Đang tải... (xem toàn văn)
C¸c d¹ng to¸n ®iÓn h×nh vµ ph¬ng ph¸p gi¶i vÒ d•y sè C¸c d¹ng to¸n ®iÓn h×nh vµ ph¬ng ph¸p gi¶i vÒ d y sè 1 Muèn lµm ®îc c¸c bµi to¸n vÒ d y sè ta cµn ph¶i n¾m ®îc c¸c kiÕn thøc sau Trong d y sè tù n[.]
Các dạng toán điển hình phơng pháp giải dÃy số Muốn làm đợc toán dÃy số ta càn phải nắm đợc kiến thức sau: Trong d·y sè tù nhiªn liªn tiÕp cø mét số chẵn lại đến số lẻ lại đến số chẵn Vì vậy, nếu: - DÃy số số lẻ kết thúc số chẵn số lợng số lẻ số lợng số chẵn - DÃy số số chẵn kết thúc số lẻ số lợng số chẵn số lợng số lẻ - Nếu dÃy số số lẻ kết thúc số lẻ số lợng số lẻ nhiều số chẵn số - Nếu dÃy số số chẵn kết thúc số chẵn số lợng số chẵn nhiều số lẻ số a Trong dÃy số tự nhiên liên tiếp số số lợng số dÃy số giá trị số cuối số b Trong dÃy số tự nhiên liên tiếp số khác số số lợng sè d·y sè b»ng hiƯu gi÷a sè ci cïng dÃy số với số liền trớc số Các toán dÃy số phân loại toán sau: + DÃy số cách đều: - DÃy số tự nhiên - DÃy số chẵn, lẻ - DÃy số chia hết không chia hết cho số + DÃy số không cách - D·y Phi bo na xi - D·y cã tỉng(hiƯu) hai số liên tiếp dÃy số + DÃy số thập phân, phân số: Cách giải dạng toán dÃy số: Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, trớc dÃy số Trớc hết ta cần xác định lại quy luật dÃy số: + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trớc cộng(hoặc trừ) với số tự nhiên a + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) số hạng đứng trớc nhân (hoặc chia) với số tự nhiên q khác + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) tổng số hạng đứng trớc + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) tổng số hạng đứng trớc cộng với sè tù nhiªn d råi céng víi sè thø tù số hạng + Số hạng đứng sau số hạng đứng trớc nhân với số thứ tự + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, số liền sau lần số liền trớc + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, số liền sau lần sè liỊn tríc trõ ®i VÝ dơ 1: Điền thêm số hạng vào dÃy số sau: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 Muốn giải đợc toán trớc hết phảI xác định quy luật cña d·y sè nh sau: Ta thÊy: + = 2+3=5 3+5=8 + = 13 D·y số đợc lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ trở dmỗi số hạng tổng cđa hai sè h¹ng liỊn tríc nã VËy d·y sè đợc viết đầy đủ là: 89, 144 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, ViÕt tiÕp sè hạng vào dÃy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27 Ta nhËn thÊy: = + + 27 = 4+ + 15 15 = + + Từ ta rút đợc quy luật dÃy số là: Mỗi số hạng (kể tõ sè h¹ng thø 2) b»ng tỉng cđa ba sè hạng đứng trớc Viết tiếp ba số hạng, ta ®ỵc d·y sè sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169 