SKKN xây dựng, sử dụng hệ thống bài tập trắc nghiệm tích phân ôn thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN LĨNH VỰC TỐN HỌC XÂY DỰNG, SỬ DỤNG HỆ THỚNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN ÔN THI THPT QUỐC GIA Nghệ An, tháng năm 2022 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN LĨNH VỰC TOÁN HỌC XÂY DỰNG, SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN ÔN THI THPT QUỐC GIA Trần Huy Thắng: Đồng tác giả Trường THPT Diễn Châu 2; ĐT: 0947 158 123 Email: tranhuythangtran@gmail.com Tạ Khắc Định: Trường THPT Diễn Châu 2; ĐT: 0976 448 688 Email: khacchinhta@gmail.com Đơn vị công tác: Trường THPT Diễn Châu Nghệ An, tháng năm 2022 MỤC LỤC I Lý chọn đề tài Những nội dung sáng kiến II Nội dung sáng kiến Về câu hỏi/đề thi trắc nghiệm khách quan Về câu hỏi mcq (multiple choise questions) Định nghĩa tích phân: 3.1 Tính chất tích phân: 3.2 Phương pháp đổi biến số: 3.3 Phương pháp phần: 3.4 Cơng thức đạo hàm tích, thương: Các tốn định nghĩa tích phân: 4.2 Các tốn khai thác tính chất: 4.2.1 Sử dụng phép tốn tích phân: 4.2.2 Sử dụng công thức tách cận tích phân: 10 4.2.3 Sử dụng tính chất tích phân hàm số không âm: 11 4.2.4 Sử dụng tính chất nguyên hàm kết hợp: 16 4.3 Các toán sử dụng phép đặt ẩn phụ: 22 4.3.1 Dạng Cho hàm số y  f ( x) thỏa mãn f  u ( x)   v  x  u ( x) hàm đơn b điệu R tính tích phân I   f ( x)dx 22 a 4.3.2 Dạng 2: toán sử dụng phép đặt tích phân chứa hàm số có tính chất đặc biệt dựa phương trình hàm 27 4.3 Dạng Tích phân liên quan đến dạng: f x 4.3.5 dạng Tích phân liên quan đến dạng: f x f x p( x) f x g ( x) 28 g ( x) 29 4.3.6 dạng Tích phân liên quan đến dạng: cho f x hàm liên tục r a f x f g ( x) Tính tích phân I x f x dx , a 29 a 4.3.7 dạng Tích phân liên quan đến dạng: cho f x hàm liên tục r b f x f a b x g ( x) Tính tích phân I f x dx , 30 a 4.3.8 Dạng 8: tốn sử dụng phép đặt tích phân dạng giả thiết chứa đẳng thức dạng f (u( x))  g ( x) 35 4.3.9 dạng 9: tốn sử dụng phép đặt tích phân dạng giả thiết chứa đẳng thức dạng f '( x).g ( f ( x))  u ( x) : 37 Các tốn sử dụng phép tích phân phần: 39 Phần III Kết luận kiến nghị 42 Kết luận 42 Kiến nghị 42 2.1 Với giáo dục: 42 2.2 Với sở gd&đt: 42 2.3 Với bgh nhà trường 42 2.4 Với giáo viên giảng dạy mơn tốn 43 2.5 Với phhs 43 Nội dung thực nghiệm 43 Những ưu điểm sáng kiến 50 I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình tốn THPT tốn tích phân ln tốn khiến học sinh gặp nhiều khó khăn lúng túng Các tốn chương trình SGK lớp 12 hành viết sơ sài chủ yếu dừng lại mức độ thông hiểu Các dạng tập sách viết theo dạng tự luận, cần có lời giải tường minh để đến kết MTCT có chức tính xác kết số tích phân sử dụng để kiểm tra kết tốn tính tốn tích phân Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 năm 2018, 2019, 2020, 2021 đề thi minh họa Bộ giáo dục Đào tạo năm vừa qua, nội dung đánh giá mức độ vận dụng, vận dụng cao Các tốn tính tốn tích phân thường trải theo mức độ khác đề thi Ở mức độ nhận biết thơng hiểu tốn trình bày có nhiều đường tiếp cận Tuy nhiên toán thuộc mức độ vận dụng vận dụng cao tốn ngun hàm, tích phân ứng dụng khai thác cách khéo léo vận dụng nhiều kiến thức có liên quan Để giải tốn học sinh khơng phải nắm kiến thức nguyên hàm tích phân, ý nghĩa, giải thành thạo toán mà cịn phải sử dụng cơng cụ, tính chất liên hệ để làm tập Phép tính tích phân bắt đầu giới thiệu cho em học sinh lớp 12 có mặt hầu hết kỳ thi thi THPT- QG, thi học sinh giỏi cấp Hiện với xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân cịn u cầu rộng đòi hỏi học sinh phải tư linh hoạt tích phân số hàm ẩn đưa vào để yêu cầu học sinh, học kỹ phương pháp tính tích phân, đứng trước yêu cầu tính tích phân hàm ẩn đa số em nhiều lúng túng chí khơng định hình lời giải đứng trước toán dạng Muốn học sinh học tốt tích phân người Giáo viên truyền đạt, giảng giải theo tài liệu có sẵn Sách giáo khoa, sách hướng dẫn thiết kế giảng cách gập khn, máy móc, làm cho học sinh học tập cách thụ động Nếu dạy học việc học tập học sinh diễn thật đơn điệu, tẻ nhạt kết học tập khơng cao Nó ngun nhân gây cản trở việc đào tạo em thành người động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với đổi diễn hàng ngày Yêu cầu giáo dục đòi hỏi phải đổi phương pháp dạy học mơn tốn theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Vì