Thuvienmienphi com bai tap trac nghiem c

ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com XÁC SU T & TH NG KÊ Đ IH C PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH S ti t: 30 - PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương Xác suất Biến cố Chương Biến ngẫu nhiên Chương Phân phối Xác suất thông dụng Chương Vector ngẫu nhiên Chương Định lý giới hạn Xác suất Đào Hữu Hồ – Xác suất Thống kê – NXB Khoa học & Kỹ thuật Đậu Thế Cấp – Xác suất Thống kê – Lý thuyết tập – NXB Giáo dục Phạm Xuân Kiều – Giáo trình Xác suất Thống kê – NXB Giáo dục Nguyễn Cao Văn – Giáo trình Lý thuyết Xác suất & Thống kê – NXB Ktế Quốc dân F.M Dekking – A modern introduction to Probability and Statistics – Springer Publication (2005) Biên so n: ThS ThS Đoà Đoàn Vương Nguyên Download Slide gi ng XSTK_ XSTK_ĐH t i dvntailieu.wordpress.com Chương Xác su t c a Bi n c • Những tượng mà thực điều kiện cho kết gọi tượng tất nhiên Chẳng hạn, đun nước điều kiện bình thường đến 1000C nước bốc hơi; người nhảy khỏi máy bay bay người rơi xuống tất nhiên • Những tượng mà cho dù thực điều kiện cho kết khác gọi tượng ngẫu nhiên Chẳng hạn, gieo hạt lúa điều kiện bình thường hạt lúa nảy mầm khơng nảy mầm Hiện tượng ngẫu nhiên đối tượng khảo sát lý thuyết xác suất Xác su t - Th ng kê Đ i h c Tuesday, November 29, 2011 PHẦN II LÝ THUYẾT THỐNG KÊ (Statistical theory) Chương Mẫu thống kê Ước lượng tham số Chương Kiểm định Giả thuyết Thống kê Chương Bài toán Tương quan Hồi quy Tài liệu tham khảo Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Thống kê Đinh Ngọc Thanh – Giáo trình Xác suất Thống kê – ĐH Tôn Đức Thắng Tp.HCM Đặng Hùng Thắng – Bài tập Xác suất; Thống kê – NXB Giáo dục Lê Sĩ Đồng – Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Giáo dục PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ §1 Biến cố ngẫu nhiên §2 Xác suất biến cố §3 Cơng thức tính xác suất ………………………………………………………………………… §1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1.1 Hiện tượng ngẫu nhiên Người ta chia tượng xảy đời sống hàng thành hai loại: tất nhiên ngẫu nhiên Chương Xác su t c a Bi n c 1.2 Phép thử biến cố • Để quan sát tượng ngẫu nhiên, người ta cho tượng xuất nhiều lần Việc thực quan sát tượng ngẫu nhiên đó, để xem tượng có xảy hay khơng gọi phép thử (test) • Khi thực phép thử, ta khơng thể dự đốn kết xảy Tuy nhiên, ta liệt kê tất kết xảy Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử Ký hiệu ĐH Cơng nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, November 29, 2011 Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c Mỗi phần tử ω ∈ gọi biến cố sơ cấp Mỗi tập ⊂ gọi biến cố (events) VD Xét sinh viên thi hết mơn XSTK, hành động sinh viên phép thử Tập hợp tất điểm số: = Các tập ∈ ,…, ω = , = ,… biến cố Các biến cố , phát biểu lại là: “sinh viên thi đạt môn XSTK”; “sinh viên thi hỏng mơn XSTK” • Trong phép thử, biến cố mà chắn xảy gọi biến cố chắn Ký hiệu Biến cố xảy gọi biến cố rỗng Ký hiệu ∅ mà sinh viên đạt khơng gian mẫu Các phần tử: ω = ∈ ,ω = biến cố sơ cấp = ∈ VD Từ nhóm có nam nữ, ta chọn ngẫu nhiên người Khi đó, biến cố “chọn nam” chắn; biến cố “chọn người nữ” rỗng : Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c 1.3 Quan hệ biến cố a) Quan hệ tương đương Trong phép thử, biến cố gọi kéo theo biến cố xảy xảy Ký hiệu ⊂ Hai biến cố gọi tương đương với ⊂ ⊂ Ký hiệu = VD Quan sát gà mái đẻ trứng ngày Gọi : “có gà mái đẻ trứng ngày”, = b) Tổng tích hai biến cố biến cố, biến cố • Tổng hai biến cố xảy xảy hay xảy phép thử (ít hai biến cố xảy ra) Ký hiệu ∪ hay + • Tích hai biến cố biến cố, biến cố xảy xảy phép thử Ký hiệu ∩ hay VD Một người thợ săn bắn hai viên đạn vào thú thú chết bị trúng hai viên đạn Gọi “viên đạn thứ trúng thú” ( = 1, 2); “con thú bị trúng đạn”; “con thú bị chết” VD Xét phép thử gieo hai hạt lúa “hạt lúa thứ nảy mầm”; Gọi “hạt lúa thứ không nảy mầm” ( = 1, 2); “có hạt lúa nảy mầm” c) Biến cố đối lập Trong phép thử, biến cố gọi biến cố đối lập (hay biến cố bù) biến cố xảy khơng xảy ngược lại, khơng xảy xảy Vậy ta có: = : “có gà mái đẻ trứng ngày” : “có nhiều gà mái đẻ trứng ngày” ⊂ Khi đó, ta có: , ⊄ , ⊂ = Chương Xác su t c a Bi n c Khi đó, ta có: = ∪ = ∩ Chương Xác su t c a Bi n c Khi đó, khơng gian mẫu phép thử là: = Các biến cố tích sau biến cố sơ cấp: ω = ω = ω = ω = Biến cố khơng phải sơ cấp Xác su t - Th ng kê Đ i h c = ∪ VD Từ lơ hàng chứa 12 phẩm phế phẩm, người ta chọn ngẫu nhiên 15 sản phẩm Gọi “chọn phẩm”, = Ta có khơng gian mẫu là: = ∪ ∪ = = ∪ ∪ , ∪ ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, November 29, 2011 Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c 1.4 Hệ đầy đủ biến cố a) Hai biến cố xung khắc Hai biến cố gọi xung khắc với phép thử không xảy b) Hệ đầy đủ biến cố Trong phép thử, họ gồm VD Hai sinh viên thi môn XSTK “sinh viên thi đỗ”; Gọi “chỉ có sinh viên thi đỗ”; “chỉ có sinh viên thi đỗ” 1) Khi đó, Chú ý Trong VD 7, xung khắc; và không xung khắc xung khắc không đối lập , = biến cố gọi hệ đầy đủ có biến cố , ∈ họ xảy Nghĩa là: = VD Trộn lẫn bao lúa vào bốc hạt Gọi : “hạt lúa bốc bao thứ ”, = ∩ =∅ ∀ ≠ 2) ∪ ∪ ∪ đầy đủ Khi đó, hệ Chú ý Trong phép thử, hệ đầy đủ với tùy ý …………………………………………………………………………………… Chương Xác su t c a Bi n c §2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Quan sát biến cố phép thử, khơng thể khẳng định biến cố có xảy hay khơng người ta đốn khả xảy biến cố hay nhiều Khả xảy khách quan biến cố gọi xác suất (probability) biến cố Xác suất biến cố , ký hiệu , định nghĩa nhiều dạng sau: dạng cổ điển; dạng thống kê; dạng tiên đề Kolmogorov; dạng hình học Chương Xác su t c a Bi n c 2.1 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển ω Xét phép thử với không gian mẫu = ω biến cố ⊂ có phần tử Nếu biến cố sơ cấp có khả xảy (đồng khả năng) xác suất biến cố định nghĩa là: = VD Một công ty cần tuyển hai nhân viên Có người nữ người nam nộp đơn ngẫu nhiên (khả trúng tuyển người nhau) Tính xác suất để: 1) hai người trúng tuyển nữ; 2) có người nữ trúng tuyển Chương Xác su t c a Bi n c VD Từ hộp chứa sản phẩm tốt phế phẩm người ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để có: 1) sản phẩm tốt; 2) phế phẩm = Chương Xác su t c a Bi n c 2.2 Định nghĩa xác suất dạng thống kê • Nếu thực phép thử lần biến cố • Khi VD Tại bệnh viện có 50 người chờ kết khám bệnh Trong có 12 người chờ kết nội soi, 15 người chờ kết siêu âm, người chờ kết nội soi siêu âm Gọi tên ngẫu nhiên người 50 người này, tính xác suất gọi người chờ kết nội soi siêu âm? Xác su t - Th ng kê Đ i h c gọi tần xuất tỉ số suất biến cố lần, thấy có thay đổi, tần suất thay đổi theo dao động quanh số cố định = →∞ • Số cố định gọi xác suất biến cố theo nghĩa thống kê Trong thực tế, đủ lớn ≈ ĐH Cơng nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, November 29, 2011 Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c 2.3 Định nghĩa xác suất dạng hình học (tham khảo) VD • Pearson gieo đồng tiền cân đối, đồng chất 12.000 lần thấy có 6.019 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5016); gieo 24.000 lần thấy có 12.012 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5005) Cho miền Gọi độ đo độ dài, diện tích, thể tích (ứng với đường cong, miền phẳng, khối) Xét điểm rơi ngẫu nhiên vào miền • Laplace nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái London, Petecbua Berlin 10 năm đưa tần suất sinh bé gái 21/43 Gọi • Cramer nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái Thụy Điển năm 1935 kết có 42.591 bé gái sinh tổng số 88.273 trẻ sơ sinh, tần suất 0,4825 : “điểm Chương Xác su t c a Bi n c VD Hai người bạn hẹn gặp địa điểm xác định khoảng từ 7h đến 8h Mỗi người đến (và chắn đến) điểm hẹn cách độc lập, khơng gặp người đợi 30 phút đến khơng đợi Tìm xác suất để hai người gặp Giải Chọn mốc thời gian 7h (giờ) thời gian Gọi Bán kính hình trịn là: = ⇒ tương ứng người đến điểm hẹn, ta có: ≤ ≤ ≤ ≤ =   = π    π  = ⇒   = π = Suy hình vng có cạnh đơn vị Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c Từ điều kiện, ta có:  − ≤  − − ≤ − ≤ ⇔  ⇔   − ≥ −  − + ≥   Suy ra, miền gặp gặp hai người : ≤ ≤ ≤ ≤ − − ≤ − + ≥ Vậy = ”, ta có: Chương Xác su t c a Bi n c Giải Gọi : “điểm rơi vào hình trịn nội tiếp” Diện tích tam giác là: = ⊂ = VD Tìm xác suất điểm rơi vào hình trịn nội tiếp tam giác có cạnh cm = rơi vào miền = 2.4 Tính chất xác suất 1) Nếu biến cố tùy ý 2) ∅ = ; 3) 4) Nếu ⊂ ≤ = ≤ §3 CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1 Cơng thức cộng xác suất Xét phép thử, ta có cơng thức cộng xác suất sau • Nếu • Nếu ≤ ; = ; và hai biến cố tùy ý: ∪ = + − hai biến cố xung khắc thì: ∪ = + = • Nếu họ ( ∪ ∩ ∪ xung khắc đơi thì: ∪ ) …………………………………………………………………………… Xác su t - Th ng kê Đ i h c ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, November 29, 2011 Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c VD Một nhóm có 30 nhà đầu tư loại, có: 13 nhà đầu tư vàng; 17 nhà đầu tư chứng khoán 10 nhà đầu tư vàng lẫn chứng khoán Một đối tác gặp ngẫu nhiên nhà đầu tư nhóm Tìm xác suất để người gặp nhà đầu tư vàng chứng khoán? Chú ý Đặc biệt VD Trong vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim 9%; mắc bệnh huyết áp 12%; mắc bệnh tim huyết áp 7% Chọn ngẫu nhiên người vùng Tính xác suất để người không mắc bệnh tim không mắc bệnh huyết áp? = − = + VD Một hộp phấn có 10 viên có viên màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên phấn Tính xác suất để lấy viên phấn màu đỏ Chương Xác su t c a Bi n c Ta có: ⇒ = ⇒ = = ) VD Một nhóm 10 sinh viên gồm nam nữ có nam 18 tuổi nữ 18 tuổi Chọn ngẫu nhiên sinh viên từ nhóm Gọi : “sinh viên chọn nữ”, : “sinh viên chọn 18 tuổi” Hãy tính ? ) ( ) Xác su t - Th ng kê Đ i h c = ∩ Lúc này, biến cố: “2 người thi đỗ có = = ” là: • Bây giờ, ta xét phép thử là: , , thi tuyển vào công ty biết thêm thơng tin có người thi đỗ Khơng gian mẫu trở thành trở thành Gọi :“ thi đỗ biết có người thi đỗ” ta được: ( )= Chương Xác su t c a Bi n c ( ∪ ; 3.2.1 Định nghĩa xác suất có điều kiện Trong phép thử, xét hai biến cố với > Xác suất có điều kiện với điều kiện xảy ký hiệu định nghĩa là: ∩ = ( ∪ Chương Xác su t c a Bi n c 3.2 XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN • Xét phép thử: người , thi tuyển vào công ty Gọi : “người thi đỗ”, : “người thi đỗ”, : “người thi đỗ”, : “có người thi đỗ” Khi đó, khơng gian mẫu là: = = ∩ = Chương Xác su t c a Bi n c Nhận xét Khi tính ( ) với điều kiện hạn chế khơng gian mẫu xuống cịn ∩ Tính chất 1) ≤ 2) 3) ( ( )≤ ⊂ )= − xảy ra, nghĩa ta xuống hạn chế ,∀ ⊂ ; ( ( )≤ ( ) ); ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, November 29, 2011 Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c 3.2.2 Công thức nhân xác suất Nếu a) Sự độc lập hai biến cố Trong phép thử, hai biến cố gọi độc lập có xảy hay khơng không ảnh hưởng đến khả xảy ngược lại Chú ý Nếu độc lập với cặp biến cố: , , độc lập với b) Cơng thức nhân • Nếu hai biến cố khơng độc lập thì: ∩ = = ( ) ( • Nếu ( hai biến cố độc lập thì: ∩ = biến cố = )= ( ) ( khơng độc lập thì: ) ( − ) VD Một người có bóng đèn có bóng bị hỏng Người thử ngẫu nhiên bóng đèn (khơng hồn lại) chọn bóng tốt Tính xác suất để người thử đến lần thứ ) Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c VD Một sinh viên học hệ niên chế thi lại lần lần thi thứ bị rớt (2 lần thi độc lập) Biết xác suất để sinh viên thi đỗ lần lần tương ứng 60% 80% Tính xác suất sinh viên thi đỗ? VD Trong dịp tết, ông đem bán mai lớn mai nhỏ Xác suất bán mai lớn 0,9 Nếu bán mai lớn xác suất bán mai nhỏ 0,7 Nếu mai lớn khơng bán xác suất bán mai nhỏ 0,2 Biết ông bán mai, xác suất để ông bán hai mai là: A 0,6342; B 0,6848; C 0,4796; D 0,8791 VD Có hai người đặt lệnh (độc lập) để mua cổ phiếu công ty với xác suất mua tương ứng 0,8 0,7 Biết có người mua được, xác suất để người mua cổ phiếu là: A ; B ; C ; D Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c 3.2.3 Công thức xác suất đầy đủ Bayes a) Công thức xác suất đầy đủ Xét họ biến cố ( = ) đầy đủ biến cố phép thử, ta có: ( =∑ = = ( Chú ý Trong trắc nghiệm ta dùng sơ đồ giải nhanh sau: ) )+ + ( ) VD 10 Một cửa hàng bán hai loại bóng đèn kích cỡ gồm: 70 bóng màu trắng với tỉ lệ bóng hỏng 1% 30 bóng màu vàng với tỉ lệ hỏng 2% Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên bóng đèn từ cửa hàng Tính xác suất để người mua bóng đèn tốt ? Xác su t - Th ng kê Đ i h c VD Hai người chơi trò chơi sau: Cả hai luân phiên lấy lần viên bi từ hộp đựng bi trắng bi đen (bi lấy không trả lại hộp) Người lấy bi trắng trước thắng Giả sử lấy trước, tính xác suất thắng ? Nhánh 1: P(đèn tốt màu trắng) = 0,7.0,99 Nhánh 2: P(đèn tốt màu vàng) = 0,3.0,98 Suy ra: P(đèn tốt) = tổng xác suất nhánh = 0,987 VD 11 Chuồng thỏ có thỏ trắng thỏ đen; chuồng có thỏ trắng thỏ đen Quan sát thấy có thỏ chạy từ chuồng sang chuồng 2, sau có thỏ chạy từ chuồng Tính xác suất để thỏ chạy từ chuồng thỏ trắng ? ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, November 29, 2011 Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c b) Công thức Bayes Xét họ biến cố ( = ) đầy đủ biến cố phép thử Khi đó, xác suất để biến cố xảy sau xảy là: ( )= ( ∑ = ) ( ) = ( ) Phân bi t toán áp d ng công th c Nhân – Đ y ñ – Bayes Trong toán, ta xét bi n c 1) N u toán yêu c u tìm xác su t c a ∩ ∩ tốn cơng th c nhân Xác su t xác su t tích c a t ng nhánh 2) N u tốn u c u tìm xác su t c a đ y đ ñây toán áp d ng VD 12 Xét tiếp VD 10 Giả sử khách hàng chọn mua bóng đèn tốt Tính xác suất để người mua bóng đèn màu vàng ? cơng th c đ y ñ Xác su t b ng t ng nhánh Chương Xác su t c a Bi n c Chương Xác su t c a Bi n c 3) N u toán yêu c u tìm xác su t c a cho bi t ñã x y ra, ñ ng th i h ñ y đ tốn áp d ng công th c Bayes Xác su t t s gi a nhánh c n tìm v i t ng c a hai nhánh VD 13 Nhà máy có phân xưởng , , tương ứng sản xuất 20%, 30% 50% tổng sản phẩm nhà máy Giả sử tỉ lệ sản phẩm hỏng phân xưởng , , tương ứng sản xuất 1%, 2% 3% Chọn ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy sản xuất 1) Tính xác suất (tỉ lệ) sản phẩm hỏng ? 2) Tính xác suất sản phẩm hỏng phân xưởng sản xuất ? 3) Biết sản phẩm chọn hỏng, tính xác suất sản phẩm phân xưởng sản xuất ? VD 14 Tỉ lệ ôtô tải, ơtơ xe máy qua đường có trạm bơm dầu : : 13 Xác suất để ôtô tải, ôtô xe máy qua đường vào bơm dầu 0,1; 0,2 0,15 Biết có xe qua đường vào bơm dầu, tính xác suất để ôtô ? A ; B …………………………………………………………………………… §1 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM MẬT ĐỘ 1.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên • Xét phép thử với khơng gian mẫu Giả sử, ứng với biến cố sơ cấp ω ∈ , ta liên kết với số thực ω ∈ ℝ , gọi biến ngẫu nhiên Tổng quát, biến ngẫu nhiên (BNN) phép thử với không gian mẫu ánh xạ →ℝ ω֏ ω = Giá trị gọi giá trị biến ngẫu nhiên Xác su t - Th ng kê Đ i h c C ; D ……………………………………………………………………………………… Chương Bi n ng u nhiên §1 Biến ngẫu nhiên hàm mật độ §2 Hàm phân phối xác suất §3 Tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên ; Chương Bi n ng u nhiên VD Người mua loại bảo hiểm tai nạn năm với phí 70 ngàn đồng Nếu bị tai nạn cơng ty chi trả triệu đồng Gọi số tiền người có sau năm mua bảo hiểm Khi đó, ta có Phép thử là: “mua bảo hiểm tai nạn” Biến cố : “người bị tai nạn” Không gian mẫu = Vậy = (triệu), =− (triệu) • Nếu tập hữu hạn hay vô hạn đếm gọi biến ngẫu nhiên rời rạc Để cho gọn, ta viết = ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, November 29, 2011 Chương Bi n ng u nhiên Chương Bi n ng u nhiên • Nếu khoảng ℝ (hay ℝ ) gọi biến ngẫu nhiên liên tục Chú ý Trong thực nghiệm, biến ngẫu nhiên thường rời rạc Khi biến ngẫu nhiên rời rạc có giá trị đủ nhiều khoảng ℝ , ta xem biến ngẫu nhiên liên tục Thực chất là, biến ngẫu nhiên liên tục dùng làm xấp xỉ cho biến ngẫu nhiên rời rạc tập giá trị biến ngẫu nhiên rời rạc đủ lớn =ϕ gọi hàm • Cho biến ngẫu nhiên hàm số Khi đó, biến ngẫu nhiên = ϕ biến ngẫu nhiên 1.2 Hàm mật độ a) Biến ngẫu nhiên rời rạc Ta định nghĩa • Bảng phân phối xác suất X … … … ∑ = < = ≤ = ∑ = ≠ ∀ Chương Bi n ng u nhiên VD Một xạ thủ có viên đạn, bắn viên vào mục tiêu cách độc lập Xác suất trúng mục tiêu lần bắn 0,8 Biết rằng, có viên trúng mục tiêu hết đạn dừng Gọi số viên đạn xạ thủ bắn, lập bảng phân phối xác suất ? = ∉ Nếu … • Hàm mật độ X  =    Chương Bi n ng u nhiên Chú ý ≥ ; → ℝ, = < < với xác suất tương ứng ≡ = = = Cho BNN rời rạc Giả sử < < ω ω = = < ≤ VD Cho BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất: –1 3a a 0,1 2a 0,3 1) Tìm tính − < ≤ 2) Lập bảng phân phối xác suất hàm = VD Một hộp có viên phấn trắng viên phấn đỏ Một người lấy ngẫu nhiên lần viên (khơng trả lại) từ hộp lấy viên phấn đỏ Gọi số lần người lấy phấn Hãy lập bảng phân phối xác suất hàm mật độ ? Chương Bi n ng u nhiên Chương Bi n ng u nhiên +ε b) Biến ngẫu nhiên liên tục ℝ → ℝ gọi hàm mật độ biến Hàm số ngẫu nhiên liên tục nếu: ≤ Chú ý ≤ Vậy =∫ ∀ ∈ℝ hàm mật độ biến ngẫu nhiên liên tục +∞ ≥ ∀ ∈ ℝ ∫ = −∞ Nhận xét Khi liên tục lân cận điểm , ta có: +ε −ε ≤ ≤ +ε = ∫ −ε Xác su t - Th ng kê Đ i h c ⇒ = ≤ < = ε→ ∫ = −ε = < ≤ = < < Ý nghĩa hình học, xác suất biến ngẫu nhiên nhận giá trị diện tích hình thang cong giới hạn = = = ≤ = ≤ ∫ =∫ ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, November 29, 2011 Chương Bi n ng u nhiên  =   biến ngẫu nhiên ∈ VD Chứng tỏ Chương Bi n ng u nhiên hàm mật độ ∉ ≤ tính < ? Nhận xét Nếu biến ngẫu nhiên xác suất = = VD Cho biến ngẫu nhiên có hàm mật độ:  <  Tính − < < ? =   ≥  thì: < < = Ta có hàm phân phối là:      + =     + + + −   = = ≤ < ≤ < ≤ − < < ≤ Chương Bi n ng u nhiên Quy ước Nếu BNN liên tục miền xác định lấy theo hàm mật độ có hàm mật độ ϕ ∈ =   ∉  Ta có hàm phân phối là:  <   = ∫ ϕ ≤ ≤   <  • Giả sử BNN liên tục Xác su t - Th ng kê Đ i h c ∫ Chương Bi n ng u nhiên nhận giá trị , = liên tục với hàm mật độ −∞ Chương Bi n ng u nhiên < rời rạc với phân phối =∑ thì: < Nếu biến ngẫu nhiên Nhận xét • Giả sử BNN rời rạc §2 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.1 Định nghĩa Hàm phân phối xác suất (hay hàm phân phối tích lũy) BNN , ký hiệu , xác suất để nhận giá trị nhỏ với ∈ ℝ = < ∀ ∈ ℝ Nghĩa là: Chứng minh Với ≤ : = < = < ≤ : Với = < = Với < ≤ : = < = = = + Với > : = ≤ = = = + = + + + < = φ = < = = < = = + ≤ = + = ■ + = = Chương Bi n ng u nhiên • Giả sử BNN liên tục có hàm mật độ  < = ϕ ≥  Ta có hàm phân phối   =  ∫ ϕ   là: < ≥ ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, November 29, 2011 Chương Bi n ng u nhiên • Giả sử BNN liên tục Chương Bi n ng u nhiên VD Cho BNN có hàm mật độ ϕ ≤ =   >  Ta có hàm phân phối có bảng phân phối xác suất là: − vẽ đồ thị Hãy lập hàm phân phối Đồ thị : ? F ( x) là:   ∫ ϕ = −∞    ≤ 0, > 0, 0,1 • −2 Chương Bi n ng u nhiên • • • O x Chương Bi n ng u nhiên có hàm mật độ là:  ∈ / =   ∈  Tìm hàm phân phối vẽ đồ thị Đồ thị : VD Cho BNN có hàm mật độ là:  <  =   ≥  Tìm hàm phân phối VD Cho BNN ? ? 2.2 Tính chất hàm phân phối xác suất 1) Hàm xác định với ∈ ℝ +∞ = 2) ≤ ≤ ∀ ∈ ℝ ; −∞ = không giảm liên tục trái ∈ ℝ Đặc biệt, với liên tục liên tục ∀ ∈ ℝ 4) ≤ < = − 3) Chương Bi n ng u nhiên Chương Bi n ng u nhiên Đặc biệt • Nếu • Nếu • Nếu có hàm mật độ   ∈ − =   ∈ / −  Hàm phân phối xác suất là: VD Cho BNN BNN rời rạc thì: = − + BNN liên tục thì: ≤ ≤ = ≤ < = < < ∀ = = BNN liên tục có hàm mật độ ′ = VD Tính xác suất ≥ Xác su t - Th ng kê Đ i h c < − ≤ thì: VD 3? A    =   