Tìm số hạng c¸c d·y sè sau : a…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 : biết dÃy số có 10 sè h¹ng b , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 : biết dÃy số có 10 số hạng *) Giải: a Ta nhận xét : Số hạng thứ 10 : 1024 = 512 x Số hạng thứ : 512 = 256 x Số hạng thứ : 256 = 128 x Số hạng thứ : 128 = 64 x …………………………… Tõ ®ã ta suy luËn quy luật dÃy số là: số hạng dÃy số gấp đôi số hạng liền trớc Vậy số hạng dÃy là: x = b Ta nhËn xÐt : Số hạng thứ 10 : 110 = 11 x 10 Số hạng thứ : 99 = 11 x Số hạng thứ : 88 = 11 x Số hạng thứ : 77 = 11 x ………………………… Tõ ®ã ta suy luËn quy luật dÃy số là: Mỗi số hạng 11 nhân với số thứ tự số hạng Vậy số hạng dÃy : x 11 = 11 Tìm số cßn thiÕu d·y sè sau : a 3, 9, 27, ., 729, b 3, 8, 32, , 608, Muốn tìm đợc số thiếu dÃy số, cần tim đợc quy luật dÃy sè ®ã a Ta nhËn xÐt : 3x3=9 x = 27 Quy lt cđa d·y sè lµ: KĨ từ số thứ trở đi, số liền sau lần số liền trớc Vậy số thiếu dÃy số là: 27 x = 81 ; 81 x = 243 ; 243 x = 729 (đúng) Vậy dÃy số thiếu hai sè lµ : 81 vµ 243 b Ta nhËn xÐt: x – = ; x – = 23 Quy lt cđa d·y sè lµ: KĨ tõ sè thứ trở đi, số hạng sau lần số hạng trớc trừ 1, vậy, số thiếu dÃy số là: 23 x - = 68 ; = 608 (®óng) 68 x – = 203 ; 203 x – DÃy số thiếu hai số là: 68 203 Lúc 7h sáng, ngời từ A đến B ngời từ B đến A ; hai đến đích lúc 2h chiều Vì đờng khó dần từ A đến B ; nên ngời từ A, đầu đợc 15km, sau lại giảm 1km Ngời từ B cuối đI đợc 15km, trớc lại giảm 1km Tính quÃng đờng AB *) Giải: chiều 14h ngày ngời đến đích số giê lµ: 14 – = giê VËn tèc ngời từ A đến B lập thành dÃy sè: 15, 14, 13, 12, 11, 10, VËn tèc ngời từ B đến A lập thành dÃy số: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 Nhìn vào dÃy số ta nhận thấy có số hạng giống quÃng đờng AB là: + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84 (đáp số 84km) Điền số thích hợp vào ô trống cho tổng số ô liên tiếp 2002 783 *) Giải: Ta đánh số thứ tự ô nh sau: 998 ô1 «2 «3 «4 «5 783 «6 «7 «8 «9 998 ô10 783 998 Theo điều kiện đề ta có: 783 + Ô7 + Ô8 = 2002 Ô7 + ¤8 + ¤9 = 2002 VËy ¤9 + 783; tõ ta tính đợc: Ô8 = Ô5 = Ô2= 2002 - (783 + 998) = 2002 Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998 Ô3 = Ô6 = 783 Điền số vào ta đợc dÃy số: 998 221 783 998 221 783 998 221 Mét sè lu ý gi¶ng dạy Toán dạng là: Trớc hết phải xác định đợc quy luật dÃy dÃy tiến, dÃy lùi hay d·y sè theo chu kú (vÝ dô: 6) Tõ mà học sinh điền đợc số vào dÃy đà cho * Bài tập tự luyện: 13, 19, 25,……, D·y sè kĨ tiÕp thªm sè nào? Số suy nghĩ thấp cao? Đố em đố bạn kể liền? Viết số hạng thiÕu d·y sè sau: a 7, 10, 13,……, 22, 25 b 103, 95, 87,……, 55, 47 99 Là số hạng cuối mà DÃy số: số hạng nha Số hạng đứng trớc gấp sau liền Đố em tôi, đố bạn hiền DÃy số có số gì? Là nhanh đáp khó chi! Đố anh, đố chị cung thi tài Điền số thích hợp vào ô trống, cho tổng sè ë « liỊn b»ng: a n = 14,2 2,7 8,5 b n = 14,3 2,7 7,5 D¹ng 2: Xác định số A có thuộc dÃy đà cho hay không? Cách giải dạng toán này: - Xác ®Þnh quy lt cđa d·y; - KiĨm tra sè a có thoả mÃn quy luật hay không? Ví dụ: Cho d·y sè: 2, 4, 6, 8,…… a Nªu quy tắc viết dÃy số? b Số 93 có phải số hạng dÃy không? Vì sao? *) Giải: a Ta nhËn thÊy: Sè h¹ng thø 1: = x Sè h¹ng thø 2: = x Sè h¹ng thø 3: = x … Sè h¹ng thø n: ? = x n Quy lt cđa d·y sè lµ: Mét sè hạng nhân với số thứ tự số hạng b Ta nhận thấy số hạng dÃy số chẵn, mà số 93 số lẻ, nên số 93 số hạng dÃy Cho d·y sè: 2, 5, 8, 11, 14, 17,…… - Viết tiếp số hạng vào dÃy số trên? - Số 2000 có thuộc dÃy số không? Tại sao? *) Gi¶i: - Ta thÊy: – = 3; 11 – = 3; ……… D·y sè trªn ®ỵc viÕt theo quy lt sau: KĨ tõ sè thø trở đi, số hạng số hạng đứng liỊn tríc nã céng víi VËy sè h¹ng tiÕp theo cđa d·y sè lµ: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 - Sè 2000 cã thuéc dÃy số trên, kể từ số hạng thứ dÃy số 2000 chia cho d Em h·y cho biÕt: a C¸c sè 60, 483 cã thuéc d·y 80, 85, 90,…… hay kh«ng? b Sè 2002 cã thuéc d·y 2, 5, 8, 11,…… hay không? c Số số 798, 1000, 9999 có thuộc dÃy 3, 6, 12, 24, giải thích sao? *) Giải: a Cả số 60, 483 không thuộc dÃy đà cho vì: - Các số hạng dÃy đà cho lớn 60 - Các số hạng dÃy đà cho chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho b Số 2002 không thuộc dÃy đà cho số hạng dÃy chia cho 2, mà 2002 chia d c Cả số 798, 1000, 9999 không thuộc dÃy 3, 6, 12, 24, vì: - Mỗi số hạng dÃy (kể từ số h¹ng thø 2) b»ng sè h¹ng liỊn tríc nhËn víi 2; số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trớc số chẵn, mà 798 chí cho = 399 số lẻ - Các số hạng dÃy chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho - Các số hạng dÃy (kể từ số hạng thứ 2) chẵn, mà 9999 số lẻ Cho d·y sè: 1, 2, 2; 3, 4;……; 13; 14, NÕu viÕt tiÕp th× sè 34,6 cã thuéc d·y số không? *) Giải: - Ta nhận xét: 2,2 - = 1,2; 1,2;…… 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = Quy lt cđa d·y sè trªn là: Từ số hạng thứ trở đi, số hạng sau số hạng liền trớc 1,2 đơn vị: - Mặt khác, số hạng dÃy số trõ ®i ®Ịu chia hÕt cho 1,2 VÝ dơ: (13 - 1) : 1,2 (3,4 - 1) : 1,2 (34,6 - 1) : 1,2 = 28 d VËy nÕu viÕt tiÕp th× sè 34,6 cịng thc d·y sè trªn Cho d·y sè: 1996, 1993, 1990, 1997,……, 55, 52, 49 Các số sau có phải số hạng dÃy không? 