người giáo viên phải gây hứng thú học tập cho em cách thiết kế giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế Vì lí đó, để giúp học sinh có sở khoa học, có có hệ thống kiến thức tính tích phân tháo gỡ vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng nhu cầu đổi giáo dục, chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm Những nội dung bản sáng kiến - Sáng kiến hình thành theo dạng chủ đề dạy học Hệ thống lý thuyết trình bày cách đọng ngắn gọn Các dạng tập xây dựng cách hệ thống, có phân chia mức độ Bài tập thiết kế theo hình thức trắc nghiệm để tạo điều kiện cho học sinh có khả phát huy hết lực thân - Trình lại hệ thống kiến thức chương trình sách giáo khoa mà tối thiểu học sinh cần nắm Mỗi phần kiến thức học sinh tiếp nhận có dạng tập vận dụng với mức độ yêu cầu khác để học sinh luyện tập - Nêu định hướng số phương pháp để giải tập đề thi đại học với kiến thức Giúp học sinh vận dụng trực tiếp kiến thức học vào sử lý toán liên quan, hình thành đường tư liên tục kỹ vận dụng kiến thức vào tình cụ thể - Trong trình hình thành lời giải có phân tích cách tư đường tìm lời giải sở giả thiết từ giúp học sinh tạo thói quen tư liên kết gặp toán lạ - Phân tích lời giải tư để hình thành đường đến lời giải cách tự nhiên Liên kết dạng toán giúp học sinh hình thành suy luận hợp lý, tổng quát toán theo nhiều hướng khác - Các tốn nhóm tác giả chia theo trình tự nội dung kiến thức trình bày sách giáo khoa để đảm bảo cho học sinh dễ dàng tiếp cận từ cung cấp kiến thức lý thuyết Bài tập ví dụ minh họa xếp theo hệ thống kiến thức phân dạng mức độ từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng vận dụng cao Do học sinh dễ dàng tiếp cận kiến thức vận dụng trực tiếp kiến thức vào mức độ khác toán Bên cạnh việc hướng dẫn chi tiết lời giải tác giả đưa nhận xét, phân tích đường đến lời giải cách hợp lý nêu suy luận dựa kiến thức học vận dụng vào tình cụ thể Điều ngồi việc giúp học sinh tìm đường lối tư giải tập giúp em tự tư tìm đường hợp lý cho toán khác Dưới sơ đồ minh họa nội dung kiến thức tốn tính tích phân SGK dạng toán xây dựng dựa sở kiến thức II NỘI DUNG SÁNG KIẾN Sáng kiến thiết kế theo dạng chủ đề dạy học nhóm tác giả áp dụng q trình giảng dạy ơn tập nhà trường Tùy theo mức độ học sinh lớp mà tác giả đưa vào phần nội dung để giảng dạy cho phù hợp với tình hình thực tiễn Nội dung sáng kiến chia thành nhiều phần theo trình tự kiến thức mà học sinh tiếp nhận từ tiết học lớp Mỗi mảng kiến thức liên quan trình bày khoa học với hệ thống Ví dụ minh họa phân thành mức độ từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng vận dụng cao để thích hợp cho đối tượng học sinh khác trường THPT Dạy học việc cung cấp kiến thức bản, phát triển kỹ cần thiết cho học sinh, giáo viên cần ý lựa chọn nội dung phương pháp dạy học phù hợp với trình độ lực nhận thức nguyện vọng học sinh Trong trình thiết kế học tiến hành tổ chức hoạt động dạy học Giáo viên cần hộ trợ đẻ học sinh phát triển tối đa khả thân Bài viết đề cập đén việc xây dựng, sử dụng hệ thống tập trắc nghiệm chủ đề Tích phân ơn thi THPTQG Nhằm phát huy lực học sinh, kích thích tính tích cực chủ động sáng tạo em q trình chiếm lĩnh tri thức Trong dạy học Tốn giáo viên xây dựng sử dụng hệ thống tập đem lại hiệu cao học Để xây dựng hệ thống tập phù hợp với khả đối tượng học sinh, giáo viên cần ý đến đặc điểm sau: Xây dựng hệ thống tập phân hóa nhiều mức độ khác từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao Sắp xếp hệ thống tập theo mục tiêu dạy học: GV cần dẫn dắt học sinh suy nghĩ từ điều biết dến điều chưa biết, từ vốn kiến thức có đến vốn kiến thức Các tập nêu nhiều hình thức khác Các tập cần có tác dụng với nhiều đối tượng HS cho với tập nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao tạo hứng thú cho HS theo dõi Các tập cần đảm bảo phân loại cho học sinh nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao Chú ý: Trong nội dung sáng kiến, chúng tơi khơng sâu vào việc tính tích phân hàm số xác định công thức cụ thể mà khai thác trực tiếp tính chất trình bày SGK, đưa vào Ví dụ minh họa áp dụng trực tiếp nội dung kiến thức học mở rộng toán sở lý thuyết kết hợp với tính chất đạo hàm nguyên hàm mà học sinh học Về thực trạng biên soạn câu hỏi TNKQ giáo viên, làm tập TNKQ HS Qua số năm thực việc biên soạn đề thi, nhận thấy việc biên soạn câu hỏi TNKQ số giáo viên mơn Tốn cịn gặp nhiều lúng túng, khó khăn, số câu hỏi TNKQ chưa rõ ràng, hỏi nhiều vấn đề khác câu hỏi, việc biên soạn phương án trả lời chưa hợp lý, chưa có phương án nhiễu phù hợp với câu hỏi Thực nghiệm cho học sinh làm đề minh họa kỳ thi THPT quốc gia Bộ GD&ĐT, đề thử nghiệm Bộ, kết thu không cao học sinh chưa phân biệt câu hỏi thuộc cấp độ nào, dành nhiều thời gian để làm câu trắc nghiệm Về câu hỏi/đề thi trắc nghiệm khách quan - Có nhiều loại câu hỏi TNKQ như: Trắc nghiệm nhiều lựa chọn (MCQ: Multiple choise questions); trắc nghiệm đúng, sai; trắc nghiệm điền khuyết; trắc nghiệm ghép đôi - Trong đề thi THPT quốc gia, xét câu hỏi TNKQ nhiều lựa chọn (MCQ) với phương án để thí sinh trả lời, có phương án Câu MCQ gồm phần: Phần 1: Câu phát biểu bản, gọi câu dẫn câu hỏi Phần 2: Các phương án để thí sinh lựa chọn, có phương án nhất, phương án lại phương án nhiễu - Trong phạm vi đề tài này, xét đến câu hỏi TNKQ nhiều lựa chọn (MCQ) với phương án trả lời, có phương án Về câu hỏi MCQ (Multiple choise questions) a) Đặc tính câu hỏi trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn - Phân biệt cấp độ câu hỏi MCQ (theo GS Boleslaw Niemierko) Cấp độ Mô tả Nhận biết Học sinh nhớ khái niệm bản, nêu lên nhận chúng yêu cầu Học sinh hiểu khái niệm vận dụng chúng, Thông hiểu chúng thể theo cách tương tự cách giáo viên giảng ví dụ tiêu biểu chúng lớp học Vận dụng Vận cao Học sinh hiểu khái niệm cấp độ cao “thông hiểu”, tạo liên kết logic khái niệm vận dụng chúng để tổ chức lại thơng tin trình bày giống với giảng giáo viên sách giáo khoa Học sinh sử dụng kiến thức môn học - chủ đề để giải vấn đề mới, không giống với điều học, dụng trình bày sách giáo khoa, mức độ phù hợp nhiệm vụ, với kỹ kiến thức giảng dạy phù hợp với mức độ nhận thức Đây vấn đề, nhiệm vụ giống với tình mà Học sinh gặp phải xã hội - Theo lí thuyết khảo thí đại, câu hỏi MCQ phân chia thành cấp độ sau: Cấp độ Mô tả Câu hỏi dễ Chỉ yêu cầu thí sinh sử dụng thao tác tư đơn giản tính tốn số học, ghi nhớ, áp dụng trực tiếp công thức, khái niệm… (cấp độ nhận Lời giải bao gồm bước tính tốn, lập luận biết, thông Mối quan hệ giả thiết kết luận trực tiếp hiểu) Câu hỏi đề cập tới nội dung kiến thức sơ cấp, trực quan, khơng phức tạp, trừu tượng u cầu thí sinh sử dụng thao tác tư tương đối đơn Câu hỏi trung giản phân tích, tổng hợp, áp dụng số cơng thức, khái niệm bản… bình (tương đương Lời giải bao gồm từ tới bước tính tốn, lập luận cấp độ dụng) vận Giả thiết kết luận có mối quan hệ tương đối trực tiếp Câu hỏi khó Câu hỏi đề cập tới nội dung kiến thức tương đối bản, không phức tạp, trừu tượng Yêu cầu thí sinh sử dụng thao tác tư cao phân tích, tổng hợp, đánh giá, sáng tạo (tương đương Giả thiết kết luận khơng có mối quan hệ trực tiếp cấp độ vận Lời giải bao gồm từ bước trở lên dụng cao) Câu hỏi đề cập tới nội dung kiến thức sâu sắc, trừu tượng b) Một số nguyên tắc viết câu hỏi MCQ - Câu hỏi viết theo yêu cầu thông số kỹ thuật ma trận chi tiết đề thi phê duyệt, ý đến qui tắc nên theo q trình viết câu hỏi - Câu hỏi khơng sai sót nội dung chun mơn - Câu hỏi có nội dung phù hợp phong mỹ tục Việt Nam; không vi phạm đường lối chủ trương, quan điểm trị Đảng, nước Cộng hồ Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam - Câu hỏi phải mới; không chép nguyên dạng từ sách giáo khoa nguồn tài liệu tham khảo; không chép từ nguồn công bố in điện tử hình thức - Câu hỏi cần khai thác tối đa việc vận dụng kiến thức để giải tình thực tế sống - Các ký hiệu, thuật ngữ sử dụng câu hỏi phải thống c) Kĩ thuật viết câu hỏi MCQ - Mỗi câu hỏi phải đo kết học tập quan trọng (mục tiêu xây dựng): Cần xác định mục tiêu việc kiểm tra, đánh giá để từ xây dựng câu hỏi cho phù hợp - Tập trung vào vấn đề nhất: câu hỏi tự luận kiểm tra vùng kiến thức rộng vấn đề Tuy nhiên, câu MCQ, người viết cần tập trung vào vấn đề cụ thể (hoặc nhất) - Dùng từ vựng cách quán với nhóm đối tượng kiểm tra - Tránh việc câu trắc nghiệm gợi ý cho câu trắc nghiệm khác, giữ câu độc lập với - Tránh kiến thức riêng biệt câu hỏi dựa ý kiến cá nhân - Tránh sử dụng cụm từ nguyên văn sách giáo khoa - Tránh việc sử dụng khôi hài - Tránh viết câu không phù hợp với thực tế d) Một số lưu ý viết phần