Giáo trình các phương pháp tính truyền nhiệt

Giáo trình các phương pháp tính truyền nhiệt Giáo trình các phương pháp tính truyền nhiệt Giáo trình các phương pháp tính truyền nhiệt Giáo trình các phương pháp tính truyền nhiệt Giáo trình các phương pháp tính truyền nhiệt Giáo trình các phương pháp tính truyền nhiệt Giáo trình các phương pháp tính truyền nhiệt Giáo trình các phương pháp tính truyền nhiệt Giáo trình các phương pháp tính truyền nhiệt Giáo trình các phương pháp tính truyền nhiệt Giáo trình các phương pháp tính truyền nhiệt

Đại học Đà Nẵng Trờng Đại học bách khoa Khoa công nghệ nhiệt điện lạnh PGS, TS Nguyễn Bốn Các phơng pháp tính truyền nhiệt - Đà Nẵng - 2001 - CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chơng 1: Mô hình toán dẫn nhiệt 1.1 Định luật Fourier 1.1.1 Thiết lập Tính nhiệt lợng Q dẫn qua mặt dS cách lớp phân tử khí có nhiệt độ T1 > T2 đoạn quÃng đờng tự trung bình z T1 x H1 Để chứng minh định luật Fourier * Lợng động qua dS từ T1 vµ T2 lµ: i no ω dS dτ kT1 d2E2 = E d2n = i no ω dS dτ kT2 Trõ hai phơng trình cho nhau, ta đợc: 2Q = ( E - E 2)d2n = ⎛ dT ⎞ ⎟ ⎝ dx ⎠ V× T1 - T2 = - ⎜ δ2Q = Do ik no ω dSdτ (T1 - T2) 2 λ nªn i dT no k ϖ λ dS dτ dx iR i i µ R 1 no k = no = (no ) ( ) = co nên 2à 6 N N 3 CuuDuongThanCong.com T2 O no ω dS dτ d2E1 = E d2n = λ y * Vì T1 T2 sai khác bé, nên coi mật độ phân tử no vận tốc trung bình r phân tử hai lớp nh Do ®ã, thêi gian dτ, sè ph©n tư ë T1 vµ T2 qua dS lµ nh− nhau, b»ng: d2 n = λ https://fb.com/tailieudientucntt δ2Q = - ( ρco ω λ ) dT dT dS dτ = - λ dS dτ dx dx δ2Q ⎛ ∂T ⎞ hay =q=-λ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ dSdτ * Khi dS cã vị trí q = - gradT r r hay dạng vectơ dòng nhiệt q = - gradT 1.1.2 Phát biểu: Vectơ dòng nhiệt tỷ lƯ thn víi gradient nhiƯt ®é: r r BiĨu thøc vectơ: q = - gradT Dạng vô hớng: q = - λgradT, [W/m2]; δQ = - λgradT.dS, [W] 1.1.3 HƯ sè dÉn nhiƯt HƯ sè dÉn nhiƯt lµ hƯ số định luật Fourier: = |q/gradT| [W/mK] Theo chøng minh trªn ta cã: 1 ⎛ p ⎞ ⎛ 8kT ⎞ ⎛⎜ kT ⎞⎟ ⎟⎜ λ = ρ ω λ cv = ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ Cv 3 ⎝ RT ⎠ ⎝ πm ⎟⎠ ⎝ πd p ⎠ cv = d k 3T cho thấy: không phụ thuộc p, T m cv đờng kính d khối lợng phân tử m giảm Định luật Fourier cho chất rắn, lỏng, khí 1.2 Phơng trình vi phân dẫn nhiệt z 1.2.1 Định nghĩa: Phơng trình vi phân dẫn nhiệt phơng trình cân nhiệt cho mét dV ρ C qλ λ qω ph©n tè dv bên vật q 1.2.2 Thiết lập Luật cân b»ng nhiƯt cho dV ∈ V lµ: V y x O H2 CBN cho dV CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt [L−ỵng nhiƯt phát sinh dV] - [Thông lợng nhiệt qua dV]= [BiÕn thiªn entanpy cđa dV] Cho tr−íc (qv, ρ, cp, ) dV, viết phơng trình d¹ng: ∂t r qvdVdτ - div q dVdτ = ρdV.cp dτ ∂τ ∂t r q = v div q , dòng nhiệt qua dV là: c p ρc p r r r r r q = q λ + q ω = - λ gradt + ρ ω cpt, r r r ®ã: div q = div (ρcp ω t- λ gradt ), coi (ρ, cp) = const ta cã : r r r div q = ρcp div (t ω ) - div (λ gradt ) r r r r r r = ρcp (tdiv ω + ω gradt ) - λdiv ( gradt )- gradt gradλ r r r r r = ρcp (tdiv ω + ω gradt ) - λ∇2t - gradt grad hay Vậy phơng trình có dạng: t r r qv r r r λ = - tdiv ω - ω gradt + ∇ t + ( gradt grad λ)/ρcp ρc p ∂τ c pρ ∂t ∂t r dt r dt dx dt dy dt dz + ω gradt = + + + = ∂τ ∂τ dx dτ dy dτ dz d d nên phơng trình vi phân dẫn nhiệt sau đặt a = , Cp là: qv r r dt r = a∇ t + ρc + ρc gradt gradt λ) - tdiv ω , víi: p p dτ r r r r gradt grad tích vô hớng vectơ gradt grad , 2t = t toán tử Laplace nhiệt độ, có dạng: 2t = 2t 2t ∂ 2t , z )vu«ng gãc (xyz)) täatäa x, y®é ⎪ + + (trong (trong ∂y ∂z ⎪ ∂x ⎪⎪ ∂ t ∂t ∂ t ∂ t , z )®é trơ (rϕz)) r , ϕtäa ⎨ + ⋅ + ⋅ + (trong (trong r ∂r r ∂ϕ ∂z ⎪ ∂r ⎪ ∂ t ∂t cos θ ∂t ∂ 2t ∂ 2t (trong r ,θ , ϕ ) + 2 + + ⎪ + ⎪⎩ ∂r r ∂r r ∂θ r sin θ ∂θ r sin θ∂ϕ (trong täa ®é cầu (r)) 1.2.3 Các dạng đặc biệt phơng trình vi phân dẫn nhiệt r * Với vật rắn, = 0, phơng trình có dạng: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt r ∂t r q gradt gradλ = a∇2t + v + ∂τ ρc p ρc p * VËt r¾n có = const xyz phơng trình là: * Vật rắn có = const , ổn định nhiệt a2t + ∂t q = a∇2t + v ∂τ ρc p t = 0, phơng trình là: qv = Nếu nguồn nhiệt, qv = 0, 2t = 1.3 Các điều kiện đơn trị (ĐKĐT) 1.3.1 Định nghĩa: ĐKĐT điều kiện cho trớc nhằm xác định nghiệm hệ phơng trình 1.3.2 Phân loại ĐTĐT: Theo nội dung, ĐKĐT đợc phân loại sau: Điều kiện hình học: Cho biết thông số hình học đủ để xác định hình dạng, kích thớc, vị trí hệ Điều kiện vật lý: Cho biết luật phân bố thông số vật lý theo nhiệt độ t M hệ; tức cho luật xác định (, cp, λ, a ) = f(t, M∈V) §iỊu kiƯn ban đầu: Cho biết luật phân bố nhiệt độ lúc = điểm M hệ, tức cho biÕt t = t(x, y, z, τ = 0), ∀(x, y, z) V Điều kiện biên: Cho biết luật phân bố nhiệt độ luật cân nhiệt điểm biên W, thời điểm τ, tøc cho biÕt: t = t(M, τ) hc r gradt = f(M, τ, t) ∀M (x, y, z) ∈ V xét 1.3.3 Các loại điều kiện biên (ĐKB) Tại miền Wi mặt biên kín W = Wi, tuỳ theo cách phân bố t cách trao đổi nhiệt, ta cho biết loại ĐKB sau đây: ĐKB loại 1: Cho biết luật phân bố nhiệt độ t điểm M1 ∈ W1 ë mäi thêi ®iĨm: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt t = t (M1, ), M1 W1, ĐKB loại 2: Cho biết dòng nhiệt dẫn qua biên: q (M2,) = -λ tøc cho biÕt Khi ∂t , ∂n ∂t −1 = q (M2, τ), ∀M2 ∈ W2, ∀τ ∂n t = q = tức biên W2 đợc cách nhiệt tuyệt đối