100, 123, 456, 789, 1900, 1995, 1999? *) Giải: Nhận xét: Đậy dẫy số cách đơn vị Trong dÃy số này, số lớn nhÊt lµ 1996 vµ sè bÐ nhÊt lµ 49 Do đó, số 1999 số hạng dẫy số đà cho Mỗi số hạng dÃy số đà cho lµ sè chia hÕt cho 3, d Do ®ã, sè 100 vµ sè 1900 lµ sè cđa d·y số Các số 123, 456, 789 1995 chia hết số số hạng dÃy số đà cho * Bµi tËp lù lun: Cho d·y sè: 1, 4, 7, 10,… a Nªu quy lt cđa d·y b Sè 31 có phải số hạng dÃy không, phải số hạng thứ bao nhiêu? c Số 1995 có thuộc dÃy không? Vì sao? Cho dÃy sè: 1004, 1010, 1016,…, 3008 Hái sè 2004 vµ 1760 có thuộc dÃy số hay không? Cho dÃy sè: 1, 7, 13, 19,…, a Nªu quy lt cđa d·y sè råi viÕt tiÕp sè h¹ng tiÕp theo b Trong số 1999 2001 số thuéc d·y sè? V× sao? Cho d·y sè: 3, 8, 13, 18, Có dÃy số tự nhiên có chữ số tận mà thuộc dÃy số không? Cho dÃy số: 1, 3, 6, 10, 15,, 45, 55, a Số 1997 có phải số hạng dÃy số hay không? b Số 561 có phải số hạng dÃy số hay không? Nếu số số hạng dÃy số đà cho số vị trí thứ dÃy số đó? Dạng 3: Tìm số hạng dÃy * Cách giải dạng là: - Sử dụng phơng pháp giải toán khoảng cách (giải toán trồng cây) Ta có công thức sau: Số số hạng dÃy = số khoảng + - Nếu quy luật dÃy là: Số hạng đứng trớc vị trí thứ dÃy số số tổng nhiêu, số tự nhiên liên tiếp (bắt đầu từ 1) đợc tính theo công thức: nx (n ± 1) VÝ dô: Cho d·y sè: 2, 4, 6, 8, 10,, 1992 a HÃy xác định dÃy số có số hạng? b Nếu ta tiếp tục kéo dài số hạng dÃy số số hạng thứ 2002 số mấy? *) Gi¶i: a Ta cã: 10 ………… 4–2=2 ; 8–6 =2 6–4=2 ; ……… 1992 VËy, quy luật dÃy số là: Mỗi số hạng đứng sau số hạng đứng trớc cộng với Nói khác: Đây dÃy số chẵn dÃy số cách đơn vị Dựa vào công thức trên: (Số hạng cuối số hạng đầu) : khoảng cách + Ta có: Số số hạng dÃy lµ: (1999 – 2) : + = 996 (sè h¹ng) b Ta nhËn xÐt: Sè h¹ng thø lµ: = – = + (2 1) x Số hạng thứ là: = + = + (3 – 1) x Số hạng thứ là: = + = + (4 – 1) x Số hạng thứ 2002 là:2 + (2002 1) x = 4004 Đáp số: a 996 số hạng b 4004 sè h¹ng Cho 1, 3, 5, 7, dÃy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 số hạng thứ dÃy số này? Giải thích cách tìm? (Đề thi học sinh giỏi bËc tiĨu häc 1980 – 1981) *) Gi¶i: Ta thÊy: Sè h¹ng thø nhÊt b»ng: 1=1+2x0 Sè h¹ng thø hai bằng: 3=1+2x1 Số hạng thứ ba bằng: 5=1+2x2 Còn sè h¹ng cuèi cïng: 1981 = + x 990 Vì vậy, số 1981 số hạng thứ 991 d·y sè ®ã Cho d·y sè: 3, 18, 48, 93, 153, a Tìm số hạng thứ 100 sỹ b Số 11703 số hạng thứ dÃy? *) Giải: a Số hạng thứ nhất: = + 15 x Sè h¹ng thø nhÊt: 18 = + 15 x Sè h¹ng thø nhÊt: 48 = + 15 x + 15 x Sè h¹ng thø nhÊt: 93 = + 15 x + 15 X + 15 x Sè h¹ng thø nhÊt: + 15 x 153 = + 15 x + 15 x + 15 x ……… Sè h¹ng thø n: + 15 x1 + 15 x +15 x + …… + 15 x (n - 1) VËy sè hạng thứ 100 dÃy là: + 15 x + 15 x + …… + 15 x (100 – 1) = + 15 x (1 + + + …… + 99) (§a vỊ mét sè nh©n víi mét tỉng = + 15 x (1 + 99) ; x 99 = 74253 b Gọi