Ch¬ng 1 Ch¬ng 1 HÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng A Tr¾c nghiÖm nhËn biÕt th«ng hiÓu Chó ý Trong c¸c ®Ò bµi cña c¸c c©u hái, nÕu kh«ng nãi g× thªm, ta ngÇm hiÓu lµ chän c©u ®óng trong tÊt c¶ c¸c c©u[.]
Chơng 1: Hệ thức lợng tam giác vuông A Trắc nghiệm nhận biết - thông hiểu Chú ý : Trong đề câu hỏi, không nói thêm, ta ngầm hiểu chọn câu tất câu 1.1 Cho tam giác vuông ABC vuông A, có đờng cao AH HÃy chọn câu sai câu dới đây: (A) AB2 = BH BC (B) AC2 = CH CB (C) AB2 = BH HC (D) AH2 = BH HC (E) AB CB BH BA 1.2 Cho tam giác ABC vuông A, có đờng cao AH Câu sau sai? (A) Để chứng minh hệ thức AB2 = BH BC, ta cã thÓ chøng minh hai tam giác vuông ABH CBA đồng dạng suy điều phải chứng minh (B) Để chứng minh hƯ thøc AH2 = BH HC, ta cã thĨ chứng minh hai tam giác vuông AHC BHA đồng dạng suy điều phải chứng minh (C) Để chøng minh hÖ thøc AH BC = AB AC, dựa vào công thức tính diện tích dựa vào hai tam giác đồng dạng ABC HBA để suy điều phải chứng minh (D) Để chøng minh hÖ thøc AB2 = BH BC, ta chứng minh hai tam giác vuông ABH CBH đồng dạng suy điều phải chứng minh (E) Tất câu sai 1.3 Trong tam giác vuông, nghịch đảo bình phơng đờng cao ứng với cạnh huyền bằng: (A) nghịch đảo tổng bình phơng hai cạnh góc vuông (B) tổng nghịch đảo bình phơng cạnh huyền cạnh góc vuông (C) tổng bình phơng hai cạnh góc vuông (D) tổng nghịch đảo bình phơng cạnh góc vuông (E) Tất câu sai 1.4 Trong tam gi¸c ABC, cho biÕt AB = 5cm, BC = 8,5cm Vẽ đờng cao BC với D thuộc cạnh AC BD = 4cm (A) Độ dài cạnh AC 12cm (B) Độ dài cạnh AC 11cm (C) Độ dài cạnh AC 11,5cm (D) Độ dài cạnh AC 10cm (E) Độ dài cạnh AC 10,5cm 1.5 Cho tam giác ABC vuông A có đờng cao AH, với BH = 1, BC = (đơn vị độ dài) Khi đó: (A) Độ dài cạnh AB số hữu tỉ (B) Độ dài cạnh AB số nguyên (C) Độ dài cạnh AB số vô tỉ (D) Độ dài cạnh AB (E) Tất câu sai 1.6 Cho tam giác vuông, có góc nhọn Câu sau sai? (A) Tỉ số cạnh đối cạnh huyền đợc gäi lµ cosin cđa gãc , kÝ hiƯu cos (B) Tỉ số cạnh kề cạnh huyền đợc gọi lµ cosin cđa gãc , kÝ hiƯu cos (C) TØ số cạnh đối cạnh kề đợc gọi tang cđa gãc , kÝ hiƯu tg (hay tan) (D) Tỉ số cạnh kề cạnh đối đợc gọi cô-tang góc , kí hiệu cotg (E) Tỉ số cạnh đối cạnh huyền đợc gọi cosin cđa gãc , kÝ hiƯu sin 1.7 Cho tam giác vuông C với kí hiệu thông thờng Cho b = 6,4, c = 7,8 Khi ®ã, gãc A b»ng: (A) 34052’ (B) 24055’ (C) 32012’ (D) 30057’ (E) 13042 1.8 Trong tam giác vuông có góc nhọn , câu sau sai? (A) Mỗi cạnh góc vuông cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cô-sin góc kề (B) Mỗi cạnh góc vuông cạnh góc vuông nhân với tang góc đối hay nhân với cô-tang góc kề (C) sin 1, cos (D) sin2 + cos2 = (E) tg = ; cotg = 1.9 H·y biÕn ®ỉi tỉ số lợng giác sau thành tỉ số lợng giác góc