12/7/2020 7 CÔNG THỨC LÃI SUẤT CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN LÃI SUẤT PHẦN I BỐN BÀI TOÁN CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN LÃI KÉP (THƯỜNG GẶP) Để tiện diễn đạt, ở đây ta lấy lãi suất theo tháng Tổng quát là tính th[.]
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN LÃI SUẤT PHẦN I BỐN BÀI TOÁN CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN LÃI KÉP (THƯỜNG GẶP): Để tiện diễn đạt, ta lấy lãi suất theo tháng Tổng quát tính theo kỳ kỳ hạn: kỳ hạn tháng, tháng, tháng, tháng, năm…) Các công thức sau chứng minh từ phương pháp qui nạp tốn học từ cách tính tổng số hạng cấp số nhân Học sinh khơng cần quan tâm đến cách chứng minh mà cần nhớ công thức hiểu cách áp dụng để xử lý nhanh đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông Bài toán Lãi kép: Lãi kép tiền lãi đến kỳ hạn mà người gửi không đến rút ngân hàng nhập vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn Khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất kép r/tháng Tổng số tiền vốn lãi khách hàng nhận sau n tháng cho công thức: n Sn = A ( + r ) (1) Lưu ý: + Nếu nói lãi suất k%/tháng thay lãi suất vào tính tốn ta phải k thay thay k Chẳng hạn nói lãi suất 100 0,7 = 0,007 0,7%/tháng thay vào tính tốn phải 100 + Hệ thức (1) có đại lượng S n , A, r n Nếu biết 3, ta tìm đại lượng cịn lại +Tiền lãi sau n tháng là: Sn – A (lấy vốn lẫn lãi trừ vốn, cịn lại lãi) Ví dụ: Ông An gửi tiết kiệm 500 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,7%/tháng Hỏi tối thiểu tháng ông An có số tiền 600 triệu đồng vốn lẫn lãi? Lời giải: Áp dụng cơng thức (1) để tìm giá trị gần n lấy số nguyên nhỏ lớn n, ta có: n n 0,7 600 = 500.1 + ÷ ⇔ = 5.( 1,007 ) ⇔ n = log1,007 ≈ 26,14 100 Vậy 27 tháng ơng An có số tiền 600 triệu đồng vốn lẫn lãi Bài toán Gửi tiền hàng tháng: Một khách hàng gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất kép r/tháng Sau đó, tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, khách hàng lại đến gửi đều vào ngân hàng số tiền A đồng Tổng số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n tháng : (1 + r ) n − (2) Sn = A(1 + r ) r Ví dụ: Bà Lành đặn tháng gửi tiết kiệm vào ngân hàng khoản tiền A đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,8% tháng Biết sau năm bà nhận số tiền 150 triệu đồng Hỏi số tiền A bà Lành gửi hàng tháng (làm tròn đến hàng nghìn)? Lời giải : Ta có: năm = 24 tháng; 0,8% = 0,008 Sử dụng công thức (2) tìm A, ta có: rSn 0,008.150000000 A= = ≈ 5648887,659 n (1 + r ) ( (1 + r ) − 1) (1 + 0,008) ( (1 + 0,008) 24 − 1) Vậy số tiền A bà Lành gửi hàng tháng 649 000 đồng Bài toán Rút tiền gửi xài dần hàng tháng: Một khách hàng gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất kép r/tháng Sau đó, tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, khách hàng đến rút số tiền X đồng để xài Sau n tháng, khách hàng nhận số tiền cịn lại tính công thức: (1 + r ) n − n (3) Sn = A(1 + r ) − X r Ví dụ: Ơng Hạnh gửi tiết kiệm ngân hàng tỷ đồng với lãi suất 0,75% tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, ơng Hạnh đến ngân hàng rút triệu đồng để chi tiêu Hỏi sau 10 năm số tiền lại ngân hàng ơng Hạnh (làm trịn đến hàng nghìn)? Lời giải: 10 năm 120 tháng Áp dụng cơng thức (3), ta có: (1 + r ) n − n S120 = A(1 + r ) − X r (1,0075)120 − 120 = 1000000000.