Thông tin tài liệu
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN HUỲNH HỮU DINH BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1-C1 (BẬC CAO ĐẲNG) TPHCM - Ngày 12 tháng 10 năm 2013 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Trang Mục lục GIỚI HẠN HÀM SỐ HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.1 Giới hạn hàm số 1.2 Giới hạn phải, giới hạn trái 1.3 Vô bé (VCB), vô lớn (VCL) 1.4 Hàm số liên tục PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2.1 Đạo hàm hàm số 2.2 Đạo hàm cấp cao 2.3 Các định lý đạo hàm 2.4 Quy tắc L’Hospital 2.5 Khai triển Taylor-Maclaurin 2.6 Vi phân cấp 2.7 Vi phân cấp cao 37 37 43 46 51 52 59 60 TÍCH PHÂN 3.1 Tích phân bất định 3.2 Phương pháp tính tích phân bất định 3.3 Tích phân hàm hữu tỷ 3.4 Tích phân hàm lượng giác 3.5 Tích phân hàm vô tỷ 3.6 Tích phân xác định 3.7 Công thức Newton - Leibnitz 3.8 Phương pháp tính tích phân xác định 3.8.1 Phương pháp đổi biến 3.8.2 Phương pháp tích phân phần 3.9 Tích phân suy rộng 3.10 Tích phân suy rộng loại 3.10.1 Các định nghĩa 3.10.2 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz 3.11 Các định lý so sánh 3.11.1 Hội tụ tuyệt đối 3.12 Tích phân suy rộng loại hai 3.12.1 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz 65 65 67 72 76 80 83 86 87 87 88 90 90 90 94 94 96 97 101 7 17 19 28 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 3.12.2 Các định lý so sánh 3.12.3 Hội tụ tuyệt đối 3.13 Ứng dụng tích phân xác định 3.13.1 Tính diện tích hình phẳng 3.13.2 Tính thể tích vật thể 3.13.3 Tính độ dài cung phẳng 101 103 103 103 106 109 Ma trận định thức 4.1 Ma trận 4.1.1 Các khái niệm ma trận 4.1.2 Các phép toán ma trận 4.1.3 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận 4.2 Định thức 4.2.1 Hoán vị nghịch 4.2.2 Định nghĩa định thức ma trận vuông 4.2.3 Phần bù đại số, ma trận phụ hợp công thức khai triển định thức 4.2.4 Một số tính chất định thức 4.3 Ma trận nghịch đảo 4.3.1 Tính chất 4.3.2 Phương trình ma trận AX = B XA = B 4.4 Hạng ma trận 4.4.1 Khái niệm hạng ma trận 4.4.2 Tính chất 117 117 117 120 127 128 128 130 132 136 144 148 149 152 152 153 Hệ phương trình tuyến tính 171 5.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 171 5.1.1 Khái niệm tổng quát 171 5.2 Phương pháp khử Gauss 173 5.3 Phương pháp Cramer 176 5.4 Phương pháp phân rã LU 181 5.4.1 Phương pháp Crout 182 5.4.2 Phương pháp Doolittle 185 5.5 Điều kiện có nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng qt 188 5.6 Hệ phương trình tuyến tính 190 5.7 Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng qt195 Khơng gian vector 6.1 Khái niệm không gian vector 6.2 Tổ hợp tuyến tính biểu thị tuyến tính 6.3 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 6.4 Cơ sở số chiều không gian vector 6.5 Tọa độ vector Ma trận chuyển sở 6.6 Không gian vector Trang 205 205 207 210 216 222 228 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 6.6.1 Không gian sinh tập hợp 6.6.2 Không gian nghiệm 6.7 Không gian vector Euclide 6.7.1 Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Trang 229 232 234 237 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Trang Chương GIỚI HẠN HÀM SỐ HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.1 Giới hạn hàm số Định nghĩa 1.1 (Giới hạn hữu hạn hàm số x tiến số hữu hạn) Cho hàm số y = f (x) xác định tập D Giá trị L gọi giới hạn hàm số f (x) điểm a, ký hiệu lim f (x) = L, với ϵ > cho trước nhỏ tùy ý, tồn δ > x→a cho |f (x) − L| < ϵ với x ∈ D thỏa điều kiện |x − a| < δ Ví dụ 1.1 Chứng tỏ lim (2x + 1) = x→1 Giải Với ϵ > nhỏ tùy ý, để bất đẳng thức |(2x + 1) − 3| < ϵ thỏa mãn ϵ |(2x + 1) − 3| < ϵ ⇔ |x − 1| < Vậy với ϵ > nhỏ tùy ý cho trước, chọn δ = 2ϵ với x thỏa |x − 1| < δ ta |(2x + 1) − 3| < ϵ Do lim (2x + 1) = x→1 Nhận xét 1.1 Để tồn giới hạn hàm số x → a, hàm số không thiết phải xác định điểm x = a Khi tính giới hạn ta xét giá trị hàm lân cận điểm a khác a x2 − = x→2 x − Ví dụ 1.2 Chứng tỏ lim Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải Hàm số cho không xác định x = Ta cần phải chứng minh với ϵ > bé tùy ý, ta δ cho |x − 2| < δ, x ̸= x2 − | − 4| < ϵ x−2 Khi x ̸= ta x2 − − < ϵ ⇔ |x + − 4| < ϵ ⇔ |x − 2| < ϵ x−2 Vậy với ϵ > nhỏ tùy ý cho trước, chọn δ = ϵ với x thỏa x2 − x2 − |x − 2| < δ, x ̸= ta | − 4| < ϵ Do lim = x→2 x − x−2 Định nghĩa 1.2 (Giới hạn hữu hạn hàm số x tiến vô cùng) Ta nói giá trị L giới hạn hàm số x ( y = f (x) ) tiến cộng (trừ) vô cùng, ký hiệu lim f (x) = L x→+∞ lim f (x) = L x→−∞ với ϵ > nhỏ tùy ý, tồn số N > cho với x thỏa x > N (x < −N ) ta có bất đẳng thức |f (x) − L| < ϵ 2x = x→+∞ x − Ví dụ 1.3 Chứng minh lim Giải Với ϵ > nhỏ tùy ý, để bất đẳng thức | mãn 2x − 2| < ϵ thỏa x−1 2x 2 < ϵ ⇔ |x − 1| > −2 nhỏ tùy ý cho trước, chọn N > 2ϵ + với x thỏa 2x 2x x > N ta | − 2| < ϵ Do lim = x→+∞ x − x−1 3x = Ví dụ 1.4 Chứng minh lim x→−∞ 2x − Giải Với ϵ > nhỏ tùy ý, để bất đẳng thức | mãn 3x − | < ϵ thỏa 2x − 3 3x − 2x − 2 (2x − 1) 2ϵ ( ) − với Vậy với ϵ > nhỏ tùy ý cho trước, chọn N > 2ε 3x 3x 3 x < −N ta | − | < ϵ Do lim = x→−∞ 2x − 2x − 2 Trang Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Tính chất 1.1 Các tính chất giới hạn hữu hạn (a ±∞): Nếu f (x) = c (hằng số) lim f (x) = c x→a Nếu f (x) ≥ c hàm f (x) có giới hạn x = a lim f (x) ≥ c x→a Nếu φ(x) ≤ f (x) ≤ ψ(x) lim φ (x) = lim ψ (x) = L x→a x→a lim f (x) = L x→a Nếu tồn giới hạn hữu hạn lim f (x) lim g (x) x→a x→a • lim [f (x) + g (x)] = lim f (x) + lim g (x) x→a x→a x→a • lim [f (x) g (x)] = lim f (x) lim g (x) x→a x→a x→a lim f (x) ( ) f (x) x→a • lim = lim g (x) ̸= x→a g (x) lim g (x) x→a x→a Sử dụng tính chất làm cho việc tính giới hạn trở nên đơn giản Chúng ta xét số ví dụ điển hình sau: x3 + x + x→1 x2 − x + Ví dụ 1.5 Tính giới hạn L = lim x3 + x + = = x→1 x→1 x2 − x + 1 x2 − 3x + Ví dụ 1.6 Tính giới hạn L = lim x→1 x−1 Giải Vì lim (x2 − x + 1) = ̸= nên L = lim Giải Vì lim (x2 − 3x + 2) = lim (x − 1) = nên ta cần khử dạng vô định (dạng 00 ) x→1 x→1 (x − 1) (x − 2) x2 − 3x + = lim = lim (x − 2) = −1 x→1 x→1 x→1 x−1 x−1 lim Vậy L = −1 √ x−1 Ví dụ 1.7 Tính giới hạn L = lim √ x→1 x−1 Giải Giới hạn có dạng vơ định, ta có √ √ √ x−1 x+1 x+1 (x − 1) ( ) = = lim √ = lim √ lim √ √ √ 3 x→1 x→1 x→1 x−1 x + x+1 x2 + x + x − Vậy L = 23 Trang Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM x3 − 2x + x→+∞ 2x3 + 2x + Ví dụ 1.8 Tính giới hạn L = lim Giải Chia tử thức mẫu thức