Giảm bậc mô hình dựa trên cân bằng Gramian

Bài viết Giảm bậc mô hình dựa trên cân bằng Gramian giới thiệu 3 phương pháp giảm bậc mô hình dựa trên cân bằng Gramian đó là Cắt ngắn cân bằng (BT), Cắt ngắn ngẫu nhiên cân bằng (BST), và Cắt ngắn cân bằng thực dương (PRBT). Nhóm tác giả áp dụng các thuật toán này để giảm hệ thống điều khiển tay máy robot có bậc 8 xuống hệ bậc 3 và bậc 4. Từ kết quả mô phỏng trên Matlab và sai số giữa hệ giảm bậc với hệ gốc cho thấy thấy BT cho đáp ứng trong miền thời gian và sai số nhỏ nhất. Mời các bạn cùng tham khảo!

Hội nghị Quốc gia lần thứ 25 Điện tử, Truyền thông Công nghệ Thông tin (REV-ECIT2022) Giảm bậc mơ hình dựa cân Gramian Nguyễn Thanh Tùng1*, Vũ Ngọc Kiên2, Đào Huy Du2 Trường Đại học Công nghệ Thông tin Truyền thông, Đại học Thái Nguyên Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp, Đại học Thái Nguyên Email: nttung@ictu.edu.vn*, daohuydu@tnut.edu.vn, atv324@gmail.com Abstract— Giảm bậc mơ hình lĩnh vực nghiên cứu nhằm xác định hệ bậc thấp để thay cho hệ thống bậc cao mà bảo tồn thuộc tính hệ ban đầu Một hướng để giảm thiểu phức tạp hệ thống dựa Gramian điều khiển quan sát hệ Bài báo giới thiệu phương pháp giảm bậc mơ hình dựa cân Gramian Cắt ngắn cân (BT), Cắt ngắn ngẫu nhiên cân (BST), Cắt ngắn cân thực dương (PRBT) Nhóm tác giả áp dụng thuật toán để giảm hệ thống điều khiển tay máy robot có bậc xuống hệ bậc bậc Từ kết mô Matlab sai số hệ giảm bậc với hệ gốc cho thấy thấy BT cho đáp ứng miền thời gian sai số nhỏ Thuật toán BST trùng khớp với hệ gốc toàn miền tần số (bảo tồn tính cực tiểu pha) Phương pháp PRBT bảo tồn tính thụ động hệ gốc điều khiển (cũng khó quan sát hay dễ quan sát) Cụ thể, biến trạng thái nằm vùng vector riêng Wc tương ứng với giá trị riêng lớn dễ điều khiển cần lượng nhỏ để điều khiển biến Tương tự, biến trạng thái nằm vùng vector riêng Wo tương ứng với giá trị riêng lớn dễ quan sát cần lượng nhỏ để quan sát biến Khái niệm cân bằng, tức dùng phép đổi biến để xếp lại biến trạng thái theo thứ tự dễ điều khiển/dễ quan sát đến khó điều khiển/khó quan sát Dù phép đổi biến làm thay đổi Gramian hệ lại không làm thay đổi giá trị riêng tích Gramian Wc Wo Các giá trị riêng tích Gramian Wc Wo dương bất biến phép biến đổi không suy biến Ký hiệu  ,  , ,  n  giá trị riêng tích Keywords- Giảm bậc, Giảm bậc điều khiển robot, Cân Gramian, Chặt cân bằng, Cắt ngắn ngẫu nhiên cân bằng, Cắt ngắn cân thực dương I Gramian, với giả thiết        n Tập gọi giá trị suy biến Hankel, "năng lượng" trạng thái hệ Đại diện cho thuật toán dựa cân Gramian cắt ngắn (chặt) cân BT (Balanced truncation) đề xuất Moore [3] nhiều cải tiến [4] Phương pháp xác định hai Gramian điều khiển