Thuvienmienphi com bai tap trac nghiem c

BÀI TẬP XÁC XUẤT THỐNG KÊ, TRẮC NGHIỆM XÁC XUẤT THỐNG KÊ CÓ ĐÁP ÁN,BÀI TẬP XÁC XUẤT THỐNG KÊ, TRẮC NGHIỆM XÁC XUẤT THỐNG KÊ CÓ ĐÁP ÁN,BÀI TẬP XÁC XUẤT THỐNG KÊ, TRẮC NGHIỆM XÁC XUẤT THỐNG KÊ CÓ ĐÁP ÁN,BÀI TẬP XÁC XUẤT THỐNG KÊ, TRẮC NGHIỆM XÁC XUẤT THỐNG KÊ CÓ ĐÁP ÁN,BÀI TẬP XÁC XUẤT THỐNG KÊ, TRẮC NGHIỆM XÁC XUẤT THỐNG KÊ CÓ ĐÁP ÁN,

ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com XÁC SUẤT & THỐNG KÊ ĐẠI HỌC PHÂN PHỐ PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiế tiết: 30 - PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương Xác suất Biến cố Chương Biến ngẫu nhiên Chương Phân phối Xác suất thông dụng Chương Vector ngẫu nhiên Chương Định lý giới hạn Xác suất Đào Hữu Hồ – Xác suất Thống kê – NXB Khoa học & Kỹ thuật Đậu Thế Cấp – Xác suất Thống kê – Lý thuyết tập – NXB Giáo dục Phạm Xuân Kiều – Giáo trình Xác suất Thống kê – NXB Giáo dục Nguyễn Cao Văn – Giáo trình Lý thuyết Xác suất & Thống kê – NXB Ktế Quốc dân F.M Dekking – A modern introduction to Probability and Statistics – Springer Publication (2005) Biên soạ soạn: ThS ThS Đoà Đoàn Vương Nguyên Download Slide giả giảng XSTK_ XSTK_ĐH dvntailieu.wordpress.com Chương Xác suấ suất Biế Biến cố • Những tượng mà thực điều kiện cho kết gọi tượng tất nhiên Chẳng hạn, đun nước điều kiện bình thường đến 1000C nước bốc hơi; người nhảy khỏi máy bay bay người rơi xuống tất nhiên • Những tượng mà cho dù thực điều kiện cho kết khác gọi tượng ngẫu nhiên Chẳng hạn, gieo hạt lúa điều kiện bình thường hạt lúa nảy mầm khơng nảy mầm Hiện tượng ngẫu nhiên đối tượng khảo sát lý thuyết xác suất Xác suất - Thống kê Đại học Tuesday, November 29, 2011 PHẦN II LÝ THUYẾT THỐNG KÊ (Statistical theory) Chương Mẫu thống kê Ước lượng tham số Chương Kiểm định Giả thuyết Thống kê Chương Bài toán Tương quan Hồi quy Tài liệu tham khảo Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Thống kê Đinh Ngọc Thanh – Giáo trình Xác suất Thống kê – ĐH Tôn Đức Thắng Tp.HCM Đặng Hùng Thắng – Bài tập Xác suất; Thống kê – NXB Giáo dục Lê Sĩ Đồng – Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Giáo dục PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ §1 Biến cố ngẫu nhiên §2 Xác suất biến cố §3 Cơng thức tính xác suất ………………………………………………………………………… §1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1.1 Hiện tượng ngẫu nhiên Người ta chia tượng xảy đời sống hàng thành hai loại: tất nhiên ngẫu nhiên Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 1.2 Phép thử biến cố • Để quan sát tượng ngẫu nhiên, người ta cho tượng xuất nhiều lần Việc thực quan sát tượng ngẫu nhiên đó, để xem tượng có xảy hay khơng gọi phép thử (test) • Khi thực phép thử, ta khơng thể dự đốn kết xảy Tuy nhiên, ta liệt kê tất kết xảy Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi khơng gian mẫu phép thử Ký hiệu Ω ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Mỗi phần tử ω ∈ Ω gọi biến cố sơ cấp Mỗi tập A ⊂ Ω gọi biến cố (events) VD Xét sinh viên thi hết mơn XSTK, hành động sinh viên phép thử Tập hợp tất điểm số: Ω = {0; 0, 5; 1; 1, 5; ; 9, 5; 10} mà sinh viên đạt khơng gian mẫu Các phần tử: ω1 = ∈ Ω , ω2 = 0, ∈ Ω,…, ω21 = 10 ∈ Ω biến cố sơ cấp Các tập Ω : Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 1.3 Quan hệ biến cố a) Quan hệ tương đương Trong phép thử, biến cố A gọi kéo theo biến cố B A xảy B xảy Ký hiệu A ⊂ B Hai biến cố A B gọi tương đương với A ⊂ B B ⊂ A Ký hiệu A = B VD Quan sát gà mái đẻ trứng ngày Gọi Ai : “có i gà mái đẻ trứng ngày”, i = 0, A: “có gà mái đẻ trứng ngày” B : “có nhiều gà mái đẻ trứng ngày” Khi đó, ta có: A3 ⊂ B , A2 ⊄ B , B ⊂ A A = B Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Khi đó, ta có: A = A1 ∪ A2 B = A1 ∩ A2 VD Xét phép thử gieo hai hạt lúa Gọi N i : “hạt lúa thứ i nảy mầm”; K i : “hạt lúa thứ i không nảy mầm” (i = 1, 2); A : “có hạt lúa nảy mầm” Khi đó, khơng gian