1 PHẦN 1 – LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Câu 1 Phép thử và biến cố Khái niệm về phép thử, biến cố, nêu ví du minh họa Phân loại biến cố, ví dụ Trả lời Khái niệm về phép thử, biến cố, nêu ví du minh họa + P.
PHẦN – LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Câu 1: Phép thử biến cố Khái niệm phép thử, biến cố, nêu ví du minh họa Phân loại biến cố, ví dụ Trả lời: Khái niệm phép thử, biến cố, nêu ví du minh họa + Phép thử việc thực hành động, thực nghiệm hay quan sát tượng đó, số điều kiện định + Biến cố kết xảy sau thực phép thử + Ví dụ: Tung xúc sắc thực phép thử Kết “xuất mặt chấm” biến cố phép thử Phân loại biến cố, ví dụ + Biến cố chắn (U): biến cố định xảy sau phép thử thực + Biến cố khơng thể có (V): biến cố khơng thể xảy sau phép thử thực + Biến cố ngẫu nhiên: biến cố xảy không xảy sau phép thử thực Biến cố ngẫu nhiên kí hiệu chữ hoa A, B, C, A1, A2, … VD: Tung xúc sắc cân đối đồng chất : + Biến cố “xuất mặt có chấm không 6” biến cố chắn + Biến cố “xuất mặt chấm” biến cố khơng thể có + Biến cố “xuất mặt chấm” biến cố ngẫu nhiên Câu 2: Định nghĩa xác suất tính chất Định nghĩa cổ điển xác suất tính chất xác suất Khái niệm tần suất xuất biến cố cho VD Định nghĩa thống kê xác suất Trả lời: Định nghĩa cổ điển xác suất tính chất xác suất + Nếu phép thử có n trường hợp đồng khả lập thành hệ đầy đủ biến cố, m trường hợp thuận lợi cho biến cố A xác suất biến cố A kí hiệu xác định sau: P A m n + Tính chất xác suất: * Tính chất 1: Với A biến cố bất kì, ta có: P A * Tính chất 2: P U * Tính chất 3: P V Khái niệm tần suất xuất biến cố cho VD + Lặp lại n lần phép thử T quan sát biến cố A Gọi m(A) số lần xuất biến cố A n phép thử Khi m(A) gọi tần số biến cố A n phép thử Tỉ số f A m A gọi tần suất biến cố A n phép thử n nói + VD: Gieo 100 lần đồng xu, thấy có 52 lần xuất mặt sấp tần xuất xuất mặt sấp 100 lần tung đồng xu 52/100 = 0,52 Định nghĩa thống kê xác suất + Lặp lại n lần phép thử T quan sát biến cố A Gọi m(A) số lần xuất biến cố A n phép thử Khi n lớn tần suất f A m A có tính chất ổn n định, nghĩa dao động xung quanh số cố định p người ta gọi p xác suất biến cố A Kí hiệu P(A) n lớn Câu 3: Nêu nguyên lý xác suất lớn, nguyên lý xác suất nhỏ Trả lời: + Nguyên lý xác suất lớn: Nếu biến cố có xác suất lớn (gần 1) biến cố chắn xảy lần thực phép thử + Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu biến cố có xác suất nhỏ (gần 0) biến cố không xảy lần thực phép thử Câu 4: Đại lượng ngẫu nhiên Định nghĩa, phân loại, ví dụ Các quy luật phân phối xác suất ĐLNN (bảng phân phối, hàm phân phối xs, hàm mật độ xs) Hàm phân phối xs, hàm mật độ xs (định nghĩa tính chất) Kì vọng tốn (định nghĩa, tính chất) Phương sai (định nghĩa, tính chất) Mod ví dụ Mod ĐLNN rời rạc Trả lời: Định nghĩa, phân loại, ví dụ + Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên đại lượng mà kết phép thử nhận giá trị có với xác suất tương ứng xác định + Phân loại: * Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi đại lượng ngẫu nhiên rời rạc tập giá trị có đếm Ví dụ: Gọi X số chấm xuất gieo súc sắc X đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị có: 1, 2, 3, 4, 5, * Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi đại lượng ngẫu nhiên liên tục tổng giá trị có lấp đầy khoảng trục số Ví dụ: Theo báo cáo phịng y tế, chiều cao sinh viên K52C nằm đoạn [150;180] (cm) Chọn ngẫu nhiên sinh viên K52C Gọi Y chiều cao sinh viên Khi Y đại lượng ngẫu nhiên Y nhận giá trị có: [150;180] (cm) Các quy luật phân phối xác suất ĐLNN (bảng phân phối, hàm phân phối xs, hàm mật độ xs) + Định nghĩa: Quy luật phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên quy tắc cho biết tương ứng giá trị có đại lượng ngẫu nhiên xác suất để nhận giá trị + Có ba quy luật phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên: * Bảng phân phối xác suất: Mô tả đại lượng ngẫu nhiên rời rạc * Hàm phân phối xác suất: Mô tả đại lượng ngẫu nhiên rời rạc liên tục * Hàm mật độ xác suất: Mô tả đại lượng ngẫu nhiên liên tục Hàm phân phối xs, hàm mật độ xs (định nghĩa tính chất) + ĐN hàm phân phối xác suất: Cho X đại lượng ngẫu nhiên, x số thực tùy ý Khi xác suất biến cố (X < x) hàm số x gọi hàm phân phối xác dn suất đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu F(x) Vậy F x P X x x R + Tính chất hàm phân phối xác suất: * Tính chất 1: ≤ F(x) ≤ ∀ x ∈ R * Tính chất 2: F(x) hàm khơng giảm Nghĩa x1< x2 ta có F(x1) ≤ F(x2) Hệ 1: P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a) Hệ 2: Nếu X đại lượng ngẫu nhiên liên tục o Xác suất để X nhận giá trị xác định 0: P(X = x0) = o P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b) = F(b) - F(a) * Tính chất 3: lim F( x ) F( ) x lim F ( x ) F ( ) x * Tính chất 4: Nếu X nhận giá trị [a;b] thì: F(x) = ∀ x ≤ a F(x) = ∀ x > b + Định nghĩa hàm mật độ xác suất: Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất F(x), Nếu F(x) khả vi X hàm số f(x) = F’(x) gọi hàm mật độ xác suất đại lượng ngẫu nhiên X + Tính chất hàm mật độ xác suất: * Tính chất 1: f(x) ≥ ∀ x * Tính chất 2: x F ( x) f (t )dt * Tính chất 3: P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = ∫ ( ) * Tính chất 4: f ( x)dx Kì vọng tốn (định nghĩa, tính chất) + Định nghĩa: Kỳ vọng tốn ĐLNN X, ký hiệu E(X), số xác định sau: * Nếu X ĐLNN rời rạc, ta có: E(x) = ∑ x p chuỗi hội tụ tuyệt đối * Nếu X ĐLNN liên tục với hàm mật độ xác suất f(x): E(x) = ∫ xf(x)dx tích phân hội tụ tuyệt đối + Tính chất: * Tính chất 1: E(C) = C với C = const * Tính chất 2: E(C.X) = C.E(X) với C = const * Tính chất 3: E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) * Tính chất 4: Nếu X, Y hai ĐLNN độc lập E(X.Y) = E(X).E(Y) Phương sai (định nghĩa, tính chất) + Định nghĩa: Phương sai ĐLNN X, ký hiệu Var(X) V(X), kỳ vọng tốn bình phương độ lệch X E(X) Var(X) = E[X – E(X)]2 = E(X2) – μ2 đó: μ = E(X) + Tính chất phương sai: * Tính chất 1: Var(C) = với C = const * Tính chất 2: Var(C.X) = C2.Var(X) với C = const * Tính chất 3: Nếu X, Y hai ĐLNN độc lập Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) Chú ý: Var(X) ≥ Mod ví dụ Mod ĐLNN rời rạc + ĐN: Mode ĐLNN X, ký hiệu Mod(X) giá trị X: - Tương ứng với xác suất lớn X ĐLNN rời rạc - Tại hàm mật độ đạt giá trị cực đại X ĐLNN liên tục Chú ý: Một ĐLNN có nhiều giá trị mode + Ví dụ mod ĐLNN rời rạc: - X ĐLNN rời rạc có bảng phân phối: X P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,25 Ta thấy P(X = 4) = 0,3 → max nên mod(X) = Câu 5: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng Phân phối nhị thức (khái niệm pp nhị thức, dãy phép thử Bernoulli, công thức Bernoulli, tham số đặc trưng) Nêu ví dụ Phân phối chuẩn (các tham số đặc trưng, công thức xác suất biến cố (a < X < b), (a < X < +∞), (-∞ < X < b), phân vị chuẩn, tính chất phân vị chuẩn, vẽ đồ thị minh họa) Phân phối Student (định nghĩa phân vị ( ) , mối liên hệ ( ) ( ) , vẽ đồ thị minh họa) Trả lời: Phân phối nhị thức: + Khái niệm phân phối nhị thức: * Dãy phép thử Bernoulli: Thực nhiều lần phép thử đó, phép thử quan sát biến cố A, ta có dãy phép thử Nếu phép thử tiến hành độc lập với ta có dãy phép thử độc lập Giả sử ta có dãy n phép thử độc lập, phép thử biến cố A xảy không xảy Xác suất để xảy biến cố A không đổi p Dãy phép thử thỏa mãn điều kiện gọi dãy phép thử Bernoulli * Công thức Bernoulli: Phép thử Bernoulli phép thử mà ta quan tâm đến hai biến cố A A với P(A) = p Xét lược đồ Bernoulli gồm: n phép thử độc lập (trong phép thử xảy hai trường hợp: A xảy A không xảy ra) Xác suất để biến cố A xảy phép thử P(A) = p P(A) = − p = q Khi đó, xác suất để n phép thử, biến cố A xảy k lần tính theo cơng thức Bernoulii: P(A) = P (k) = C ∙ p ∙ q * Khái niệm phân phối nhị thức: , k = 0, n Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối nhị thức với tham số n p bảng phân phối xác suất có dạng sau: X … m … n P Cn0 p q n Cn1 p1 q n 1 … Cnm p m q n m … Cnn p n q Trong p + q = < p < Khi đó, ta viết X ~ B(n; p) * Các tham số đặc trưng ĐLNN có phân phối nhị thức: Giả sử X~B(n, p) Khi đó: E(X) = np; Var(X)= npq * Ví dụ ĐLNN có phân phối nhị thức: Một xạ thủ bắn có viên đạn, bắn lần viên đạn vào bia Gọi X lần bắn trúng lần bắn Coi việc pháp bắn phát đạn thực phép thử, ta có n = phép thử độc lập Xác suất để lần bắn trúng p = 0,7 (q = – p = 0,3) Thì X ~ B(3; 0,7) Và X có bảng phân phối xác suất là: X P 0,027 0,189 0,441 0,343 Phân phối chuẩn + Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị R gọi phân phối chuẩn với tham số μ σ > 0, ký hiệu X~ N (μ, σ ), hàm mật độ xác suất có dạng: f(x) = σ√2π ( ) e + Các đặc trưng đại lượng phân phối chuẩn N (μ, σ ): Cho X~ N (μ, σ ) Khi đó: E(X) = μ; Var (X) = σ ; Mod (X) = μ + Cơng thức tính xác suất với đại lượng ngẫu nhiên X~ N (μ, σ ): * P(a < X < b) = Φ , đó: Φ(x) = −Φ √ ∫ e dt ( Hàm Laplace) Tính chất: Φ(x) = −Φ(x); Khi x> ta lấy Φ(x) ≈ 0,5 Hệ quả: * P(|X − μ| < ε) = 2Φ( ) * P (X ≤ b) = P(X < b) = Φ + 0,5 * P (a ≤ X) = P(a < X) = 0.5 − Φ + Phân vị