nhỏ 450 sin720, cos680, sin80030, cotg500, tg750 Kết tơng ứng nh sau: (A) sin180, cos220, sin9030’, cotg400, tg150 (B) cos280, sin220, cos9030’, tg400, cotg150 (C) cos180, sin220, cos9030’, tg400, cotg150 (D) sin180, sin260, cos9030, tg400, cotg150 (E) Một kết khác 1.10 Trong tam giác vuông, cho biết trớc hai yếu tè (trong ®ã cã Ýt nhÊt mét u tè vỊ cạnh) thì: (A) Ta tìm đợc tất yếu tố lại (các cạnh, góc) tam giác vuông (B) Ta tìm đợc cạnh tam giác vuông đó, nhiên, tính hết góc đợc (C) Ta tìm đợc diện tích tam giác vuông đó, nhiên, tính hết cạnh đợc (E) Tất câu sai 1.11 Cho tam giác ABC vuông A, ®êng cao AH BiÕt HC = 4, BC = TÝnh HB, HA, AB (A) HB = 5, HA = , AB = (B) HB = 5, HA = , AB = (C) HB = 6, HA = , AB = (D) HB = 5, HA = 5, AB = (E) HB = 5, HA = , AB = 1.12 Mét tam gi¸c vuông C, có cạnh huyền c = 15, sinA = 2/5 Tìm a (cạnh đối A), b (cạnh đối B) (A) a = 5, b = (B) a = 5,5 , b = 7,8 (C) a = 6, b 13,7 (D) a = 15, b = 17 (E) a = 3, b = 1.13 Tam giác ABC vuông A, đờng cao AH, cã BC = 17, CA = TÝnh AB, AH, CH, BH (A) AB = 16, AH = , CH = , BH = (B) AB = , AH = 9, CH = , BH = (C) AB = 15, AH = , CH = , BH = (D) AB = 15, AH = 11, CH = 16, BH = 17 (E) Tất câu sai 1.14 Tính x y hình sau đây: (A) x = 105 , y = 113 (B) x = 105 , y = 30 y x (C) x = 14 , y = 113 (D) x = 14 , y = 23 24 21 (E) x = 105 , y = 110 1.15 Cho tam giác ABC vuông A cã ®êng cao AH, víi HB = 4, HC = 16 TÝnh ®êng cao AH (A) (B) 5,5 (C) (D) (E) Một kết khác 1.16 Cho sin = , ta cã: (A) cos = vµ tg = (C) cos = 15 vµ tg = (B) cos = 15 vµ tg = (D) cos = tg = (E) Tất câu sai 1.17 Cho tam giác ABC cân đỉnh A Gọi H hình chiếu B cạnh AC Tính cạnh đáy BC tam gi¸c, biÕt AH = 7, HC = (A) BC = (B) BC = (C) BC = 7,5 (D) BC = 6,5 (E) Tất câu sai 1.18 Một thang dài 6m, đợc đặt tạo với mặt đất góc 60 Vậy chân thang cách tờng mét? (A) (B) 3,2 (C) 7,8 (D) (E) 1.19 Cho tam giác vuông ABC (vuông A), biết góc B 60 AB = a (ABC đợc gọi nửa tam giác ®Òu) Khi ®ã: (A) AC = a (B) BC = a (C) AC = (D) AC = (E) AC = 1.20 Tính độ dài đờng cao AH kẻ từ A tam giác vuông ABC, có cạnh huyền BC = 50 tích hai đờng cao b»ng 120 (A) AH = (B) AH = 11 (C) AH = 7,5 (D) AH = 11,5 (E) Tất câu sai 1.21 Cho tam giác MNP vuông P, MP = 4,5, NP = Tính tỉ số lợng giác gãc N (A) sinN = ; cosN = ; tgN = ; cotgN = (B) sinN = ; cosN = ; tgN = ; cotgN = (C) sinN = ; cosN = ; tgN = ; cotgN = (D) sinN = ; cosN = ; tgN = ; cotgN = (E) sinN = ; cosN = ; tgN = ; cotgN = 1.22 Cho tam giác ABC vuông A, ®êng cao AH, cã AB = 6, AC = Khi ®ã (A) BC = 9, AH = (B) BC = 10, AH = 4,8 (C) BC = 9, AH = (D) BC = 10, AH = (E) BC = 9, AH = C 1.23 Cho tam giác ABC vuông B nh hình vẽ NÕu AD = DC = th× (A) BD b»ng 3,1 D (B) BD b»ng 3,2 (C) BD b»ng 3,5 (D) BD vuông