số 11703 số hạng thứ n dÃy: Theo quy luËt ë phÇn a ta cã: + 15 x + 15 x + 15 x + …… x (n – 1) = 11703 + 15 (1 + + + …… n – 1) = 11703 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) x (n – 1) : = 11703 15 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x n x (n – 1) = 23400 ; 15 = 23400 = 1560 NhËn xÐt: Sè 1560 lµ tÝch cđa hai sè tự nhiên liên tiếp 39 40 (39 x 40 = 1560) VËy, n = 40, sè 11703 lµ sè hạng thứ 40 dÃy Trong số có chữ số chia hết cho 102 sè lín nhÊt cã ch÷ sè chÝ hÕt cho 999 Nh vậy: Các số có chữ sè chia hÕt cho lµ: (999 - 102) : + = 300 (số) Đáp số: 300 số Cho d·y sè: 1, 2, 3, 4, ……… 195 a TÝnh sè ch÷ d·y b Ch÷ sè thø 195 chữ số nào? *) Giải: a Ta viết l¹i d·y sè: 1, …… 9, 10, …… 99, 100, ……, 195 Trong d·y cã sè gåm ch÷ số; số cho chữ số Có 90 số gồm chữ số; số cho x 90 = 180 ch÷ sè Cã 96 sè gåm chữ số; số cho x 96 = 288 chữ số Vậy chữ số dÃy là: + 180 + = 477 (ch÷ sè) b Trên ta đà tính đợc số chữ số đoạn dÃy 19, 1099, 100, 195 180 288 477 Vì < 195 < 477, nen chữ số thứ 195 chữ số thuộc vào đoạn từ 100 đến 195, 195 189 = 6, nên chữ số thứ đoạn từ 100 đến 195 Ta thấy chữ số (nằm sè 101) * Bµi tËp tù lun: Cho d·y số: 3, 8, 13, 23, Tìm số hạng thứ 30 cđa d·y sè trªn? Cho d·y sè: 1, 4, 9, 16, …… a Nªu quy lt cđa d·y? b Số 625 số hạng thứ bao nhiêu? c Số hạng thứ 100 số nào? Ngời ta viết số chẵn liên tiếp có chữ số liền thành số lớn theo quy tắc sau: 10 12 14 16 18 ……… 96 98 a Sè có chữ số? b Trong có bao nhiªu sè 6? XÐt d·y sè: 100, 101, , 789 a DÃy có số? b Sè thø 100 lµ sè nµo? c D·y nµy cã chữ số? d Chữ số 789 chữ sè nµo? Cho d·y sè: 1, 1; 2, 2; 3, 3; ……… 108, 9; 110,0 a D·y sè nµy có số hạng? b Số hạng thứ 50 dÃy số số hạng nào? Dạng 4: Tìm tổng số hạng dÃy số *) Giải: Nếu số hạng dÃy số cách tổng hai số hạng cách đầu số hạng cuối dÃy số Vì vậy: Tổng số hạng dÃy tổng cặp hai số hạng cách đầu số hạng đầu cuối nhân với số hạng dÃy chia cho Viết thành sơ đồ: Tổng dÃy số cách đèu = (số đầu + số cuối) x (số hạng : 2) Từ sơ đồ ta suy ra: Số đầu cđa d·y = tỉng x : sè sè h¹ng – sè h¹ng ci Sè ci cđa d·y – tỉng x : số số hạng số đầu Ví dụ: Tính tổng 19 số lẻ liên tiếp *) Giải: 19 số lẻ liên tiếp là: 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37 Ta thÊy: + 37 = 38 ; + 33 = 38 + 35 = 38 ; + 31 = 38 Nếu ta xếp cặp số từ hai đầu số vào, ta đợc cặp số có tổng số 38 Số cặp số là: 19 : = (cặp số) d số hạng Số hạng d số hạng dÃy số số 19 Vậy tổng 19 số lẻ liên tiếp là: 39 x + 19 = 361 Đáp số: 361 Nhận xét: Khi số số hạng dÃy số lẻ (19) cặp số dự lại số hạng gữa số lẻ không chia hết cho 2, nên dÃy số có nhiều số hạng việc tìm số hạng lại không khó khăn Vậy ta