Gramian quan sát cách giải phương trình Lyapunov Mơ hình bậc thấp xác định cách loại bỏ giá trị riêng mang lượng Thuật toán BT áp dụng cho hệ ổn định tiệm cận, có khả bảo tồn tính ổn định hệ gốc Hai thuật toán biến đổi Gramian để chuyển hệ trạng thái cân nội Cắt ngắn ngẫu nhiên cân BST (Balanced stochastic truncation) Cắt ngắn cân thực dương (Positive-real balanced truncation) BST áp dụng cho tất hệ động lực tiệm cận ổn định, không suy biến, phương pháp thực tương tự BT Wc giải từ phương trình Lyapunov Wo xác định từ phương trình Riccati [5] BST bảo tồn tính cực tiểu pha hệ gốc PRBT bảo tồn tính thụ động hệ gốc, Wc Wo tính từ phương trình Riccati [6] Ba thuật tốn nhà nghiên cứu quan tâm, cải tiến, phát triển ứng dụng vào nhiều đối tượng khác nhau, tài liệu [7] đề xuất sử dụng BT để giảm độ phức tạp cho điều khiển tối ưu GIỚI THIỆU Trong nhiều trường hợp, phân tích, thiết kế, mô phỏng, nhận dạng hệ thống, v.v gặp trường hợp số lượng phương trình tốn học lớn, bậc hệ thống cao, số lượng phần tử khổng lồ, v.v Điều đặt vấn đề giới hạn phần cứng triển khai, thời gian đáp ứng, phần mềm cài đặt, v.v Giảm bậc mô hình MOR (Model Order Reduction) phạm vi nghiên cứu để khắc phục phức tạp đối tượng gốc, đồng thời phải đảm bảo tiêu chí bảo tốn tính chất hệ gốc ổn định, tính thụ động, khả thực hố, cấu trúc hệ thống tồn vẹn, v.v Có nhiều hướng nghiên cứu liên quan đến lĩnh vực [1] Nhóm phương pháp dựa phân tích nhiễu loạn suy biến, Nhóm dựa phân tích phương thức, Nhóm dựa phân tích giá trị suy biến, Nhóm phương pháp thời điểm phù hợp (Moment Matching), nhiều nhóm phương pháp khác Trong có thuật tốn liên quan dựa cân Gramian điều khiển quan sát lâu đời mà tiếp tục cải tiến, nghiên cứu, phát triển ứng dụng vào nhiều toán thực tế Gramian điều khiển Wc Gramian quan sát Wo đại lượng dùng để đo lượng hệ [2] Chúng cho biết biến trạng thái khó điều khiển dễ ISBN 978-604-80-7468-5 42 Hội nghị Quốc gia lần thứ 25 Điện tử, Truyền thông Công nghệ Thông tin (REV-ECIT2022) nhằm điều chỉnh tần số hệ thống điện bị nhằm chống lại biến thiên tải Bài báo [8] đề xuất mơ hình tổng hợp bậc giảm dựa BT để tiền xử lý trình mô theo thời gian thực cho biến đổi lớn với điều kiện ban đầu không đồng nhất, DC Microgrids Các tác giả [9] đưa phương pháp tăng tốc phân tích ứng suất điện từ EM cách sử dụng BT để dễ dàng xử lý mơ hình lớn, đảm bảo độ độ tin cậy lâu dài thiết kế mạch tích hợp Nghiên cứu [10] đưa phương pháp kết hợp cân thực-dương nhằm bảo tồn thuộc tính hệ gốc hệ giảm bậc tích thụ động giới hạn thực Một mơ hình bảo tồn tính thụ động: Phương pháp cắt ngắn cân thực dương Conic giới thiệu [11], v.v Nhằm so sánh phương pháp dựa cân Gramian: BT, BST