góc AC (E) Các câu không A B 1.24 Giả sử góc nhọn x cã tgx = Khi ®ã, sinx b»ng (A) (B) (C) (D) (E) 1.25 Cho tam gi¸c ABC cã BC = a, CA = b, AB = c Mét häc sinh tiÕn hµnh chøng minh tg B b a c nh sau: (1) Từ B, kẻ phân giác BD (D trªn AC) Ta cã tg B AD AD AB c (2) Theo tÝnh chÊt ®êng phân giác, lại có AD c AD c AD c DC a DC AD a c b a c (3) Rót AD ë đẳng thức thay vào (1), ta đợc tg B b a c Chän ý kiÕn ®óng ý kiến sau đây: (A) Chứng minh sai giai đoạn (2) (B) Chứng minh sai giai đoạn (3) (C) Chứng minh hoàn toàn (D) Chứng minh sai giai đoạn (2) giai đoạn (3) (E) Chứng minh sai giai đoạn (1) Nếu thêm giả thiết tam giác ABC vuông A chứng minh hoàn toàn 1.26 Giải tam giác vuông ABC, biết cạnh huyền BC b»ng 7, gãc nhän B b»ng 360 (A) C = 320 (B) AB = 23,4 (C) AC = 11,5 (D) C = 32 , AB = 5,663 (E) TÊt câu sai 1.27 Cho tam giác ABC có góc A nhọn hai đờng cao BD, CE Để chứng minh (hoặc bác bỏ) hai tam giác ADE ABC đồng dạng, em hÃy chọn lí luận lí luận sau đây: (A) Hai tam giác đồng dạng, có cặp góc không (B) Hai tam giác vuông AEC ADB đồng dạng có góc A chung Tuy nhiên, hai tam giác ADE ABC không đồng dạng, có AD/AB = AE/AC (C) Vì hai tam giác AEC ADB đồng dạng nên AD/AB = AE/AC, suy hai tam giác ADE ABC đồng dạng (D) Dùng hai tam giác vuông AEC ADB để tính cosA theo hai cách khác nhau, từ ®ã cã thĨ tiÕp tơc ®Ĩ suy hai tam giác ADE ABC đồng dạng (E) Tất câu sai B Trắc nghiệm vận dung sáng tạo 1.28 Ta có công thức: cos cos sin = cotg2 + (D) sin2 + cos2 = ; cos = cotg2 + (E) sin2 + cos2 = ; sin = cotg2 + (A) sin2 + cos2 = ; (B) sin2 cos2 = ; (C) cos = tg2 + ; = cotg2 + = cotg2 + 1.29 Cho tg = TÝnh tỉ số lợng giác lại (A) cotg = , cos = (C) cotg = , sin = (E) sin = 10 10 (B) cos = , sin = , cos = (D) cos = 3 , sin = 10 10 1.30 Mét thang dài 50 (feet), đặt dựa vào tờng xây thẳng đứng Khoảng cách từ đầu chạm tờng đến mặt đất 43 Tính góc thang hợp với mặt đất (góc biểu thị cho độ dốc thang) tính khoảng cách từ chân thang đến tờng? Kết tơng ứng nh sau: (A) 59020’; 651 bé (B) 51010’ ; 651 bé (C) 50020’ ; 15,5 bé (D) 59020’; 21 bé (E) 49030’ ; 651 1.31 Tính đờng cao kẻ từ C cđa tam gi¸c ABC, biÕt: BCA = 1100, CAB = 350 , BC = 4cm (A) 3cm (B) 5,123cm (C) 3,759cm (D) 4,123cm (E) Một kết khác 1.32 Giả sử H trực tâm tam giác nhọn ABC Trên đoạn HB HC lấy hai điểm M, N cho góc AMC ANB vuông Khi ®ã: (A) AN = AM (B) AN > AM (C) AN < AM (D) Không thể dùng kiện đề để so sánh đợc AN với AM (E) Tất câu sai 1.33 Cho tam giác vuông C với kí hiệu thông thờng Cho b = 12, cosB = 1/3 TÝnh a, c (A) a = , c = (B) a = , c = (C) a = 3, c = 4, (D) a = 4, c = (E) a = 11, c = 15 1.34 Giả sử đồng hồ có kim giê dµi 4cm vµ kim dµi 6cm Hái vào lúc đúng, khoảng cách hai đầu kim bao nhiêu? (A) 3 cm (B) cm (C) cm (D) cm (E) Tất câu sai 1.35 Cho tam giác ABC có h chiều cao kẻ từ C vµ AB = c Mét häc sinh lÝ luËn nh sau: (1) Gọi H chân đờng cao kẻ tõ C Ta cã AH = h.cotgA, BH = h.cotgB (2) Mà c = AB = AH + HB nên c = h.cotgA + h.cotgB (3) Suy h = c (tgA + tgB) HÃy chọn câu trả lời (A) Lí luận đà dẫn đến kết đúng, thờng đợc áp dụng toán (B) Lí luận sai từ giai đoạn (3) (C) Lí luận sai từ giai đoạn (2) (D) Lí luận sai từ giai đoạn (1) (E) Tất câu sai 1.36 Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH HD, HE lần lợt đờng cao tam giác AHB AHC Ta cã: (A) = ; = (B) = ; = (C) = ; = (D) = ; = (E) TÊt c¶ câu sai 1.37 Cho tam giác ABC cân A, đờng cao AH BK Ta có: (A) = + (B) = + (C) = + (D) = + (E) = + 1.38 Tam giác ABC vuông C có sinA = Tính độ dài cạnh, biết diện tích tam giác ABC 120 (đơn vÞ) (A) AC = 5, BC = 134 , AB = 13 (B) AC = 24, BC = 10, AB = 26 (C) AC = 13, BC = 134 , AB = (D) AC = 12, BC = 5, AB = 13 (E) AC = 5, BC = 12, AB = 13 1.39 Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 20cm, hai cạnh bên AD = BC = 5cm, gãc ABC = 250 TÝnh chiÒu cao đáy nhỏ CD (A) Chiều cao 2,115cm ; CD = 10,94cm (B) ChiÒu cao b»ng 3,524cm ; CD = 8,24cm (C) ChiÒu cao b»ng 3,182cm ; CD = 6,42cm (D) ChiÒu cao b»ng 3,232cm ; CD = 7,54cm (E) ChiÒu cao b»ng 4,831cm ; CD = 9,47cm 1.40 hình sau, nhà nằm vị trí điểm C đảo Một nhà khác nằm điểm B Giả sử khoảng cách từ A ®Õn D lµ 10km vµ ABC = CAB = 280 Tìm khoảng cách BC A 10,0km B (A) BC = 12,06km (D) BC = 15km C (B) BC = 11,26km (E) BC = 16km 1.41 NÕu lµ gãc nhän vµ sin = (A) x (B) (C) x1 , 2x D (C) BC = 14,06km thÕ th× tg b»ng: x2 x (D) x (E) Một kết khác 1.42 Cho tam giác vuông ABC, gọi D, E hai điểm cạnh huyÒn BC cho BD = DE = EC BiÕt độ dài đoạn AD = sinx, AE = cosx với < x < Tính độ dài cạnh huyền BC (A) (B) (C) 5 (D) (E) Không thể tính đợc, thiếu giả thiết C Đáp án hớng dẫn Bài tập trắc nghiệm – ch¬ng 1.1 Chän (C) 1.2 Chän (D) 1.3 Chọn (D) 1.4 Chọn (E) AC = 10,5 Dùng định lí Pi-ta-go để tính AD DC 1.5 Chọn (C) Vì AB2 = BH.BC = 2, nên AB = , số vô tỉ 1.6 Chọn (A) 1.7 Chọn (A) cos A = b/c = (6,4) / (7,8) = 0,82 Suy gãc A = 34052’ 1.8 Chän (C) 1.9 Chän (C) Dïng tÝnh chÊt: hai gãc phô sin góc cos góc kia; tang góc nµy b»ng cotang gãc 1.10 Chän (A) 1.11 Chän (E) 1.12 Chän (C) a = c.sinA = 15 (2/5) = 6.b2 = c2 – a2 = 189, suy b 13,7 1.13 Chän (C) AB = 15, AH = , CH = , BH = 1.14 Chän (B) x = 21(21 24) , y = 24(21 24) 1.15 Chän (E) AH = 4.16 = 1.16 Chän (C) cos2 = – sin2 = cos = tg = = 15 15 15 15 1.17 Chän (B) AB = AC = 9; BH2 = 32; BC = 1.18 Chän (A) Gi¶ sư chân thang cách tờng x mét, ta có cos600 = VËy x = = 3m 1.19 Chän (A) DÔ thÊy gãc C = 300; a = AB = BC cosB = BC, suy BC = 2a Theo định lí Pi-ta-go, ta tính đợc AC = a 1.20 Chän (E) AH = 12/5 1.21 Chän (D) Ta cã MN = 4,5 20,25 36 56,25 7,5 2 sin N = = = ; cosN = sin N 25 tgN = = ; cotgN = 1.22 Chän (B) BC = 10 , AH = = 4,8 1.23 Chọn (E) BD trung tuyến ứng cạnh huyền nên b»ng nưa c¹nh hun, suy BD = Tuy nhiên, cha BD AC, hình vÏ, cã vỴ nh BDAC 1.24 Chän (B) Ta cã cosx = 2sinx vµ 2 sin2x + cos2x = 5sin2x = sinx = 1.25 Chän (E) 1.26 Chän (E) Ta cã C = 900 360 = 540 Theo hệ thức cạnh góc tam giác vuông ta có: AB = BC sinC = 7.sin540 5,663 AC = BC sinB = 7.sin360 4,115 1.27 Chän (D) cosA = ; cosA = = , suy hai tam giác ADE ABC đồng dạng 1.28 Chọn (C) = = tg2 + = = cotg2 + 1.29 Chän (E) cotg = Sư dơng = + cotg2 ®Ĩ cã sin = 10 10 , suy cos = 10 10 1.30 Chọn (A) Đáp sè: sinA = 0,86, A = 59020’ 651 bé 1.31 Chọn (C) Trớc tiên, ta có ABC = 350 Kẻ đờng cao BH (H nằm đoạn AC) Đặt BH = h Ta cã b = AC = BC v× ABC tam giác cân BCH = 700 h = BC.sin700 h = 3,759 1.32 Chän (A) V× tam giác ANB vuông N với đờng cao NF nên AN2 = AF.AB (1) Do tam giác AMC vuông M với đợc ME nên AM2 = AE.AC (2) A E F Các tam giác AEB AFC đồng dạng (hai tam giác vuông có góc nhọn H N chung) cho ta = AE.AC = AF.AB M (3) Tõ (1), (2) vµ (3) ta suy AM = AN B Chän (B) tg2B = = 8, 8a2 = 144,Ca2 = 18, a = , c = 3a = 1.33 1.34 Chän (D) Vµo lúc đúng, góc hai đầu kim 60 KÝ hiƯu kim giê lµ OB, kim B H A OA, hạ AH OB Nh thế, OAH nửa tam giác ta có OH = 3cm, AH = 3 cm, BH = 1cm VËy suy ra: AB = 27 2 cm O 1.35 Chän (B) h = = 1.36 Chọn (C) Trong tam giác vuông ABC ta có: AB2 = BH.BC ; AC2 = CH.BC Suy = = M Do đó: = Tam giác vuông ABH cho: HB2 = BD.BA Tam giác vuông ACH cho: HC2 = CE.CA A Do ®ã: = VËy = 1.37 Chän (C) Kẻ BM // AH, M nằm AC kéo dài BK đờng cao tam giác vuông BCM BM = 2AH nên: =+ =+ 1.38 Chọn (B) Đặt x = BC, y = AC th× xy = 120, hay xy = 240, suy x = Tõ C đó, tgA = H= Mặt khác, sinA = nªn cosA = 25 144 12 , ®ã tgA 169 169 13 = = VËy ta đợc = , suy y2 = = 576, suy y = 576 = 24 (v× y > 0) Tõ ®ã, AC = 24, BC = 10, AB = 26 1.39 Chọn (A) Kẻ CH, DK vuông góc AB CH = DK = 5sin250 AK = HB = 5cos250 Tra bảng, ta đợc sin250 = 0,423; cos250 = 0,906 Từ đó, CH = 2,115cm, AK = 4,53cm Đáy nhá CD = AB – 2AK = 20 – 9,06 = 10,94cm Vậy chiều cao hình thang 2,115cm ®¸y nhá CD b»ng 10,94cm 1.40 Chän (A) BC = 12,06km Để ý, tam giác BCA cân C với BCA = 124 Tõ ®ã ACD = 560 Tõ ®ã, BD = 10cotg280, CD = 10cotg560, suy BC 1.41 Chọn (D) Sử dụng công thức nhân cos = – 2sin2 Suy ra: tg = = – = x2 cos 1.42 Chọn (C) Từ D, E vẽ lần lợt đoạn DF, EG vu«ng gãc víi AC, cho ta: CF = FG = GA = b vµ DF = 2EG = 2a áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác CDF CEG, ta đợc: 4a2 + b2 = sin2x a2 + 4b2 = cos2x Cộng hai phơng trình ta suy ra: 5(a2 + b)2 = Do ®ã: AB = CB2 CA 3 a b 3 5