(1,0075) − 6000000 ≈ 1290271416 0,0075 Vậy, sau 10 năm số tiền lại ngân hàng ông Hạnh 290 271 000 đồng Bài tốn Vay trả góp hàng tháng: Một người vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất kép r/tháng Sau tháng kể từ ngày vay, người bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách tháng, tháng hoàn nợ số tiền X đồng Số tiền người nợ ngân hàng sau n tháng tính cơng thức: (1 + r ) n − n (4) Sn = A(1 + r ) − X r Lưu ý: Hai công thức (3) (4) hồn tồn giống Ví dụ: (trắc nghiệm) Bà Phúc vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 12%/năm, tháng trả góp 20 triệu đồng Hỏi sau tháng bà Phúc trả hết nợ? A 23 tháng B 29 tháng C 28 tháng D 30 tháng Lời giải: 12%/năm = 1%/tháng Sử dụng cơng thức (4), ta tìm cần n để Sn= Ta có: (1 + r ) n − n Sn = ⇔ A(1 + r ) − X = ⇔ rA(1 + r ) n − X (1 + r ) n + X = r X ⇔ (1 + r ) n ( rA − X ) + X = ⇔ (1 + r ) n = X − rA X ⇔ n = log1+ r X − rA 20000000 ⇒ n = log1,01 ≈ 28,91 20000000 − 0,01.500000000 Vậy sau 29 tháng bà Phúc trả hết nợ Chọn B PHẦN II BA BÀI TOÁN KHÁC LIÊN QUAN ĐẾN LÃI SUẤT (ÍT GẶP): BÀI TỐN LÃI ĐƠN: Lãi đơn số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi gốc sinh ra, tức tiền lãi kỳ hạn trước khơng tính vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn kế tiếp, cho dù đến kỳ hạn người gửi không đến rút tiền lãi Khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất đơn r/kỳ hạn Số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kỳ là: S = A(1 + nr ) (5) BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ: Nếu A tổng số dân, r tỉ lệ tăng dân số năm sau n năm, tổng số dân ước tính công thức thực nghiệm sau: Sn = A.e nr (6) BÀI TOÁN TĂNG LƯƠNG: Một người lãnh lương khởi điểm A đồng/tháng Cứ sau n tháng mức lương tháng tăng thêm tỉ lệ r so với lương cũ (ví dụ nói lương tăng 20% lương A + 20%.A, r = 20%) Khi đó, sau kn tháng người nhận tổng cộng tiền lương là: (1 + r ) k − (7) Skn = An r BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1: Ông Hòa gửi tiết kiệm 600 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,7%/tháng Hỏi sau hai năm ơng Hịa thu số tiền lãi (làm trịn đến hàng nghìn)? Bài 2: Bà Bình đặn tháng gửi tiết kiệm vào ngân hàng khoản tiền triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,75% tháng? Hỏi tháng bà Bình có số tiền vốn lẫn lãi 200 triệu đồng? Bài 3: Ông Thịnh gửi tiết kiệm ngân hàng 500 triệu đồng với lãi suất 0,8% tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, ơng đến ngân hàng rút số tiền để chi tiêu Biết sau 10 năm ơng rút hết tiền ngân hàng Hỏi số tiền ông Thịnh rút tháng (làm trịn đến hàng nghìn)? Bài 4: Bà Vượng vay trả góp ngân hàng số tiền với lãi suất 12%/năm, tháng trả góp 15 triệu đồng Biết sau năm bà Vượng trả hết nợ ngân hàng Hỏi số tiền gốc bà Vượng vay ngân hàng (làm tròn đến hàng nghìn)? -oOo ... LIÊN QUAN ĐẾN LÃI SUẤT (ÍT GẶP): BÀI TOÁN LÃI ĐƠN: Lãi đơn số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi gốc sinh ra, tức tiền lãi kỳ hạn trước khơng tính vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn... đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0 ,75 % tháng? Hỏi tháng bà Bình có số tiền vốn lẫn lãi 200 triệu đồng? Bài 3: Ông Thịnh gửi tiết kiệm ngân hàng 500 triệu đồng với lãi suất 0,8% tháng... r ) k − (7) Skn = An r BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1: Ơng Hịa gửi tiết kiệm 600 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0 ,7% /tháng Hỏi sau hai năm ơng Hịa thu số tiền lãi (làm