cho x3 ta 1− x3 − 2x + lim = lim x→+∞ 2x3 + 2x + x→+∞ + x2 x2 + + x3 x3 = Vậy L = √ x3 x4 − 2x4 − √ Ví dụ 1.9 Tính giới hạn L = lim x→−∞ 2x3 x4 + 2x4 + √ 1− x3 x4 − 2x4 − √ Giải Ta có lim = lim x→−∞ 2x3 x4 + 2x4 + x→−∞ + √ 3x √ 3x − + x3 √ x3 √ x4 = 21 x4 Vậy L = Định nghĩa 1.3 (Giới hạn vô hàm số x tiến số hữu hạn)) Hàm số f (x) gọi tiến +∞ (−∞) x → a số dương M lớn tùy ý, ta tìm δ > cho với x thỏa |x − a| < δ, x ̸= a f (x) > M (f (x) < −M ), ký hiệu ( ) lim f (x) = +∞ lim f (x) = −∞ x→a x→a = +∞ x→2 (x − 2)2 Ví dụ 1.10 Chứng minh lim Giải Với M > lớn tùy ý x ̸= ta có 1 ⇔ |x − 2| < √ > M ⇔ (x − 2) < M (x − 2) M Vậy với M lớn tùy ý, chọn δ = √1M với x thỏa |x − 2| < δ, x ̸= 1 ta = +∞ lim > M Do x→2 (x − 2)2 (x − 2) Ví dụ 1.11 Chứng minh lim x→1 −1 = −∞ (x − 1)2 Trang 10 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Định nghĩa 6.17 Cho V khơng gian vector n chiều Khi đó, V gọi không gian vector Euclide cho Quy tắc ⟨.|.⟩ : V × V → R (X, Y ) → ⟨X|Y ⟩ gọi tích vơ hướng hai vector X Y Quy tắc thỏa mãn bốn u cầu: • ⟨X|Y ⟩ = ⟨Y |X⟩ ; ∀X, Y ∈ V • ⟨X + Y |Z⟩ = ⟨X|Z⟩ + ⟨Y |Z⟩ ; ∀X, Y, Z ∈ V • ⟨αX|Y ⟩ = α ⟨X|Y ⟩ = ⟨X|αY ⟩ ; ∀X, Y ∈ V, ∀α ∈ R • ⟨X|X⟩ ≥ 0; ∀X ∈ V ⟨X|X⟩ = X = 0V Ví dụ 6.57 Khơng gian vector tự học hình học sơ cấp khơng gian vector Euclide với tích vơ hướng thơng thường → → → → → − ⟨− u |− v ⟩ = |− u | |− v | cos (− u ,→ v) Ví dụ 6.58 Giả sử V khơng gian vector n chiều (X1 , X2 , , Xn ) sở Có thể định nghĩa tích vơ hướng V sau: n n n ∑ ∑ ∑ Nếu X = xi Xi Y = yi Xi ta đặt ⟨X|Y ⟩ = xi yi i=1 i=1 i=1 Nói riêng, V = Rn (hoặc V = Rn ) (e1 , e2 , , en ) sở tắc tích vơ hướng hai vector X = (x1 , x2 , , xn ) n ∑ Y = (y1 , y2 , , yn ) định nghĩa ⟨X|Y ⟩ = xi yi gọi tích vơ i=1 hướng tắc Rn Nhận xét theo cách sở V xác định tích vơ hướng V Hai tích vơ hướng xác định hai sở khác khác Ví dụ 6.59 Trong không gian vector C[a, b] xét ánh xạ ⟨.|.⟩ : C [a, b] × C [a, b] → R (f, g) → ⟨f |g⟩ = ∫b f (t) g (t) dt a Ta thấy ánh xạ ⟨.|.⟩ thỏa mãn bốn yêu cầu định nghĩa nên tích vơ hướng C[a, b] Trang 235 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Định nghĩa 6.18 Giả sử V khơng gian vector Euclide với tích vơ hướng ⟨.|.⟩ Khi đó, độ √ dài (hay chuẩn) vector√X, ký hiệu ∥X∥, số thực không âm ⟨X|X⟩, nghĩa ∥X∥ = ⟨X|X⟩ Định lý 6.12 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Giả sử V không gian vector Euclide với tích vơ hướng ⟨.|.⟩ Khi với X, Y ∈ V ta ln có ⟨X|Y ⟩2 ≤ ∥X∥2 ∥Y ∥2 Đẳng thức xảy X = αY với α ∈ R Ví dụ 6.60 Trong khơng gian Rn với tích vơ hướng tắc, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng n ∑ i=1 xi y i ≤ n ∑ x2i i=1 n ∑ yi2 i=1 với xi , yi ∈ R; i = 1, n Định lý 6.13 Giả sử V khơng gian vector Euclide √ với tích vô + hướng ⟨.|.⟩ Ánh xạ ∥∥ : V → R xác định ∥X∥ = ⟨X|X⟩ thỏa mãn tính chất sau đây: • ∥αX∥ = |α| ∥X∥ ; ∀X ∈ V, ∀α ∈ R • ∥X∥ = ⇔ X = 0V • ∥X + Y ∥ ≤ ∥X∥ + ∥Y ∥ ; ∀X, Y ∈ V Đẳng thức xảy tồn số α ≥ cho X = αY Y = αX Định nghĩa 6.19 Giả sử X, Y hai vector khác không không gian vector Euclide V Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có |⟨X|Y ⟩| ≤1 ∥X∥ ∥Y ∥ Trang 236 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Từ suy tồn góc θ ∈ [0, π] cho cos θ = |⟨X|Y ⟩| ∥X∥ ∥Y ∥ Ta gọi θ góc vector X Y , ký hiệu θ = (X, Y ) Nhận xét 6.2 Góc vector 0V X xem tùy ý 6.7.1 Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Định nghĩa 6.20 Cho V khơng gian Euclide với tích vơ hướng ⟨.