PRBT, nhóm tác giả áp dụng chúng vào mơ hình điều khiển tay máy robot [12] có bậc 8, để giảm thiểu xuống bậc bậc Tiến hành mô đáp ứng xung biểu đồ bode tính tốn sai lệch hệ gốc bậc với hệ giảm bậc, để đưa nhận xét khả giảm bậc thuật tốn cho đối tượng xét Phần cịn lại báo tổ chức sau: phần II, III IV chúng tơi trình bày bước thực giảm bậc thuật toán BT, BST PRBT Mục V đưa kết mô matlab sai số hệ gốc với hệ giảm bậc sử dụng thuật toán này, sau đưa nhận xét, đánh giá khả ứng dụng thuật toán Cuối mục VI Kết luận báo II T AT , T B, CT , D  =   −1 21 − −1 − ISBN 978-604-80-7468-5 2 r r   (7) r m pr r pm r r Được xác định: −1 −1 Ar := TAT ; Br ,:= TB; Cr ,:= CT ; Dr := D (8) Giới hạn sai số hệ gốc hệ giảm bậc: n W ( s ) − WBT ( s ) H   2 i (9) k +1 Với  i : giá trị suy biến Hankel hệ III CẮT NGẮN CÂN BẰNG NGẪU NHIÊN Thuật toán Cắt ngắn ngẫu nhiên cân BST (Balanced stochastic truncation) [5] trình bày sau: Đầu vào: Hệ bất biến theo thời gian tuyến tính bậc nhật ổn định tiệm cận, tối thiểu, vuông không suy biến W(s) mô tả ma trận khơng gian trạng thái (A, B, C, D) có bậc n nn nm pn pm Trong đó: A  R , B  R , C  R , D  R , m = p det ( D )  - Bước 1: Giải phương trình Lyapunov (1) để xác định Gramian điều khiển (tiếp cận) Wc phương trình Riccati (11) để có Gramian quan sát Wo (Wc > 0; Wo > 0) hệ gốc ( A Wo + WoA + C − B Wo T W ) ( DD ) ( C − B Wo ) = T T −1 W Trong BW := PC + BD T (10) T - Bước ÷ Bước 6: Thực tương tự Thuật toán Cắt ngắn cân Đầu ra: Hệ giảm bậc ổn định tiệm cận WBST(s) mô tả ma trận không gian trạng thái (Ar, Br, Cr, Dr) có bậc r Trong đó: A  ,B  ,C  ,D  r r (1) r m r pr r r pm r Giới hạn sai số hệ gốc hệ giảm bậc: n −1 ‖ W ( s ) (W ( s ) − WBST ( s )) ‖ H  (3)   (1 + 2 ( i +  i +  ) − (11) i k +1 (4) Với  i : giá trị suy biến Hankel hệ (5) IV - Bước 3: Phân tích giá trị suy biến SVD: CẮT NGẮN CÂN BẰNG THỰC DƯƠNG Thuật toán Cắt ngắn cân thực dương PRBT (Positive-real balanced truncation) [6] triển khai theo trình tự sau: T := RVΣ ; T = Σ 2U L - Bước 5: Chuyển đổi cân bằng: C , D 22 r (2) A Wo + WoA + C C = - Bước 2: Phân tích Cholesky cho Wc Wo thành: L R = UΣV L R thừa số Cholesky - Bước 4: Tính ma trận chuyển đổi: 12 - Bước 6: Tính bậc r cần giảm (r < n) Đầu ra: Hệ giảm bậc ổn định tiệm cận WBT(s) mô tả ma trận không gian trạng thái (Ar, Br, Cr, Dr) có bậc r Trong đó: A  ,B  ,C  ,D  Thuật toán Cắt ngắn (chặt) cân BT (Balanced truncation) [3] mô tả sau: Đầu vào: Hệ bất biến theo thời gian tuyến tính bậc nhật ổn định tiệm cận tối thiểu W(s) mô tả ma trận không gian trạng thái (A, B, C, D) có bậc nn nm pn pm n Trong đó: A  R , B  R , C  R , D  R - Bước 1: Giải hai phương trình Lyapunov (1) (2) để xác định Gramian