Điều khiển tối ưu cho hệ Pendubot 3-link

Trong bài viết này, tác giả sử dụng phương pháp điều khiển LQR để điều khiển hệ thống pendubot 3-link mô phỏng cân bằng tại vị trí làm việc tĩnh. Mô phỏng trên Matlab/Simulink cho thấy sự thành công của phương pháp điều khiển LQR trên mô hình pendubot 3-link.

No 09/2020 Journal of Science, Tien Giang University Điều khiển tối ưu cho hệ Pendubot 3-link Optimal control for 3-linked Pendubot Nguyễn Phương Hiếu1, Lê Hùng Hiếu1, Đặng Thái Bảo1, Trần Thế Anh, Lê Thị Thanh Hoàng1, Lê Thị Hồng Lam1, Nguyễn Văn Đông Hải1,*, Nguyễn Minh Tâm1, Nguyễn Trần Minh Nguyệt Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh Số 1, Võ Văn Ngân, Phường Linh Chiểu, Quận Thủ Đức, Thành phố Hồ Chí Minh Thơng tin chung Tóm tắt Ngày nhận bài: 06/05/2020 Ngày nhận kết phản biện: 29/05/2020 Ngày chấp nhận đăng: 11/06/2020 Hệ pendubot hệ thống under-actuated SIMO cổ điển sử dụng nhiều phịng thí nghiệm với mục đích tìm hiểu nghiên cứu học thuật điều khiển Đa phần nghiên cứu hệ pendubot để cập đến pendubot 2-link (hệ bậc thấp) Nếu nâng cấp số link làm tăng độ phức tạp hệ thống cần điều khiển (hệ bậc cao) Điều khiển LQR giải thuật điều khiển tuyến tính chứng minh tính ổn định toán học Trong báo này, tác giả sử dụng phương pháp điều khiển LQR để điều khiển hệ thống pendubot 3-link mơ cân vị trí làm việc tĩnh Mô Matlab/Simulink cho thấy thành công phương pháp điều khiển LQR mô hình pendubot 3-link Kết điều khiển báo áp dụng để nghiên cứu hệ under-actuated bậc cao tham khảo Từ khóa: Điều khiển LQR, pendubot link, hệ thống under-actuated,hệ thống SIMO Abstract Keywords: LQR control, threelinked pendubot, underactuated system, SIMO system Pendubot is a classical SIMO under-actuated system that has been much used in laboratories for studying and researching control algorithms Most studies on the pendubot only mention the two-linked pendubot (low-order system) If the number of links is upgraded, the difficulty of the controlled system will increase (high-order system) LQR control is a linear control algorithm whose stability is proved by mathematics In this paper, the LQR control method was used to control the three-linked pendubot system for the balanced stimulation at an equilibrium point Simulation on Matlab/Simulink showed the success of the LQR control method on the three-linked pendubot model The controlling results in this paper could be applied for references in other studies on high-order under-actuated systems GIỚI THIỆU Hệ pendubot hệ thống thông dụng lĩnh vực điều khiển [1] Đây hệ thống có kết cấu đơn giản có đặc tính hệ phi tuyến SIMO điển hình Rất nhiều giải thuật điều khiển * áp dụng cho pendubot 2-link [2]-[4] Tuy nhiên, công trình tăng số link để nâng cao độ phức tạp điều khiển pendubot chưa có nhiều Việc thực giải thuật robot nhiều link hỗ trợ việc nghiên cứu hàn lâm lý thuyết điều khiển hỗ trợ việc đào tạo tác giả liên hệ, email: hainvd@hcmute.edu.vn, 034 9672 108 -12- Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Tiền Giang sinh viên/ học viên trường đại học lý thuyết điều khiển tự động Từ đó, sinh viên áp dụng kiến thức cho đối tượng cụ thể, trình tự động sản xuất thực tế Ở tài liệu [5], tác giả Vũ Đình Đạt phân tích phương trình động học hệ pendubot 3-link cho thấy phương trình động học hệ pendubot 3-link phức tạp Trong nghiên cứu trên, giải thuật trượt đề nghị để điều khiển hệ pendubot 3-link Tuy nhiên, điều khiển trượt phức tạp Khi hệ SIMO bậc cao hơn, việc tính tốn tín hiệu điều khiển thơng qua hàm phi tuyến chưa đơn giản hóa khơng cịn đơn giản nữa, cấu trúc điều khiển phức tạp, khó xây dựng Bộ điều khiển LQR có cấu trúc đơn giản, lại đảm bảo ổn định toán học nên có xu hướng dễ thực va dễ áp dụng cho vi xử lí điều khiển mơ hình thực Trong lĩnh vực điều khiển học, điều khiển đa dạng điều khiển thiết kế phù hợp với mục đích điều khiển Trước tiên, điều khiển tuyến tính điều khiển PID kinh điển [6] sử dụng rộng rãi đơn giản cấu trúc đem lại hiệu cao Tuy nhiên, việc xác định thông số điều khiển PID phải thông qua q trình thử sai để tìm thơng số thích hợp Mặt khác, điều khiển PID thiết kế phù hợp cho hệ SISO (một vào-một ra) khơng thích hợp cho hệ có số ngõ vào khác với số ngõ Sự ổn định điều khiển PID không đảm bảo mặt tốn học Do đó, điều khiển LQR phương án phù hợp cho hệ pendubot nhiều link áp dụng cho hệ có số tín hiệu vào tùy ý, hệ thống mang tính chất “điều khiển được” Bên cạnh đó, giải thuật LQR [7] điều khiển tuyến Số 09/2020 tính tín hiệu điều khiển điều khiển tính tốn cơng thức tốn học chứng minh tính ổn định dựa việc giải phương trình Ricatti Dù vậy, giải thuật LQR theo lý thuyết ổn định tốt hệ thống sát điểm làm việc tĩnh Việc chọn thong số điều khiển tốt ổn định hệ thống dù trạng thái đầu hệ thống xa điểm làm việc tĩnh Việc tối ưu hóa điều khiển LQR trình bày vấn đề báo khác nâng cấp sau từ báo Trong báo này, nhóm tác giả áp dụng giải thuật LQR cho hệ pendubot 3link để kiểm chứng ổn định điều khiển tuyến tính LQR áp dụng cho hệ SIMO bậc cao Hệ thống tuyến tính xung quanh điểm làm việc tĩnh điều khiển LQR thiết kế dựa theo phương trình tuyến tính hệ thống tìm Hơn nữa, giải thuật cịn kiểm chứng hệ thống có tác động nhiễu bên Ở phần đầu báo, nhóm tác giả giới thiệu vấn đề dẫn giải tới hướng mà báo hướng tới Nội dung nghiên cứu báo gồm phần Trong phần nội dung nghiên cứu, phương trình động học giới thiệu diễn giải Trong phần 2, giải thuật điều khiển LQR đề nghị Kết mô thể phần Kết luận báo trình bày phần Ở phần 5, tài liệu tham khảo liệt kê NỘI DUNG NHIÊN CỨU Nghiên cứu giải thuật LQR điều khiển cho hệ lắc ngược nhiều link Trong trường hợp này, hệ thống pendubot 3-link sử dụng mô thông qua giải thuật tuyến tính LQR Khả điều khiển điều khiển LQR kiểm -13- No 09/2020 chứng đạt yêu cầu thông qua mô Matlab/ Simulink 2.1 Phương trình động học Theo tài liệu [5], cấu trúc mơ hình pendubot biểu diễn khơng gian chiều Hình Journal of Science, Tien Giang University l2 lc2 0,2 0,1 m m m3 l3 lc3 0,055 0,22 0,11 kg m m Kt 0,010 0,065 Nm/ A V/(ra d/s) Kb Hình Cấu trúc mơ hình hệ thống pendubot 3-link Bảng Thông số hệ thống [5] Ký Giá Đơn Mô tả hiệu trị vị m1 0,15 kg Khối lượng link l1 0,2 m Chiều dài link lc1 0,1 m Khoảng cách từ khớp chủ động đến trọng tâm link m2 