làm cách nh sau: 19 – = 18 (sè h¹ng) Ta thÊy: + 37 = 40 ; + 33 = 40 + 35 = 40 ; + 31 = 40 Khi đó, ta xếp cặp số từ đầu dÃy số gồm 18 số hạng vào đợc cặp số có tổng 40 Số cặp số là: 18 ; = (cặp số) Tổng 19 số lẻ liên tiếp là: + 40 x = 361 Chú ý: Khi số hạng số lẻ, ta để lại số hạng đầu dÃy số (số đầu, số cuối) để lại số chẵn số hạng cặp; lấy tổng cặp nhân với số cặp cộng với số hạng đà để lại đợc tổng dÃy số - Từ ví dụ trên, ta thấy giải toán phơng pháp lý thuyết tổ hợp, phải phân biệt rạch ròi cặp xếp thứ tự với cặp không xếp thứ tự Dới đay ví dụ, có khái niệm Tính tổng số tự nhiên từ đến n * Giải: Ghép số: 1, 2, , n 1, n thành cặp (không thứ tự) : với n, với n – 1, víi n – 2, …… Khi n ch½n, ta cã (n ; 2) = n x (n + 1) : Khi n lẻ, n chẵn ta có: + + …… + (n – 1) = (n – 1) x n : Tõ ®ã ta cịng cã: S = (n – 1) x n : + n = (n - ) x n : + x n : = [(n – 1) x n : + x n] : = (n – + 2) x n : = n x (n + 1) : Cho d·y sè: 1, 2, 3, 195 Tính tổng chữ số dÃy? *) Giải: - Cách 1: Ta viết lại dÃy số bổ sung thêm số: 0, 196, 197, 198, 199 vµo d·y: 0, 1, 2, 3, ……, 10, 11, 12, 13, ……, 19 90, 91, 92, 93, ……, 99 100, 101, 102, 103, ……, 109 V× cã 200 số vè dòng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 (dòng) Tổng chữ số hàng đơn vị dòng là: + + + …… + = x 10 : = 45 Vậy tổng chữ số hàng đơn vị là: 45 x 20 = 900 Tổng chữ số hàng chục 10 dòng tổng chữ số hàng chục 10 dòng sau b»ng: x 10 + x 10 + …… + x 10 = (1 + + …… +) x 10 = 45 x 10 = 450 VËy tổng chữ số hàng chục là: 450 x = 900 Ngoài dễ thấy tổng chữ số hàng trăm 100 Vậy tổng chữ số d·y sè nµy lµ: 900 + 900 + 100 = 1900 Từ suy tổng chữ số dÃy ban đầu là: 1900 (1 + + + + + + + + + + + 9) = 1830 - Cách 2: Ta bổ sung thêm số số từ 196 đến 199 vào dÃy ghép số thành cặp: 0, 199 1, 198 2, 197 …… x, 199 – x Ta thÊy c¸c tỉng chữ số số 19 (nếu số x có chữ số a, b 199 x có chữ số là: 1, a b Tổng chữ sè – x vµ 199 – x lµ: a + b + + – a + – b = + + = 19 VËy tổng chữ số dÃy số bổ sung là: 19 x 100 = 1900 Sau bớt chữ số số bổ sung nh cách giải trên, ta đợc tổng cần tìm 1830 Trong Toán họcnói riêng khoa học nói chung, thờng nhờ vào suy luận quy nạp không hoàn toàn mà phát kết luận 9gọi giả thuyết) Sau sử dụng luận diễn dịch quy nạp hoàn toàn để kiểm tra đắn kết luận Khi dạy học tiểu học, điều nói đợc lu ý 4 TÝnh tỉng cđa d·y sè sau: + + + 18 + 512 Mét häc sinh lËp luËn nh sau: Ta nhËn thÊy: 2 4 8 16 512 511 512 15 16 VËy, cø nh thÕ ta cã 16 – Häc sinh đà s dụng quy nạp không hoàn thiện để đoán kết tổng Mặc dù kết trình suy luận hợp lý, nhng xem lời giải chặt chẽ Để có lời giải chặt chẽ cần sử dụng suy luận diễn dịch, chẳng hạn, ta viết ®Çy ®đ tỉng: + + + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 256 512 = C¸ch 2: S= + + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + + + + 512 = 511 512 §¸p sè: 511 512 Ký hiƯu: + + + 16 + 32 + 64 + 128 512 Nhân vế trá vế phải với 2, biến đổi, ta đợc: Sx2=1+s- 512 Tõ ®ã suy ra: S = Sx2=1+s- 512 = 511 512 512 TÝnh tổng tất số thập phân có phần nguyên 9, phần thập phân có chữ số: *) Giải: Tính tổng tất số thập phân có phần nguyên 9, phần thập phân có chữ số là: 9,00; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; …… ; 9,999 tøc lµ cã 1000 sè Ta thÊy: 9,001 + 9,999 = 19 9,005 + 9,995 = 19 9,002 + 9,998 = 19 9,006 + 9,994 = 19 …………… Nếu ta bỏ số xếp cặp số cách đầu dÃy vào nh đợc cặp số có tổng 19, lại 9,005 cha đợc tính Số cặp số xếp đợc là: 998 : = 499 (cặp sè) cha kĨ hai sè 9,000 vµ 9,500 Tỉng tÊt số dÃy số là: 19 x 499 + 9,5 + 9,005 = 9499,5 Đáp số: 9499,5 * Bµi tËp tù lun: TÝnh tỉng: a Cđa tất số lẻ bé 100 b + + + 16 + …… + 169 Tính nhanh tổng só mặt đồng hồ? Cho ví dụ tơng tự suy cách tính dÃy số cách đều? Tính nhanh tæng sau: a + + + …… + 999 b + + + 10 + …… + x (cha biÕt x lµ sè thø 50) c Tính nhanh tổng tất số coá chữ số d 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384 D·y sè trªn cã 10 số hạng Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh Đố em, đố chị, đố anh Tìm phơng pháp tính nhanh tài a So sánh S với BiÕt r»ng: S=1+ + + 10 + ++ 45 b Viết đầy đủ số hạng tính nhanh tổng sau: + + 12 + 20 + …… + 90 a TÝnh tỉng c¸c ch÷ sè cđa d·y: 1, 2, 3, ………, 799 b + + + …… + 1024 + 2048 + 4096 =? Phép cộng phân số khó gì? Kê đủ số hạng uổng công Cách tỏ thông Cộng nhanh đáp lại không tốn Đố bạn hiền em thơ Đố ai biết nhờ giải mau Dạng 5: dÃy chữ Khác với dạng toán khác, toán dạng dÃy chữ không đòi hỏi học sinh phải tính toán phức tạp Ngợc lại để giải toán dạng này, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng sáng tạo kiến thức toán học đơn giản, hiểu biết xà hội, từ mà vận dụng dạng toán vào đời sống hàng ngày môn học khác Ví dụ: Ngời ta viết liên tiếp nhóm chữ: học sinh giỏi tỉnh thành dÃy chữ liên tiếp: (học sinh giỏi tỉnh, học sinh) hỏi chữ thứ 2002 dÃy chữ nào? * Giải: Ta thấy nhóm chữ: học sinh giỏi tỉnh gồm 15 chữ Giả sử dÃy chữ có 2002 chữ có: 2002 : 15 = 133 (nhóm) d chữ Vậy chữ thứ 2002 dÃy chữ học sinh giỏi tỉnh chữ H tiếng SINH ®øng ë vÞ trÝ thø cđa nhãm 134 2 Ngời ta viết liên tiếp chữ số 13579 thành mét sè M Hái ch÷ sè thø 764 cđa sè m chữ số nào? *) Giải: Ta thấy nhóm chữ số 13579 gồm có chữ số Giả sử số M có 764 chữ số có: 764 : = 152 (nhãm) d ch÷ sè VËy ch÷ số 764 dÃy số chữ số 7, đứng ë vÞ trÝ thø cđa nhãm, thø 153 Một ngời viết liên