n biên đối xứng, lúc t đạt cực trị W2, đờng cong t(M) có tiếp tuyến nằm ngang ĐKB loại 3: Cho biÕt biªn W3 tiÕp xóc chÊt láng cã tf, toả nhiệt chất lỏng theo luật: -λtn (M3, τ) = α[t(M3, τ) - tf], tøc cho biÕt gradt (M3) = [tf - t(M3)]/(λ/α), ∀M3 ∈ W3, ĐKB loại 4: Cho biết luật CBN biên W4 tiếp xúc vật rắn khác, có nhiệt độ t4 4, M4 W4, phơng trình cân b»ng nhiƯt cã d¹ng : -λ ∂t (M ) ∂t (M ) = λ4 4 vµ t(M4) = t4 (M4) n n ĐKB loại 5: Cho biết luật cân nhiệt biên W5 di động, có chuyển pha, trao đổi chất (khối lợng thay đổi) biến dạng: t - dx d ∂t ∂x -λ -rcρ x5 ∂t ' ∂n dx dτ -λ dx ∂t ' ∂t (M ) = r cρ - λ' (M5), dτ ∂n ∂n xx víi r = nhiƯt chun pha; c dx d = vận tốc biên W5; : khối lợng riêng pha míi H3 CBN trªn biªn W5 1.3.4 ý nghÜa hình học loại ĐKB Dạng đờng cong phân bố nhiệt độ t(x, y, z, ) lân cận biên W, CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt tuỳ theo cách cho ĐKB, có đặc điểm hình học sau đây: Đờng cong t(M,) W Cách cho ĐKB t ý nghĩa hình học w tw = const Mo V t(M) qua điểm cố định Mo W x t t w =0 n t(M) đạt cực trị W c¸ch nhiƯt q=0 V β=0 x W ∂t w = const n Các tiếp tuyến t(M) W song song, gãc β = const β = const V x W ∂t w t −t = f w ∂n λ/α V -λ λ α C¸c tiÕp tun cđa t(M) t¹i tf x γ Vo V x dx ∂t w = re ρ ∂n dτ δt 'w -λ δn λ α W3 qua ®iĨm R( , tf) W λ ∂t ow ∂t w = λ ∂x ∂n tW = t4W R t(M) liên tục, không khả vi W4 = const W5 di chuyển víi tèc ®é V dx dτ ω= x dx d H4 Minh hoạ ý nghĩa hình học ĐKB 1.4 Mô hình toán dẫn nhiệt Mô hình toán học toán dẫn nhiệt mét hƯ ph−¬ng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt t w1(M,τ ) W5 W1 qv ∂t = a∇ t + ρ vµ c (t) = ∂τ ρ, c, λ,qv ∂ w2 q(M, ) -1 ∂x τ ∂t −λ ∂ n rcf dx dτ M W2 ∂t ∂ w x W3 −λ ∂ t ∂n −λ o ∂ to ∂n W4 -t f] [tw Mục đích truyền nhiệt tìm phơng pháp giải hệ (t) để tìm hàm phân bố t(x,y,z,) thoả mÃn hệ (t) qv t = a t + c phơng trình mô tả ĐKĐT H5 Mô hình toán DN CuuDuongThanCong.com ' t' n trình vi phân (t), gồm phơng trình vi phân DN phơng trình mô tả ĐKĐT nh sau: https://fb.com/tailieudientucntt Chơng 2: Phơng pháp giải tích 2.1 phép chuẩn hoá định lý hợp nghiệm: 2.1.1 Nội dung phơng pháp giải tích ý tởng Fourier chuyển phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính thành số phơng trình vi phân thờng tơng đơng, cách tách biến, tìm nghiệm riêng ổn định biến thiên số Các cách đợc sử dụng tuỳ thuộc tính hay không phơng trình dẫn nhiệt phơng trình vi phân mô tả điều kiện biên 2.1.2 Phơng trình vi phân không TN - Định nghĩa: Phơng trình vi phân F(t, tx, txx) = đợc gọi khi: t nghiệm phơng trình ct, c =const, cịng lµ nghiƯm cđa F(t, tx, txx) = - VÝ dô: tτ = atxx, tx(0,τ) = - α