Tr­êng THPT cÈm thuû I ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 11 n¨m häc 2008-2009 M«n : To¸n

Tr­êng THPT cÈm thuû I ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 11 n¨m häc 2008 2009 M«n To¸n Trêng thpt cÈm thuû i Kú thi chän häc sinh giái cÊp trêng Khèi 11 THPT N¨m häc 2008 2009 M«n thi To¸n (Thê[.]

Kú thi chän häc sinh giái cÊp trêng Khèi 11 THPT - Năm học 2008-2009 Trờng thpt cẩm thuỷ i Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút ) Câu 1: (4 điểm) Giải phơng trình: tan x + cot x = tan x + 1) sin x 2) Tìm m để phơng trình: 4(sin x + cos x) − 4(sin x + cos x) − sin x = m π π cã nghiÖm x ∈ ( ; ) 4 Câu 2: (2 điểm) Cho tam giác ABC tho¶ m·n tan A C tan = Chøng 2 minh r»ng SinA, SinB, SinC lËp thnh cấp số cộng Câu 3: (6 điểm) u1 = 1; u2 =  Cho d·y sè (un ) xác định nh sau un +1 = un − un −1 ∀n ≥   2 a/ Xác định số hạng tổng quát un b/ Tìm lim un n + Tìm giới hạn sau: lim x →0 1+ 6x − 1+ 9x x2 Câu 4: (4 điểm) Tính giá trị biÓu thøc: 2005 2007 C2008 + 20092004.C2008 + + 20092.C2008 + C2008 2006 C = 2009 Khai triÓn P( x) = (1 + x) 20 thành P ( x) = a0 + a1 x + a2 x + + a20 x 20 Tìm Max( a1 , a2, , a20 ) Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác S.ABCD đáy l hình thang, đáy lớn BC=2a, đáy bé AD=a, AB=b Mặt bên SAD l tam giác M l điểm di ®éng trªn AB, mp(P) qua ®iĨm M song song víi SA, BC T×m thiÕt diƯn cđa S.ABCD víi mặt phẳng mp(P) Thiết diện l hình gì? Tính diÖn tÝch thiÕt diÖn theo a x = AM ( < x < b) Tìm giá trị x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn lín nhÊt HÕt Hä tên thí sinh Số báo danh Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích thêm Trờng thpt cẩm thuỷ i Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trờng Khối 11 THPT - Năm học 2008-2009 Đề thi thức đáp án hớng dẫn chấm môn Toán (Thời gian làm bài: 180 phút ) Câu Điể m Nội dung 1.(2 điểm) +) Điều kiện +) Tìm đợc tanx = tanx = +) Giải loại nghiệm ĐS: x = π + kπ 0.5 ® 0.5 ® 1.0 đ Câu (4 đ) 2.(2 điểm) +) Đa PT vỊ d¹ng: 2cos x − cos x = 2m + (1) +) Đặt t = cos4x víi x ∈ ( ; ) ⇒ t∈ (-1; 0) +) XÐt f(t) = 2t + t (-1; 0) có bảng biến thiên Và PT (1) có nghiệm đờng thẳng y = 2m +1 (song song trùng 0x )cắt f(t) (-1; 0) +) §S: m ∈ (− ;1) 0.5 ® 0.5 ® 0.5 ® 0.5 ® A C sin sin 2 = ⇔ cos A + C = 2sin A sin C =  cos A − C − cos A + C   ÷ A C 2 2   cos cos 2 C©u B A− C B B A+ C A− C B (2 ⇔ 2sin = cos ⇔ 4sin cos = 2sin cos (cos ≠ 0) ®) 2 2 2 ⇔ 2sin B = sin A + sin C 1.0 ® 10 ® (4 điểm) a Biến đổi ta đợc un + − u n = ( un − un− ) đặt vn+1 = un+1 un ®ã +1 = ∀ n ≥ nghÜa d·y v2 , v3 , , mét cÊp sè céng cã sè h¹ng ®Çu v2 = 1; q = 1.0 ® = un un Câu (6 đ) −1 = un −1 − un −2    →un − u1 = v2 + v3 +   v2 = u2 −u1  n −2 n −2  1   1  ⇔ un = + 1 + +  ÷ ÷= −  ÷  2 ÷ 2   0.5 ® 0.5 ® b    n−  lim un = lim  −  ÷ ÷ = ÷ n → +∞ n → +∞    2  (2®iĨm) + x − (1 + 3x) (1 + 3x) − + x lim + lim = x →0 x →0 x2 x2 27 + 27 x 27 lim + lim = +9 = x →0 + x + + x x→0 (1 + x) + (1 + x) + x + (1 + x) 2 2.0 ® 1.0 đ 1.0 đ (2 điểm) áp dụng công thức nhị thức Niutơn ta có: 2007 2008 , (x + 1)2008 = x2008C2008 + x2007C2008 + x2006C2008 + x2005C2008 + + xC2008 + C2008 2007 2008 (x − 1)2008 = x2008C2008 − x2007C2008 + x2006C2008 − x2005C2008 + − xC2008 + C2008 0.5 ® (x + 1)2008 − (x − 1)2008 2007 2005 2007 ⇒ = x C2008 + x2005C2008 + + x3C2008 + xC2008 ⇒ (x + 1)2008 − (x − 1)2008 2005 2007 = x2006C2008 + x2004C2008 + + x2C2008 + C2008 2x 0.5 đ Từ đẳng thức cho x = 2009 ta đợc (2010)2008 (2008)2008 2005 2007 = 20092006 C2008 + 20092004 C2008 + + 20092 C2008 + C2008 2.2009 C©u (2010)2008 − (2008)2008 VËy C = (4 2.2009 ®) 1.0 ® (2 ®iĨm) Ta cã ak = C20k 3k , ak > 0, ∀k ∈ ¥ a k +1 XÐt tØ sè A = a = k 2(20 − k ) k +1 0.5 59 th× A>1 ®ã ak + > ak ∀ k = 0,1, 14 59 Khi k > th× A a14 VËy max (a1 , a2 , a20 ) = a15 = C20 15 (2 điểm) +) Từ M kẻ đờng thẳng song song BC v SA, lần lợt cắt DC N, SB Q +) Từ Q kẻ đờng thẳng song song với BC cắt SC P suy đợc MNPQ l thiết diện Dễ dng chứng minh đợc MNPQ l hình thang cân 15 0.5 S Q P C P 2a 2.0 Q M b x N D N 2.(2 ®iĨm) * TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn MNPQ B H A a K M 1.0 Sử dụng định lý Talets ta suy đợc MQ=NP= bx a ; b x ab + ax ba − ax PQ= 2a , MN = từ tính đợc QK= b b b áp dng công thức S MNPQ 3a = ( MN + PQ ) QK = b − x ) ( b + 3x ) ( 4b *Tìm x để S MNPQ đạt giá trị lớn S MNPQ = 3a 3a  3b − 3x + b + 3x  3a b − x b + x ≤ = ( ) ( )  ÷ 12b 12b  12  Dấu "=" xảy x= 1.0 b Chó ý: - Học sinh giải theo cách khác cho ®iÓm tèi ®a ...Thí sinh không đợc sử dụng t? ?i liệu, giám thị không gi? ?i thích thêm Trờng thpt cẩm thuỷ i Kú thi chän häc sinh gi? ?i cÊp trêng Kh? ?i 11 THPT - Năm học 2008-2009 Đề thi thức đáp án hớng... (Th? ?i gian làm b? ?i: 180 phút ) Câu ? ?i? ?? m N? ?i dung 1.(2 ? ?i? ??m) +) ? ?i? ??u kiện +) Tìm đợc tanx = tanx = +) Gi? ?i lo? ?i nghiệm ®óng §S: x = π + kπ 0.5 ® 0.5 đ 1.0 đ Câu (4 đ) 2.(2 ? ?i? ??m) +) Đa PT dạng:... sin sin 2 = ⇔ cos A + C = 2sin A sin C =  cos A − C − cos A + C   ÷ A C 2 2   cos cos 2 C©u B A− C B B A+ C A− C B (2 ⇔ 2sin = cos ⇔ 4sin cos = 2sin cos (cos ≠ 0) ®) 2 2 2 ⇔ 2sin B = sin