C¸c c«ng thøc hµm sè ṃ – logarit cÇn nhí ÔN TẬP CHƯƠNG III Các dạng toán trong chương III 2 1 1 Tính nguyên hàm bằng cách sữ dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản Ví dụ 1 Tính nguyên hàm của các hàm số[.]
ÔN TẬP CHƯƠNG III Các dạng toán chương III 2.1.1 Tính nguyên hàm cách sữ dụng tính chất nguyên hàm Ví dụ : Tính nguyên hàm hàm số sau x x3 x3 x c/ f(x) = x2 a/ f(x) = x3 + b/ f(x) = ( x 1)( x x 1) d/ f(x) = x4 + 3x3 -5x + Ví dụ : Tính nguyên hàm hàm số sau a/ f(x) = 2cos2x + 2sin3x + x b/ f(x) = 4sin2x c/ f(x) = ( 1 )( x x) x x d/ f(x) = 2sin x + 2cosx + x x Ví dụ : Tìm ngun hàm F(x) hàm số a/ f(x) = 2cos2x +2sin3x +x biết F( )= - b/ x3 x f(x) = biết F((-3) = 10 x2 2.12 Tính nguyên hàm phương pháp đổi biến số Định lý : Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục K hàm số y = f(u) liên tục cho f[u(x)] xác định K Khi F nguyên hàm f , tức f(u)du =F (u ) C f[u(x)]dx =F[u( x)] C Ví dụ1 : Tính nguyên hàm hàm số sau cosx a/ e sin xdx tg x c/ dx cos x b/ (5 x 3) dx d/ e sinx cos xdx Ví dụ : Tính a/ 9x2 1-x dx b/ x x dx dx x (1 x ) c/ d/ e d/ x dx 1 Bài tập1 : Tính x x a/ sin cos dx Bài tập2 : Tính a/ t anxdx b/ x3 x dx b/ cot xdx dx x 6x g/ c/ x 1 x c/ (tan t anx)dx h/ x dx ln x dx x d/ (cot x + cot x)dx 3x dx 6x 2.1.3 Tính nguyên hàm phương pháp phần Định lý : Nếu u,v hai hàm số liên tục K u(x)v'(x)dx = u( x)v( x) v( x)u '( x) du Ví dụ : Tính nguyên hàm hàm số sau a/ f(x ) = x2sin2x b/ f(x ) = x2cosx c/ f(x ) = x2ex d/ f(x ) = x3 ln(2x) Ví dụ : Tính x a/ b/ ( x 1)e dx c/ x s inxdx (2 x 1) sin xdx (x) d/ sin x cos xdx e/ (5 x 3) dx Bài tập 1: Tính g/ e x s inxdx h/ x ln xdx k/ x ln xdx x a/ -x b/ xe dx s inxdx x c/ x sin 3dx (x) Bài tập 2: Tính 2 x 1 a/ b/ x tan xdx c/ cos(lnx)dx (x) e dx 2.2.1 Tính tích phân cách sữ dụng tính chất nguyên hàm Ví dụ : Tính e 1 b/ ( x x )dx x x a/ ( x x 1)dx x d/ e sin xdx d/ ln( x x )dx c/ x dx d/ x 1dx 1 Ví dụ : Tính 1 x b/ (e x)dx a/ (2sin x 3cosx x) dx 3 c/ ( x x x )dx d/ ( x 1)( x x 1)dx Bài tập : Tính 1 a/ (3sin x 2cosx )dx x x b/ (e x 1)dx 2 c/ ( x x x x )dx d/ ( x 1)( x x 1)dx 1 2.2.2 Tính tích phân phương pháp đổi biến số u (b) b Công thức dổi biến số f [u( x)]u'(x)dx f (u )du a u (a) Ví dụ1 : Tính a/ sin xcos xdx 2 b/ sin xcos xdx g/ cot gxdx h/ sin x c/ dx cosx d/ tgxdx 4sin xcosxdx Ví dụ : Tính a/ x x 1dx 1 b/ x x dx h/ d/ g/ x x dx c/ x x 1dx x 1 x3 x2 x3 dx dx Ví dụ : Tính 1 dx a/ x2 sin x g/ e cosxdx 1 dx b/ x 2x 1 cosx h/ e sin xdx c/ x f/ e 2 x 1 2 dx d/ (1 3x ) 2 dx xdx k/ sin xcos xdx Bài tập : Tính sin x 1/ e cosxdx x 3/ e cosx 2/ e sin xdx 2 xdx Bài tập : Tính 2 1/ sin xcos xdx 2/ sin xcos xdx 3/ 4/ tgxdx 5/ cot gxdx 6/ sin x 1 3cosx dx 4sin xcosxdx Bài tập : Tính 1 1/ x x 1dx x 4/ x 1 3/ x x 1dx 0 2/ x x dx dx 5/ x x dx 6/ x x3 1 dx Bài tập : Tính e 1/ e e e e2 2ln x 1 4/ x e sin(ln x) dx 2/ x 1 ln x dx x 3/ e2 ln x dx 5/ x ln x e dx 3ln x ln x dx x 6/ cos e dx (1 ln x) Bài tập : Tính x dx 1/ x 1 1 4/ 2/ 1 dx x 1 x 5/ x dx x 1 x 1 3/ x x 1dx x dx 6/ x 1 dx x 2.2.3 Tính tích phân phương pháp phần b b b Cơng thức tích phân phần : u( x)v'(x)dx u ( x)v( x) a v( x)u '( x)dx a a Tích phân hàm số dễ phát hiện u dv @ Dạng @ Dạng 2: u f ( x) du f '( x)dx sin ax sin ax dv cos ax dx v cosax dx e ax e ax dx u ln(ax) du x Đặt dv f ( x)dx v f ( x)dx sin ax f ( x) cosax dx Đặt e ax f ( x) ln(ax)dx Ví dụ1 : Tính e ln x a/ dx x Ví dụ : Tính e ln x a/ dx x 1 e e c/ x ln( x 1)dx b/ x ln xdx 1 e b/ x ln xdx e c/ x ln( x 1)dx 1 dx x2 x2 dx dx c/ 2 2 (1 x ) (1 x ) x2 0 d/ x ln xdx 1 Tích phân từng phần các hàm số cần khéo léo đặt u dv Ví dụ 1: tính tích phân sau u x 2e x x2e x x8 dx dx a/ đặt b/ đặt dx ( x 1) ( x 1)3 dv ( x 1) d/ x ln xdx u x x 3dx dv ( x 1)3 x dx I1 I (1 x ) dx Tính I1 phương pháp đổi biến số x2 x dx Tính I2 = phương pháp phần : đặt (1 x ) u x x dv (1 x ) dx Ví dụ : Tìm x > cho t 2ex dx 1 (t 1) Bài tập : Tính tích phân sau a/ ( x cosx) s inxdx e x b/ ( x ) ln xdx 2 c/ ln( x x)dx d/ x tan xdx 4