mẫu phép thử là: Ω = {K1K ; N 1K ; K1N ; N 1N } Các biến cố tích sau biến cố sơ cấp: ω1 = K1K 2, ω2 = N 1K 2, ω3 = K1N , ω4 = N 1N Biến cố A khơng phải sơ cấp A = N 1K ∪ K1N Xác suất - Thống kê Đại học Tuesday, November 29, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố A = {4; 4, 5; ; 10} , B = {0; 0, 5; ; 3, 5} ,… biến cố Các biến cố A, B phát biểu lại là: A : “sinh viên thi đạt môn XSTK”; B : “sinh viên thi hỏng môn XSTK” • Trong phép thử, biến cố mà chắn xảy gọi biến cố chắn Ký hiệu Ω Biến cố xảy gọi biến cố rỗng Ký hiệu ∅ VD Từ nhóm có nam nữ, ta chọn ngẫu nhiên người Khi đó, biến cố “chọn nam” chắn; biến cố “chọn người nữ” rỗng Chương Xác suấ suất Biế Biến cố b) Tổng tích hai biến cố • Tổng hai biến cố A B biến cố, biến cố xảy A xảy hay B xảy phép thử (ít hai biến cố xảy ra) Ký hiệu A ∪ B hay A + B • Tích hai biến cố A B biến cố, biến cố xảy A B xảy phép thử Ký hiệu A ∩ B hay AB VD Một người thợ săn bắn hai viên đạn vào thú thú chết bị trúng hai viên đạn Gọi Ai : “viên đạn thứ i trúng thú” (i = 1, 2); A : “con thú bị trúng đạn”; B : “con thú bị chết” Chương Xác suấ suất Biế Biến cố c) Biến cố đối lập Trong phép thử, biến cố A gọi biến cố đối lập (hay biến cố bù) biến cố A A xảy A khơng xảy ngược lại, A khơng xảy A xảy Vậy ta có: A = Ω \ A VD Từ lơ hàng chứa 12 phẩm phế phẩm, người ta chọn ngẫu nhiên 15 sản phẩm Gọi Ai : “chọn i phẩm”, i = 9,10,11,12 Ta có khơng gian mẫu là: Ω = A9 ∪ A10 ∪ A11 ∪ A12 , A10 = Ω \ A10 = A9 ∪ A11 ∪ A12 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, November 29, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 1.4 Hệ đầy đủ biến cố a) Hai biến cố xung khắc Hai biến cố A B gọi xung khắc với phép thử A B không xảy b) Hệ đầy đủ biến cố Trong phép thử, họ gồm n biến cố {Ai } , i = 1, n VD Hai sinh viên A B thi môn XSTK Gọi A : “sinh viên A thi đỗ”; B : “chỉ có sinh viên B thi đỗ”; C : “chỉ có sinh viên thi đỗ” 1) Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i ≠ j 2) A1 ∪ A2 ∪ ∪ An = Ω gọi hệ đầy đủ có biến cố Ai , i0 ∈ {1; 2; ; n } họ xảy Nghĩa là: Khi đó, A B xung khắc; B C không xung khắc Chú ý Trong VD 7, A B xung khắc không đối lập VD Trộn lẫn bao lúa vào bốc hạt Gọi Ai : “hạt lúa bốc bao thứ i ”, i = 1, Khi đó, hệ {A1; A2 ; A3 ; A4 } đầy đủ Chú ý Trong phép thử, hệ {A; A} đầy đủ với A tùy ý …………………………………………………………………………………… Chương Xác suấ suất Biế Biến cố §2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Quan sát biến cố phép thử, khơng thể khẳng định biến cố có xảy hay khơng người ta đốn khả xảy biến cố hay nhiều Khả xảy khách quan biến cố gọi xác suất (probability) biến cố Xác suất biến cố A, ký hiệu P (A), định nghĩa nhiều dạng sau: dạng cổ điển; dạng thống kê; dạng tiên đề Kolmogorov; dạng hình học Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD Từ hộp chứa sản phẩm tốt phế phẩm người ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để có: 1) sản phẩm tốt; 2) phế phẩm VD Tại bệnh viện có 50 người chờ kết khám bệnh Trong có 12 người chờ kết nội soi, 15 người chờ kết siêu âm, người chờ kết nội soi siêu âm Gọi tên ngẫu nhiên người 50 người này, tính xác suất gọi người chờ kết nội soi siêu âm? Xác suất - Thống kê Đại học Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 2.1 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển Xét phép thử với không gian mẫu Ω = {ω1; ; ωn } biến cố A ⊂ Ω có k phần tử Nếu n biến cố sơ cấp có khả xảy (đồng khả năng) xác suất biến cố A định nghĩa là: P (A) = Số trường hợp A xảy k = Số trường hợp xảy n VD Một cơng ty cần tuyển hai nhân viên Có người nữ người nam nộp đơn ngẫu nhiên (khả trúng tuyển người nhau) Tính xác suất để: 1) hai người trúng tuyển nữ; 2) có người nữ trúng tuyển Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 2.2 Định nghĩa xác suất dạng thống kê • Nếu thực phép thử n lần, thấy có k k lần biến cố A xuất tỉ số gọi tần n suất biến cố A • Khi n thay đổi, tần