t(0,τ) lµ TN λ tτ = a∇2t + qv −α , tx (L, τ) = [t(L, τ) - tf] lµ không TN c Nhận xét: Phơng trình truyền nhiệt không chứa số hạng tự do, nh qv tf, phơng trình 2.1.3 Nguyên lý hợp nghiệm Nếu ti,i = 1ữn, nghiệm riêng toán biên n (tức phơng trình vi phân ĐKB nhất), t = C i t i cịng lµ i =1 nghiƯm cđa bµi toán TN đó, Ci = const 2.1.4 Phép chuẩn hoá - Định nghĩa: Phép chuẩn hoá hệ phơng trình cách đổi biến thông số có thứ nguyên thành biến thông số không thứ nguyên - Lợi ích phép chuẩn hoá đơn giản hệ phơng trình cách 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt dt ije dτ = a a a (t 2t + t ) (t 2t + t ) (t - 2te + te+1) ij j j+1 iι ∆2z e-1 ∆2x i-1 i i+1 jι ∆2y j-1 5.2.2 PhÐp sai ph©n vËt lý: PhÐp sai phân vật lý cách thay phơng trình vi phân DN phần tử nút phơng trình cân nhiệt: [độ tăng nội nút]=[tổng dòng nhiệt vào nút][tổng dòng nhiệt khỏi nút] hay dạng cụ thể là: cxyz + z ij-1l ijl +1 ∆y a λ ijl jl (i -1) ∆x ∆ y ∆z ij+1l ∆z x )jl (i +1 ∆x ijl -1 V O dtije λ = [ (ti-1 - ti)jι∆x∆z d x y t H26 Để sai phân ft = a∇2t ∂τ λ (tj-1 - tj)ie∆x∆z + ∆y λ λ λ λ (te-1 - te) ij∆x∆y] - [ (ti - ti+1)je∆y∆z + (tj - tj+1) ie∆x∆z + (te ∆z ∆x y z te+1) ijxy] Phép sai phân thờng dùng cho nút biên - Nếu nút (ijl) W1 trị số tijl đà cho trớc x - Nếu (ijl) W20 (cách nhiệt) cho qi,i+1 (hoặc qi-1,i) 0, hay coi ti-1= ti+1 tức biên đối xứng (§X) - NÕu (ijl) ∈ W2y cã q ≠ thay qj,,j+1 (hoặc qj-1,,j) q q(x,y,z,) - Nếu (ijl) W3z với , tf đà cho thay qι,ι+1 (hay qι-1, ι) b»ng α (tijι-tf) - NÕu (ijl) nằm cạnh hay góc, nơi có hay ĐKB phân biệt, thay đồng thời dòng nhiệt tơng ứng Chú ý: Các phần tử biên thờng chọn kích thớc theo phơng vuông góc biên /2, đó, thể tích phần tử phơng trình 50 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt c©n b»ng nhiƯt cã thĨ b»ng 1 , , hc , , thĨ tÝch ph©n tư 8 (xyz) 5.3 Các phơng pháp xấp xỉ đạo hàm theo thêi gian §Ĩ xÊp xØ dt i ta chia thêi gian dτ t dt i dτ k C tik+1 E dt i d E H27.Để xấp xỉ thời ®iÓm τk: ti,k+1= tik + I τ ∆τ O τk=k k+1 cách sau đây: 5.3.1 Phơng pháp Euler: Tính tik+1 theo giá trị đạo hàm ti (τ) tik tik+1 I tik+1 C tik+1 c¸c khoảng ký hiệu ti,k nhiệt ®é t¹i nót i lóc τk= k∆τ PhÐp xÊp xØ cho phép tính nhiệt độ tik+1 nút i lóc dt i τk+1= (k+1)∆τ theo tik, ∆τ vµ dτ i dt i d (E) Phơng pháp cho hệ phơng trình đại số dạng tờng minh Ví dụ: Phơng trình cân nhiệt cho nút chiều, sau a đặt p = , sÏ cã d¹ng: ∆x tik+1 = tik + a ∆2x (ti-1 - 2ti + ti+1)k∆τ = [pti-1 + (1-2p)ti + pti+1]k 53.2 Phơng pháp ẩn (Implicit): Tính tik+1 theo dt i d k+1 công thức: tik+1 = ti, k + dt i dτ k+1 ∆τ (I) Phơng pháp cho hệ phơng trình đại số ẩn - Ví dụ: Phơng