|.⟩ Ta nói • Hai vector X, Y ∈ V trực giao ⟨X|Y ⟩ = • Hệ vector (X1 , X2 , , Xm ) hệ trực giao chúng trực giao đơi • Hệ vector (X1 , X2 , , Xm ) hệ trực chuẩn trực giao ∥Xi ∥ = với i = 1, m Ví dụ 6.61 Trong R2 với tích vơ hướng tắc, hai vector X1 = (2, 1) , X2 = (−1, 2) trực giao với ⟨X1 |X2 ⟩ = (−1) + 1.2 = Ví dụ 6.62 Trong R3 với tích vơ hướng tắc, hệ ba vector X1 = ( ) ( ) (1, 1, 1), X2 = 13 , 13 , − 23 , X3 = 12 , − 21 , lập thành hệ trực giao Ví dụ 6.63 Trong Rn với tích vơ hướng tắc, sở En lập thành hệ trực chuẩn Định lý 6.14 Hệ vector trực giao không gian Euclide V không chứa vector không hệ độc lập tuyến tính Trang 237 Trường Đại Học Cơng Nghiệp TPHCM Định nghĩa 6.21 Trong không gian vector Euclide V có n chiều, hệ gồm n vector khác khơng, trực giao đôi tạo thành sở V ta gọi sở trực giao Hệ gồm n vector khác không gọi sở trực chuẩn V sở trực giao vector hệ có độ dài Định lý 6.15 Mọi không gian vector Euclide V với số chiều n tồn sở trực chuẩn Sau ta cách xây dựng sở trực giao (hoặc trực chuẩn) từ sở Thuật tốn trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Giả sử hệ vector (X1 , X2 , , Xn ) sở không gian Euclide V trang bị tích vơ hướng ⟨.|.⟩ Hệ vector (Y1 , Y2 , , Yn ) thiết lập công thức Y1 = X1 ⟨X2 |Y1 ⟩ Y1 Y = X2 − ⟨Y1 |Y1 ⟩ ⟨X3 |Y2 ⟩ ⟨X3 |Y1 ⟩ Y1 − Y2 Y3 = X3 − ⟨Y1 |Y1 ⟩ ⟨Y2 |Y2 ⟩ ⟨Xi |Y1 ⟩ ⟨Xi |Y2 ⟩ ⟨Xi |Yi−1 ⟩ Yi = Xi − Y1 − Y2 − − Yi−1 ⟨Y1 |Y1 ⟩ ⟨Y2 |Y2 ⟩ ⟨Yi−1 |Yi−1 ⟩ ⟨Xn |Y1 ⟩ ⟨Xn |Y2 ⟩ ⟨Xn |Yn−1 ⟩ Yn = Xn − Y1 − Y2 − − Yn−1 ⟨Y1 |Y1 ⟩ ⟨Y2 |Y2 ⟩ ⟨Yn−1 |Yn−1 ⟩ sở trực giao V Khi đó, hệ vector (Z1 , Z2 , , Zn ) thiết lập công thức Y1 Z1 = ∥Y1 ∥ Y Z2 = ∥Y2 ∥ Yn Zn = 238 Trang ∥Yn ∥ Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM sở trực chuẩn V Ví dụ 6.64 Biết hệ vector (X1 = (1, 1, 1) , X2 = (0, −1, 1) , X3 = (1, 2, 2)) sở R3 Trực chuẩn hóa hệ phương pháp Gram – Schmidt Giải Áp dụng phương pháp Gram – Schmidt ta Y1 = X1 = (1, 1, 1) ⟨X2 |Y1 ⟩ Y2 = X2 − Y1 = (0, −1, 1) ⟨Y1 |Y1 ⟩ ( ) ⟨X3 |Y1 ⟩ ⟨X3 |Y2 ⟩ 1 Y3 = X3 − Y1 − Y2 = − , , ⟨Y1 |Y1 ⟩ ⟨Y2 |Y2 ⟩ 3 Khi hệ vector (Y1 , Y2 , Y3 ) sở trực giao R3 Hơn nữa, ta đặt ( ) 1 Y = √ ,√ ,√ Z1 = ∥Y1 ∥ 3 ( ) 1 Y2 Z2 = = 0, − √ , √ ∥Y2 ∥ 2 ) ( 1 Y3 = −√ , √ , √ Z3 = ∥Y3 ∥ 6 hệ vector (Z1 , Z2 , Z3 ) sở trực chuẩn R3 Ví dụ 6.65 Trực chuẩn hóa Gram – Schmidt hệ vector sau P = (X1 = (1, 1, 0, 0) , X2 = (0, 1, 1, 0) , X3 = (0, 0, 1, 1) , X4 = (1, 0, 0, 1)) Giải Áp dụng phương pháp Gram – Schmidt ta Y1 = X1 = (1, 1, 0, 0) ( ) ⟨X2 |Y1 ⟩ 1 Y2 = X2 − Y1 = − , , 1, ⟨Y1 |Y1 ⟩ 2 ( ) ⟨X |Y ⟩ 1 ⟨X |Y ⟩ 3 Y1 − Y2 = ,− , ,0 Y3 = X3 − ⟨Y1 |Y1 ⟩ ⟨Y2 |Y2 ⟩ 3 ⟨X4 |Y1 ⟩ ⟨X4 |Y2 ⟩ ⟨X4 |Y3 ⟩ Y1 − Y2 − Y3 = (0, 0, 0, 1) Y4 = X4 − ⟨Y1 |Y1 ⟩ ⟨Y2 |Y2 ⟩ ⟨Y3 |Y3 ⟩ Trang 239 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Khi hệ vector (Y1 , Y2 , Y3 , Y4 ) sở trực giao R4 Hơn nữa, ta đặt ) ( 1 Y1 Z1 = = √ , √ , 0, ∥Y1 ∥ 2 ( ) Y2 1 = −√ , √ , √ , Z2 = ∥Y2 ∥ 6 ) ( Y3 1 Z3 = = √ , −√ , √ , ∥Y3 ∥ 3 Y Z4 = = (0, 0, 0, 1) ∥Y4 ∥ hệ vector (Z1 , Z2 , Z3 , Z4 ) sở trực chuẩn R4 Bài tập chương Phần tự luận Bài tập 6.1 Xác định điều kiện để vector x tổ hợp tuyến tính hệ (u, v, w): x = (1, m, 1);u = (1, 1, 0) , v = (2, 1, 1) , w = (3, 2, 1) x = (2, m + 4, m + 6);u = (1, 2, 3) , v = (3, 8, 11) , w = (1, 3, 4) x = (2, m − 4, m);u = (1, 2, 3) , v = (2, 3, 4) , w = (1, 3, 5) x = (x1 , x2 , x3 );u = (1, 2, 3) , v = (2, 4, 5) , w = (3, 6, 7) x = (1, m, 1);u = (1, 2, 4) , v = (2, 1, 5) , w = (3, 6, 12) Bài tập 6.2 Xác định điều kiện để vector x tổ hợp tuyến tính hệ (u, v, w): x = (11, m − 9, 17);u = (1, 1, 3) , v = (2, 2, 5) , w = (3, 4, 3) x = (1, m + 2, m + 4);u = (1, 2, 3) , v = (3, 7, 10) , w = (2, 4, 6) x = (x1 , x2 , x3 );u = (1, 2, 1) , v = (1, 1, 0) , w = (3, 6, 3) x = (x1 , x2 , x3 );u = (1, 2, 1) , v = (1, 1, 0) , w = (3, 6, 4) Bài tập 6.3 Xác định m để hệ vector sau phụ thuộc tuyến tính: u = (1, 2, m) , v = (0, 2, m) , w = (0, 0, 3) u = (m + 1, m, m − 1) , v = (2, m, 1) , w = (1, m, m − 1) u = (m, 1, 3, 4) , v = (m, m, m + 2, 6) , w = (2m, 2, 6, m + 10) u = (m, 1, 3, 4) , v = (m, m, m + 4, 6) , w = (2m, 2, 6, m + 10) Trang 240 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM u = (m, 1, 1, 4) , v = (m, m, m, 6) , w = (2m, 2, 2, m + 10) Bài tập 6.4 Xác định m để hệ vector sau độc lập tuyến tính: u = (2, 1, 1, m) , v = (2, 1, m, m) , w = (m + 2, 1, 0, 0) u = (2, 1, 1, m) , v = (2, 1, −1, m) , w = (10, 5, −1, 5m) u1 = (2, 3, 1, 4) , u2 = (3, 7, 5, 1) , u3 = (8, 17, 11, m) , u4 = (1, 4, 4, −3) Bài tập 6.5 Hệ vectơ sau tạo thành sở R3 R4 ? u1 = (1, 2, −1) , u2 = (2, 0, 1) ; u3 = (1, −1, 0) u2 = (1, 1, 0, −1) , u2 = (2, 2, 1, 1) , u3 = (−1, 2, 5, 0) , u4 = (0, −1, 1, 2) Bài tập 6.6 Tìm m để hệ vectơ sau tạo thành sở R3 : u = (1, 2, m) , v = (1, m, 0) , w = (m, 1, 0) u = (m, 1, 1) , v = (1, m, 1) , w = (1, 1, m) Bài tập 6.7 Tìm m để hệ vectơ sau tạo thành sở R4 : u1 = (3, 1, 2, m − 1) , u2 = (0, 0, m, 0) , u3 = (2, 1, 4, 0) , u4 = (3, 2, 7, 0) u1 = (1, 2, 3, 4) , u2 = (2, 3, 4, 5) , u3 = (3, 4, 5, 6) , u4 = (4, 5, 6, m) Bài tập 6.8 Hệ vector tạo thành sở không gian W R3 sinh vectơ sau: u1 = (2, 3, 4) , u2 = (2, 6, 0) , u3 = (4, 6, 8) u1 = (2, 3, 4) , u2 = (5, −4, 0) , u3 = (7, −1, 5) Bài tập 6.9 Hệ vectơ tạo thành sở không gian W R4 sinh vectơ sau: u1 = (1, 2, 3, 4) , u2 = (0, 2, 6, 0) , u3 = (0, 0, 1, 0) , u4 = (0, 2, 4, 4) u1 = (1, 2, 3, 4) , u2 = (0, 2, 6, 0) , u3 = (0, 0, 1, 0) , u4 = (1, 2, 4, 4) Bài tập 6.10 Tìm số chiều dim W không gian W R4 sinh vectơ sau: u1 = (1, 2, 3, 4) , u2 = (2, 3, 4, 5) , u3 = (3, 4, 5, 6) , u4 = (4, 5, 6, 7) u1 = (3, 1, 5, 7) , u2 = (4, 1, 2, 2) , u3 = (1, 1, 8, 1) , u4 = (1, 2, 1, 2) Bài tập 6.11 Tìm hạng hệ vectơ sau: u1 = (2, 3, 5, 7) , u2 = (4, 1, 3, 2) , u3 = (8, 7, 13, 16) , u4 = (6, 4, 8, 9) u1 = (1, 1, 5, 7) , u2 = (6, 2, 2, 2) , u3 = (13, 1, 8, 17) , u4 = (0, 1, 1, 2) Trang 241 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Bài tập 6.12 Định m để hệ sau có hạng 2: u = (1, 3, 1) , v = (1, m + 3, 3) , w = (1, m + 6, m + 3) u = (m, 1, 0, 2) , v = (m, m + 1, −1, 2) , w = (2m, m + 2, −1, 5) u = (m, 1, 1) , v = (1, m, 1) , w = (1, 1, m) Bài tập 6.13 Tìm tọa độ vector u sở (u1 , u2 , u3 ): u = (1, 2, 4);u1 = (1, 