suất thay đổi theo k dao động quanh số cố định p = lim n →∞ n • Số p cố định gọi xác suất biến cố A theo nghĩa thống kê k Trong thực tế, n đủ lớn P (A) ≈ n ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD • Pearson gieo đồng tiền cân đối, đồng chất 12.000 lần thấy có 6.019 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5016); gieo 24.000 lần thấy có 12.012 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5005) • Laplace nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái London, Petecbua Berlin 10 năm đưa tần suất sinh bé gái 21/43 • Cramer nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái Thụy Điển năm 1935 kết có 42.591 bé gái sinh tổng số 88.273 trẻ sơ sinh, tần suất 0,4825 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD Tìm xác suất điểm M rơi vào hình trịn nội tiếp tam giác có cạnh cm Giải Gọi A: “điểm M rơi vào hình trịn nội tiếp” Diện tích tam giác là: 22 dt(Ω) = = cm Bán kính hình trịn là: 3 r= = cm 3  2 π π   ⇒ dt(S ) = π   = ⇒ P (A) = = 0, 6046   3 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Từ điều kiện, ta có: x − y ≤ 0, x − y − 0, ≤ x − y ≤ 0, ⇔  ⇔  x − y ≥ −0, x − y + 0, ≥   Suy ra, miền gặp gặp hai người S : {0 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 1, x − y − 0, ≤ 0, x − y + 0, ≥ 0} dt (S ) Vậy p = = = 75% dt(Ω) 2.4 Tính chất xác suất 1) Nếu A biến cố tùy ý ≤ P(A) ≤ ; 3) P(Ω) = 1; 2) P(∅) = ; 4) Nếu A ⊂ B P(A) ≤ P(B ) Tuesday, November 29, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 2.3 Định nghĩa xác suất dạng hình học (tham khảo) Cho miền Ω Gọi độ đo Ω độ dài, diện tích, thể tích (ứng với Ω đường cong, miền phẳng, khối) Xét điểm M rơi ngẫu nhiên vào miền Ω Gọi A: “điểm M rơi vào miền S ⊂ Ω ”, ta có: P (A) = ñoä ño S ñoä ño Ω Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD Hai người bạn hẹn gặp địa điểm xác định khoảng từ 7h đến 8h Mỗi người đến (và chắn đến) điểm hẹn cách độc lập, khơng gặp người đợi 30 phút đến khơng đợi Tìm xác suất để hai người gặp Giải Chọn mốc thời gian 7h Gọi x, y (giờ) thời gian tương ứng người đến điểm hẹn, ta có: ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ Suy Ω hình vng có cạnh đơn vị Chương Xác suấ suất Biế Biến cố §3 CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1 Cơng thức cộng xác suất Xét phép thử, ta có cơng thức cộng xác suất sau • Nếu A B hai biến cố tùy ý: P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ) • Nếu A B hai biến cố xung khắc thì: P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) • Nếu họ {Ai } (i = 1, , n ) xung khắc đơi thì: P (A1 ∪ A2 ∪ ∪ An ) =P (A1 )+P (A2 )+ +P (An ) …………………………………………………………………………… Xác suất - Thống kê Đại học ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, November 29, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD Một nhóm có 30 nhà đầu tư loại, có: 13 nhà đầu tư vàng; 17 nhà đầu tư chứng khoán 10 nhà đầu tư vàng lẫn chứng khoán Một đối tác gặp ngẫu nhiên nhà đầu tư nhóm Tìm xác suất để người gặp nhà đầu tư vàng chứng khốn? Chú ý Đặc biệt VD Trong vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim 9%; mắc bệnh huyết áp 12%; mắc bệnh tim huyết áp 7% Chọn ngẫu nhiên người vùng Tính xác suất để người khơng mắc bệnh tim không mắc bệnh huyết áp? P (A) = − P (A); P (A) = P (A.B ) + P (A.B ) VD Một hộp phấn có 10 viên có viên màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên phấn Tính xác suất để lấy viên phấn màu đỏ A ∩ B = A ∪ B; A ∪ B = A ∩ B Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 3.2 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN • Xét phép thử: người A , B C thi tuyển vào công ty Gọi A : “người A thi đỗ”, B : “người B thi đỗ”, C : “người C thi đỗ”, H : “có người thi đỗ” Khi đó, khơng gian mẫu Ω là: {ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC } Ta có: A = {ABC , ABC , ABC , ABC } ⇒ P (A) = ; H = {ABC , ABC , ABC } ⇒ P (H ) = Lúc này, biến