trình cân nhiƯt cđa nót chiỊu sÏ cã 51 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt dạng: [-pti-1+(1-2p)ti-pti+1]k+1 = tik 5.3.3 Phơng pháp Crank-Nicolson: Tính tik+1 theo trị trung bình tik+1 = tik + ⎡ dt i ⎢⎣ dτ k + dt i dτ k +1 dt i dτ t¹i lóc τk k+1 công thức Phơng trình cho hệ phơng trình đại số dạng ẩn Ví dụ phơng trình cho nút cã d¹ng: [ −1 1 ⎡ dt i pti −1 + (1 + p )ti − pti +1 ]k +1 = ⎢⎣ dτ 2 k + dt i dτ k +1 ⎤ ⎥ ∆τ ⎦ 5.3.4 Phơng pháp tổng quát: Tính ti,k+1 theo dt i d k+1 (C) dt i d k với thông số tù chän ϕ, ≤ ϕ ≤ 1, theo c«ng thøc ti,k+1 = ti,k + [(1- ϕ) dt i dτ k + dt i d k+1 ] (T) Phơng pháp xấp xỉ Euler, Implicit, Crank-Nicolson dạng đặc biệt phơng pháp tổng quát, tơng ứng = 0, ϕ = 1, ϕ =1/2 VÝ dơ cho nót :[ϕpti-1+ (1-2ϕp)ti+ϕpti]k+1 = {(1-ϕ)pti-1+ [12(1-ϕ)pti +(1-ϕ)pti-1}]k C¸c chó ý: - Khi chọn bớc thời gian nhỏ nghiệm số xác, nhng khối lợng tính toán lớn - Khi chọn phải đảm bảo điều kiện ổn định nghiệm, điều kiện tuỳ thuộc phơng pháp xấp xỉ thời gian đợc sử dụng: ff Euler: ∆τ ≤ 2a (1 + B) ff Cr-Nic:∆τ ≤ ∆ a (1 + B) α∆ Víi B = λ Phơng pháp ẩn nghiệm số ổn định, không hạn chế 52 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phơng pháp Crank - Nicolson cho nghiệm xác nhất, bớc lớn phơng pháp Euler, nhng hệ phơng trình đại số dạng ẩn phức tạp 5.4 Các phơng pháp giải hệ phơng trình đại số tuyến tính: - Dạng tổng quát hệ phơng trình đại số tuyến tính n ẩn xi, n i =1ữn a j=1 ij x j =bi, ∀i =1÷n hay : a11x1 + a12 x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22 x2 + + a2nxn = b2 … … an1x1+an2x2+ +annxn =bn HƯ nµy cã thĨ viÕt ë d¹ng ma trËn Ax = b ⎡a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎢a ⎣ n1 a12 a1n a 22 a 2n a 22 a nn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ x1 ⎢x ⎢ ⎢ ⎢ ⎣x n ⎤ ⎡ 1⎤ ⎥ ⎢b ⎥ ⎥ = ⎢ 2⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣b n ⎦ b Nếu định thức det (A) hệ Ax = b cã nghiÖm: xi = det( D i ) ∀i =1ữn, Di ma trận vuông nhận đợc det( A ) b»ng c¸ch thay cét ∈ A cột bi Để tính định thức dùng quy tắc Cramer, nhiên không tiện lợi n > - Khi n kh¸ lín cã thĨ giải hệ phơng pháp khử Gauss hay Jordan phơng pháp lặp (Jacob, GaussSeidel.v.v.) Nội dung phơng pháp xem tài liệu phơng pháp tính Các bớc giải theo phơng pháp thông thờng đà có chơng trình mẫu 53 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5.5 FDM cho toán KOĐ chiều tổng quát: Để minh hoạ bớc áp dụng FDM, giải toán không ổn định chiều qua vách tổng quát với biên W2 + W3 điều kiện đầu tổng quát t(x, = 0) = f(x) t tτ = atxx tx(0,τ) = (τ) tx(L, τ) = −q t(x,0) = f(x) W2 λ q −α λ [t(L,τ)-ιf] t(x,0) = f(x) 1) Chia v¸ch