0, 0) , u2 = (0, 1, 0) , u3 = (0, 0, 1) u = (m, 0, 1);u1 = (0, 0, 1) , u2 = (0, 1, 0) , u3 = (1, 0, 0) u = (2, 3, 6);u1 = (1, 2, 3) , u2 = (1, 3, 4) , u3 = (2, 4, 7) u = (m, 0, 1) ;u1 = (1, 0, 0) , u2 = (1, 1, 0) , u3 = (0, −1, 1) u = (m, m, 4m);u1 = (1, 2, 3) , u2 = (3, 7, 9) , u3 = (5, 10, 16) u = (1, 2m, 2);u1 = (1, 0, 0) , u2 = (0, 2, 0) , u3 = (2, 1, 1) Bài tập 6.14 Trong không gian R3 cho tập hợp W = {u = (x1 , x2 , x3 ) : x1 + 3x2 − x3 = 0} Chứng minh W không gian vector R3 Tìm sở W Chứng minh vector u = (1, 2, 7) thuộc W Xác định tọa độ u sở vừa tìm câu Bài tập 6.15 Trong không gian R2 cho hệ vectơ P = (u1 , u2 ) Tìm ma trận chuyển sở từ sở tắc E2 sang sở P = (u1 , u2 ) ngược lại u1 = (2, 1) , u2 = (−1, −1) u1 = (2, 1) , u2 = (−1, 1) u1 = (−1, 0) , u2 = (0, 1) u1 = (1, 2) , u2 = (3, 4) Bài tập 6.16 Trong không gian R3 cho hệ vectơ P = (u1 , u2 , u3 ).Tìm ma trận chuyển sở, từ sở tắc E3 sang sở P = (u1 , u2 , u3 ) ngược lại u1 = (1, 0, 1) , u2 = (0, 1, 1) , u3 = (0, 0, 1) u1 = (0, 1, 1) , u2 = (1, 0, 1) , u3 = (1, 1, 0) u1 = (1, 2, 1) , u2 = (−1, −1, 1) , u3 = (0, 1, 1) u1 = (4, 2, 1) , u2 = (0, 1, −2) , u3 = (1, 2, 1) Trang 242 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Bài tập 6.17 Trong không gian R2 , tìm ma trận chuyển sở P1 = (u1 , u2 ) sang sở P2 = (v1 , v2 ) ngược lại u1 = (2, 1) , u2 = (−1, −1) ; v1 = (−1, 0) , v2 = (0, 1) u1 = (2, 1) , u2 = (3, 2) ; v1 = (−1, 7) , v2 = (8, 1) u1 = (12, 13) , u2 = (1, 1) ; v1 = (1, −1) , v2 = (3, 1) Bài tập 6.18 Trong không gian R3 , tìm ma trận chuyển sở P1 = (u1 , u2 , u3 ) sang sở P2 = (v1 , v2 , v3 ) ngược lại u1 = (1, 0, 0) , u2 = (0, −1, 0) , u3 = (0, 0, −1) ; v1 = (1, 0, 1) , v2 = (0, 1, 1) , v3 = (0, 0, 1) u1 = (1, 2, 0) , u2 = (1, −1, 3) , u3 = (1, 1, −1) ; v1 = (1, 1, 0) , v2 = (1, 0, 1) , v3 = (0, 1, 1) u1 = (−1, 2, 1) , u2 = (1, −1, 3) , u3 = (1, 1, −1) ; v1 = (1, 1, 3) , v2 = (1, 1, 1) , v3 = (7, 1, 1) Bài tập 6.19 Cho biết ma trận chuyển sở từ sở B sang sở tắc E3 R3 1 P = −1 −1 −1 −1 Tìm tọa độ vector u = (1, 0, 1) theo sở B Bài tập 6.20 Cho biết ma trận chuyển sở từ sở B sang sở tắc E3 R3 1 P = 3 −1 7 −1 Tìm tọa độ vector u = (1, 2, 3) theo sở B Bài tập 6.21 Cho biết ma trận chuyển sở từ sở B sang sở tắc E3 R3 1 P = −1 −1 −1 Tìm tọa độ vector u = (−1, 8, 1) theo sở B Bài tập 6.22 Cho biết ma trận chuyển sở từ sở B1 sang sở B2 R3 0 P = 0 −1 −1 tọa độ vector u theo sở B1 x1 = 1, x2 = 1, x3 = Tìm [u]B2 Trang 243 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Bài tập 6.23 Cho biết ma trận chuyển sở từ sở B1 sang sở B2 R3 P = 4 −1 −1 tọa độ vector u theo sở B1 x1 = 1, x2 = 1, x3 = Tìm [u]B2 Bài tập 6.24 Cho biết ma trận chuyển sở từ sở B1 sang sở B2 R3 P = 0 4 1 tọa độ vector u theo sở B1 x1 = 1, x2 = 2, x3 = Tìm [u]B2 Bài tập 6.25 Trong không gian R3 cho hệ vector (u1 = (1, 0, 0) , u2 = (0, −1, 0) , u3 = (0, 0, −1)) Cho biết ma trận chuyển sở từ sở B1 sang sở B2 = (u1 , u2 , u3 ) R3 0 P = 0 −1 −1 tọa độ vectơ u theo sở B1 x1 = 1, x2 = −1, x3 = Tìm vectơ u Bài tập 6.26 Trong không gian P5 [x] cho sở Tìm [p(x) = x5 − 1]F ( ) F = 1, x, x2 , x3 , x4 , x5 Trong không gian P5 [x] cho sở ( ) F = 1, x − 1, (x − 1)2 , (x − 1)3 , (x − 1)4 , (x − 1)5 Xác định [p(x) = x5 + 4x4 + 3x − 1]F Trong không gian P5 [x] cho sở ( ) F = 1, x − 1, (x − 1)2 , (x − 1)3 , (x − 1)4 , (x − 1)5 Xác định [p(x) = x5 + 4x4 + 3x3 + x2 + x − 5]F Trong không gian P5 [x] cho sở ( ) (x − 1) (x − 1) (x − 1) (x − 1) F = 1, x − 1, , , , 2! 