0,14 kg Khối lượng link Chiều dài link Khoảng cách từ khớp bị động đến trọng tâm link Khối lượng link Chiều dài link Khoảng cách từ khớp bị động đến trọng tâm link Hằng số momen động Hằng số phản điện động Các phương trình tốn học sử dụng khâu điều khiển liệt kê hệ phương trình (1) Trong đó, momen τ tín hiệu tạo động để tác động vào hệ thống Thông số hệ thống liệt kê Bảng Mơ hình tốn học pendubot link diễn giải thơng qua phương pháp Euler-Lagrange sau: d   L ( q, q )  L(q, q)  (k  1, 2,3) (1) dt qk qk Trong đó, tốn tử Lagrange là: L ( q, q )  T ( q , q )  V (q ) (2) Với T động hệ thống, V hệ thống, q  [q1 q2 q3 ]T góc lệch link 1, 2, theo Hình Trong đó, T V tính tốn sau:  i 1  V (q, q )   mi g   l j cos q j  lci li cos qi  i 1  j 1  k 1 k 1 k 1 1  mk lk2 qi2    mk li qi q j cos(qi  q j )     i 1 j 1, j 1 i 1   T (q, q)   k 1   1 k 1 2  m l l l q q cos( q  q )  m a l q  J q   k ck j k j k i j k k k k k k 2  j 1  -14- (3) (4) Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Tiền Giang Các phương trình chuỗi phương trình số (1) viết dạng ma trận sau: D(q)q  C (q, q)  G(q)  F (5) Từ (5), sau chuyển vế, ta q  D1 (q) FTm  D1 (q)C (q, q)q  D1 (q)G(q) (6) Với việc xác định ngõ vào điều khiển momen động tạo ra, việc mô dừng mức độ khảo sát khả điều khiển LQR việc điều khiển hệ thống chưa tạo tảng để áp dụng mơ hình thực Việc chuyển tín hiệu điều khiển từ momen sang điện áp giúp việc điều khiển mơ hình thực từ tính tốn mơ khả thi Tuy nghiên cứu này, nhóm tác giả chưa thành công việc xây dựng pendubot 3-link thực tế việc mô hướng phát triển theo hướng Phương trình quan hệ momen điện áp V (Volt) [5] trình bày sau: (7)   KbV Ra  Kb2 q1 Ra Khi thay (7) vào (6), ta hệ phương trình trạng thái hệ thống với ngõ vào điều khiển điện áp cấp cho động sau (8) q  F  q, V   F1   F1  q,V     Với F  q, V    F2    F2  q,V    F3   F3  q,V   Việc liệt kê hàm F1, F2, F3 trình bày chương trình lưu Matlab, khuôn khổ báo cơng thức dài dịng Q trình tính tốn hàm trình bày theo bước phía 2.2 Giải thuật điều khiển Với hệ thống có phương trình tốn học rõ ràng, đầy đủ thông số Số 09/2020 hệ thống điểm làm việc cụ thể, cố định, giải thuật điều khiển LQR phương pháp thông dụng Với cấu trúc đơn giản, dễ tính tốn (nhờ vào cơng cụ Matlab) khả hiệu chỉnh đơn giản dựa vào ma trận trọng số, điều khiển LQR thường đề xuất cho điều khiển robot cân Tuy nhiên, với hệ thống có dạng x  h  x, u  với x biến trạng thái u tín hiệu điều khiển, điều khiển LQR thiết kế ổn định x điểm cân điểm cân x=[0] u=[0] Trong đó, vị trí cân theo định nghĩa (8) lại q1=pi/2 (chưa phải giá trị 0), q2=0, q3=0, vận tốc link V=0 Do vậy, ta cần đổi biến để điều kiện thiết kế LQR thỏa Các biến đặt lại (9) x1  q1   ; x2  q1 ; x3  q1  q2   ; x4  q1  q2 ; x5  q2  q3   ; x6  q2  q3 Lúc này, (8) trở thành x  f  x,V  (10) x   x1 x2 Với x6  , T  f1   f1  x,V     f  x,V    f    f  x,V   f3   f3  x,V   Việc trình bày hàm f1, f2, f3 dài thể chương trình Matlab khơng thể trình bày hết khn khổ báo Lúc này, ta xấp xỉ hệ phương trình trạng thái phi tuyến (10) dạng tuyến tính giả thiết hệ thống hoạt động sát quanh vị trí cân thể (12) T (11) x  0 0 , u  0 -15- No 09/2020 Journal of Science, Tien Giang University Lúc này, phương trình tuyến tính hệ thống hoạt động quanh điểm cân là: (12) x  Ax  Bu Trong đó, ma trận A, B thể (14) Ma trận Q, R ma trận trọng số chọn có dạng sau Q1 0 Q Q   0 0  R1 0 R  ; R     Qn  0 0    Rm  0  f   x1  0 A   f   x1 0   f3  x1  0 f1 f1 f1 x2 x3 x4 0 f f f x2 x3 x4 0 f3 f3 f x2 x3 x4 0 f1 f1  x5 x6   0 f f   x5 x6  1  f f  x5 x6  x  x0 u u (14) (13) Trong đó, Các giá trị Q1 đến Qn, R1 đến Rm giá trị xác định dương Các thành phần đường chéo ma trận Q, R m n bậc hệ phương trình trạng thái (số biến trạng thái (12)) số biến điều khiển ma trận u Ở đây, hệ pendubot 3-link hệ SIMO nên ma trận R gồm phần tử dương Thành phần Qi (với i=1, 2, …, n) trọng số tương ứng với biến trạng thái xi Khi điều khiển, ta quan tâm việc điều khiển biến trạng thái ta tăng trọng số tương ứng biến trạng thái lên so với trọng số biến trạng thái khác (tương ứng việc giảm quan tâm đến việc điều khiển biến trạng thái khác) Trong báo này, việc khảo sát thay đổi thông số điều khiển bỏ qua mà tác giả quan tâm việc kiểm tra giải thuật điều khiển LQR có điều khiển hệ thống mức độ bền vững điều khiển với mơ hình pendubot 3-link Do đó, ma trận Q, R chọn giá trị ma trận đơn vị (15) (Vì ổn định đảm bảo theo phương trình Ricatti)  f1 B  0  V f3  f V V  T x  x0 u u0 Q  eye(6) ; R  (15) Luật điều khiển hồi tiếp LQR tính có dạng sau: (16) u   Kx Cấu trúc điều khiển LQR thể Hình Hình Cấu trúc điều khiển LQR Trong ma trận K xác định thông qua việc chọn ma trận trọng số Q R phù hợp, kết hợp với ma trận A, B (được tính từ ma trận rời rạc mơ tả hệ vị trí cân bằng) Để tìm ma trận K, sử dụng lệnh sau phần mềm Matlab: K  lqr ( A, B, Q, R) (17)   149,7 -0,17 -95,57   0 A -356,14 0,42 328,1  0   283,45 -0,33 -418,41 0  0  -53,61  0 1  160,91  0 8,63 (18) B   2,6870 -6,3925 5,0878 T -16- Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Tiền Giang Với thơng số Bảng 1, tính tốn ma trận A, B (14) điểm cân (11), ta (18) Để xét khả xây dựng điều khiển hệ thống trên, ma trận điều khiển tính dựa vào (18) sau: (19) M C   B AB A5 B  Hình Góc link khơng có nhiễu Dùng Matlab tính tốn, ta có rank  M C   (20) Hạng ma trận MC với bậc hệ phương trình (12) (bằng với số biến trạng thái) Do đó, hệ thống điều khiển điểm làm việc Đây sở cho việc xây dựng điều khiển cho hệ thống pendubot 3-link Trong trường hợp này, điều khiển áp dụng LQR Từ (15), (17), (18), ta có; K  [111,4665 41,9074 -133,9893 (21) 32,3769 323,4086 33,3219] 2.3 Kết mô Với ma trận điều khiển K tính tốn (21) tín hiệu điện áp cấp cho mơ hình tính tốn (16), hệ thống mô với hai trường hợp khơng có nhiễu có nhiễu q trình khởi động với thơng số chọn ban đầu T (22)  q (0) q (0) q (0) q (0) q (0) q (0) 1 2 Số 09/2020 Hình Góc link khơng có nhiễu - Trường hợp có nhiễu Hàm nhiễu chọn (23) 0,1 if 1,5  u  2, y 0 otherwise Hình Đồ thị biểu diễn nhiễu tác động  [0,1  0,1 0,01 0]T Các kết mô thể từ Hình đến Hình 9: - Trường hợp khơng nhiễu Hình Góc link khơng có nhiễu Hình Góc link có nhiễu tác động Thơng qua kết mô phỏng, ta thấy hệ pendubot 3-link- điều khiển giải thuật LQR- hoạt động ổn định với thời gian xác lập ngắn -17- No 09/2020 trung bình 0.5 giây trạng thái hoạt động khơng có nhiễu (Từ Hình đến Hình 5) Đồng thời, góc dao động tối đa 0.6 rad (34 độ) link 1, bớt dần dao động link bậc cao (lần lượt 0.2 rad 0.03 rad link 3) Trong trường hợp có nhiễu, thời gian xác lập hệ thống trở nên dài (từ 1,5 đến giây Hình Hình 9) so với khơng có nhiễu Tuy nhiên, hệ thống ổn định Mặt khác, hệ thống có độ vọt lố khơng thay đổi so với khơng có nhiễu Điều cho thấy bền vững điều khiển LQR hệ thống pendubot 3-link Như vậy, điều khiển LQR hồn tồn áp dụng cho hệ SIMO underactuated bậc cao mà pendubot 3-link đối tượng tiêu biểu Hình Góc link có nhiễu tác động Hình Góc link có nhiễu tác động KẾT LUẬN Bài báo đưa phương pháp chứng minh thông qua mô Tuy nhiên, hướng mà nghiên cứu sau đề tài điều khiển pendubot 3link sử dụng giải thuật tìm kiếm on-line hay off-line để tối ưu hóa ma trận Q, R Từ đó, có ma trận Journal of Science, Tien Giang University điều khiển K tốt nhất, giúp tiêu chuẩn chất lượng cải thiện (thời gian xác lập, độ dao động hệ thống độ…) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Mark W Spong, Daniel J.Block.: “The Pendubot: A Mechatronic System for Control Research and Education”, Proceedings of 1995 34th IEEE Conference on Decision and Control, 1995 [2] Dong Sang Hoo: “Balancing control for the pendubot using sliding mode”, 44th International Sysmposium on Robotics (ISR), 2013 [3] W Wang, J Yi, D Zhao, D.Liu.: “Design of a stable sliding-mode controller for a class of second-order underactuated systems”, IEE Proceedings - Control Theory and Applications, Vol 151, Issue 6, pp 683 – 690, 2004 [4] I Fantoni, R Lozano, M.W Spong.: “Energy Based control of the Pendubot”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 45, Issue 4, pp 725 – 729, 2000 [5] Dinh-Dat Vu, Gia-Bao Hong, MinhTam Nguyen, Thanh-Nguyen Nguyen, Xuan-Dung Huynh: “Optimal Sliding Mode control for Tracking Trajectory Problem of Tripe Pendubot”, International Journal of Robotica & Management, pp 9-12, Vol 2, No 23, Dec-2018 [6] Kiam Heong Ang, G Chong, Yun Li.: “PID control system analysis, design, and technology”, IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol 13, Issue 4, pp 559 – 576, 2005 -18- Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Tiền Giang [7] Kiam Heong Ang, G Chong, Yun Li.: “PID control system analysis, design, and technology”, IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol 13, Issue 4, pp 559 – 576, 2005 -19- Số 09/2020 ... áp dụng cho vi xử lí điều khiển mơ hình thực Trong lĩnh vực điều khiển học, điều khiển đa dạng điều khiển thiết kế phù hợp với mục đích điều khiển Trước tiên, điều khiển tuyến tính điều khiển PID... bậc hệ phương trình (12) (bằng với số biến trạng thái) Do đó, hệ thống điều khiển điểm làm việc Đây sở cho việc xây dựng điều khiển cho hệ thống pendubot 3-link Trong trường hợp này, điều khiển. .. ổn định điều khiển PID không đảm bảo mặt tốn học Do đó, điều khiển LQR phương án phù hợp cho hệ pendubot nhiều link áp dụng cho hệ có số tín hiệu vào tùy ý, hệ thống mang tính chất ? ?điều khiển