chuẩn: Cho U~N(0,1) < α < cho trước Khi ln tồn giá trị u thoả mãn: P (U > u ) = α u gọi phân vị chuẩn mức α Tính chất : u = −u Φ(u ) = 0,5 − α Đồ thị minh hoạ: Phân phối Student: * Định nghĩa phân phối Student: Cho ĐLNN χ ~χ ( ) U~N(0; 1) ĐLNN T với U T= χ n phân phối theo quy luật Student với n bậc tự Kí hiệu: T~T ( ) Khi số bậc tự n lớn, phân phối t xấp xỉ phân phối chuẩn hóa N(0,1) Do n lớn ( n ≥ 30 ) ta dùng phân phối chuẩn hoá để thay cho phân phối t Tuy nhiên, số bậc tự không lớn ( n < 30 ), phân phối t khác xa so với phân phối chuẩn giới hạn * Phân vị: Cho ĐLNN T~T ( ) với < α < cho trước, ta tìm t P T>t t ( ) ( ) phân vị student n bậc tự mức α Tính chất: t ( ) = −t ( ) Đồ thị minh hoạ: Khi n > 30 ta lấy t ( ) ≈u =α ( ) cho: PHẦN – LÝ THUYẾT THỐNG KÊ TOÁN Câu 1: Bài tốn ước lượng kì vọng tốn: trường hợp QLPP dấu hiệu nghiên cứu X: X có pp chuẩn, phương sai biết X có pp chuẩn, phương sai chưa biết, n < 30 Chưa biết QLPP X X có phân phối chuẩn, n ≥ 30 Trong trường hợp, xây dựng thống kê viết công thức khoảng tin cậy đối xứng, KTC trái, KTC phải tương ứng Trả lời: Để ước lượng kì vọng E(X) = μ ĐLNN X, từ đám đông ta lấy ngẫu nhiên W=( ,, , , ) từ mẫu này, ta tìm trung bình mẫu sai điều chỉnh S Ước lượng μ ℎô phương Xét toán sau: Trường hợp 1: X phân phối chuẩn phương sai σ biết: Vì ~ ( ; ) ê ~ N (μ, ) Ta xây dựng thống kê: − = ~ (0,1) √ = * Khoảng tin cậy đối xứng: Với độ tin cậy − = ta tìm phân vị | |< cho: =1− Thay biểu thức U vào công thức ta có | − |< − < √ Khoảng tin cậy đối xứng =1− √ < + Với độ tin cậy ( − ; = = 1− √ =1− = ) √ * Khoảng tin cậy phải: ( = 0; = , ƯL giá trị tối thiểu ) )=1− Với độ tin cậy − ta tìm phân vị cho: ( < √ + Thay biểu thức U vào cơng thức ta có: − < =1− √ = = ( − < ) = 1− √ Từ ta có khoảng tin cậy phải: ( − * Khoảng tin cậy trái: ( Với độ tin cậy − = 0; ; +∞) √ = , ƯL giá trị tối đa ) cho: ( > − ta tìm phân vị )=1− Thay biểu thức U vào cơng thức ta có: − >− =1− √ + > √ Từ ta có khoảng tin cậy phải: (−∞; = = 1− + ) √ Trường hợp 2: X phân phối chuẩn phương sai σ chưa biết, Vì ~ ( ; < 30 ) nên ta xây dựng thống kê: − ′ √ = = * Khoảng tin cậy đối xứng: Với độ tin cậy − ( ) Khoảng tin cậy đối xứng : ( − ; Với độ tin cậy − ( ( ′ ( ) ) √ = 0; √ ) cho: =1− ( ) √ ; +∞) = , ƯL giá trị tối đa ) ta tìm phân vị − ( < )=1− Từ ta có khoảng tin cậy bên phải: ( − Với độ tin cậy − = = , ƯL giá trị tối thiểu ) T< * Khoảng tin cậy trái: ( = 1− + ) = ta tìm phân vị ( − cho: + )= 1− < = 0; ) / ( | |< * Khoảng tin cậy phải: ( ) = ta tìm phân vị ( − < ( ~ ( ) < ( ) cho: = 1− ) = ( < ′ + ( ) √ Từ ta có khoảng tin cậy bên trái: (−∞; )=1− + ( ) √ ) Trường hợp 3: Chưa biết quy luật phân phối xác suất X X có phân phối chuẩn, kích thước mẫu n > 30 Khi n > 30 ~ N (µ, ) Do đó, ta sử dụng thống kê: U= ~ N (0,1) √ = * Khoảng tin cậy đối xứng: Với độ tin cậy − = ta tìm phân vị | |< cho: =1− Thay biểu thức U vào cơng thức ta có | − |< − < √ Khoảng tin cậy đối xứng =1− √ < + ; = 1− √ =1− với độ tin cậy ( − = = à: ) √ * Khoảng tin cậy phải: ( = 0; = , ƯL giá trị tối thiểu ) )=1− Với độ tin cậy − ta tìm phân vị cho: ( < √ + = Thay biểu thức U vào công thức ta có: − < =1− √ ( − √ Từ ta có khoảng tin cậy phải: ( − * Khoảng tin cậy trái: ( Với độ tin cậy − = 0; = < ) = 1− ; +∞) √ = , ƯL giá trị tối đa ) cho: ( > − ta tìm phân vị Thay biểu thức U vào công thức ta có: − >− + √ =1− √ > 10 = 1− = )=1− = ≈ s’ Chú ý: Nếu chưa biết , n lớn nên ta lấy Câu 2: Bài toán ước lượng tỉ lệ: Xây dựng thống kê khoảng tin cậy đối xứng, KTC trái, KTC phải ước lượng tỉ lệ p n lớn Xây dựng công thức khoảng tin cậy đối xứng ước lượng M biết f, N n lớn M số phần tử mang dấu hiệu A đám đông Xây dựng công thức khoảng tin cậy đối xứng ước lượng N biết f, M n lớn M số phần tử mang dấu hiệu A đám đông Trả lời: Xây dựng thống kê khoảng tin cậy đối xứng, KTC trái, KTC phải ước lượng tỉ lệ p n lớn Giả sử ta cần nghiên cứu đám đơng có kích thước N, có M phần tử mang dấu hiệu A Khi P(A) = M/N = p tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A đám đơng Vì khơng thể điều tra đám đơng nên thường chưa biết p Từ đám đông ta lấy mẫu kích thước n, điều tra mẫu thấy có nA phần tử mang dấu hiệu A Khi tần = suất xuất dấu hiệu A mẫu ( tần suất mẫu) Ta ước lượng p thông qua f = 1− Khi n lớn, ta có ( với ≃ , ) → = − ≃ (0, 1) * Khoảng tin cậy đối xứng ( lấy α = α = ): Với độ tin cậy − cho trước, tìm phân vị | |< cho: =1− Thay công thức U biến đổi, ta có: | − |< ( − < =1− < + )=1− Khoảng tin cậy đối xứng p: ( − ; + ), với = lượng Khi p chưa biết n lớn ta thay p » f q » − Do đó: = » 11 (1 − ) sai số ước * Khoảng tin cậy phải (α = 0; α = α, ƯL giá trị tối thiểu p) Tương tự, với độ tin cậy − cho trước, ta tìm phân vị ( < )=1− cho: Thay biểu thức U biến đổi ta được: − < ≈ , có khoảng tin cậy phải p là: Ta lấy =1− − ( ) ;1 * Khoảng tin cậy trái (α = α; α = ƯL giá trị tối đa p) Tương tự, với độ tin cậy − cho trước, ta tìm phân vị (− < ) = − cho: Thay biểu thức U biến đổi ta được: < + =1− ≈ , có khoảng tin cậy trái p là: 0; + Ta lấy ( ) Xây dựng công thức khoảng tin cậy đối xứng ước lượng M biết f, N n lớn M số phần tử mang dấu hiệu A đám đông Khoảng tin cậy đối xứng (α1 = α2 = ) + Khoảng tin cậy M (nếu biết N , n lớn) Với độ tin cậy – α tìm phân vị cho: P(|U|< ) = 1- α Ta có: (f – ε ) < p < ( f + ε) Mà p = ⟹ f–ε< > ( > < ( : > = Nếu ∈ ; ta bác bỏ Nếu ∉ ; ta chưa có sở để bác bỏ )= )= Do X có phân phối chuẩn, ∼ : nên tạm thời chấp nhận } ) ) = Miền bác bỏ = :| |> : > ( ) = ( > > < 30, ta có: Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định: = √ 13 ≃ ( , ) Nếu (Chú ý: lấy ≈ ≃ (0,1) chưa biết ) Với mức ý nghĩa ; ta có: ( ∈ / ≠ | |> > ( > < ( : > = Nếu ∈ ; ta bác bỏ Nếu ∉ ; ta chưa có sở để bác bỏ )= ={ )= ={ : :p = :p < Viết tiêu chuẩn kiểm định miền bác bỏ toán kiểm định tỉ lệ theo trường hợp đối thuyết Khi n lớn ≃ ( , Nếu ≃ (0,1) Với mức ý nghĩa ; ta có: ), xây dựng tiêu chuẩn kiểm định: Miền bác bỏ p= p≠ p> p< ={ :| |> ={ ={ 14 : : } >