tiếp dÃy chữ thị xà thái bình, thành thi xa thai binh, thi xa a Chữ thứ 2002 dÃy chữ gì? b Nếu ngời ta đếm đợc dÃy số có 50 chữ T dÃy có chữ A? Bao nhiêu chữ N? c Bạn Bình đếm đợc dÃy có 2001 chữ A Hỏi bạn đếm hay đếm sai? Giải thích sao? d Ngời ta tô màu chữ dÃy theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím, hỏi chữ thứ 2001 trang dÃy đợc tô màu gì? *) Giải: a Nhãm ch÷ THI XA THAI BINH cã 13 ch÷ c¸i: 2002 ; 13 = 154 (nhãm) Nh vËy, kÕ từ chữ đến chữ thứ 2002 dÃy, ngời ta đà viết 154 lần nhóm THI XA THAI BINH, chữ thứ 2002 dÃy chữ H tiếng BINH b Mỗi nhóm chữ THI XA THAI BINH có chữ T có chữ A chữ N Vì vậy, ngời ta đếm đợc dÃy số có 50 chữ T tức ngời đà viết 25 lần nhóm nên dÃy phải có 50 chữ A 25 chữ N c Bạn đếm sai, dố chữ A dÃy phải số chẵn d Ta nhËn xÐt: + 2001 chia cho d + Những chữ dÃy có số thứ tự chia hết cho d đợc tô màu XANH Vậy chữ thứ 2001 dÃy đợc tô màu XANH Một dÃy số gồm nhóm chữ nh sau: HÃy cố gắng, HÃy cố gắng, HÃy cố gắng a Em hÃy cho biết chữ thứ 273 dÃy chữ gì? b Nếu dÃy số có 426 chữ A dÃy số có chữ N? *) Giải: a Ta thấy nhóm chữ HÃy cố gắng có chữ 273 : = 30 (nhóm) d chữ Nh vậy, kể từ chữ đến chữ thứ 273 dÃy nhóm chữ HÃy cố gắng phải viết đợc 30 lần nhóm chữ chữ HAY Vậy chữ thứ 273 chữ Y b Mỗi nhóm chữ dÃy có hai chữ A có chữ T Để dÃy có 426 chữ A chữ HÃy cố gắng phải viết 426 : = 213 (nhóm) Nhng có khả sau đây: - Nhóm chữ thứ 213 viết HÃy cố ga, nhóm chữ cuối chữ N, nên chữ N dÃy là: 213 = 212 (chữ) - Nhóm chữ 1213 viết là: HÃy cố gan, chữ N dÃy 213 - Nhóm chữ 213 đợc viết trọn vẹn số chữ N dÃy 213 Một bạn häc sinh viÕt: a 2, 3, 4, 5, 1, 1, 3, 4, 5, 1, 2, ……… Vµ tiÕp tơc nh thÕ ®Ĩ cã mét d·y sè H·y tÝnh xem sè hạng thứ 1996 mà bạn học sinh viết số mấy? *) Giải: Trong dÃy số bạn học sinh viết số lại lặp lại từ đâu Ta có: 1996 : = 399 (d 1) Nh thÕ b¹n học sinh đà viết 399 lần sô 1, 2, 3, 4, đợc x 399 = 1995 (số hạng) Nh vậy, số hạng thứ 1996 phải sè * Bµi tËp tù lun: Mét ngêi viết liên tiếp nhóm nhữ: toán năm thành toan nam toan nam toan a Chữ thứ 2002 dÃy gì? ... cho 3, d Do đó, sè 100 vµ sè 1900 lµ sè cđa d·y sè Các số 123, 456, 789 1995 chia hết số số hạng dÃy số đà cho * Bài tËp lù luyÖn: Cho d·y sè: 1, 4, 7, 10,… a Nªu quy lt cđa d·y b Sè 31 có phải... 3008 Hái sè 2004 vµ 1760 cã thuộc dÃy số hay không? Cho dÃy số: 1, 7, 13, 19,…, a Nªu quy lt cđa d·y sè råi viÕt tiÕp sè h¹ng tiÕp theo b Trong số 1999 2001 số thuộc d·y sè? V× sao? Cho d·y sè: 3,... số: 300 số Cho d·y sè: 1, 2, 3, 4, ……… 195 a TÝnh sè ch÷ d·y b Ch÷ sè thø 195 chữ số nào? *) Giải: a Ta viết lại d·y sè: 1, …… 9, 10, …… 99, 100, ……, 195 Trong d·y cã sè gåm ch÷ sè; số cho chữ số