ (ABC) ∆ABC  Thể tích khối nón: Cách đặc biệt Hai cạnh AD BC vạch hai hình trịn nhau, hình tạo thành mặt trụ hai hình trịn gọi hình trụ Hai hình trịn gọi hai đáy hình trụ  Cạnh CD gọi đường sinh hình trụ  Cạnh AB gọi trục hình trụ  Khoảng cách hai đáy gọi chiều cao hình trụ  Hình trụ với phần khơng gian bên gọi khối trụ Diện tích mặt trụ thể tích khối trụ:  Diện tích xung quanh mặt trụ: ( : độ dài đường Sxq = 2π rl l  2) sinh, r : bán kính đáy ) Gọi I trung điểm SC vuông A (1) ⇒ IA = IS = IC ∆SAC ⇒ BC ⊥ SB BC ⊥ AB  ⇒ BC ⊥ (SAB) BC ⊥ SA  vuông B (2) ⇒ IB = IS = IC ⇒ ∆SBC Từ (1) (2) ⇒ IA = IB = IC = IS Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: R = IS = SC Hình 2: Hình chóp S.ABC có vuông A, SA ⊥ ( ABC ) ∆ABC  Diện tích tồn phần hình trụ:  Thể tích khối trụ: Stp = Sxq + 2Sđáy = 2π rl + 2π r ( : chiều cao) V = Sđáy.cao = π r 2h h XII Mặt nón – Hình nón - Khối nón: 1) Định nghĩa: Cho tam giác OIM vuông I quay quanh cạnh IO cạnh OM vạch thành mặt trịn xoay gọi mặt nón Gọi O trung điểm BC ∆ABC Qua O dựng đường thẳng ∆ ⇒ O tâm đường trịn ngoại tiếp vng góc với mp(ABC) ⇒ ∆ trục đường tròn ngoại tiếp Cạnh IM vạch hình trịn, hình tạo thành mặt nón hình trịn gọi hình nón Hình trịn gọi mặt đáy hình nón  Cạnh OM gọi đường sinh hình nón  Cạnh OI gọi trục hình nón Độ dài đoạn OI gọi chiều cao hình nón  Điểm O gọi đỉnh hình nón Diện tích mặt nón thể tích khối nón:  Diện tích xung quanh mặt nón: ( : độ dài đường Sxq = π rl l  2) sinh,  ∆ABC Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d trung trực SA Gọi I = d∩ ∆ Ta có:  I ∈ d ⇒ IA = IS   I ∈ ∆ ⇒ IA = IB = IC ⇒ IA = IB = IC = IS Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: 1  R = IA = AO2 + OI =  BC ÷ + AM 2  : bán kính đáy ) r Diện tích tồn phần hình nón: Hình 3: Hình chóp S.ABC có Stp = Sxq + Sđáy = π rl + π r 15 ∆ABC tam giác đều, SA ⊥ (ABC ) Gọi I trung điểm SC vuông A (1) ⇒ IA = IS = IC ∆SAC Gọi J trung điểm BC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp Qua O dựng đường thẳng ∆ ∆ABC vng góc với mp(ABC) đường tròn ngoại tiếp ⇒ ∆ ⇒ BC ⊥ SB BC ⊥ AB  ⇒ BC ⊥ (SAB) BC ⊥ SA  trục (2) ⇒ IB = IS = IC ⇒ CD ⊥ SD CD ⊥ AD   ⇒ CD ⊥ (SAD) CD ⊥ SA  ⇒ ∆SBC ∆ABC Trong mp(SAJ), dựng đường thẳng d trung trực SA Gọi I = d∩ ∆ Ta có:  I ∈ d ⇒ IA = IS   I ∈ ∆ ⇒ IA = IB = IC vuông B vuông D (3) ⇒ ID = IS = IC ⇒ ∆SCD Từ (1), (2) (3) ⇒ IA = IB = IC = ID = IS Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: R = IS = SC Hình 6: Hình chóp S.ABCD ⇒ IA = IB = IC = IS Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: 2  R = IA = AO2 + OI =  AJ ÷ + AM 3  Hình 4: Hình chóp S.ABC Gọi O giao điểm đường chéo Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇒ SO trục đường trịn ngoại tiếp hình vuông ABCD Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d trung trực SA Gọi I = d ∩ SO Ta có:  I ∈ d ⇒ IA = IS   I ∈ SO ⇒ IA = IB = IC = ID ⇒ IA = IB = IC = ID = IS SO trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d trung trực SA Gọi I = d ∩ SO Ta có:  I ∈ d ⇒ IA = IS   I ∈ SO ⇒ IA = IB = IC Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: R = IS Cách tính bán kính: (Vì tam giác vng có chung góc S) ∆SMI #∆SOA ⇒ IA = IB = IC = IS Suy ra: I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: R = IS Cách tính bán kính: (Vì tam giác vng có chung góc S) ∆SMI #∆SOA ⇒ ⇒ ⇒ IS SM SA.SM = ⇒ IS = SA SO SO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN OXYZ I.Hệ tọa độ Oxyz: Gồm trục Ox,Oy,Oz đơi vng góc có véctơ đơn vị là: r r r i , j ,k IS SM SA.SM = ⇒ IS = SA SO SO Hình 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng (hoặc hình chữ nhật), SA ⊥ ( ABCD) Cách đặc biệt 16  Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB:  Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: II.Tọa độ vectơ: r r r r r u = ( x; y; z) ⇔ u = xi + yj + zk Đặc biệt: r r r r = (0;0;0), i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1) III.Tọa độ điểm: (x : hoành độ, y : tung uuuu r M (x; y; z) ⇔ OM = (x; y; z) độ, z : cao độ) Đặc biệt:  M ∈ (Oxy) ⇔  M ∈ (Oyz) ⇔  M ∈ (Oxz) ⇔  M ∈ Ox ⇔  M ∈ Oy ⇔  M ∈ Oz ⇔ thì: r r r a.b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 b = (b1; b2; b3) xM =  yM = yM = zM = AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 Trục Oy là:  Trục Oz là:  mp(Oxy) là:  mp(Oxz) là:  mp(Oyz) là: M (xM ; yM ; zM ) M2(0; yM ;0) VI.Tích có hướng hai vectơ:  Định nghĩa: Cho hai vectơ M3(0;0; zM ) M12(xM ; yM ;0) r  r ka = (ka1; ka2; ka3), k ∈ R a1 = b1 r r  a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3 cao” r phương r r r ⇔tồn số k cho: r r b(b ≠ 0) a = kb a ⇔ Tích có hướng hai r a = (a , a , a ) r b = (b1, b2, b3) a3 a3 a1 a1 a2  ; ; ÷ = ( a2b3 − a3b2; a3b1 − a1b3; a1b2 − a2b1) b3 b3 b1 b1 b2 ÷  Quy tắc: 23-31-12  b2 “Hoành hoành, tung tung, cao   [ ar,b] =  a2 M23(0; yM ; zM ) r r a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3) a + a22 + a32 b12 + b22 + b32 vectơ r r vectơ xác định sau: a b M13(xM ;0; zM )  a1b1 + a2b2 + a3b3 Điều kiện hai vectơ vng góc: r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 =  IV.Các cơng thức tọa độ: Nếu r thì: r a = (a1;a2;a3), b = (b1; b2;b3)  rr a.b r r cos(a, b) = r r = a.b lên: M1(xM ;0;0) a1 = kb1  ⇔ a2 = kb2 a = kb  Góc hai vectơ:  xM = yM =   Độ dài đoạn thẳng AB:  Trục Ox là: “Hoành nhân hoành+ tung nhân tung + cao nhân cao” Ứng dụng:  Độ dài vectơ: Nếu r r a = (a1; a2; a3) a = a12 + a22 + a22 xM = zM =   xA + xB + xC  xG =  yA + yB + yC   yG =   zA + zB + zC  zG =  V.Tích vơ hướng hai vectơ:  Biểu thức tọa độ tích vô hướng: Nếu r a = (a1; a2;a3), zM = Hình chiếu vng góc điểm  xA + xB  xI =  yA + yB   yI =   zA + zB  zI =  a1 a2 a3 = = , (b1, b2, b3 ≠ 0) b1 b2 b3  Cách tính tích có hướng hai vectơ máy tính 1.Máy 570VN PLUS  ON MODE 1: Nhập tọa độ Vectơ  r a AC  r b AC → → → → → MODE SHIFT → r a 17 → → → → → → → 1: Nhập tọa độ Vectơ X → SHIFT → = 2.Máy 570ES PLUS  ON MODE Tọa độ vectơ uuu r AB = (xB − xA; yB − yA ; zB − zA ) → → → → → 1: Nhập tọa độ Vectơ  AC  SHIFT Vectơ r b AC SHIFT → → 3.Máy 570MS  ON → → SHIFT  Vectơ r b AC SHIFT → → → → 5 → → → → → X 1: Nhập tọa độ → SHIFT →  → → → 5 → → 1 → → → → ( → → → → → X → (α): SHIFT = Diện tích hình bình hành ABCD: đến M0 ( x0; y0; z0 ) : d( M0,(α )) = mặt phẳng Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B2 + C ) ( ) A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Dạng 2: (α) qua điểm Ba vectơ r , r r đồng phẳng với ⇔ r r r [a, b].c = a b c SY ABCD  điểm Các dạng tốn viết phương trình mặt phẳng: Để viết phương trình mặt phẳng (α) ta cần xác định điểm thuộc (α) VTPT Dạng 1: (α) qua điểm có VTPT r : M x0; y0; z0 n = A; B;C 3: Nhập tọa độ M ( x0; y0; z0 )  Khi VTPT (α) Dạng 3: (α) qua điểm Ứng dụng tích có hướng:  A, B, C thẳng hàng uuu r uuur r ⇔  AB, AC  =    A, B, C, D đồng phẳng uuu r uuur uuur ⇔  AB, AC  AD =   Suy A, B, C, D tạo thành tứ diện (không đồng phẳng) uuu r uuur uuur ⇔  AB, AC  AD ≠    từ mp(Oxy) : z =  mp(Oxz) : y = mp(Oyz) : x =  ( r r r gọi tích hỗn tạp ba vectơ) [a, b].c  cách Đặc biệt: 3: Nhập tọa độ Tính chất tích có hướng:  Nếu r r r r r r r n⊥ a n⊥ b n =  a,b    Hai vectơ r r phương với r r r ⇔ [a, b] = a b  Khoảng (α ) : Ax + By + Cz + D =   → = Vectơ r a AC SHIFT →  → có cặp VTCP : r r a, b r r r nα = [ a,b] M ( x0; y0; z0 ) song song với mặt phẳng (β ): Ax + By + Cz + D = 0:  Khi r r VTPTnα = VTPTnβ = (A; B;C ) Dạng 4: (α) qua điểm không thẳng hàng A, B, C: uuur uuur =  AB, AD Diện tích tam giác ABC:  r uuur  uuu  AB, AC  Thể tích khối hộp ABCD.A′ B′ C′ D′ : uuu r uuur uuu r VABCD.A' B 'C 'D ' = [AB, AD].AA'  Thể tích tứ diện ABCD: S∆ABC =  Khi VTPT (α) uuur uuur r nα =  AB, AC  Dạng 5: (α) mặt phẳng trung trực MN: r uuur uuur uuu [AB, AC ].AD VII.Phương trình tổng quát mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng VABCD = qua M0(x0; y0; z0)  có VTPT r là: n = ( A; B;C ) A(x − x0) + B(y − y0 ) + C (z − z0) = Nếu (α) có phương trình (α) có VTPT Ax + By + Cz + D = r n = (A; B;C )  (α): Hai mặt phẳng song song với VTPT mặt VTPT mặt kia, hai mặt phẳng vng góc VTPT mặt VTCP mặt Dạng 6: (α) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt (β), (γ ): 18  Khi VTPT (α) QuaM r r r (α ) :  VTPT nα = VTCPud1 ,VTCPud2     r r r n(α ) = VTPTnβ ,VTPTnγ  Dạng 7: (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H ((α) tiếp diện mặt cầu (S) H): – Tìm tâm I mặt cầu (S) – QuaH r uuu r (α ) :  VTPT n(α ) = IH Dạng 12: (α) chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d (d1, d2 chéo nhau): QuaM1 ∈ d1  r r r (α ) :  VTPT nα = VTCPud1 ,VTCPud2     Dạng 13: (α) chứa đường thẳng d điểm M không nằm d: Dạng 8: (α) song song với mặt phẳng (β ) : Ax + By + Cz + D = tiếp xúc với mặt cầu (S): - Trên d lấy điểm A QuaM r uuuu r r (α ) :    VTPT nα =  AM ,VTCPud  Dạng 14: (α) chứa đường thẳng cắt d1, d2: – Vì ( α) song song với (β ) nên phương trình mp(α) có dạng Ax + By + Cz + m= 0(m≠ D) – Vì ( α) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên phương trình ta tìm Dạng 9: (α) qua điểm m d(I ,(α )) = R → Giải – Lấy điểm M thuộc d1 d2 ⇒M ∈ (α) – QuaM r r r (α ) :  VTPT nα = VTCPud1 ,VTCPud2     M ( x0; y0; z0 ) vng góc với đường thẳng Dạng 15: (α) chứa đường thẳng song song d1, d2: AB:  Khi VTPT (α) Dạng 10: (α) qua điểm uuu r r nα = AB M ( x0; y0; z0 ) vng góc với đường thẳng – Lấy M1 thuộc d1 M2 thuộc d2 – QuaM1  r uuuuuur r (α ):    VTPT nα =  M1M2,VTCPud1  Dạng 16: (α) chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (β): :  x = x0 + at  d :  y = y0 + bt  y = z + ct  – Lấy điểm M thuộc d ⇒M ∈ (α) – QuaM  Khi VTPT (α) r r r r r (α ) :    nα = VTCP ud = (a;b;c) VTPT nα = VTCPud ,VTPTnβ  Dạng 11: (α) qua điểm M song song với hai đường thẳng d1, d2 chéo VIII.Phương trình mặt cầu: (hoặc cắt nhau):  19 Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:  (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2   với x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = điều kiện phương trình mặt cầu tâm I(a; b; a2 + b2 + c2 − d > c) bán kính R = a2 + b2 + c2 − d Phương trình tham số là:  x = xo + at   y = yo + bt  z = z + ct o  Dạng 2: Phương trình Điều kiện mặt cầu  Phương trình là: tiếp xúc với mặt phẳng (P) là: (t ∈ R ) x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c (nếu a, b, c khác 0) Các dạng tốn viết phương trình đường thẳng: Để lập phương trình d(I ,(P )) = R đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP Các dạng tốn viết phương trình mặt cầu: Để viết phương trình mặt cầu Dạng 1: d qua điểm có VTCP r : (S), ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu M0(x0; y0; z0) u = (a; b;c) Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R:  x = xo + at (S):  2 2 (x − a) + (y − b) + (z − c) = R d : y = yo + bt (t∈ R )  Dạng 2: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) qua điểm M:  z = zo + ct Dạng 2: d qua hai điểm A, B: S(I , R) QuaA r uuu r d: VTCP ud = AB – Bán kính R = IM Dạng 3: Mặt cầu (S) có đường kính AB: Dạng 3: d qua điểm M0(x0; y0; z0) song song với đường thẳng ∆ cho trước: – Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB:  xA + xB  xI =  yA + yB   yI =   zA + zB  zI =  QuaM0 r r d: VTCP ud = VTCP u∆ Dạng 4: d qua điểm M0(x0; y0; z0) vng góc với mặt phẳng (P) cho trước: – Bán kính R = IA = AB Dạng 4: Mặt cầu (S) qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu có dạng: (S) x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = – Thay toạ độ điểm A, B, C, D vào (S), ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d ⇒Phương trình mặt cầu (S) Dạng 5: Mặt cầu tâm I(a; b; c) tiếp xúc với mặt phẳng (P): : Ax + By + Cz + D = QuaM0 r r d: VTCP ud = VTPT nP Dạng 5: d giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q): – Tìm toạ độ điểm M ∈ d: cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho ẩn, thường cho – – Bán kính: R = d(I ,(P )) = Aa + Bb + Cc + D A + B +C 2 M0(x0; y0; z0) có VTCP r d có u = (a;b;c) d1, d2: 20 ) QuaM r r r d: VTCP ud = VTPTnP ,VTPTnQ  Dạng 6: d qua điểm IX.Phương trình đường thẳng: Cho đường thẳng d qua điểm x= (P )  (Q) M0(x0; y0; z0) vng góc với hai đường thẳng