Së gd-®t hµ tÜnh

Së gd ®t hµ tÜnh Së gd ®t hµ tÜnh trêng thpt h¬ng khª §Ò thi chän häc sinh giái líp 10 M«n To¸n NĂM HỌC 2008 2009 Thời gian làm bài 180 phót (kh«ng kể thời gian giao đề) Bµi1(8®) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2[.]

Sở gd-đt hà tĩnh trờng thpt hơng khê Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 Môn Toán NM HC 2008-2009 Thời gian làm bài:180 (kh«ng kể thời gian giao ) Bài1(8đ) 1) Giải phơng trình: x = (2009 + x )(1 − − x )2 2) Gi¶i hệ phơng trình: x + xy + y = 19( x − y )    x − xy + y = 7( x y ) Bài 2(4đ) Cho hai số dơng a b Đặt P= a3 + + b3 ; 3 a b Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña Q= a + a b +b P Q Bài 3(3đ) Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC; , hb , hc độ dài đờng cao lần lợt ứng với cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: r uur uur r uu IA + IB + IC = h h h a b c Bài 4(3đ) Tính góc tam giác ABC biÕt sin A:sin B :sin C = : : + Bài 5(2đ) Cho ba số thực a,b,c tho¶ m·n a + b + c < Biết phơng trình ax + bx + c = vô nghiệm HÃy xác định dấu c? HÕt _ Sở gd-đt hà tĩnh trờng thpt hơng khê P N MễN TON NM HỌC 2008-2009 Bài 1(8 điểm) 1) Điều kiện: ≤ x ≤ Với điều kiện (1+ 1− x )2 > nên x = (2009 + x )(1 − − x ) ⇔ x (1 + − x ) = (2009 + x ) (1 − − x )(1 + − x )    ⇔ x (1 + − x ) = (2009 + x ) x x = ⇔  2009 + x = (1 + − x ) (*) Ta thấy với ≤ x ≤ ≤ 1− x ≤ 1⇒  (1+ 1− x )2 ≤ ⇒ VP ≤ mà VT = 2009 + x ≥ 2009 nên pt (*) vô nghiệm Vậy pt cho có nghiệm x = 2)  x + xy + y = 19( x − y ) (1)    x − xy + y = 7( x − y ) (2) Ta có (1) ⇔ 4x2 + 4y2 + 4xy = 76(x − y)2 ⇔ 3(x + y)2 + (x − y)2 = 76(x − y)2 ⇔ (x + y)2 = 25(x − y)2 ⇔ x + y = ±5(x − y) x =  x = 0; y = ⇔  x =  x = 3; y = +) x + y = 5(x − y) ⇔ y = x ⇒ (2) ⇔  x =  x = 0; y = ⇔  x = −2  x = −2; y = −3 +) x + y = −5(x − y) ⇔ y = x ⇒ (2) ⇔  Vậy hệ cho có ba nghiệm (x; y) ( 0; 0); ( -2; - 3) (3; 2) Bài (4 đ) Vì a > 0, b > nên áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có: a3 3a + + ≥ ; + 1+ 1≥ ; b3 + 1+ 1≥ 3b a b b a Cộng vế theo vế ba bđt ta được: a3 a + + b3 ≥ 3( + + b) a b a b a3 a a a a a ⇔ + + b3 ≥ + + b + 2( + + b) − ≥ + + b+ 2.3.3 b − = + + b a b a b a b a b a b a b P ⇒ P ≥ Q ⇒ ≥ Q 6+ Vậy giá trị nhỏ P 1, đạt a = b = c = Q Bài (3 đ)Ta dễ dàng chứng minh uur uur uur r aIA + bIB + cIC = 2S 2S 2S Thay a = h ; b = h ; c= h a b c ta có điều phải chứng minh Bài (3đ) Từ giả thiết ta có: sin A = sin B = sinC 2+ Áp dụng định lý Sin ta có a2 b2 c2 = = = x⇒ = = = x2 2+ 3 2+ a b c Ta có cos A = b2 + c2 − a2 3x2 + (2+ 3)x2 − 2x2 = = 2bc 2 2+ 3.x2 ⇒ A = 450 Tương tự ta tính cosB = ⇒ B = 600 Vậy góc cần tìm : A = 450; B = 600; C = 750 Bài (2đ) Ta xét hai trường hợp a = a ≠ * Khi a = : phương trình trở thành bx + c = Do phương trình vơ nghiệm nên b = c ≠ Ta có a = b = c ≠ , a + b + c < nên c < * Khi a ≠ : đặt f (x) = ax2 + bx + c Do pt vô nghiệm nên f(x) khơng đổi dấu R Vì f(1)= a + b + c < nên f(x) < với số thực Do f(0)= c < Vậy c <