phần = i O ta giải hệ (t) FDM theo bớc đà nêu W3 x i+1 tf L H28 FDM cho toán chiều tổng quát L (bằng nhau), đặc trng cách phần tử nh 2) Chuyển hệ (t) hệ phơng trình vi phân dt i cách d viết phơng trình cân nhiệt cho nút (SP vËt lý): ∆dt1 λ = q − (t1 − t 2), → 2dτ ∆ dt1 2a 2a q − (t1 + t ) gäi a = λ/ρCv→ = dτ λ∆ ∆ - Víi nót ∈ W2: ρCv - Víi c¸c nót i ∈ V: dt λ λ ( t i −1 − t i ) − ( t i − t i +1 ) = ρC v ∆ i → dτ ∆ ∆ dt i a = ( ti-1 - 2ti + ti+1), ∀i= 2,3 dτ ∆ -Víi nót ∈ W3: ρCv ∆ dt ∆ = (t − t ) − α (t4 dτ dt dτ = - tf) → α∆ 2a α∆ a [2t -2(1+ )t ]+ tf ∆2 λ ∆2 λ 54 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt α∆ = B ta có hệ phơng trình vi phân cấp lµ: λ dt i a a q∆ = (-2ti+ 2ti+1) + i=1 dτ ∆ ∆ λ dt i a (ti) = (ti-1- 2ti + ti+1) i = 2,3 dτ ∆ dt i a 2a = [ti-1- 2(1 + B)ti] + Btf i =4 d Đặt 3) Chia thời gian áp dụng phơng trình xấp xỉ, vÝ dơ theo Euler, ®Ĩ chun hƯ (t) vỊ hƯ phơng trình đại số, theo phơng trình: ti,k+1 = ti,k + - ∀i ∈ V cã: dt i dτ k ]∆τ ti,k+1 = ti,k + a a∆τ =F → (ti-1- 2ti + ti+1)k, đặt ti,k+1= [Fti-1+(1-2F)ti+ Fti+1]k ,(i = 2,3) - ∀i ∈ W2: ti,k+1 = ti,k + [ a a q∆ ]∆τ → (-2ti+ 2ti+1) + ∆ ∆2 λ F ti,k+1 = F[( − 2) t i + 2ti+1]k + 2Fq - ∀i ∈ W3: ∆ λ ti, k+1 = tik + ⎧⎨ [2t i −1 − 2(1 + B) t i ] + a ⎩∆ ,(i = 1) 2a ⎫ Bt f ⎬ ∆ ⎭ F ∆τ → ti,k+1 = F[2ti-1+( -2-2B)ti]k + 2FBtf, (i=4) VËy hƯ (ti) chun thành hệ phơng trình đại số sau: F t1,k+1 = F[( -2)t1+2t2]k+2Fq ∆ λ F t3,k+1 = F[(t2+ ( -2)t3+t4]k F t4,k+1 = F[(2t3+ ( -2-2B)t4]k+2FBtf F t2,k+1 = F[(t1+ ( -2)t2+t3]k 55 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4) Lập dạng ma trận cho hệ phơng trình đại số trªn: F t1 ( − 2) t2 = t3 ∆ q λ t1 ( − 2) F 1 ( − 2) F t4 t2 +2F t3 ( − − 2B) t4 k F Btf k+1 C¸c chó ý nhận xét: Với phơng pháp Euler, phải chọn ≤ ∆ = ∆2 L2 = , 2a (1 + B) 18a (1 + B) L - NÕu xấp xỉ theo phơng pháp Crank-Nicolson, hệ phơng trình là: ( + 1) -1 t1 F 1 ( + 1) t2 F = 1 ( + 1) t3 F -1 ( +1+ B) t4 F k+1 ( - 1) F 1 ( - 1) F 2 1 ( - 1) F 1 ( -1- B) F ∆ λ t1 q t2 t3 +2 t4 Btf k 56 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt - Nếu xấp xỉ theo phơng pháp ẩn, phơng trình là: ( + 2) -2 F ( + 2) -1 F -1 ( + 2) -1 F 1 ( +2+2 B) F C¸c nhËn xÐt kh¸c: -1 F t1 t1 t2 = t2 +2F t3 t3 t4 k+1 t4 q ∆ λ k Btf Các hệ phơng trình đại số giải cách thay điều ban đầu t(x,0) = f(x) vµo t(i,0) = f(i∆) cđa ma trËn cét [ti]k=0: [t]0 = [f(0), f(), f(2), f(3)]T sau tìm ti t¹i k=1, tiÕp theo dïng ma trËn[t]1 tÝnh [t]2 v.v Vì B = ,tf q nằm ma trận hệ số tự do,nên đại lợng , , tf q điều kiện biên cho nh hàm (x,y,z, ), chẳng hạn: (, , tf q) = f(x,) Khi giải phơng trình loại cần thay f(x,) f(i, k) vào vị trí tơng ứng ma trận B−íc thêi gian cđa phÐp xÊp xØ Crank-Nicolson lµ: ∆τCN ≤ L2 ∆2 = a (1 + B) 9a (1 + B) tøc cã thĨ chän gÊp b−íc ∆τE phơng pháp Euler 5.6 FDM giải toán không ổn định chiều tổng quát: 5.6.1 Phát biểu toán : Tìm trờng nhiệt độ t(x,y,) vật hai chiều với điều kiện biên loại 1,2,3 điều kiện đầu đợc cho dạng tổng quát: 57 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt t J W20 q=0 12 λ = λ (x, y, τ ) hc λ = λ (t) α ( y ,τ) q(y,τ ) 11 fj q v = q v(x, y,τ ) t f (τ ) 10 W2 x W3 Oo W1 i t(x,0, τ ) = to(x, τ) I t(x,y,0) = f(x,y) H.29-MH toán KOĐ hai chiều tổng quát 5.6.2 Mô hình TH: Tìm t(x,y,) thoả mÃn hệ: q ∂t ∂ 2t ∂ 2t = a( + ) + v ∂τ ∂x ∂y ρc t(x,0,τ) = t1(x,τ) ty(x,j,τ) = (t ) q ( y, τ) −λ tx(0,y,τ) = tx(I,y,τ) = (W1) (W20) (W2) α ( y,τ ) [ t ( I , y,τ ) −λ - tf(y,τ)] (W3) t(x,y,0) = f(x,y) (τo) ≤ x ≤ I, ≤ y ≤ J, (τ > 0) 5.6.3 Giải phơng pháp sai phân hữu hạn: 1) Chia I, J khoản x, y, đánh số thứ tự nút (theo phơng có số nút nhất), không kể nút W1 ( có t đà biết) 2) Sai phân theo toạ độ: - (ij) V, qv = cã : NÕu qv ≠ 0: dt ij dτ - ∀(ij) ∈W20: = a[ dtij dτ = dt ij dτ = a a (t -2t +t ) + (tj-1-2tj+tj+1)i i-1 i i+1 j ∆2x ∆2y ( t i −1 − 2t i + t i +1 ) j ( t j−1 − 2t j + t j+1 )i + ]+ qv 2 ρc ∆y ∆x a a (ti-1-2ti+ti+1)j+ (2tj-1-2tj)i ∆x ∆y 58 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt - ∀(ij) ∈W2: ρc ∆x ∆y t −t t −t t −t dtij = (q-λ ij i +1 j )∆y + (λ ij −1 ij − λ ij ij +1 ) ∆x ∆x ∆y ∆y dτ - ∀(ij) ∈W3: ρc ∆x ∆y t −t t −t t −t dtij ∆x =[λ i −ij ij ) − α( t ij − t f )]∆y + [λ ij−1 ij − λ ij ij +1 )] ∆x ∆y y d (ij) hai biên (góc) phơng trình cân nhiệt kết hợp điều kiện hai biên Ví dụ biên (IJ) (W3+ W20), nút 12 cã : t −t (t − t ) ∆x∆y dtij =[λ i −ij ij -α(tij-tf)] ∆y + λ ij −1 ij ∆x 2 ∆y dτ ∆x t −t (t − t ) ∆x∆y dtij Víi (0,J) t¹i nót cã: ρc = (q − λ ij i +ij ) ∆y + λ ij −1 ij ∆x 2 ∆y ∆x dτ ρc 3) XÊp xØ tijτ ®Ĩ lập hệ phơng trình đại số Chẳng hạn chọn: x = y = đặt F = a ,B= α ( y,τ )∆ λ ( y,τ ) = B(y,), dùng xấp xỉ Euler, hệ phơng trình đại sè cã d¹ng: (V): tijk+1 = F[ti-ij+tij-1 +( -4)tij+tij+1+ti+ij]k (W20): tijk+1 = F[ti-ij+tij-1 (t ) F +( -4)tij+ti+ij]k F (W2): tijk+1 = F[tij-1+( -4)tij+2ti+ij+tij+1]k+ 2∆F qk λ F (W3): tijk+1 = F[2ti-ij+tij-1+( -4-2B)tij+tij+1]k+2FBtf F NÕu vËt có nguồn nhiệt qv = qv x,y,) vế phải phơng trình nút cần cộng thêm với 2.F q v (i∆, j∆, k∆τ) λ(i∆, j∆, k∆τ) 4) LËp ma trận đại số Hệ phơng trình đại số toán t(x,y,) tổng quát viết dới dạng ma trËn lµ [t]k+1 = Ak[t]k+[b]k, víi [b]k lµ tỉng cđa ma trËn cét, n hµng cét cã trị khác nút có quan hệ với ti, q, tf, qv, tính thời điểm k = k∆τ : ⎡ ∆2 F ⎡ 