điều khiển (tiếp cận) Wc Gramian quan sát Wo (Wc > 0; Wo > 0) hệ gốc Wc = RR Wo = LL A 11  A CẮT NGẮN CÂN BẰNG AWc + WcA + BB =  ,  B  , C A    B  A −1 (6) 43 Hội nghị Quốc gia lần thứ 25 Điện tử, Truyền thông Công nghệ Thông tin (REV-ECIT2022) Đầu vào: Hệ bất biến theo thời gian tuyến tính bậc nhật ổn định tiệm cận, tối thiểu W(s) mô tả ma trận không gian trạng thái (A, B, C, D) bậc n nn nm pn pm Trong đó: A  R , B  R , C  R , D  R , - Đáp ứng hệ giảm bậc sử dụng phương pháp PRBT có sai lệch lớn nhất, thuật tốn BT bám sát hệ gốc - Có thể sử dụng phương pháp BT để giảm bậc để thay hệ gốc bậc cần làm việc với đáp ứng miền thời gian () m = p, D + D  ; W ( s ) + W s  T - Bước 1: Giải hai phương trình Riccati (12) (13) để xác định Gramian điều khiển (tiếp cận) Wc Gramian quan sát Wo (Wc > 0; Wo > 0) hệ gốc ( )( D + D ) ( B Wc − C ) = (12) ( )( D + D ) ( CWo − B ) = (13) −1 A Wc + WcA + WcB − C AWo + WoA + WoC − B −1 - Bước ÷ Bước 6: Thực tương tự Thuật toán Cắt ngắn cân Đầu ra: Hệ giảm bậc ổn định tiệm cận WBST(s) mô tả ma trận không gian trạng thái (Ar, Br, Cr, Dr) bậc r Trong đó: Ar  r r r m , Br  , Cr  pr , Dr  pm Hình Đáp ứng xung hệ gốc (bậc 8) hệ giảm bậc (bậc 3) sử dụng thuật toán BT, BST PRBT Nhận xét 2: Từ đáp ứng xung hệ gốc (bậc 8) hệ giảm bậc bậc sử dụng thuật tốn BT, BST PRBT khoảng thời gian mơ trên, thấy được: - Tất hệ giảm bậc sử dụng phương pháp BT, BST PRBT bám sát hệ gốc bậc - Có thể sử dụng phương pháp nhằm hạ bậc hệ gốc bậc để thay hệ bậc cần làm việc với đáp ứng miền thời gian Giới hạn sai số hệ gốc hệ giảm bậc là: ( || D + W ( s ) T ) −(D −1 T + WPRBT ( s ) ) −1 n ||H  R   i (14) i = k +1 ( Với R := D + D T ) −1 ;  i : giá trị suy biến Hankel hệ V GIẢM BẬC CHO TAY MÁY ROBOT Xét tác tử bậc hệ thống mô tả tài liệu [12] Động lực học tay máy có mơ tả gồm ma trận trạng thái sau: 0  0 0 0  0  0  A=  -1  0 0  0 C = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -4 -1 0 -1 0 0 2 -8 0 -8 -1 0 2 0      0       , B = 0  1  0    0 0  0      -4  0  0 Hình Đáp ứng xung hệ gốc (bậc 8) hệ giảm bậc (bậc 4) sử dụng thuật toán BT, BST PRBT Nhận xét 3: Từ đồ thị Bode hệ gốc (bậc 8) hệ giảm bậc sử dụng thuật toán BT, BST PRBT, khoảng tần số mơ trên, ta có: - Đáp ứng hệ giảm bậc sử dụng phương pháp BT có sai lệch lớn nhất, đáp ứng hệ bậc trùng khớp hệ gốc với thuật tốn BST - Có thể sử dụng phương pháp BST để giảm bậc để thay hệ gốc bậc cần làm việc với đáp ứng miền tần số 0 , D = Áp dụng phương pháp BT, BST, PRBT để giảm độ phức tạp hệ thống hệ thống tương đương bậc thấp Các bậc giảm xuống bậc Tiến hành cài đặt thuật tốn, mơ Matlab thu đáp ứng xung đồ thị bode kết Hình 1, Hình 2, Hình Hình Nhận xét 1: Từ đáp ứng xung hệ gốc (bậc 8) hệ giảm bậc sử dụng thuật toán BT, BST PRBT, khoảng thời gian mô trên, thấy được: ISBN 978-604-80-7468-5 Hình Biểu đồ Bode hệ gốc (bậc 8) hệ giảm bậc (bậc 3) sử dụng thuật toán BT, BST PRBT 44 Hội nghị Quốc gia lần thứ 25 Điện tử, Truyền thông Công nghệ Thông tin (REV-ECIT2022) hay lượng hệ tạo vượt lượng mà nhận BST cho đáp ứng miền tần số trùng khớp với hệ gốc Với đặc điểm loại, hướng nghiên cứu phát triển tiếp kết hợp thuật tốn với nhằm đảm bảo tiêu chí giữ toàn vẹn hệ gốc với chất lượng tối ưu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] P Benner, V Mehrmann, D Sorensen (Eds.), Dimension H R Ali, L P Kunjumuhammed, B C Pal, A G Adamczyk and K Vershinin, "Model Order Reduction of Wind Farms: Linear Approach," in IEEE Transactions on Sustainable Energy, vol 10, no 3, pp 1194-1205, July 2019 [2] Antoulas A C (2005), Approximation of Large-Scale Dynamical Systems Philadelphia: SIAM [3] B Moore, "Principal component analysis in linear systems: Controllability, observability, and model reduction," in IEEE Transactions on Automatic Control, vol 26, no 1, pp 17-32, February 1981 [4] Benner, P.; Breiten, T ; Faßbender, H.; Hinze, M.; Stykel, T.; Zimmermann, R Model Reduction of Complex Dynamical Systems Vol 117 of International Series of Numerical Mathematics, pp 393-415, Birkhäuser, Cham 2021 [5] M Rasheduzzaman, P Fajri and B Falahati, "Balanced Model Order Reduction Techniques Applied to Grid-tied Inverters In a Microgrid," 2022 IEEE Conference on Technologies for Sustainability (SusTech), 2022, pp 195-202 [6] Z Salehi, P Karimaghaee and M -H Khooban, "A New Passivity Preserving Model Order Reduction Method: Conic Positive Real Balanced Truncation Method," in IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics: Systems, vol 52, no 5, pp 2945-2953, May 2022 [7] S Singh and D Guha, "Robust Optimal Controller for Frequency Regulation of an Isolated Power System by using Kharitonov's Theorem," 2020 IEEE 9th Power India International Conference (PIICON), 2020, pp 1-6 [8] R Wang, Q Sun, P Tu, J Xiao, Y Gui and P Wang, "Reduced-Order Aggregate Model for Large-Scale Converters With Inhomogeneous Initial Conditions in DC Microgrids," in IEEE Transactions on Energy Conversion, vol 36, no 3, pp 2473-2484, Sept 2021 [9] O Axelou, G Floros, N Evmorfopoulos and G Stamoulis, "Accelerating Electromigration Stress Analysis Using LowRank Balanced Truncation," 2022 18th International Conference on Synthesis, Modeling, Analysis and Simulation Methods and Applications to Circuit Design (SMACD), 2022, pp 1-4 [10] Z Salehi, P Karimaghaee and M -H Khooban, "Mixed Positive-Bounded Balanced Truncation," in IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, vol 68, no 7, pp 2488-2492, July 2021 [11] Z Salehi, P Karimaghaee and M -H Khooban, "A New Passivity Preserving Model Order Reduction Method: Conic Positive Real Balanced Truncation Method," in IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics: Systems, vol 52, no 5, pp 2945-2953, May 2022 [12] Cheng, Xiaodong & Scherpen, Jacquelien & Besselink, Bart (2017) Balanced Truncation of Networked Linear Passive Systems Automatica 104 17- 10.1016/j.automatica.2019.02.045 Hình Biểu đồ Bode hệ gốc (bậc 8) hệ giảm bậc (bậc 4) sử dụng thuật toán BT, BST PRBT Nhận xét 4: Từ đồ thị Bode hệ gốc (bậc 8) hệ giảm bậc sử dụng thuật toán BT, BST PRBT, khoảng tần số mô trên, ta có: - Tất hệ giảm bậc sử dụng phương pháp BT, BST PRBT bám sát hệ gốc bậc - Có thể sử dụng phương pháp nhằm hạ bậc hệ gốc bậc để thay hệ bậc cần làm việc với đáp ứng miền tần số Sai số tuyệt đối sai số tương đối hệ giảm bậc theo chuẩn H∞ hệ thống bậc giảm (bậc bậc 4) so với hệ gốc (bậc 8) sử dụng phương pháp: BT, BST PRBT tương ứng thể Bảng Bảng Bảng Sai số theo chuẩn H∞ hệ gốc hệ bậc THUẬT TOÁN BT BST PRBT |W(s) – Wr(s)|H∞ 0.0208494 0.0494311 0.0951433 |(W(s))-1(W(s) – Wr(s))|H∞ 0.0344015 0.0815613 0.1569864 Bảng Sai số theo chuẩn H∞ hệ gốc hệ bậc THUẬT TOÁN BT BST PRBT |W(s) – Wr(s)|H∞ 0.0010159 0.0030696 0.0072260 |(W(s))-1(W(s) – Wr(s))|H∞ 0.0016763 0.0050649 0.0119228 Từ kết ta có: Nhận xét 5: - Sai số hệ giảm bậc (cả hệ giảm bậc bậc 4) nhỏ sử dụng phương pháp BT, BST lớn với PRBT - Nếu quan tâm đến sai số nhỏ phương pháp giảm bậc hệ gốc hệ bậc bậc sử dụng thuật toán BT để thay cho hệ gốc VI KẾT LUẬN Bài báo giới thiệu thuật toán giảm bậc mơ hình dựa cân Gramian hệ là: Cắt ngắn cân (BT), Cắt ngắn ngẫu nhiên cân (BST), Cắt ngắn cân thực dương (PRBT) Sau đó, nhóm tác giả tiến hành giảm bậc cho điều khiển tay máy robot hệ thống đa tác tử Từ kết giảm bậc thu thấy phương pháp BT cho đáp ứng xung bám sát hệ gốc với sai số nhỏ Thuật tốn PRBT bảo tồn tích thực dương, tính thụ động hệ gốc ISBN 978-604-80-7468-5 45 ... giới thiệu thuật tốn giảm bậc mơ hình dựa cân Gramian hệ là: Cắt ngắn cân (BT), Cắt ngắn ngẫu nhiên cân (BST), Cắt ngắn cân thực dương (PRBT) Sau đó, nhóm tác giả tiến hành giảm bậc cho điều khiển... hệ giảm bậc (bậc 3) sử dụng thuật toán BT, BST PRBT Nhận xét 2: Từ đáp ứng xung hệ gốc (bậc 8) hệ giảm bậc bậc sử dụng thuật toán BT, BST PRBT khoảng thời gian mô trên, thấy được: - Tất hệ giảm. .. 0 Hình Đáp ứng xung hệ gốc (bậc 8) hệ giảm bậc (bậc 4) sử dụng thuật toán BT, BST PRBT Nhận xét 3: Từ đồ thị Bode hệ gốc (bậc 8) hệ giảm bậc sử dụng thuật toán BT, BST PRBT, khoảng tần số mô trên,