Trêng THPT cÈm thuû I ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp trêng líp 10 n¨m häc 2008 2009 M«n To¸n Trêng thpt cÈm thuû i Kú thi chän häc sinh giái cÊp trêng Khèi 10 THPT N¨m häc 2008 2009 M«n thi To¸n (Thê[.]
Kú thi chän häc sinh giái cÊp trêng Khèi 10 THPT - Năm học 2008-2009 Trờng thpt cẩm thuỷ i Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút ) Bài 1: 1.Giải phơng trình: x x −1 + x + x −1 = 2.Giải hệ phơng trình: x2 + y + xy = 4 22 x + y + x y = 21 Bài 2: Giải bất phơng trình 3x + x +2 Giải bất phơng trình (3 x 2)( x + 2) x + 3x + + x + x + ≤ x + x + Bµi Tìm hàm f(x) biết rằng: x : f ( x) + f ( ) = x x Bài Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: A= x −5 x −8 Víi x [14;+) Bài Cho đờng tròn (C): x + y − x − y + = Lập phơng trình tiếp tuyến (C) qua điểm M(3;4) Lập phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng 3x + 4y +1 =0 cắt (C) hai điểm A; B cho tam gi¸c IAB cã diƯn tÝch lín nhÊt (Với I tâm đờng tròn (C) ) Bài Chøng minh: a + b8 + c 1 ≥ + + a b c a 3b 3c ∀ a; b; c > 2.Cho số dơng a;b;c thõa mÃn điều kiện a+b+c=3 Chứng minh: a b c + + ≥ 2 2 1+ b 1+ c 1+ a HÕt Hä tên thí sinh Số báo danh Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích thêm Trờng THPT cẩm thuỷ I đáp án thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 10 năm học 2008-2009 Môn : Toán Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề Bài ý Nội dung Giải phơng trình: x ĐK: x 0; x x −1 ≥ §iĨ m x −1 + x + x −1 = Đặt u= x x ⇒ x + x − = Ph¬ng trình trở thành: u2 1đ ( u>0) u − 2u + = ⇔ u = 1; u = 1± - Víi u=1: x=1 - Với u= Bài (4 đ) : 1 + + x= 1 + Giải hệ phơng trình: 1® x2 + y + xy = 4 22 ⇔ x + y + x y = 21 x + y + xy = 22 2 x + y − x y = 21 ( ) 1® x + y ; v=xy Cã ngay: u=5;v=2 Ta có hệ: Đặt u= x2 + y2 = xy = Gi¶i ta đợc nghiệm: (1;2); (2;1); (-1;-2); 1đ (-2;-1) Bài (4® ) 3x −2 + x +2 TXĐ: Trên D 3x +1 x +2 ≥3 D= x +2 4 { x∈ } R\ x ≥ > 0, Chia vÕ cña (1) cho 3x − x +2 §Ỉt t = 1§ (1) (3 x − 2)( x + 2) BPT ⇔ 2t2 – 3t + ≥ ⇔ ≤ t 3x − ,t ≥0 x +2 ≤ hc t x +2 ta đợc * Với t th× * Víi t ≥ th× 4 3x − x +2 3x − x +2 ≤ ⇔ ≤x ≤ 34 47 ≥1 ⇔ x ≥2 VËy tËp nghiƯm cđa BPT (1): T = 1§ 2 34 ; 3 47 ∪ [2;+∞] x + 3x + + x + x + ≤ x + x + §K: x ( ;5] [1;+) - Với x=-1: Hiển nhiên nghiệm - Với x>-1: Bất phơng trình tơng đơng: x> −1 x + + x + ≤ 2x + ⇔ x = − x= 1đ Bpt vô nghiệm - Với x :Bất phơng trình tơng đơng: x + − x − ≤ − x − ⇔ x = −5 VËy Bpt cã nghiệm: x=-1; x=-5 Bài (2 đ) Thay x 1/x ta có: ban đầu, giải hệ ta A= x −5 x −8 = x −8 + - ¸p dụng Cosi Bài (2 đ) x = - Với hợp với điều kiện x = + + x −8 x −8 x −8 x −8 + ≥ Đẳng thức x 2đ 1,5 đ xảy : ⇔ x=14 x −8 1 x Đẳng thức xảy x=14 2 A Đẳng thức xảy x=14 x ≥ 14 ⇒ VËy: Bµi (4 1 f ( ) + f ( x) = KÕt x x − x2 f ( x) = đợc: 3x 1đ (C ) : ( x 1) + ( y − 2) = Tâm I(1;2); bán kính R=2 + Xét tiếp tuyến phơng Oy: Kiểm tra thấy x=3 tiếp tuyến 0,5 ® 0,5 ® + XÐt tiÕp tuyÕn (d) kh«ng cïng ph¬ng Oy: y=ax+b dI d = a +b −2 a +1 =2 Do M năm d nên: 3a+b=4 Gi¶i hƯ a=0; b=4 d: y=4 VËy cã tiÕp tuyÕn tho· m·n: x=3 vµ y=4 Gäi H(x;y) lµ trung ®iĨm AB Gi¶ sư IH=a suy HB= R2 −a2 1 1 IH HB = a R − a = a ( R a ) R = Đẳng 2 R khi: R − a =a ⇔ a = = S IHB = đ) 1,5 đ 1đ thức xảy Nói cách khác đờng thẳng d có dạng: 3x+4y+C=0 cắt đờng tròn AB: Trung điểm H AB: IH= Ta cã 1® C = − 11 ngay: 11 + C = ⇔ C = − − 11 VËy có đờng thẳng cần tìm: 3x+4y+ 11 = 0;3 x + y −5 −11 = a + b8 + c 1 ≥ + + a b c a 3b 3c áp dụng bất đẳng thức sau: a + b + c ≥ ab + bc + ca Ta cã : Bµi (4® ) ∀ a; b; c > = a + b8 + c a 4b + b c + c a a 2b c + b c a + c a 4b ≥ ≥ a 3b c a 3b c a 3b 3c c 0,5 ® 1,5 ® b c a 1 1 + + = (a + b + c ) ≥ (ab + bc + ca) = + + ac ab bc abc abc a b c Ta cã : a ab ab ab = a− ≥a− =a− 2 2b 1+ b 1+ b Hoàn toàn tơng tự ta chứng minh đợc cho trờng hợp lại Khi đó: a b c ab + bc + ca + + ≥ a+b+c− ≥ 2 2 1+ b 1+ c 1+ a ab (Do a+b+c=3 nªn dƠ cã: + bc + ca ≤ ) Đẳng thức xảy a=b=c=1 1đ 1đ ...Thí sinh không đợc sử dụng t? ?i liệu, giám thị không gi? ?i thích thêm Trờng THPT cẩm thuỷ I ®¸p ¸n thi chän häc sinh gi? ?i cÊp trêng líp 10 năm học 2008-2009 Môn : Toán Th? ?i gian 180 phút,... −∞;−5] ∪[−1;+∞) - V? ?i x=- 1: HiĨn nhiên nghiệm - V? ?i x>- 1: Bất phơng trình tơng ®¬ng: x> −1 x + + x + ≤ 2x + ⇔ x = x= 1đ Bpt vô nghiệm - V? ?i x :Bất phơng trình tơng đơng: − x − + − x − ≤... x − ⇔ x = −5 VËy Bpt cã nghiƯm: x=-1; x=-5 B? ?i (2 đ) Thay x 1/x ta c? ?: ban đầu, gi? ?i hÖ ta A= x −5 x −8 = x −8 + - áp dụng Cosi B? ?i (2 đ) x = - V? ?i hợp v? ?i ? ?i? ??u kiện x −8 = + + x −8 x −8 x −8