3! 4! 5! Trang 244 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Xác định [p(x) = 6x5 + 4x4 + 3x3 + x2 + 4x − 5]F Trong không gian P5 [x] cho sở ( ) (x − 1) (x − 1) (x − 1) (x − 1) F = 1, x − 1, , , , Xác định [p(x) = 6x5 + 14x4 − 3x3 + x2 + 4x − 5]F Bài tập 6.27 Trong không gian vector đa thức có bậc khơng vượt q bốn P4 [x] cho hai sở { } ( ) E = 1, x, x2 , x3 , x4 ; F = 1, x − 1, (x − 1)2 , (x − 1)3 , (x − 1)4 Tìm CE→F CF →E Trong không gian vector đa thức có bậc khơng vượt q bốn P4 [x] cho hai sở ) ( { } (x − 1) (x − 1) (x − 1) , , E = 1, x, x2 , x3 , x4 F = 1, x − 1, 2! 3! 4! Tìm CE→F CF →E Phần trắc nghiệm Bài tập 6.28 Cho V khơng gian có số chiều bốn Khẳng định sau đúng? a Mọi tập có phần tử độc lập tuyến tính b Mọi tập có bốn phần tử tập sinh c Mọi tập có năm phần tử tập sinh d Các câu a, b, c sai Bài tập 6.29 Tìm [x2 + 2x − 2]B với B = (f1 = x2 + x + 1, f2 = x, f3 = 1) a −3 b c −1 d −1 −3 Bài tập 6.30 Trong R2 cho hai sở P1 = ((1, 1) , (2, 3)) P2 = ((1, −1) , (1, 0)) ( ) −1 Biết [x]P1 = , xác định [x]P2 ( ) ( ) ( ) ( ) −5 −2 a b c d −5 −2 Trang 245 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Bài tập 6.31 Cho W = ⟨((1, 1, 1, 1) , (2, 3, 2, 3) , (3, 4, −1, m))⟩, với giá trị m W có số chiều lớn 1? a m = b m = −1 c khơng có m d ∀m Bài tập 6.32 Trong R3 cho W = ⟨((1, 1, 1) , (2, 3, 2))⟩, P = ((1, 0, 0) , (2, 2, m)) với giá m P sở W? a m = b m = c khơng có m d ∀m Bài tập 6.33 Trong R3 cho W = ⟨((1, 1, 1) , (2, 3, 1) , (3, 5, m))⟩ Với giá trị m W có số chiều 2? a m = b m = c m = d m = Bài tập 6.34 Trong không gian P2 [x] cho vector f1 = x2 + x + 1, f2 = 2x + 1, f3 = 3x2 + 2x + m Với giá trị m hệ vector P = (f1 , f2 , f3 ) sinh P2 [x] 5 d m ̸= a m ̸= b m = c m = 2 Bài tập 6.35 Trong R3 cho hai sở P = ((1, 2, 3) , (3, 4, 5) , (2, 1, 4)) P ′ = ((1, 1, 1) , (1, 1, 0) , (1, 0, 0)) Biết [X]P = Hãy tìm [X]P ′ −1 −4 a c b −4 d −4 Bài tập 6.36 Cho khơng gian vector V có số chiều ba Khẳng định sau đúng? a Mọi tập sinh phải có nhiều ba phần tử b Mọi tập độc lập tuyến tính phải có ba phần tử c Mọi tập sinh V có ba phần tử sở V d Mọi tập sinh V phải có ba phần tử Bài tập 6.37 Trong R3 cho không gian vector W = {(a, a + b, a − b) : a, b ∈ R} Trang 246 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Khẳng định sau đúng? a ((1, 0, 0) , (0, 1, −1) , (0, 1, 1)) sở W b ((1, 0, 0) , (0, 1, −1) , (0, 1, 1)) tập sinh W c ((1, 1, −1) , (0, 1, 1)) sở W d Các câu sai Bài tập 6.38 Trong R3 cho W = ⟨((1, −1, 1) , (2, 1, 3) , (3, 3, 5))⟩ X = (3, 2, m) Tìm m để X ∈ / W 14 14 a ∀m b Khơng có m c m = d m ̸= 3 Bài tập 6.39 Trong P2 [x] xét hai sở P = (x2 + x + 1, 7x − 2, 2) P ′ = (x2 , 3x, 3) Biết [p (x)]P = Hãy tìm [p (x)]P ′ −3 −2 2 a c −2 b −2 Bài tập 6.40 Trong R4 cho hệ vector d −1 P = ((1, 1, 1, 1) , (1, 2, 3, 4) , (0, 0, 0, 0) , (2, 3, 4, 5)) Khẳng định sau đúng? a r(P ) = b P sở R4 c r(P ) = d P sinh R4 Bài tập 6.41 Tìm tất giá