Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 3)

˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ` TA ˆ P BAI ´ CAO CA ˆ´P TOAN Tˆa.p Ph´ep t´ınh t´ıch phˆan L´ y thuyˆe´t chuˆ˜o i Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan ’ N DAI HOC QUO ` XUA ˆ´T BA ˆ´C GIA HA ` NO ˆ I NHA http://tieulun.hopto.org Mu.c lu.c 10 T´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 10.1.1 Nguyˆen h`am v`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh 10.1.2 Phu.o.ng ph´ap dˆo’i biˆe´n `an u.ng phˆ 10.1.3 Phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan t` 4 10.2 C´ac l´o.p h`am kha’ t´ıch l´o.p c´ac h`am so cˆa´p 10.2.1 T´ıch phˆan c´ac h`am h˜ u.u ty’ 10.2.2 T´ıch phˆan mˆo.t sˆo´ h`am vˆo ty’ do.n gia’n 10.2.3 T´ıch phˆan c´ac h`am lu.o ng gi´ac 12 21 11 T´ıch phˆ an x´ ac di.nh Riemann 11.1 H`am kha’ t´ıch Riemann v`a t´ıch phˆan x´ac di.nh - i.nh ngh˜ıa 11.1.1 D - iˆ `eu kiˆe.n dˆe’ h`am kha’ t´ıch 11.1.2 D 11.1.3 C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch phˆan x´ac di.nh 11.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan x´ac d i.nh 11.3 Mˆo.t sˆo´ u ´.ng du.ng cu’a t´ıch phˆan x´ac d i.nh 11.3.1 Diˆe.n t´ıch h`ınh ph˘a’ng v`a thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ 30 30 37 48 57 58 58 59 59 61 78 78 11.3.2 T´ınh dˆo d`ai cung v`a diˆe.n t´ıch m˘a.t tr`on xoay 11.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng 89 98 11.4.1 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cˆa.n vˆo ha.n 98 11.4.2 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cu’a h`am khˆong bi ch˘a.n 107 http://tieulun.hopto.org MU C LU C `eu biˆ 12 T´ıch phˆ an h` am nhiˆ e´n 12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p `en ch˜ u nhˆa.t 12.1.1 Tru.`o.ng ho p miˆ `en cong 12.1.2 Tru.`o.ng ho p miˆ 12.1.3 Mˆo.t v`ai u ´.ng du.ng h`ınh ho.c 12.2 T´ıch phˆan 3-l´o.p `en h`ınh hˆo.p 12.2.1 Tru.`o.ng ho p miˆ `en cong 12.2.2 Tru.`o.ng ho p miˆ 12.2.3 12.2.4 Nhˆa.n x´et chung 12.3 T´ıch phˆan d u.`o.ng 12.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 12.3.2 T´ınh t´ıch phˆan du.`o.ng 12.4 T´ıch phˆan m˘a.t 12.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 12.4.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan m˘a.t 12.4.3 Cˆong th´ u.c Gauss-Ostrogradski 12.4.4 Cˆong th´ u.c Stokes 117 118 118 118 121 133 133 134 136 136 144 144 146 158 158 160 162 162 ˜i 13 L´ y thuyˆ e´t chuˆ o 13.1 Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng 13.1.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 13.1.2 Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng 13.2 Chuˆ˜o i hˆo.i tu tuyˆe.t d ˆo´i v`a hˆo.i tu khˆong tuyˆe.t d ˆo´i 13.2.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 13.2.2 Chuˆ˜o i dan dˆa´u v`a dˆa´u hiˆe.u Leibnitz 13.3 Chuˆ˜o i l˜ uy th` u.a 13.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n - iˆ `eu kiˆe.n khai triˆe’n v`a phu.o.ng ph´ap khai triˆe’n 13.3.2 D 13.4 Chuˆ˜o i Fourier 13.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 177 178 178 179 191 191 192 199 199 201 211 211 http://tieulun.hopto.org MU C LU C `e su hˆo.i tu cu’a chuˆ˜o i Fourier 212 13.4.2 Dˆa´u hiˆe.u du’ vˆ 14 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an 224 14.