Së gd ®t L¹ng S¬n Së gd ®t L¹ng S¬n trêng thpt B¾c S¬n §Ò thi chän häc sinh giái líp 10 M«n To¸n NĂM HỌC 2008 2009 Thời gian làm bài 180 phót (kh«ng kể thời gian giao ®ề) Bµi1(8®) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh[.]
Sở gd-đt Lạng Sơn trờng thpt Bắc Sơn Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 Môn Toán NM HC 2008-2009 Thời gian làm bài:180 (kh«ng kể thời gian giao đ) Bài1(8đ) 1) Giải phơng trình: x (x+1)(x+2)(x+3) = 16 2) Giải hệ phơng trình: x+y+xy =4 2 x y+xy =3 Bài 2(3đ) x2 +3xy- y2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ P = x +xy +y2 Bài 3(2đ) Cho tam gi¸c ABC víi A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) đờng thẳng d : uuu r uuur uuur x – 2y – = Tìm điểm M thuộc d cho MA + MB - 3MC đạt giá trị nhỏ Bài 4(6 đ) Cho tam giác ABC có góc nhọn, có H trực tâm, gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp 1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA 2) Chứng minh rằng: cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C Bài 5(1 đ) Cho a, b, c ba sè thùc d¬ng Chøng minh r»ng: a b c + + ³ b+c a+c b+a HÕt _ Câu Cõu 1: NI DUNG 1) Giải phơng trình: x (x+1)(x+2)(x+3) = (1) 16 * Đặt t = x(x+3) (1) trë thµnh t(t+2) =9/16 é ê=t ê ê ê êt = ë 9 * víi t = ta cã x(x+3) = - x2 + 3x + = 0 x = 4 é -3+ 10 êx = ê 1 * víi t = ta cã x(x+3) = x2 + 3x - = 0 ê ê -3- 10 4 êx = ê ë é êx =ê ê - + 10 * Vậy phơng trình có nghiÖm êx = ê ê ê + 10 ờx =ờ 2) Giải hệ phơng trình: x+y+xy =4 (2) 2 x y+xy =3 ïì ( x + y) + xy = (2) ùớ đặt S = x+ y; P = xy ïïỵ xy(x+y) = ìïï S + P = Ta đợc hệ Khi S, P nghiệm Phơng ùùợ SP = trình t2 - 4t + = ĐIỂM 1 1 ïìï S =1 ïì S = hc ïí í ïïỵ P = ïïỵ P =1 ìïï S =1 *ớ x, y nghiệm phơng trình u2 u + = ùùợ P = Phơng trình vô nghiệm ỡùù S = *ớ x, y nghiệm phơng trình u2 3u + = ïïỵ P =1 ìï ìï ïï x = + ïï x = - ï ï 2 ïí hc ïí ïï ïï 3- 3+ ïï y = ïï y = 2 ïỵ ïỵ ìï ìï ïï x = + ïï x = - ï ï 2 Vây hệ có nghiệm ùớ ùớ ïï ïï 3- 3+ ïï y = ïï y = 2 ùợ ùợ Tìm giá trị lớn nhÊt, nhá nhÊt cña x +3xy- y2 x2 +xy +y2 C©u C©u 1 P= * y = th× P = t + 3t - * y th× P = với t = x/y gọi P giá trị bÊt t + t +1 kú cđa nã ®ã phơng trình sau ẩn t phải có nghiệm P(t2 +t +1) = t2 + 3t - 1(1- P)t2 + (3 -P)t – (1+ P ) = cã nghiÖm hay éP =1 ê êΔ = (3 - P ) + 4(1 - P ) ³ (*) ë (*) -3P2 – 6P +13 - (1+ ) P - VËy giá trị lớn P = Vậy giá trÞ nhá nhÊt cđa P = - (1+ ) Cho tam gi¸c ABC víi A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) đờng thẳng d : x 2y = Tìm điểm M thuéc d cho 1 0,5 uuu r uuur uuur Q = MA + MB - 3MC đạt giá trị nhỏ uuu r uuur uuur Gọi M(2y+3 ; y) d Khi ®ã MA + 2MB - 3MC = (2y – ; y+21) uuu r uuur uuur MA + MB - 3MC = (2 y - 5) + ( y + 21) = y + 22 y + 466 Q đạt giá trÞ nhá nhÊt y = - 11 11 ;) 5 Cho tam giác ABC có góc nhọn, có H trực tâm, gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp 1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA 2) Chứng minh rằng: cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C VËy M( - C©u4 A O H B D C A' 1) Gäi A’ điểm cho AA đờng kính dễ có BHCA hình bình hành Do AH = 2OD = 2OCcosA = 2RcosA 2) 1 cos A + cos B + cos C = (cos A + cos B + cos B + cos C + cos C + cos A) C A- B A B- C B C- A = sin cos + sin cos + sin cos 2 2 2 A- B Ê C nhọn nên Ta có cos 2 C C A- B C < 600 Þ 2cos >1 Þ cos < 2cos 2 2 B- C A cos < 2cos 2 T¬ng tù ta cã C- A B cos < 2cos 2 VËy cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C 00 < Câu5 Cho a, b, c ba số thực d¬ng Chøng minh r»ng: a b c + + ³ b+c a+c b+a a a 2a = ³ b +c a(b + c) a + b + c b b 2b = ³ a +c b(a + c) a + b + c c c 2c = ³ ] b +a c(b + a ) a + b + c Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta có điều phải chứng minh