cố: “2 người thi đỗ có A ” là: AH = {ABC , ABC } P (AH ) = • Bây giờ, ta xét phép thử là: A , B , C thi tuyển vào công ty biết thêm thơng tin có người thi đỗ Khơng gian mẫu trở thành H A trở thành AH Gọi A H : “A thi đỗ biết có người thi đỗ” ta ( ) được: P A H = Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 3.2.1 Định nghĩa xác suất có điều kiện Trong phép thử, xét hai biến cố A B với P (B ) > Xác suất có điều kiện A với điều kiện B xảy ký hiệu định nghĩa là: P (A ∩ B ) P AB = P (B ) ( ) VD Một nhóm 10 sinh viên gồm nam nữ có nam 18 tuổi nữ 18 tuổi Chọn ngẫu nhiên sinh viên từ nhóm Gọi A : “sinh viên chọn nữ”, B : “sinh viên chọn 18 tuổi” Hãy tính P A B , P B A ? ( ) ( ) Xác suất - Thống kê Đại học P (AH ) = P (H ) Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Nhận xét Khi tính P A B với điều kiện B xảy ra, nghĩa ta ( ) hạn chế không gian mẫu Ω xuống B hạn chế A xuống cịn A ∩ B Tính chất 1) ≤ P A B ≤ 1, ∀A ⊂ Ω ; ( ) ( ) 3) P (A B ) = − P (A B ) ( ) 2) A ⊂ C P A B ≤ P C B ; ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, November 29, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Nếu A B hai biến cố độc lập thì: P (A ∩ B ) = P (A).P (B ) 3.2.2 Công thức nhân xác suất a) Sự độc lập hai biến cố Trong phép thử, hai biến cố A B gọi độc lập B có xảy hay khơng khơng ảnh hưởng đến khả xảy A ngược lại Chú ý Nếu A B độc lập với cặp biến cố: A B , A B , A B độc lập với b) Cơng thức nhân • Nếu A B hai biến cố khơng độc lập thì: P (A ∩ B ) = P (B )P A B = P (A)P B A ( ) ( ) Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD Có hai người A B đặt lệnh (độc lập) để mua cổ phiếu công ty với xác suất mua tương ứng 0,8 0,7 Biết có người mua được, xác suất để người A mua cổ phiếu là: 19 12 40 10 A ; B ; C ; D 47 19 47 19 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố i =1 ( ( ) ) ( ) = P (A1 )P B A1 + + P (An )P B An VD 10 Một cửa hàng bán hai loại bóng đèn kích cỡ gồm: 70 bóng màu trắng với tỉ lệ bóng hỏng 1% 30 bóng màu vàng với tỉ lệ hỏng 2% Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên bóng đèn từ cửa hàng Tính xác suất để người mua bóng đèn tốt ? Xác suất - Thống kê Đại học ) ( ) VD Một người có bóng đèn có bóng bị hỏng Người thử ngẫu nhiên bóng đèn (khơng hồn lại) chọn bóng tốt Tính xác suất để người thử đến lần thứ VD Trong dịp tết, ông A đem bán mai lớn mai nhỏ Xác suất bán mai lớn 0,9 Nếu bán mai lớn xác suất bán mai nhỏ 0,7 Nếu mai lớn khơng bán xác suất bán mai nhỏ 0,2 Biết ơng A bán mai, xác suất để ông A bán hai mai là: A 0,6342; B 0,6848; C 0,4796; D 0,8791 VD Hai người A B chơi trò chơi sau: Cả hai luân phiên lấy lần viên bi từ hộp đựng bi trắng bi đen (bi lấy không trả lại hộp) Người lấy bi trắng trước thắng Giả sử A lấy trước, tính xác suất A thắng ? Chương Xác suấ suất Biế Biến cố 3.2.3 Công thức xác suất đầy đủ Bayes a) Công thức xác suất đầy đủ Xét họ n biến cố {Ai } (i = 1,2, , n ) đầy đủ B biến cố phép thử, ta có: P (B ) = ∑ P (Ai )P B Ai ( P (A1A2 An ) = P (A1 ) P A2 A1 P An A1 An −1 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố VD Một sinh viên học hệ niên chế thi lại lần lần thi thứ bị rớt (2 lần thi độc lập) Biết xác suất để sinh viên thi đỗ lần lần tương ứng 60% 80% Tính xác suất sinh viên thi đỗ? n • Nếu n biến cố Ai , i = 1, , n khơng độc lập thì: Chú ý Trong trắc nghiệm ta dùng sơ đồ giải nhanh sau: Nhánh 1: P(đèn tốt màu trắng) = 0,7.0,99 Nhánh 2: P(đèn tốt màu vàng) = 0,3.0,98 Suy ra: P(đèn tốt) = tổng xác suất nhánh = 0,987 VD 11 Chuồng thỏ có thỏ trắng thỏ đen; chuồng có thỏ trắng thỏ đen Quan sát thấy có thỏ chạy từ chuồng sang chuồng 2, sau có thỏ chạy từ chuồng Tính xác suất để thỏ chạy từ chuồng thỏ trắng ? ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, November 29, 2011 Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Chương Xác suấ suất Biế Biến cố b) Công thức Bayes Xét họ n biến cố {Ai } (i = 1,2, , n ) đầy đủ B biến cố phép thử Khi đó, xác suất để biến cố Ai xảy sau B xảy là: ( ) P Ai B = ( P (Ai )P B Ai ) n ∑ P(Ai )P (B Ai ) = ( P (Ai )P B Ai P (B ) ) i =1 VD 12 Xét tiếp VD 10 Giả sử khách hàng chọn mua bóng đèn tốt Tính xác suất để người mua bóng đèn màu vàng ? Chương Xác suấ suất Biế Biến cố Phân biệt toán áp dụng cơng thức Nhân – Đầy đủ – Bayes A1, A2 , B 1) Nếu tốn u cầu tìm xác suất A1 ∩ B, A2 ∩ B tốn cơng thức nhân Trong tốn, ta xét biến cố Xác suất xác suất tích nhánh 2) Nếu tốn u cầu tìm xác suất B {A1, A2 } đầy đủ tốn áp dụng cơng thức ñầy ñủ Xác suất tổng nhánh Chương Xác suấ suất Biế Biến cố A1, A2 cho biết B ñã xảy ra, ñồng thời hệ {A1, A2 } 3) Biết sản phẩm chọn hỏng, tính xác suất sản phẩm phân xưởng A sản xuất ? đầy đủ tốn áp dụng cơng thức Bayes Xác suất tỉ số nhánh cần tìm với tổng hai nhánh VD 14 Tỉ lệ ôtô tải, ôtô xe máy qua đường X có trạm bơm dầu : : 13 Xác suất để ôtô tải, ôtô xe máy qua đường vào bơm dầu 0,1; 0,2 0,15 Biết có xe qua đường X vào bơm dầu, tính xác suất để ơtơ ? 11 10 ; B ; C ; D A 57 57 57 57 3) Nếu tốn u cầu tìm xác suất VD 13 Nhà máy X có phân xưởng A, B , C tương ứng sản xuất 20%, 30% 50% tổng sản phẩm nhà máy Giả sử tỉ lệ sản phẩm hỏng phân xưởng A, B , C tương ứng sản xuất 1%, 2% 3% Chọn ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy X sản xuất 1) Tính xác suất (tỉ lệ) sản phẩm hỏng ? 2) Tính xác suất sản phẩm hỏng phân xưởng A sản xuất ? Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên §1 Biến ngẫu nhiên hàm mật độ §2 Hàm phân phối xác suất §3 Tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên …………………………………………………………………………… §1 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM MẬT ĐỘ 1.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên • Xét phép thử với không gian mẫu Ω Giả sử, ứng với biến cố sơ cấp ω ∈ Ω , ta liên kết với số thực X (ω) ∈ ℝ , X gọi biến ngẫu nhiên Tổng quát, biến ngẫu nhiên (BNN) X phép thử với không gian mẫu Ω ánh xạ X :Ω→ ℝ ω ֏ X (ω) = x Giá trị x gọi giá trị biến ngẫu nhiên X Xác suất - Thống kê Đại học ……………………………………………………………………………………… Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên VD Người A mua loại bảo hiểm tai nạn năm với phí 70 ngàn đồng Nếu bị tai nạn cơng ty chi trả triệu đồng Gọi X số tiền người A có sau năm mua bảo hiểm Khi đó, ta có Phép thử là: “mua bảo hiểm tai nạn” Biến cố T : “người A bị tai nạn” Không gian mẫu Ω = {T , T } Vậy X (T ) = 2, 93 (triệu), X (T ) = −0, 07 (triệu) • Nếu X (Ω) tập hữu hạn {x 1, x 2, , x n } hay vô hạn đếm X gọi biến ngẫu nhiên rời rạc Để cho gọn, ta viết X = {x1, x , , x n , } ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Tuesday, November 29, 2011 Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên • Nếu X (Ω) khoảng ℝ (hay ℝ ) X gọi biến ngẫu nhiên liên tục Chú ý Trong thực nghiệm, biến ngẫu nhiên thường rời rạc Khi biến ngẫu nhiên rời rạc X có giá trị đủ nhiều khoảng ℝ , ta xem X biến ngẫu nhiên liên tục Thực chất là, biến ngẫu nhiên liên tục dùng làm xấp xỉ cho biến ngẫu nhiên rời rạc tập giá trị biến ngẫu nhiên rời rạc đủ lớn • Cho biến ngẫu nhiên X hàm số y = ϕ(x ) Khi đó, biến ngẫu nhiên Y = ϕ(X ) gọi hàm biến ngẫu nhiên X Chương Biế Biến ngẫ ngẫu nhiên Chú ý pi ≥ ; ∑ pi = 1, i = 1, 2, Nếu x ∉ {x 1, x , , x n , } P (X = x ) = P (a < X ≤ b ) = ∑ a 1,05kg loại (giả sử có phân phối chuẩn) Với độ tin cậy 98%, ước lượng trọng lượng sản phẩm loại c) Nếu muốn đảm bảo độ tin cậy ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại 80% độ xác nhỏ 3% cần phải cân tối thiểu sản phẩm? d) Giả sử kho có để lẫn 1000 sản phẩm xí nghiệp B Lấy ngẫu nhiên từ kho 100 sản phẩm thấy có sản phẩm xí nghiệp B Hãy ước lượng số lượng sản phẩm xí nghiệp A có kho với độ tin cậy 90%? Câu Chỉ tiêu chất lượng X (gram) loại sản phẩm biến ngẫu nhiên Kiểm tra ngẫu nhiên số sản phẩm loại này, có kết quả: 240; 200; 260; 220; 200; 280; 260; 260; 240; 