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 225 14.1.1 Phu.o.ng tr`ınh t´ach biˆe´n 226 14.1.2 Phu.o.ng tr`ınh d a˘’ ng cˆa´p 231 14.1.3 Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 237 14.1.4 Phu.o.ng tr`ınh Bernoulli 244 `an 247 14.1.5 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan to`an phˆ 14.1.6 Phu.o.ng tr`ınh Lagrange v`a phu.o.ng tr`ınh Clairaut255 14.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p cao 259 14.2.1 C´ac phu.o.ng tr`ınh cho ph´ep thˆa´p cˆa´p 260 14.2.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng 264 `an nhˆa´t 14.2.3 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh thuˆ cˆa´p n (ptvptn cˆa´p n ) v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng 273 14.3 Hˆe phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng290 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆ 15 Kh´ niˆ e.m vˆ an da.o h` am riˆ eng 15.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p tuyˆe´n t´ınh dˆo´i v´o.i c´ac da.o h`am riˆeng 15.2 Gia’i phu.o.ng tr`ınh d a.o h`am riˆeng cˆa´p d o.n gia’n nhˆa´t 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ y to´an co ba’n `en s´ong 15.3.1 Phu.o.ng tr`ınh truyˆ `en nhiˆe.t 15.3.2 Phu o ng tr`ınh truyˆ 15.3.3 Phu.o.ng tr`ınh Laplace T` liˆ e.u tham kha’o 304 306 310 313 314 317 320 327 http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng 10 T´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh 10.1 C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 10.1.1 Nguyˆen h` am v` a t´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh ap dˆ o’i biˆe´n 12 10.1.2 Phu.o.ng ph´ `an 21 10.1.3 Phu.o.ng ph´ ap t´ıch phˆ an t` u.ng phˆ am kha’ t´ıch l´ o.p c´ ac h` am 10.2 C´ ac l´ o.p h` so cˆ a´p 30 10.2.1 T´ıch phˆ an c´ ac h` am h˜ u.u ty’ 30 10.2.2 T´ıch phˆ an mˆ o.t sˆ o´ h` am vˆ o ty’ do.n gia’n 37 ac 48 10.2.3 T´ıch phˆ an c´ ac h` am lu.o ng gi´ 10.1 C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 10.1.1 Nguyˆ en h` am v` a t´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh - i.nh ngh˜ıa 10.1.1 H`am F (x) du.o c go.i l`a nguyˆen h`am cu’a h`am D f(x) trˆen khoa’ng n`ao d´o nˆe´u F (x) liˆen tu.c trˆen khoa’ng d´o v`a kha’ vi http://tieulun.hopto.org 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan ta.i mˆ˜o i diˆe’m cu’a khoa’ng v`a F ′(x) = f(x) - i.nh l´ `on ta.i nguyˆen h`am) Mo.i h` `e su tˆ am liˆen tu.c trˆen D y 10.1.1 (vˆ `eu c´ doa.n [a, b] dˆ o nguyˆen h` am trˆen khoa’ng (a, b) - i.nh l´ D y 10.1.2 C´ ac nguyˆen h` am bˆ a´t k`y cu’a c` ung mˆ o.t h` am l` a chı’ ` o.t h˘ ang sˆ o´ cˆ o.ng kh´ ac bo’ i mˆ Kh´ac v´o.i da.o h`am, nguyˆen h`am cu’a h`am so cˆa´p khˆong pha’i bao gi`o c˜ ung l`a h`am so cˆa´p Ch˘a’ng ha.n, nguyˆen h`am cu’a c´ac h`am e−x , cos x sin x , , , l`a nh˜ u.ng h`am khˆong so cˆa´p cos(x2), sin(x2), lnx x x - i.nh ngh˜ıa 10.1.2 Tˆa.p ho p mo.i nguyˆen h`am cu’a h`am f(x) trˆen D khoa’ng (a, b) du.o c go.i l`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh cu’a h`am f(x) trˆen khoa’ng y hiˆe.u l`a (a, b) v`a du.o c k´ f(x)dx Nˆe´u F (x) l`a mˆo.t c´ac nguyˆen h`am cu’a h`am f(x) trˆen khoa’ng (a, b) th`ı theo di.nh l´ y 10.1.2 f(x)dx = F (x) + C, C∈R `an hiˆe’u l`a d˘a’ng th´ d´o C l`a h˘`ang sˆo´ t` u.a uy y´ v`a d˘a’ng th´ u.c cˆ u.c gi˜ hai tˆa.p ho p C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh: 1) d f(x)dx = f(x)dx 2) f(x)dx 3) df(x) = ′ = f(x) f ′ (x)dx = f(x) + C ut ba’ng c´ac t´ıch phˆan co T` u di.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan bˆa´t di.nh r´ ba’n (thu.`o.ng du.o c go.i l`a t´ıch phˆan ba’ng) sau dˆay: http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng 10 T´ıch phˆan bˆa´t di.nh I 0.dx = C II 1dx = x + C xα+1 + C, α = −1 α+1 III xαdx = IV dx = ln|x| + C, x = x V axdx = ax + C (0 < a = 1); lna ex dx = ex + C VI sin xdx = − cos x + C VII cos xdx = sin x + C VIII π dx = tgx + C, x = + nπ, n ∈ Z cos x IX X XI dx = −cotgx + C, x = nπ, n ∈ Z sin2 x  arc sin x + C, dx √ −1 < x < = − x2 −arc cos x + C  arctgx + C, dx = + x2 −arccotgx + C √ dx = ln|x + x2 ± 1| + C x2 ± (trong tru.`o.ng ho p dˆa´u tr` u th`ı x < −1 ho˘a.c x > 1) XII XIII √ dx 1+x + C, |x| = = ln 1−x 1−x C´ac quy t˘´ac t´ınh t´ıch phˆan bˆa´t di.nh: http://tieulun.hopto.org 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 1) kf(x)dx = k 2) [f(x) ± g(x)]dx = 3) Nˆe´u f(x)dx, k = f(x)dx ± g(x)dx f(x)dx = F (x) + C v`a u = ϕ(x) kha’ vi liˆen tu.c th`ı f(u)du = F (u) + C ´ V´I DU CAC V´ı du Ch´ u.ng minh r˘a`ng h`am y = signx c´o nguyˆen h`am trˆen khoa’ng bˆa´t k` y khˆong ch´ u.a diˆe’m x = v`a khˆong c´o nguyˆen h`am trˆen mo.i khoa’ng ch´ u.a diˆe’m x = Gia’i 1) Trˆen khoa’ng bˆa´t k` y khˆong ch´ u.a diˆe’m x = h`am y = signx l`a h˘a`ng sˆo´ Ch˘a’ng ha.n v´o.i mo.i khoa’ng (a, b), < a < b ta c´o signx = v`a d´o mo.i nguyˆen h`am cu’a n´o trˆen (a, b) c´o da.ng F (x) = x + C, C ∈ R 2) Ta x´et khoa’ng (a, b) m`a a < < b Trˆen khoa’ng (a, 0) mo.i nguyˆen h`am cu’a signx c´o da.ng F (x) = −x + C1 c`on trˆen khoa’ng (0, b) nguyˆen h`am c´o da.ng F (x) = x + C2 V´o.i mo.i c´ach cho.n h˘a`ng sˆo´ C1 v`a C2 ta thu du.o c h`am [trˆen (a, b)] khˆong c´o da.o h`am ta.i diˆe’m x = Nˆe´u ta cho.n C = C1 = C2 th`ı thu du.o c h`am liˆen tu.c y = |x| + C nhu.ng khˆong kha’ vi ta.i diˆe’m x = T` u d´o, theo di.nh ngh˜ıa h`am signx khˆong c´o nguyˆen h`am trˆen (a, b), a < < b V´ı du T`ım nguyˆen h`am cu’a h`am f(x) = e|x| trˆen to`an tru.c sˆo´ `en x > mˆo.t Gia’i V´o.i x ta c´o e|x| = ex v`a d´o miˆ c´ac nguyˆen h`am l`a ex Khi x < ta c´o e|x| = e−x v`a vˆa.y `en x < mˆo.t c´ac nguyˆen h`am l`a −e−x + C v´o.i h˘a`ng miˆ sˆo´ C bˆa´t k` y Theo di.nh ngh˜ıa, nguyˆen h`am cu’a h`am e|x| pha’i liˆen tu.c nˆen n´o http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng 10 T´ıch phˆan bˆa´t di.nh `eu kiˆe.n pha’i tho’a m˜an diˆ lim ex = lim (−e−x + C) x→0+0 x→0−0 t´ u.c l`a = −1 + C ⇒ C = Nhu vˆa.y   e x nˆe´u x > 0,   F (x) = nˆe´u x = 0,    −e−x + nˆe´u x < l`a h`am liˆen tu.c trˆen to`an tru.c sˆo´ Ta ch´ u.ng minh r˘`ang F (x) l`a nguyˆen h`am cu’a h`am e|x| trˆen to`an tru.c sˆo´ Thˆa.t vˆa.y, v´o.i x > ta c´o `an pha’i F ′(x) = ex = e|x|, v´o.i x < th`ı F ′(x) = e−x = e|x| Ta c`on cˆ ch´ u.ng minh r˘`ang F ′(0) = e0 = Ta c´o F (x) − F (0) ex − = lim = 1, x→0+0 x→0+0 x x F (x) − F (0) −e−x + − = lim = F−′ (0) = lim x→0−0 x→0−0 x x Nhu vˆa.y F+′ (0) = F−′ (0) = F ′(0) = = e|x| T` u d´o c´o thˆe’ viˆe´t:  ex + C, x