trị m để hệ vector sở P2 [x] a m = ( ) P = x2 + x + 1, 2x + 1, x2 + 2x + m b m ̸= c m = d m ̸= Bài tập 6.42 Cho W = ⟨(1, 1, 1) , (1, 2, 1)⟩ P = ((1, 1, 1) , (1, −1, m)) Tìm m để P sở W a m = b m = c khơng có m Trang 247 d ∀m Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Bài tập 6.43 Trong R3 cho không gian W = ⟨((1, 1, 1) , (2, 3, 1) , (5, −1, 2))⟩ Tìm sở P W dim W a dim W = 2, P = ((1, 1, 1) , (0, 1, −1)) b dim W = 2, P = ((1, 1, 1) , (0, 0, 1)) c dim W = 3, P = ((1, 1, 1) , (2, 3, 1) , (5, −1, 2)) d Các câu sai Bài tập 6.44 Trong R3 cho không gian W = {(x, y, z) : x + y − z = 0} Tìm sở P W dim W a dim W = 1, P = ((1, 1, −1)) b dim W = 2, P = ((−1, 1, 0) , (1, 0, 1)) c dim W = 2, P = ((1, 1, 2) , (2, 2, 4)) d dim W = 3, P = ((1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)) Bài tập 6.45 Trong R4 cho không gian { { } x + y + z + t = W = (x, y, z, t) : 2x + 3y − z + t = Tìm sở P W dim W a dim W = 2, P = ((−4, 3, 1, 0) , (−2, 1, 0, 1)) b dim W = 2, P = ((1, 1, 1, 1) , (2, 3, −1, 1)) c dim W = 3, P = ((1, 1, 1, 1) , (−4, 3, 1, 0) , (−2, 1, 0, 1)) d Các câu sai Bài tập 6.46 Trong R3 cho W = ⟨((1, 1, 1) , (0, 1, −1))⟩ ; U = ⟨((2, 2, 2) , (1, 2, m))⟩ Với giá trị m W = U? a m = b m ̸= c m = d m ̸= Bài tập 6.47 Với giá trị m khơng gian hệ x + y + 2z − t = 2x + 2y + z + t = −x + y + z + mt = có số chiều lớn a m ̸= b m = c m ̸= Trang 248 d ∀m Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Bài tập 6.48 Trong R3 cho không gian W = {(x, y, z) : mx1 + x3 = 0} Tìm tất m để dim W = a m ̸= b m = a m ̸= b m = c m = d ∀m Bài tập 6.49 Cho không gian W = {(x, my, z) : x, y, z ∈ R} Tìm tất m để W = R3 c m = Bài tập 6.50 Cho không gian d m ̸= W = {((m + 1) x, y, (m + 2) z) : x, y, z ∈ R} Tìm tất m để W ̸= R3 a m ̸= −1 m = −2 b m ̸= −1 ∨ m ̸= −2 c ∀m d Các câu sai Bài tập 6.51 Trong R2 cho quy tắc ⟨X|Y ⟩ = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + mx2 y2 với X = (x1 , x2 ) , Y = (y1 , y2 ) Tìm m để ⟨X|Y ⟩ tích vơ hướng a m > b m < c m = Bài tập 6.52 Trong R2 cho tích vơ hướng d m ̸= ⟨X|Y ⟩ = 3x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 Z = (1, 2) Tìm độ dài vector Z √ √ b ∥Z∥ = a ∥Z∥ = 11 c ∥Z∥ = 11 Bài tập 6.53 Trong R2 cho tích vơ hướng d ∥Z∥ = ⟨X|Y ⟩ = 2x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + x2 y2 Z = (1, −1) , T = (2, m) Tìm m để Z⊥T a m = b m = c m ̸= d m = Bài tập 6.54 Trong R4 với tích vơ hướng tắc, cho hệ vector P = ((1, 1, 1, 1) , (0, 0, 0, 0) , (2, 1, 1, m)) Tìm m để P hệ trực giao a m = −4 b ∀m c m = Trang 249 d m = ... hàm số không thiết phải xác định điểm x = a Khi tính giới hạn ta xét giá trị hàm lân cận điểm a khác a x2 − = x→2 x − Ví dụ 1.2 Chứng tỏ lim Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải Hàm số cho không... hạn tồn tại), k = lim x→a β (x) • Nếu k = 0, ta nói β(x) VCL bậc cao α(x), k? ? hiệu β (x) ≫ α(x) • Nếu k = ±∞ α(x) ≫ β(x) • Nếu k ̸= 0, k ̸= ±∞ ta nói α(x) β(x) hai VCL bậc Trường hợp k = ta nói... (x) khả vi x0 Nếu f (x) khả vi điểm x ∈ (a, b) ta nói f (x) khả vi (a, b) Nhận xét 2.1 Nếu hàm số f (x) khả vi x0 f (x) liên tục x0 f (x) liên tục x0 ta khơng suy f (x) khả vi x0 Năm 1872 Karl
Ngày đăng: 23/12/2022, 09:08
Xem thêm:
