VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học: 2018 - 2019 ĐỀ THI THỬ SỐ Môn thi: TỐN - Lớp 11 THPT Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu Số báo danh …………………… Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số y x m x m (*) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m Tìm m để đường thẳng y 2 x cắt đồ thị hàm số (*) hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung Giải bất phương trình (2 x 1) x x (2 x ) x x 1 Câu II (4,0 điểm) 3 cos x sin x 1 Giải phương trình 3tan2 x 2sin x 2 cos x sin x cos2 x 1 x y x y y x Giải hệ phương trình x y x 19 y Câu III (4,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc Chứng minh bất đẳng thức a b3 c ab bc ca 2 2 a b b c c a 2 Cho f n n n 1 Xét dãy số un : un f 1 f 2n 1 f f f 2n Tính lim n un Câu IV (4,0 điểm) Từ tập A 0;1; 2;3; 4;5;6 có số tự nhiên có năm chữ số chia hết cho Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường trịn (C ) có tâm · · , MI · P = 900 Tiếp tuyến đường tròn C Q cắt tiếp tuyến M , P I , MQP > MNP ( ) 11 ÷ Tìm tọa độ giao điểm A E , F Phương trình đường thẳng I F : x - 7y + = 0, N (- 2; 4), E ỗỗ1; ữ ữ ỗ 3÷ tiếp tuyến với đường trịn (C ) M P Câu V (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có AB BC CA a , SA SB SC a , M điểm khơng gian Gọi d tổng khoảng cách từ M đến tất đường thẳng AB , BC , CA , SA , SB , SC Tìm giá trị nhỏ d VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Cho hình chóp tam giác S ABC cạnh đáy a , đường cao SO 2a Gọi M điểm thuộc đường cao AA' tam giác ABC Xét mặt phẳng P qua M vng góc với AA' Đặt AM x a a 3 x Tìm x để thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng P có diện tích lớn ………………… Hết………………… ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Câu I NỘI DUNG Cho hàm số y x 2mx 3m (*) Điểm 2.0 4,0 điểm Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số (*) m Tìm m để đường thẳng y 2 x cắt đồ thị hàm số (*) hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung Lập bảng biến thiên Vẽ đồ thị 0.50 0.50 Yêu cầu toán Phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt x 2mx 3m 2 x x 2(m 1) x 3m ' 3( m 1) 2( m 1) m 1 ' m 4 0.50 Kết hợp nghiệm, kết luận m 4 Giải bất phương trình 0.50 (2 x 1) x x (2 x ) x x 2.0 1 Điều kiện: x Ta có: x (2 x ) x x x x x x ( x ) 0.50 2( x x ) x ( x x ) ( x x )(2 x ) 0, x 0;1 () (2 x 1) x ( x x ) (2 x ) 0.50 ( x ) ( x ) x ( x x ) (2 x ) ( x x ) ( x x ) x ( x x ) (2 x ) ( x x ) x x , : x x 0, x 0;1 x x(1 x ) x x x (1 x ) : x 0;1 Kết luận: Tập nghiệm cần tìm bất phương trình x 0;1 II 4,0 điểm 3 cos x sin x 1 Giải phương trình 3tan2 x 2sin x 2 cos x sin x cos2 x Điều kiện: cos2 x x k k (*) 0.50 0.50 2.0 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Với điều kiện phương trình cho tương đương với: cos x sin x sin2 x 2cos2 x 3sin2 x 2cos 22 x cos x sin x cos2 x cos x sin x cos2 x sin2x 1 3sin2x sin 2x 2 sin2x 2sin 2x sin2x sin2x 2 k x k 12 Với sin2 x k x 5 k 12 Với sin2 x x 0.50 5 k k 12 k 12 1 x y 2 y x Giải hệ phương trình x 3y x y x 19 y 19 x 0, y Điều kiện x y Từ 1 : s dụng bất đẳng thức x x 3y y x 3y G ta có x x y 1 x x y x y x 3y x y x 3y 2y 11 2y , cộng hai kết ta x 3y x 3y 1 x 3 , tương tự ta cⴧng có x 3y x y 1 suy VT 1 x y x 3y y x ấu y ch x y 3 2.0 0.50 x y 0.50 0.50 Kết hợp với điều kiện (*) ta nghiệm phương trình cho là: x x 0.50 x y 1 y 3 , y 3x x y 1 x y VP 1 2 x y 0.50 Thế vào phương trình ta pt: x x x 19 3x Giải pt x x 3 x x 3 19 x 13 x 0.50 3 x x 2 x x 2 x x 5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 9 x x 2 19 3x 13 x x2 x 2 0 x x 19 x 13 x x x x x 2 (Loại) 3 Khi x y x Th lại x; y 1;1 thỏa mãn hệ phương trình 0.50 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1;1 III Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc Chứng minh bất đẳng thức ab bc ca 2 2 a b b c c a 2 a 4a b 6a b 4ab b a b 2a 2b 4ab a ab b a b3 c 4,0 điểm a b 2.0 a ab b a b ab 1a b 1 2 a b 4ab a b 4b a bc 1b c ca 1c a Tương tự có 2 ; b c 4c b c a 4a c o đó, cộng theo vế bất đẳng thức s dụng bất đẳng thức Schur giả thiết abc ta bc ca b c c a a b ab 3 2 2 b c a b b c c a 4 a bc b c ca c a ab a b 3 a b c 3abc a b3 c 4abc 4 bc ca ab Hay a b3 c 2 1 2 a b b c c a 0.50 a b 4ab a ab b 0.50 0.50 ặt khác a3 b3 c3 3.3 abc 0.50 ab bc ca Từ 1 suy a b3 c 2 18 a b b c c a ab bc ca o a b3 c 2 2 a b b c c a ấu đẳng thức ảy ch a b c Cho f n n n 1 Xét dãy số un : un 2 f 1 f 2n 1 f f f 2n Tính 2.0 lim n un Ta có: f n n n 1 n 1 n n N* 1 2 un 2 2 n 1 1 5 2 n 2 n 1 22 132 42 2 n 2 2 2 0.50 0.50 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 0.50 2n 2n lim n un lim IV 4,0 điểm n 2n 2n 1 lim 2 n n2 0.50 Từ tập A 0;1; 2;3; 4;5;6 có số tự nhiên có năm chữ số chia hết cho 2.0 Gọi số phải tìm có dạng a1a2 a3a4 a5 , A , i 1, Kết hợp với đề ta có: a1 a2 a3 a4 a5 ; a1 a2 a3 a4 a5 18 ; a1 a2 a3 a4 a5 27 Ta xét trường hợp 1: a1 a2 a3 a4 a5 , với a1 , với i 2,3, 4,5 0.50 a1 x2 x3 x4 x5 13 Đặt xi , với i 2,3, 4,5 , ta có: 1 a1 1 x i 1 Số nghiệm nguyên dương 1 C124 Nếu a1 , ta có 1 x2 x3 x4 x5 xi , nên không trùng với trường hợp xi Phương trình có C64 nghiệm Nếu xi , ta có 1 a1 x j a1 , x j nên không trùng với trường họp j i trên, phương trình có C54 nghiệm nên với vị trí xi có 4C54 nghiệm Vậy trường hợp có C124 C64 4C54 số thỏa mãn 0.50 Ta xét trường hợp 2: a1 a2 a3 a4 a5 18 , với a1 , với i 2,3, 4,5 x1 x2 x3 x4 x5 17 Đặt xi , với i 2,3, 4,5 , ta có: 1 x1 1 x 7, i 2,3, 4,5 i 2 Số nghiệm nguyên dương C164 Nếu x1 , ta có 1 x2 x3 x4 x5 10 xi , nên không trùng với trường hợp x1 Phương trình có C104 nghiệm Nếu xi , i 2,3, 4,5 ta có a1 x j x j nên không trùng với j i trường họp trên, phương trình có C94 nghiệm nên với vị trí xi có 4C54 nghiệm Vậy trường hợp có C164 C104 4C94 số thỏa mãn Ta xét trường hợp 3: a1 a2 a3 a4 a5 27 , với a1 , với i 2,3, 4,5 x1 x2 x3 x4 x5 Đặt xi , với i 1, 2,3, 4,5 , ta có: 1 x1 1 x 7, i 2,3, 4,5 i 3 0.50 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Từ xi xi nên tập nghiệm 3 không vượt khỏi miền ác định xi Phương trình có C74 nghiệm 0.50 Vậy trường hợp có C74 số thỏa mãn Như tất có C124 C164 C74 C64 C104 4C54 4C94 1601 số Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường trịn (C ) có 2.0 · · · tâm I , MQP > MNP, MI P = 900 Tiếp tuyến đường tròn (C ) Q cắt tiếp tuyến lần M ,P lượt E, F Phương trình đường thẳng 11 ÷ Tìm tọa độ giao điểm A tiếp tuyến I F : x - 7y + = 0, N (- 2; 4), E ỗỗ1; ữ ữ ỗ 3ữ vi ng trũn (C ) M P 0.50 · · o MQP nên Q nằm cung nhỏ MP Vì A M I P hình vng, I E > MNP · F = MI · P = 450 · Q, I F phân giác góc PI · Q nên EI phân giác góc MI uur 11÷ ÷ Khi đó, Gọi I (7a - 8; a ) ị EI ỗỗ7a - 9; a ỗ ÷ 3÷ uur uur · F = cos EI ; u = cosEI = IF ( ) (7a - 9) + a - 11 11÷ ữ 50 (7a - 9) + ỗỗa ữ ỗ 3ữ = 2 200 400 850 Û 50a = 25 50a a+ Û 3a - 8a + = Û 3 a= 11 ữ Iỗ ỗ ; ữ ữ ỗ 3÷ IE = 136 < IN = 338 , không thỏa mãn éa = ê ê êa = ê ë 0.50 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí a = Þ I (- 1;1), thỏa mãn ur Gọi n (c;d ) c2 + d ¹ vtpt MA Khi đó, phương trình ( ) 0.50 11÷ ÷ = Û 3c (x - 1) + d (3y - 11) = MA : c (x - 1) + d ỗỗỗy ữ 3ữ Vỡ MA tiếp tuyến (C ) nên - 6c - 8d d (I ; MA ) = I N Û 9c + 9d 10 Û 36c + 96cd + 64d = 90c + 90d = é9c = 13d Û 27c2 - 48cd + 13d = Û ê ê3c = d ê ë Nếu d = 3c chọn c = Þ d = Þ Phương trình MA : x + 3y - 12 = Nếu 13d = 9c chọn c = 13 Þ d = Þ Phương trình MA : 13x + 9y - 46 = Với phương trình MA : x + 3y - 12 = PT QE : 13x + 9y - 46 = ta tìm 0.50 14 ÷gọi tọa độ điểm A (12 - 3b;b) ta có tọa độ im M (0; 4), Q ỗỗ ; ữ ỗ5 ÷ ÷ éb = 2 2AM Þ (13 - 3b ) + (b - 1) = 20 Û 10b - 80b + 150 = Û ê êb = ê ë · · b = A (3; 3) P (2; 0), thỏa mãn MQP > MNP AI = · · < MNP b = Þ A (- 3; 5) Þ P (- 4;2), khơng thỏa mãn MQP Với phương trình MA : 13x + 9y - 46 = PTQE : x + 3y - 12 = ta tìm V 14 · P < MI · Q Vậy A 3; ÷, Q (0; 4) loi MI ta im M ỗỗ ; ữ ( ) ữ ỗ5 ữ Chỳ ý: Nu học sinh thừa nghiệm hình trừ 0,25 điểm Cho hình chóp S ABC có AB BC CA a , SA SB SC a , M điểm khơng gian Gọi d tổng khoảng cách từ M đến tất đường thẳng AB , BC , CA , SA , SB , SC Tìm giá trị nhỏ d 4,0 điểm 0.50 S I J O A K C F E 2.0 G D B VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Ta có khối chóp S ABC khối chóp tam giác Gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi SG chiều cao khối chóp S ABC Gọi D , E , F trung điểm BC , AB , CA I , J , K hình chiếu D , E , F SA , SC , SB Khi DI , EJ , FK tương ứng đường vng góc chung cặp cạnh SA BC , SC AB , SB CA Ta có DI EJ FK o SID SJE nên SI SJ Suy ED ∥IJ (cùng song song với AC ) o bốn điểm D , E , I , J đồng phẳng Tương tự ta có bốn điểm D , F , I , K E , F , J , K đồng phẳng Ba mặt phẳng DEIJ , DFIK , EFJK đôi cắt theo ba giao tuyến DI , EJ , 0.50 FK Suy DI , EJ , FK đồng quy điểm O thuộc SG Xét điểm M khơng gian 0.50 d M , SA d M , BC DI Ta có d M , SC d M , AB EJ d DI EJ FK d M , SB d M , AC FK o d nhỏ DI EJ FK 3DI M O Ta có AD sin SAG a a 2a , AG AD , SG SA AG , 3 0.50 SG 2 a 2 a Suy DI AD.sin SAD SA 3 Vậy giá trị nhỏ cần tìm 3DI a a Cho hình chóp tam giác S ABC cạnh đáy a , đường cao SO 2a Gọi M điểm thuộc đường cao AA' tam giác ABC Xét mặt phẳng P qua M 2.0 a a 3 x Tìm x để thiết diện hình vng góc với AA' Đặt AM x chóp cắt mặt phẳng P có diện tích lớn 0.50 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Theo giả thiết M thuộc OA’ Ta có SO (ABC) SO AA’, tam giác ABC nên BC AA’ Vậy (P) qua M song song với SO BC Xét (P) (ABC) có M chung o (P) // BC nên kẻ qua M đường thẳng song song với BC cắt AB, AC E, F Tương tự kẻ qua M đường thẳng song song với SO cắt SA’ N, qua N kẻ đường 0.50 thẳng song song với BC cắt SB, SC H, Q Ta có thiết diện tứ giác EFGH Ta có EF // BC // GH, M, N trung điểm EF, GH nên EFGH hình thang cân đáy HG, EF Khi đó: S EFGH (EF GH ).MN Ta có AA ' EF = a a , AO nên 2x 3 HG SN OM MN MA ' HG x a MN 3a x BC SA ' OA ' SO OA ' SEFGH = (EF + GH) N = x 3 a a x 3 SEFGH SEFGH 3a 3a đạt giá trị lớn ch x Vậy giá trị lớn diện tích thiết diện 3a 3a x .Hết Tham khảo tài liệu học tập lớp 11 đây: https://vndoc.com/tai lieu hoc tap lop 11 0.50 1 3a 3a2 = x 3a a x ( theo Cosi) 3 2 0.50 ... Theo giả thi? ??t M thuộc OA’ Ta có SO (ABC) SO AA’, tam giác ABC nên BC AA’ Vậy (P) qua M song song với SO BC Xét (P) (ABC) có M chung o (P) // BC nên kẻ qua M đường thẳng song song với... BC cắt AB, AC E, F Tương tự kẻ qua M đường thẳng song song với SO cắt SA’ N, qua N kẻ đường 0.50 thẳng song song với BC cắt SB, SC H, Q Ta có thi? ??t diện tứ giác EFGH Ta có EF // BC // GH, M,... diện tích thi? ??t diện 3a 3a x .Hết Tham khảo tài liệu học tập lớp 11 đây: https://vndoc.com/tai lieu hoc tap lop 11 0.50 1 3a 3a2 = x 3a a x ( theo Cosi) 3 2 0.50