dẫn - Đảm bảo hướng dẫn phần dẫn rõ ràng việc sử dụng từ ngữ cho phép thí sinh biết xác họ yêu cầu làm - Để nhấn mạnh vào kiến thức thu nên trình bày câu dẫn theo định dạng câu hỏi thay định dạng hồn chỉnh câu - Nếu phần dẫn có định dạng hồn chỉnh câu, khơng nên tạo chỗ trống hay bắt đầu phần câu dẫn - Tránh dài dòng phần dẫn - Nên trình bày phần dẫn thể khẳng định, Khi dạng phủ định sử dụng, từ phủ định cần phải nhấn mạnh nhấn mạnh cách đặt in đậm, gạch chân, tất cách e) Kỹ thuật viết phương án lựa chọn - Phải chắn có có phương án câu chọn phương án đúng/đúng - Nên xếp phương án theo thứ tự - Cần cân nhắc sử dụng phương án có hình thức hay ý nghĩa trái ngược phủ định - Các phương án lựa chọn phải đồng theo nội dung, ý nghĩa - Các phương án lựa chọn nên đồng mặt hình thức (độ dài, từ ngữ,…) - Tránh lặp lại từ ngữ/thuật ngữ nhiều lần câu hỏi - Viết phương án nhiễu thể khẳng định  9t  151  t t    1 4.3.9 Dạng 9: Các tốn sử dụng phép đặt tích phân dạng giả thiết chứa đẳng thức dạng f '( x).g ( f ( x))  u ( x) : Với toán đặc điểm để nhận chúng giả thiết xuất biểu thức f '( x) Để đơn giản ta đặt t  f ( x) để đưa tích phân theo biến số cận số t Sau ta xét số Ví dụ minh họavà phương pháp giải đặc trưng cho dạng toán Phương pháp giải thường gặp cho dạng toán này: Từ hệ thức cho đề bài, ta biến đổi dạng   f  x   f   x   k  x  , hàm số   x  , k  x  hàm số có ngun hàm tính cách đơn giản Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục khoảng (0; ) thỏa mãn f ( x)( x  2) f ( x)  , x  f (1)  Tích phân ( f ( x)) x A I   ln B I    ln Hướng dẫn: Mức độ: Vận dụng C I   ln D I   ( f ( x)) dx 11  ln Theo giả thiết có f ( x) x  x2 f ( x) 1 1       C dx   dx     C   f ( x) x f ( x) x x x f ( x) x x Thay x  vào có C    1 1  3  C       f (1) f ( x) x x  1  Do  dx      1 dx   ln ( f ( x)) x x  1 2 Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f     Giá trị f 1 19 36 A I   B I   C I   Hướng dẫn: Mức độ: Vận dụng 2 f   x   x  f  x  với x  15 D I   35 36    2x    x2  C Ta có f   x   x  f  x     2 x  f x f x      f  x     Từ f     f  x 0 suy C   f  x Do f 1    1 12      2 Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) liên tục, nhận giá trị dương  0;   thỏa mãn f 1  , f  x   f   x  3x  , với x  Mệnh đề sau đúng? 37 C  f  5  A  f  5  B  f  5  Hướng dẫn: Mức độ: Vận dụng Ta có f  x   f   x  3x    d  f  x  f  x f  x f  x  D  f  5  f  x 1  dx   dx f  x 3x  3x  2 dx  ln f  x   3x   C  f  x   e 3 3x   C x 1  C 4 Mà f 1  nên e   C   Suy f  5  e  3, 794 Vậy  f  5  Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn 1; 4 , đồng biến đoạn 1; 4 thỏa mãn đẳng thức x  x f  x    f   x   , x  1; 4 Biết f 1  , tính I   f  x  dx ? A I  1186 45 B I  Hướng dẫn: 1174 45 C I  1222 45 D I  Mức độ: Vận dụng Ta có x  x f  x    f   x   x  f  x   f   x   Suy f  x  1201 45 1 f  x dx   xdx  C   df  x  1 f  x f  x 1 f  x  x , x  1; 4 dx   xdx  C  32   x   1 3 32   f  x   x  C Mà f 1   C  Vậy f  x    3 Vậy I   f  x  dx  1186 45 Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  e A I  f  x   x 1  45 2x  f    Tích phân f  x B I  15 C I  thỏa mãn  x f  x  dx D I  Hướng dẫn: Mức độ: Vận dụng Ta có f   x  e f  x  x2 1  2x f3 x   f  x  f   x  e    x.e x 1 f  x 38 Do e f Vậy   x  ex  x  ex Suy e f 1  C Mặt khác, f    nên C  1  f  x   x2   f  x   x2  2 x f  x  dx  x x  dx   0  45 x  d  x  1   x  1 x      8 Ví dụ 6: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;   thỏa mãn f    f  x  f   x   cos x  f  x  , x  0;   với x  0;1 Tích phân   f  x  dx A I   7 B I  Hướng dẫn: Ta có: Do đó: 7 8 C I  11 8 D I   11 Mức độ: Vận dụng f  x f  x 1 f  x  cos x   f  x  f   x  1 f  x dx   cos xdx  sin x  C 1 d  f  x    sin x  C   f  x   sin x  C  2 1 f  x Đối chiếu điều kiện: f     C   f  x    sin x    Vì    f  x  dx    sin x   0 7  1 dx    Các tốn sử dụng phép tích phân phần: Với tốn đặc điểm xuất đồng thời biểu thức dạng tích kết hợp với xuất đại lượng dạng u ( x); u '( x) Do với dạng tốn ta cần sử dụng thích hợp phép đặt phần Tuy nhiên số tốn phức tạp đơi cần phải kết hợp kỹ thuật sơ đồ hóa với phương pháp nêu phần cách hợp lý Sau ta xét số ví dụ minh họa cụ thể Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn 1 0  x  f   x    dx  f 1 Giá trị I   f  x  dx A I  1 B I  C I  Hướng dẫn: Mức độ: Thông hiểu D I  2 u  x Đặt   du  dx    v  f  x   x dv   f   x    dx 1 Khi f 1   x  f   x    dx  x  f  x   x     f  x   x  dx  f 1   I  1 0 Suy I  1 39 Ví dụ 2: Cho hàm số f  x  có có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn 1 0  x  f   x    dx  f 1 Giá trị I   f  x  dx A I  2 B I  1 Hướng dẫn: Mức độ: Thông hiểu C I  D I  u  x Đặt   du  dx Khi f 1   x  f   x    dx   dv   f   x    dx v  f  x   x  x  f  x   x     f  x   x  dx  f 1   I  Suy I  2 0 Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục thỏa mãn  f  x  1 dx  1  0  xf   x  dx  2; f 1  16 Tính I   cos xf  3sin x  dx A I  20 B I  Hướng dẫn: C I  14 D I  16 Mức độ: Vận dụng  Ta có: I   cos xf  3sin x  dx Đặt t  3sin x  dt  cos xdx  Đổi cận: x   t  0; x   2 Xét  t  Vậy I   cos xf  3sin x  dx   f  x  1 dx  Đặt t  x   dt  dx Đổi cận: x   t  1; x   t   f  x  1 dx   3 f  t  dt    f  t  dt  12 1 du  dx u  x   Đặt  dv  f   x  dx v  f  x   2 Xét f  t  dt 0  xf   x  dx  2 1  xf  x   2  0 xf  x  dx      0 f  x  dx  Vì f 1  16   2 1 1 f  x  dx    f  x  dx    f  t  dt    f  t  dt   20 20 0 40 I 3  1 1 20 f t dt  f t dt  f  t  dt   12           30 3  Ví dụ 4: Cho hàm số y  f  x  liên tục thỏa mãn   x  1 f   x  dx  10 f 1  f    Tính I   f  x  dx A I  8 B I  12 C I  D I  12 Hướng dẫn: Mức độ: Thông hiểu  u  x  du  dx  dv  f   x  dx  v  f  x  Đặt  1 Khi 10    x  1 f   x  dx   x  1 f  x    f  x dx  f 1  f    I 0 Suy I  8 Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x  liên tục thỏa mãn f    16;  f  x  dx  Tính I   xf   x  dx A I  B I  13 Hướng dẫn: Mức độ: Thông hiểu C I  14 D I  12  du  dx 1 u  x 1        Khi I   xf x dx  xf x   f  x dx Đặt     20 v f x x  d d v f x      2 1  f     f  x  dx    40 Suy I  Ví dụ 6: Cho hàm số f  x  liên tục f    Tính  xf    dx 2 f  x   f 1  x   x3 1  x  , x  A I   10 B I  Hướng dẫn: thoả mãn 20 C I   10 x D I   Mức độ: Thông hiểu Từ giả thiết f  x   f 1  x   x3 1  x  , x   f 1  Ta có:  1 0 f  x  dx   f 1  x  dx   x 1  x  dx  1   f  x  dx  20 40 41 20 x Gọi I   xf    dx , Đặt 2 x Nên I  xf    2 2 0 u  x du  dx   x     x  dv  f    dx  v  f          x f   dx  f 1   2  x f   dx  2  2  x f   dx  4  f  t  dt   10 2 Trong dạy học Tốn trường trung học phổ thơng nói chung THPT nói riêng, hệ thống tập trở thành cơng cụ hữu ích cho giáo viên nhằm nâng cao hiệu việc giảng dạy ôn thi THPT Quốc Gia PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Trên số toán cách giải số dạng tập tích phân phép tốn phương páp tính tích phân mà chúng tơi học hỏi đúc rút trình giảng dạy trường Sáng kiến áp dụng giảng dạy lớp 12 tạo học sinh hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình trở lên có kỹ giải tập đạt số kết quả, đặc biệt tốn có vận dụng tính chất liên quan khai thác trực tiếp từ giả thiết Cụ thể lớp khối 12 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số học sinh hiểu có kỹ giải dạng tốn nói ` Theo chúng tơi dạy phần tốn tích phân ứng dụng giáo viên cần hướng đến cho học sinh nhiều hướng tiếp cận khác nhau, đồng thời phân tích cho học sinh thấy rõ khó khăn hạn chế cách tiếp cận Thơng qua hình thành cho học sinh lực phát vấn đề thông qua kiện toán giúp cho việc học, định hướng, tiếp cận dần nội dung thi THPT Quốc gia đạt kết tốt 2 Kiến nghị 2.1 Với Bộ giáo dục: Bổ sung thêm ứng dụng tốn học thực tiễn chương trình tốn THPT tập trung vào khái niệm, công thức tích phân Tuy nhiên, chương trình lại xuất nhiều tập hình thức khó tìm “mơ hình thực tiễn” gắn với tập Bộ xem xét, xây dựng SGK nên đưa thêm nhiều tốn thực tế lồng ghép vào chương trình 2.2 Với Sở GD&ĐT: Quan tâm đến việc bồi dưỡng chun mơn, nghiệp vụ cho giáo viên dạy tốn Nên tổ chức hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên tỉnh 2.3 Với BGH nhà trường: Hiện nay, nhà trường có số sách tham khảo nhiên cịn ít, chưa đủ chủng loại Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo mơn Tốn để học sinh tìm tịi, học tập giải tốn để em tránh sai lầm làm tập nâng cao 42 hứng thú, kết học tập mơn tốn nói riêng, nâng cao kết học tập học sinh nói chung 2.4 Với giáo viên giảng dạy mơn Tốn: Cần tăng cường tự học, tự sáng tạo Nên tăng cường tốn có nội dung thực tiễn hay lên mơn vào giảng dạy Nên định hướng dần nội dung khối liên quan tới kì thi THPT quốc gia cuối cấp 2.5 Với PHHS: Quan tâm việc tự học, tự làm tập nhà Thường xuyên kiểm tra sách, việc soạn trước đến trường Tài liệu tác giả triển khai thực từ năm 2018 – 2019, 2019 -2020, 2020- 2021 trường THPT Diễn Châu Qua thực nghiệm tiến hành áp dụng năm học qua, kết tài liệu hữu ích công tác giảng dạy giáo viên công tác ôn tập học sinh Đồng thời, chất lượng giảng dạy, tạo hứng thú góp phần bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Là tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Chúng mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý Xin chân thành cảm ơn THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Nội dung thực nghiệm Dạy thử nghiệm số hệ thống câu hỏi tập xây dựng phần đầu sáng kiến theo hướng phát huy tính tích cực học sinh, tạo hứng thú để học sinh chủ động tiến hành hoạt động tư tương tự hóa, tổng quát hóa … từ bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh THPT KẾ HOẠCH DẠY ƠN TẬP TÍCH PHÂN Mơn học/Hoạt động giáo dục: Toán - GT: 12 Thời gian thực hiện: I MỤC TIÊU Kiến thức - Hệ thống kiến thức chương gồm nguyên hàm, tích phân - Nắm vững định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm hàm số bản, phương pháp tính nguyên hàm, tích phân Năng lực - Năng lực tự học: Học sinh xác định đắn động thái độ học tập; tự đánh giá điều chỉnh kế hoạch học tập; tự nhận sai sót cách khắc phục sai sót - Năng lực giải vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, tập có vấn đề đặt câu hỏi Phân tích tình học tập - Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc thân trình học tập vào sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân cơng nhiệm vụ cụ thể cho thành viên nhóm, thành viên tự ý thức nhiệm vụ hồn thành nhiệm vụ giao 43 - Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tơn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực giao tiếp - Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ nhóm, trách nhiệm thân đưa ý kiến đóng góp hồn thành nhiệm vụ chủ đề - Năng lực sử dụng ngơn ngữ: Học sinh nói viết xác ngơn ngữ Tốn học Phẩm chất - Rèn luyện tính cẩn thận, xác Tư vấn đề tốn học cách lơgic hệ thống - Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao - Biết nhận xét đánh giá làm bạn, tự đánh giá kết học tập thân - Chăm tích cực xây dựng bài, chủ động ghi nhớ lại vận dụng kiến thức theo hướng dẫn GV - Hình thành tư logic, lập luận chặt chẽ, linh hoạt trình suy nghĩ II THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU - Kiến thức thuộc nguyên hàm tích phân - Máy chiếu, - Bảng phụ, - Phiếu học tập III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC : 1.HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU a) Mục tiêu: Nắm vững cơng thức cách có hệ thống tồn chương ngun hàm, tích phân để làm tập ôn chương hiệu b) Nội dung:GV hướng dẫn, tổ chức học sinh ôn tập, hệ thống cơng thức, phương pháp tính ngun hàm, tích phân, diện tích hình phằng, thể tích vật thể khối trịn xoay H1- Trình bày cơng thức tính ngun hàm hàm số thường gặp H2- Nêu phương pháp tính nguyên hàm, tích phân học c) Sản phẩm: Câu trả lời HS Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C hằng số tùy ý)  0dx  x n dx xn n  dx x ln x C  dx x2 x C C C k dx kx (ax b)n dx ax b 44 b) (ax b)n a n 1 ln ax a dx (ax C dx b C C 1 a ax b C  sin x dx  cosx dx  dx sin2 x  dx cos2 x tan x  ex dx ex C  a x dx ax ln a cos x sin x C C cot x b)dx cos(ax b)dx dx sin (ax C dx cos2 (ax C eax b dx C a ♦ Nhận xét Khi thay x (ax a sin(ax x dx cos(ax a b) b) ax e a b) C sin(ax a b) C cot(ax a b) C tan(ax a b 1a x ln a b) C C C b) lấy nguyên hàm nhân kết thêm với a II NỘI DUNG : Phương pháp tính tích phân a) Mục tiêu - Biết định nghĩa tích phân hàm số liên tục công thức Niu-tơn - Lai-bơ-nit - Biết tính chất tích phân - Tính tích phân số hàm số tương đối đơn giản định nghĩa - Sử dụng tính chất tích phân phương pháp đổi biến số phương pháp tính tích phân phần kết hợp hai để tính tích phân b)Nội dung Dạng 1: Sử dụng định nghĩa tích phân hàm số Bài 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  a ; b  f  a   2 , f  b   4 b Tính T   f   x  dx a Bài 2: Hàm số y  f  x  liên tục  2;9 F  x  nguyên hàm hàm số f  x   2;9 F  2  5; F 9   Tính  f  x  dx  1 Dạng 2: Sử dụng bảng cơng thức số tính chất tích phân 45 Bài 3: Cho f , g hai hàm số liên tục 1;3 thỏa mãn:   f  x   3g  x  dx  10 , 3 1  2 f  x   g  x  dx  Tính   f  x   g  x  dx Bài 4: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn 0;8 , thỏa mãn  f  x  dx   f  x  dx  0 Tính I   f  x  dx Bài 5: Cho hàm số f  x  liên tục  0;10 thỏa mãn 10 10  f  x  dx  ,  f  x  dx  Tính P   f  x  dx   f  x  dx Bài 6: Cho hai tích phân  f  x  dx  2 2  g  t  dt  Tính I  5   f  x   g  x   1 dx 2 Bài 7: Tính tích phân sau a) I   x  dx 2  c) I      dx x x  1 1  b) I      dx x  1 Bài 8: Biết  f ( x)dx  1 1 2x 1 f ( x)dx  Tính tích phân I  0 4e  f ( x)  dx  Bài 9: Cho I   sin 3x sin xdx  a  b ( a , b số nguyên) Tính S  a  b 10 Dạng 3: Tích phân hàm phân thức hữu tỷ Bài 10: Tìm giá trị a b để tích phân  Bài 11: Xác định giá trị a b để x dx  a ln  b ln với a, b  Z  3x Bài 12: Xác định giá trị a b để 2x  dx  a ln  b với a , b  2 x 3x  dx  a ln  b ln  c ln a, b, c   x 1  2x Dạng 4:Phương pháp đổi biến số Bài 13: Tính tích phân sau a)  x  x  3 dx ln b) I   x x   dx c) Bài 14: Xác định giá trị a b để x  ln e2 x e 1 x  dx d) I   cos x sin xdx 2x dx  a ln  b ln với a, b số hữu tỉ 4 46  sin x dx  a ln  b ln với a, b    cos x  Bài 15: Xác định giá trị a b để tích phân  Bài 16: Xác định giá trị a, b c  e cos x  sin x  sin x dx  a  be  c  Bài 17: Tính tích phân sau a)  x dx b) 1 x dx 1 2 0  x f  x  dx  Tính I   f  x  dx Bài 18: Cho hàm số y  f  x  liên tục Bài 19: Cho hàm số f  x  liên tục  f  x  dx  12 1 2  f  cos x  sin xdx Tính tích phân  Dạng 5: Phương pháp phần Bài 20: Tính tích phân sau   e 2 c)  ln  x  1 dx b)  x ln xdx a) I   x cos xdx d)  e x sin xdx 1  Bài 21: Xác định giá trị a, b để giá trị tích phân I   x cos xdx biểu diễn dạng a.  b  a, b   Bài 22: Biết I   x ln  x  dx  a ln  b ln  c a , b , c số thực Tính giá trị biểu thức T  a  b  c Bài 23: Xác định giá trị a, b để e  a ln x  dx   b với a , b  x e (Mã 104 - 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục Bài 24 0 Biết f  3   xf  3x  dx  ,  x f   x  dx Bài 25 f    (Mã 101 - 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  xf  x  dx  1,  x f   x  dx Dạng 6: Kết hợp nhiều phương pháp 47 Biết Bài 26: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn  x  f   x   2 dx  f 1 Tính giá trị I   f  x  dx Bài 27: Cho hàm số f  x  liên tục thỏa mãn  f  x  dx  Tính tích phân 5   f 1  3x   9 dx Bài 28: Cho hàm số y  f ( x) thỏa mãn f (2)  16 Bài 29: Cho hàm số f  x  liên tục  0  f  x  dx  Tính  x f   x  dx thỏa mãn f  x   f 10  x  , x  Biết f  x  dx  Tính I   xf  x  dx Bài 30 (Mã 102 2018) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f (2)   f ( x)  x  f ( x)  với x  Giá trị f (1) A  Bài 31 B  C  D  11 (Mã 104 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     với x  Tính giá trị f 1 Bài 32 (Minh họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x  liên tục xf  x3   f 1  x    x10  x  x, x  f   x   x3  f  x  thảo mãn Tính  f  x dx ? 1 Bài 33 Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An Xét hàm số f  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  x   f 1  x    x Tính tích phân  f  x  dx Bài 34 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho f  x  hàm số có đạo hàm liên tục  0;1 f 1   , 18  x f   x  dx  Tính giá trị 36  f  x  dx Bài 35 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số f  x  có f 1  e2 f   x   ln khác Tính  xf  x  dx 48 2x 1 2x e với x x2 H1: Muốn làm cần áp dụng phương pháp tính tích phân học? H2: Sử dụng khai triển áp dụng công thức tính tích phân trực tiếpcó thể áp dụng vào nào? H3: PP Đổi biến số áp dụng cho ý nào? H4: PP Tích phân phần dùng với ý nào? H5: Muốn tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối ta làm nào? d) Tổ chức thực Chuyển giao Thực GV: giao tập đến tổ, phân chia bàn thực giải HS: Nhận GV: Quan sát gợi ý học sinh giải tập cần HS:Giải theo nhiệm vụ giao GV: Gọi đại diện bàn lên thực phần tập giao Báo cáo thảo luận HS: Đại diện bàn nhóm lên thực giải HS khác theo dỏi nhận xét làm GV nx, giải thích, làm rõ cách giải bài, chốt kiến thức Đánh giá, nhận Dẫn dắt HS chuẩn bị cho nội dung ôn tập xét, tổng hợp HS : ý theo dõi Đánh giá kết thực nghiệm Về thái độ học tập học sinh: Học sinh hứng thú việc học tập theo hướng phát huy tính tích cực, bồi dưỡng lực tự học, học sinh người chủ động lĩnh hội kiến thức Học sinh hút vào hoạt động cách chủ động, tích cực, sáng tạo nhằm lĩnh hội tri thức Đa số em nắm vững kiến thức có ý thức hồn thành hoạt động cơng việc mà giáo viên giao cho Về kết kiểm tra: Điểm/Lớp Yếu TB Khá Giỏi Đối chứng 12C 20,3% 47,4% 20,9% 11,4% Thực nghiệm 12G 6,6% 36,3% 35,2% 21,9% Phân tích kết kiểm tra Lớp đối chứng có 77,7% đạt điểm từ trung bình trở lên, có 32,3% đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 93,4% đạt điểm từ trung bình trở lên, 57,1% đạt khá, giỏi Nhận xét lớp đối chứng: Khả tiếp cận tốn có tính tư duy, sáng tạo chưa cao, nhiều em trình bày lời giải cịn nhiều thiếu sót Đặc biệt với số dạng tốn lạ mà trước đề cho dạng tự luận thường khơng xuất hầu hết học sinh thuộc lớp đối chứng ( Cả lớp học sinh lớp học sinh trung bình, yếu) cảm thấy 49 bỡ ngỡ hầu hết không giải đặc biệt số tốn có hình thức lạ so với dạng tập trình bày SKG Khi giáo viên vấn em nội dung câu hỏi có đề đại phận học sinh lớp đối chứng có nhận xét đề lạ, em khơng biết tiếp cận tốn theo hướng Các lớp thực nghiệm: Khả vận dụng linh hoạt hơn, có sáng tạo Một số em trình bày lời giải gọn gàng, rõ ràng, lập luận chặt chẽ Hầu hết em biết vận dụng lý thuyết để trả lời câu hỏi cách sáng tạo logic Bên cạnh đó, hai lớp có học sinh dừng lại việc bắt chước số tập mẫu, chưa hiểu rõ chất vấn đề làm ý đơn giản đề kiểm tra Một số em chưa thực tự lập giải tốn, cịn phụ thuộc vào dạng cố định làm, chưa có tư vận dụng linh hoạt giải toán Kết luận: Kết thực nghiệm bước đầu thể tính hiệu tính khả thi sáng kiến Mặc dù tình hình thực tiễn địa phương, sáng kiến cần bổ sung thiết kế hợp lý tạo nhiều tốn tương tự để giúp em có tập để thực hành vận dụng Những ưu điểm sáng kiến: Sáng kiến: “Xây dựng, sử dụng hệ thống tập trắc nghiệm nội dung kiến thức SGK phần tích phân lớp 12” mà nhóm tác giả trình bày dễ dàng áp dụng thực tế, phù hợp với giáo viên, học sinh trung học phổ thơng Khơng hữu ích với học sinh ơn thi đại học mà hiệu với học sinh đại trà khác, giúp em nâng cao khả tư giải vấn đề liên quan Qua sáng kiến cho thấy tốn tích phân tiếp cận với nhiều đối tượng học sinh, với tảng kiến thức giới hạn nội dung chương trình sách giáo khoa hành Do khả áp dụng sáng kiến vào thực tế khả quan dễ thực Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Chúng tơi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý Xin chân thành cảm ơn Diễn Châu, ngày tháng năm 2022 Các tác giả Xác nhận nhà trường Trần Huy Thắng – Tạ Khắc Định 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bá Kim (chủ biên) Phương pháp dạy học môn Toán NXB Đại học sư phạm, H.2004 [2] Nguyễn Văn Thuận Góp phần phần phát triển lực tư logic sử dụng xác ngơn ngữ Tốn học cho học sinh đầu cấp trung học phổ thông dạy học đại số Luận án tiến sỹ Giáo dục học, Trường Đại học Vinh, 2004 [3] Hà Xuân Thành Dạy học toán trường THPT theo hướng phát triển lực giải vấn đề thực tiễn thông qua khai thác sử dụng tình thực tiễn Luận án tiến sỹ giáo dục, HN 2017 [4] Đỗ Đức Thái (Chủ biên) Dạy học phát triển lực mơn Tốn trung học phổ thơng NXB ĐHSP 2018 [5] Bùi Văn Nghị Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học mơn tốn trường phổ thơng NXB ĐHSP.2017 [6] Bộ Giáo dục Đào tạo, 2006 Chương trình giáo dục phổ thơng – chương trình tổng thể 26/12/2018 Nxb Giáo dục [7] Bộ Giáo dục Đào tạo, 2006 Chương trình giáo dục phổ thơng – mơn Tốn 26/12/2018 Nxb Giáo dục [8] Bộ Giáo dục Đào tạo, 2008 Giải tích 12, Chương trình Nxb Giáo dục [9] Giải nhanh đề thi trắc nghiệm Toán 12 Nguyễn phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh Nxb QG.H 2017 [10] Đề thi THPT Quốc gia 2017 đến 2020.BGD ĐT đề thi thử THPT [11] Các trang web: http://violet.vn http://diendantoanhoc.net http://www.toanmath.com/ http://dethithptquocgia.com/ http://k2pi.net.vn/ 51 ... phát triển tối đa khả thân Bài viết đề cập đén việc xây dựng, sử dụng hệ thống tập trắc nghiệm chủ đề Tích phân ơn thi THPTQG Nhằm phát huy lực học sinh, kích thích tính tích cực chủ động sáng tạo... Toán giáo viên xây dựng sử dụng hệ thống tập đem lại hiệu cao học Để xây dựng hệ thống tập phù hợp với khả đối tượng học sinh, giáo viên cần ý đến đặc điểm sau: Xây dựng hệ thống tập phân hóa nhiều... DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN LĨNH VỰC TỐN HỌC XÂY DỰNG, SỬ DỤNG HỆ THỚNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN ÔN THI THPT QUỐC GIA Trần Huy Thắng: Đồng tác gia? ? Trường THPT Diễn Châu