260; 280; 240; 260; 220; 240; 240; 240; 260; 240; 220; Trang 56 Tiểu luận Xác suất – Thống kê Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên 280; 260; 280; 260; 280; 280; 240; 260; 240; 220; 280; 260; 260; 220; 260; 260; 260; 260; 240; 240; 220; 260; 240; 220; 240; 240; 240; 200; 240; 260 a) Các sản phẩm có tiêu X < 240gr sản phẩm loại (giả sử có phân phối chuẩn) Có tài liệu nói trung bình tiêu X sản phẩm loại 220gr, với mức ý nghĩa 2% có nhận xét tài liệu này? b) Cho biết tiêu Y sản phẩm thỏa Y = 0,4X + 0,35 Với độ tin cậy 97%, ước lượng trung bình tiêu Y? Câu 5* Kiểm tra ngẫu nhiên số sản phẩm xí nghiệp A chiều dài X (cm) hàm lượng chất Y (đơn vị tính %), có kết quả: Y 10 12 14 16 X 100 5 110 120 130 140 a) Giá 1m sản phẩm 30 ngàn đồng Với độ tin cậy 98%, ước lượng giá trung bình sản phẩm xí nghiệp A? b) Các sản phẩm có X ≤ 110cm Y ≤ 12% loại (giả sử có phân phối chuẩn) Nếu cho sản phẩm loại có tiêu Y trung bình 10% với α = 5% chấp nhận khơng? c) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại với độ xác nhỏ 3% với tin cậy 95% cần phải kiểm tra tối thiểu sản phẩm? Câu Kiểm tra ngẫu nhiên số gạo bán hàng ngày cửa hàng, có kết quả: Số gạo bán (kg) 120 130 150 160 180 190 210 220 Số ngày bán 12 25 30 20 13 a) Chủ cửa hàng cho trung bình ngày bán khơng q 150kg gạo tốt nghỉ bán Từ số liệu trên, với mức ý nghĩa 5% cửa hàng nên định nào? b) Những ngày bán 200kg ngày “cao điểm” Hãy ước lượng tỉ lệ ngày cao điểm với độ tin cậy 99%? c) Để ước lượng tỉ lệ ngày cao điểm với độ xác nhỏ 5% độ tin cậy tối đa bao nhiêu? d) Giả thiết số gạo bán ngày có phân phối chuẩn giá gạo trung bình 8000đ/kg Với độ tin cậy 99%, ước lượng trung bình số tiền bán gạo cửa hàng ngày cao điểm? Câu Kiểm tra ngẫu nhiên số kẹo X(kg) bán hàng ngày siêu thị, có kết quả: X(kg) – 50 50–100 100–150 150–200 200–250 250–300 300–350 Số ngày 23 27 30 25 20 a) Bằng cách thay đổi mẫu bao bì giấy gói kẹo, người ta thấy số kẹo bán trung bình ngày siêu thị 200kg Với mức ý nghĩa 5%, cho nhận xét thay đổi này? b) Để ước lượng số kẹo trung bình bán ngày siêu thị với độ xác nhỏ 10kg độ tin cậy 97% cần kiểm tra tối thiểu ngày? c) Những ngày bán 250kg ngày “cao điểm” Hãy ước lượng tỉ lệ ngày cao điểm với độ tin cậy 88%? d) Giả thiết số kẹo bán ngày có phân phối chuẩn giá kẹo trung bình 56000đ/kg Với độ tin cậy 99%, ước lượng trung bình số tiền bán kẹo siêu thị ngày cao điểm? Câu Theo dõi phát triển chiều cao X(dm) bạch đàn trồng đất phèn sau năm tuổi, có kết quả: X(dm) 25 – 30 30 – 35 35 – 40 40 – 45 45 – 50 50 – 55 55 – 60 Số 20 25 30 30 23 14 a) Biết chiều cao trung bình bạch đàn sau năm tuổi đất khơng có phèn 4,5m Với mức ý nghĩa 5%, có cần tiến hành kháng phèn cho bạch đàn khơng? b) Để có ước lượng chiều cao bạch đàn với độ xác nhỏ 2dm đảm bảo độ tin cậy tối đa bao nhiêu? c) Những bạch đàn thấp 3,5m chậm lớn Hãy ước lượng chiều cao trung bình bạch đàn chậm lớn (giả sử có phân phối chuẩn) với độ tin cậy 98%? Câu 9* Để nghiên cứu phát triển loại làm giấy, người ta tiến hành đo ngẫu nhiên đường kính X(cm) chiều cao Y(m) số bảng số liệu: Trang 57 Tiểu luận Xác suất – Thống kê Đại học ThS Đoàn Vương Nguyên Y X 20 22 10 24 14 10 26 16 28 13 a) Những cao 6m trở lên loại Ước lượng tỉ lệ loại với độ tin cậy 99% b) Ước lượng trung bình đường kính (giả sử có phân phối chuẩn) loại với độ tin cậy 98% c) Trước đây, chiều cao trung bình loại 5,1m Số liệu lấy áp dụng kỹ thuật chăm sóc Với mức ý nghĩa 5%, cho nhận xét tác dụng kỹ thuật này? Câu 10* Sản phẩm A có hai tiêu chất lượng X(%) Y(kg/mm2) Kiểm tra ngẫu nhiên số sản phẩm A, kết cho bảng sau: X – 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 Y 115 – 125 125 – 135 12 10 135 – 145 20 15 145 – 155 19 16 155 – 165 a) Giả sử trung bình tiêu chuẩn tiêu Y 120kg/mm2, cho nhận xét sản phẩm A với α = 5% ? b) Sản phẩm có tiêu X từ 15% trở lên loại (giả sử có phân phối chuẩn) Ước lượng