PHOØNG GIAÙO DUÏC CHAÂU THAØNH

PHOØNG GIAÙO DUÏC CHAÂU THAØNH ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2020 2021 Môn Toán 9 Thời gian 150 phút Bài 1 (4đ) a) Chứng minh    2 1 2 1n n  chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n b) T[.]

ĐỀ ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021 Mơn:Tốn Thời gian: 150 phút Bài (4đ): n n a) Chứng minh:   1  1 chia hết cho với số tự nhiên n b) Tìm n   để n  n  13 số phương Bài (2đ): Cho biểu thức  x  2 x 9 x   x  9    : 1   x   x  x x  x    P =  a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x  10    31 62  Bài (3đ): a) Cho x, y, z > 1 1 1   Chứng minh x  y  z  xy yz xz b) Tìm giá trị nhỏ A= x  xy  y  12 x  y  45 Bài (3đ): a ) Giải phương trình x  16    2 x 6 x 1 x  x  b)Cho x,y,z 0 thỏa mãn x +y +z = 2019 1 1    x y z 2019 Chứng minh ba số x, y, z phải có số 2019 Bài 5(2đ) : Cho tam giác ABC có BC = a, trung tuyến BD, CE Lấy điểm M, N BC cho BM = MN = NC Gọi I giao điểm AM BD , K giao điểm AN CE Tính độ dài IK Bài (4đ): Cho hình vng ABCD M điểm tùy ý đường chéo BD Kẻ ME vng góc AB, MF vng góc AD C/m: a) DE = CF DE  CF b) Ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn Bài (2đ): Cho hình chữ nhật ABCD có AB= 2BC Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường thẳng CD F Chứng minh 1  2 AE AE AF ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ ƠN TẬP THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC:2020-2021 Mơn:Tốn NỘI DUNG BIỂU ĐIỂM Bài (4đ): n n a) Chứng minh:   1  1 chia hết cho với số tự nhiên n   1  1  Vì   1   1 Nên   1   1 3 n n  1 4n  2n 1đ n n 1đ n b) Tìm n   để n  n  13 số phương Ta có n  n  13 =k2  4n  4n  52 4k  4n  4n   4k  51   2n   2k   2n   2k   51 1đ 1đ Giải phương trình ta n=-12, n=-3, n=13, n=4 Bài (2đ): a) Rút gọn biểu thức P  x 0  Điều kiện  x 4  x 9   x  2 x 9 x   x  9    : 1  x   x  x x  x    x 3 x  x 2 x   9 x  x  x   :    x   x  3 x  P=     3    = = 0,5đ      =     9 x x 4 9 x   x  3 x : x   x :   x x 3  x x 2  x b) Tính giá trị biểu thức P x  x 10   62   3   x    x  3 x  2  x  2 x   x x  2   x  x  3 x  10   x 2 x  62     1  1  1 x  3  1đ = P   1  2 31 1  0,5đ 2 1  2 Bài (3đ): 1 1 1   a) Chứng minh x  y  z  xy yz xz 1 Áp dụng BĐT Cơsi ta có x  y  xy 1   y z yz 1   z x zx 1 1 1   Cộng vế theo vế ta x  y  z  xy yz xz Dấu = xảy x=y=z b)Tìm giá trị nhỏ A= x  xy  y  12 x  y  45 A= x  xy  y  12 x  y  45 = x  y  36  xy  12 x  12 y  5y  10 y   1đ 0,5đ 1đ =  x  y     y  1  4  x  y  0  x 7   y  0  y 1 Dấu “=” xảy  0,5đ Vậy GTNN A x=7; y=1 Bài 4(3đ) a) Giải phương trình x  16  x2   x  16    x 6   x 1 x  x         3  1   1   1  0   x 1   x    x    x2    x    x    x2            0  x    x 1   x    x   1     x2  2      0  x  x 1 x  x   0,5đ 0,5đ 0,5đ   x   0  x  b) Cho x,y,z 0 thỏa mãn x +y +z = 2019 1 1    x y z 2019 Chứng minh ba số x, y, z phải có số 2019 1 1 x  y z  2019      x y z 2019 xy 2019 z  2019 z  x  y   xy  z  2019  b)   2019  z   2019  2019  x  y   xy  0 0,5đ 0,5đ   2019  z   2019  2019  x   y  2019  x   0   2019  z   2019  x   2019  y  0  x 2019   y 2019  z 2019 0,5đ Vậy số x, y, z có số 2019 Bài 5(2đ) Cho tam giác ABC có BC = a, trung tuyến BD, CE Lấy điểm M, N BC cho BM = MN = NC Gọi I giao điểm AM BD , K giao điểm AN CE Tính độ dài IK Giải : Xét  AMC có DN trung bình  DN // AM  BND có MB = MN MI // ND  I trung điểm BD Tương tự : K trung điểm CE Tứ giác BCDE hình thang có I, K trung điểm hai đường chéo a BC  DE a Nên : IK = = a 2 0,5đ 0,5đ 1đ Bài 6: Cho hình vng ABCD M điểm tùy ý đường chéo BD Kẻ ME vng góc AB, MF vng góc AD C/m: a) DE = CF DE  CF b) Ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn 2đ Giải: a/ Tứ giác AEMF hình chữ nhật  AE = MF Tam giác MDF vuông cân F  MF = FD  AE = FD ¶ C µ  AED =  DFC ( cgc)  DE = CF D 1 ¶  CDN · µ  CDN · · Mà : D 900  C 900  CND 900 1 Tức DE  CF b/ Tương tự : CE  BF Ta có : MC = MA ( M  BD) MA = EF nên : MC = EF  MCF =  FED (ccc)  ·FED ·MCF · · · · Ta lại có: FED  EFC 900 Nên MCF  EFC 900 1đ  900 Gọi H giao CM EF  H Trong tam giác ECF có: CM, ED, FB ba đường cao nên chúng đồng quy c/ Cho chu vi tứ giác AEMF 2a không đổi nên: ME + MF = a không đổi Do ME MF ( diện tích tứ giác AEMF) lớn ME = MF  AEMF hình vng Khi M  O giao điểm hai đường chéo AC BD hình vng ABCD 1đ Bài (2đ) Cho hình chữ nhật ABCD có AB= 2BC Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường thẳng CD F Chứng minh 1  2 AE AE AF B A E F K D C Kẻ AK  AF ( K  CD)  ABE  ADK   Có: ABE KDA 90    ( phụ DAE ) BAE KAD  ADK Nên  ABE AE AB   2 AK AD 1đ Tam giác AKF vuông K 1   AD AK AF 1    1 1 AF 2 2 AB AE 2  2      Ta có Hay 1  2 AE AE AF 1đ