tỉ lệ tiêu X sản phẩm loại với độ tin cậy 99%? c) Để có ước lượng trung bình tiêu Y với độ xác 0,6kg/mm2 đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu? Câu 11* Quan sát chiều cao Y(cm) độ tuổi X(năm) số thiếu niên, có bảng số liệu: X 15 17 19 21 23 Y 145 – 150 150 – 155 12 11 155 – 160 14 160 – 165 10 17 165 – 170 15 170 – 175 12 a) Ước lượng chiều cao người 21 tuổi (giả sử có phân phối chuẩn) với độ tin cậy 99% b) Những người cao 1,65m người “khá cao” Ước lượng tỉ lệ người cao với độ tin cậy 95%? c) Một tài liệu cũ nói chiều cao trung bình thiếu niên độ tuổi 153,5cm Với mức ý nghĩa 3%, cho kết luận tài liệu này? Câu 12* Theo dõi lượng phân bón X(kg/ha) suất Y(tạ/ha) loại trồng số ruộng (có diện tích ha), có bảng số liệu: X 120 140 160 180 200 Y 20 – 24 24 – 28 10 28 – 32 15 20 12 32 – 36 a) Năng suất 30 tạ/ha suất thấp Ứớc lượng tỉ lệ ruộng có suất thấp với độ tin cậy 92% b) Ước lượng suất (giả sử có phân phối chuẩn) ruộng bón phân 180kg/ha với độ tin cậy 98% c) Một tài liệu cũ nói suất trung bình loại trồng 30 tạ/ha Với mức ý nghĩa 2%, cho kết luận tài liệu này? Hết - Trang 58 ThS Đoàn Vương Nguyên – dvntailieu.wordpress.com Bài tập Trắc nghiệm Xác suất MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM XÁC SUẤT I XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Câu Có sinh viên A , B C thi môn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); C : “sinh viên C thi đỗ” Biến cố AC là: A Sinh viên C thi đỗ; C Có sinh viên thi đỗ; B Chỉ có sinh viên C thi đỗ; D Sinh viên C thi khơng đỗ Câu Có sinh viên A , B C thi môn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); A : “sinh viên A thi đỗ” Biến cố A2A là: A Sinh viên A thi hỏng; C Có sinh viên thi đỗ; B Chỉ có sinh viên A thi đỗ; D Chỉ có sinh viên A thi hỏng Câu Có sinh viên A , B C thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); B : “sinh viên B thi đỗ” Biến cố A1B là: A Sinh viên B thi hỏng; C Sinh viên A C thi đỗ; B Chỉ có sinh viên thi đỗ; D Chỉ có sinh viên A C thi đỗ Câu Có sinh viên A , B C thi môn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); C : “sinh viên C thi đỗ” Biến cố A0C là: A Sinh viên C thi hỏng; C Có sinh viên thi đỗ; B Chỉ có sinh viênC thi hỏng; D Cả sinh viên thi hỏng Câu Có sinh viên A , B C thi môn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); B : “sinh viên B thi đỗ” Biến cố A0B là: A Sinh viên B thi hỏng; C Sinh viên A C thi đỗ; B Có sinh viên thi đỗ; D Sinh viên A C thi đỗ Câu Có sinh viên A , B C thi mơn XSTK Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” ( i = 0,1, 2, ); B : “sinh viên B thi đỗ” Hãy chọn đáp án ? A A0B ⊂ A1B ; B A1B ⊂ A2 ; C A0B = A1B ; D A3B ⊂ A3 Câu Có sinh viên A1 , A2 , A3 thi môn XSTK Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” ( i = 1, 2, ); H : “có sinh viên thi hỏng” Hãy chọn đáp án ? A A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; B A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; C A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; D A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 Trang 59 ThS Đoàn Vương Nguyên – dvntailieu.wordpress.com Bài tập Trắc nghiệm Xác suất Câu Có sinh viên A1 , A2 , A3 thi môn XSTK Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” ( i = 1, 2, ); H : “2 sinh viên thi hỏng có A1 ” Hãy chọn đáp án ? B H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; A A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ⊂ H ; C H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; D H ⊂ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 Câu Có sinh viên A1 , A2 , A3 thi môn XSTK Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” ( i = 1, 2, ); H : “có sinh viên thi hỏng” Hãy chọn đáp án ? A P A1A2A3 H ≥ P A1A2 H ; B P A1A2 H = P A1A2A3 H ; ( ) ( ) C P (A A H ) ≥ P (A A A H ) ; 2 ( ) ( ) D A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 Câu 10 Có sinh viên A1 , A2 , A3 thi môn XSTK Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” ( i = 1, 2, ); H : “có sinh viên thi hỏng” Hãy chọn đáp án ? B A2A3 ⊂ H ; C A1A2A3 ⊂ H ; D A1A2A3 = H A A1 = H ; Câu 11 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu Xác suất chọn màu đỏ, vàng xanh là: A 0,2857 ; B 0,1793 ; C 0,1097 ; D 0, 0973 Câu 12 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu Xác suất chọn màu xanh là: A 0,2894 ; B 0, 4762 ; C 0, 0952 ; D 0, 0476 Câu 13 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu thấy có màu xanh Xác suất chọn màu đỏ là: A 40% ; B 50% ; C 60% ; D 80% Câu 14 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu thấy có màu xanh Xác suất chọn màu đỏ là: A 40% ; B 70% ; C 26% ; D 28% Câu 15 Một cầu thủ ném bóng vào rỗ cách độc lập với xác suất vào rỗ tương ứng 0,7; 0,8; 0,9 Biết có bóng vào rỗ Xác suất để bóng thứ vào rỗ là: A 0, 5437 ; B 0, 5473 ; C 0, 4753 ; D 0, 4573 Câu 16 Một cầu thủ ném bóng vào rỗ cách độc lập với xác suất vào rỗ tương ứng 0,7; 0,8; 0,9 Biết bóng thứ vào rỗ Xác suất để có bóng vào rỗ là: A 20% ; B 24% ; C 26% ; D 28% Câu 17 Một xạ thủ bắn viên đạn vào thú thú chết bị trúng viên đạn Xác suất viên đạn thứ trúng thú 0,8 Nếu viên thứ trúng thú xác suất trúng viên thứ hai 0,7 trượt xác suất trúng viên thứ hai 0,1 Biết thú sống Xác suất để viên thứ hai trúng thú là: B 0, 0741 ; C 0, 0455 ; D 0, 0271 A 0, 0714 ; Trang 60 ThS Đoàn Vương Nguyên – dvntailieu.wordpress.com Bài tập Trắc nghiệm Xác suất Câu 18 Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng 25%, 40%, 35%; tỉ lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng 1%, 2%, 3% Xác suất để chọn ngẫu nhiên bịnh nhân bị bịnh Mũi phải mổ từ trung tâm là: A 0, 008 ; B 0, 021 ; C 0, 312 ; D 0, 381 Câu 19 Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng 25%, 40%, 35%; tỉ lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng 1%, 2%, 3% Xác suất để chọn ngẫu nhiên bịnh nhân phải mổ từ trung tâm là: B 0, 021 ; C 0, 312 ; D 0, 381 A 0, 008 ; Câu 20 Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng 25%, 40%, 35%; tỉ lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng 1%, 2%, 3% Chọn ngẫu nhiên bịnh nhân từ trung tâm người bị mổ Xác suất để người chọn bị bịnh Mũi là: A 0, 008 ; B 0, 021 ; C 0, 312 ; D 0, 381 II BIẾN NGẪU NHIÊN Câu Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: X –1 0,10 0,45 0,05 0,25 0,15 P Giá trị P [(−1 < X ≤ 2) ∪ (X = 5)] là: A 0,9; B 0,8; C 0,7; D 0,6 Câu Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: X P 0,15 0,25 0,40 0,20 Giá trị kỳ vọng X là: A 2,6; B 2,8; C 2,65; D 1,97 Câu Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: X 0,15 0,25 0,40 0,20 P Giá trị phương sai X là: A 5,3; B 7,0225; C 7,95 ; D 0,9275 Câu Một kiện hàng có sản phẩm tốt phế phẩm Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng sản phẩm Gọi X số phế phẩm sản phẩm chọn Bảng phân phối xác suất X là: A) B) X X 1 P 15 P 15 3 15 15 C) D) 2 X X P P 15 15 15 Câu Cho BNN rời rạc X có hàm phân phối xác suất: 0 x ≤1  F (x ) = 0,19 < x ≤  < x 1  Bảng phân phối xác suất X là: Trang 61 ThS Đoàn Vương Nguyên – dvntailieu.wordpress.com Bài tập Trắc nghiệm Xác suất B) A) 0 X P 0,19 0,81 X P C) 0,19 0,51 0,3 D) X P 0,29 0,71 X P 0,19 0,81 Câu Lô hàng I có sản phẩm tốt phế phẩm, lơ hàng II có sản phẩm tốt phế phẩm Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng I sản phẩm bỏ vào lô hàng II, sau từ lơ hàng II chọn ngẫu nhiên sản phẩm Gọi X số sản phẩm tốt chọn từ lô hàng II Bảng phân phối xác suất X là: A) B) 2 X X 11 30 11 30 P 50 P 50 50 50 50 50 D) C) X X 11 30 30 11 P 50 P 50 50 50 50 50 Câu Kiện hàng I có sản phẩm tốt phế phẩm, kiện hàng II có sản phẩm tốt phế phẩm Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng I sản phẩm từ kiện hàng II sản phẩm Gọi X số phế phẩm chọn Hàm phân phối xác suất F (x ) = P (X < x ) X là: 0, 0, x