2F∆ ⎤ ⎤ qv ⎥ [t]k+1 = = Ak[Ft]k + [Ft1]k + ⎢ q + [2FtfB]k+ ⎢ ⎣ λ ⎥⎦ k ⎣ λ ⎦k NÕu ký hiÖu p = F ,F= a∆τ ∆2 ,B= α∆ ,C1 λ = p - - 2B(∆,τ), 59 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt C2 = p - - 2B(2∆τ), C3 = p - - 2B(3∆τ) th× hƯ ma trân cụ thể là: t1 t2 p p p t3 t4 1 t5 t6 t7 p 1 p p t9 t6 p 1 p p F t11 +F t5 1 t10 t12 t4 1 t8 t3 = t1 t2 t9 C2 t10 t11 C2 C3 k t12 t1(0,τ) q(∆,τ) qV(0,∆,τ) q(2∆,τ) qV(0,2∆,τ) q(3∆,τ) qV(0,3∆,τ) t1(∆,τ) 0 qV(∆,∆,τ) 0 qV(∆,2∆,τ) 0 t1(2∆,τ) + F∆ λ +2Ftf +∆ F λ qV(2∆,∆,τ) 0 qV(2∆,2∆,τ) 0 qV(2∆,3∆,τ) t1(3∆,τ) B(∆,τ) qV(3∆,∆,τ) 0 B(2∆,τ) qV(3∆,2∆,τ) K B(3∆,τ) K K qV(3∆,3∆,τ) 60 CuuDuongThanCong.com k qV(∆,3∆,τ) 0 + t8 k+1 t7 https://fb.com/tailieudientucntt K - Ma trËn cđa hƯ phơng trình đại số có dạng viết gọn là: tk+1 = AkFtk + bk hay tk+1 = AkFtk + [Ft1 + F∆ q λ + 2FtfB + F∆2 λ qv]k Trong Ak ma trận vuông (n x n) ma trận khác ma trận cột (n x 1) Ma trËn hƯ Ak cã ®−êng chéo liên hệ giá trị nhiệt độ nút Ak ma trận hệ, t1 ma trận biên W1, q ma trận biên W2, B ma trận biên W3, qv ma trận nguồn nhiệt Tất ma trận tính theo toạ độ x, y thời gian theo giá trị g(i, j, k) nút cho (, , tI, tf, q, qv hay ρ) = g(x, y, τ) - Để đảm bảo tính hội tụ nghiệm, phải chän b−íc thêi gian ∆τ cho a∆ τ 1 - - 2B > tøc F = < ∆ 2( + B) F V× B = B (x,y,) nên cần lấy B = maxBijk cã ∆τ < ∆2 2a (2 + max B) Ta dùng phơng pháp xấp xỉ khác để chuyển sang hệ phơng trình đại số dạng ẩn, để thu đợc nghiệm xác Hệ phơng trình đợc giải ma trận cách thay điều kiện đầu t(x,y,0) = f(x,y) vµo ma trËn tk lóc k = 0, lµ tk=0 = [f(i∆x, j∆y)] = t0→ tÝnh tk=1 Nếu ma trận hệ số phụ thuộc thời gian sau bớc phải tính lại phần tử ma trận thời điểm k = k VÝ dô: nÕu cho a = 10-6m2/s, λ = W/m2K, α = 25W/m2K, vµ nÕu chän α∆ ∆2 ∆x = ∆y = 10 m th× B = = 0,125, ∆τ < = 23,5 s λ 2a (2 + B ) -2 → chän ∆τ = 20s th× F = a ∆2τ = , vµ p = = F ∆ 61 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5.7 FDM gi¶i toán không ổn định chiều t(x,y,z,) 5.7.1 Trong tọa độ vuông góc xyz - Chia x, y, z vËt ∆x, ∆y, ∆z, t¹o n phần tử, đặc trng n nút (ije) Gọi tijek nhiệt độ nút có toạ độ (xi = i∆x, yj = j∆y, ze= e∆z) lóc τk = k∆τ Sai phân theo toạ độ (bằng cách viết phơng trình cân nhiệt cho nút) để nhận đợc hệ n phơng trình vi phân (x,y,) Z (x,y,) q= ) ,z,τ α(x α(x L j j-1 ,z,τ) o itw(x1 i ,z,τ ) ) ,z,τ qv(x,y,z,τ) to(x,y,z) λ(x ,y,z , τ) j+1 l -1 : α(y y l dτ α(x,y,τ) ) ,y,τ tf(x α(x,y,τ) l+1 dt ije q(x,y,τ) q i+1 I x H.30 Sai phân toán t(x,y,z,) tổng qu¸t ∀ij ∈V: a dtije = (ti-1-2ti+ti+1)je+ a2 (tj-1-2tj+tj+1)ie+ a2 (te-1-2te+te+1)ij ∆x dτ ∆y ∆z ∀ij ∈Wn: vÝ dô biên mặt có W3 thì: z z dtije λ ρc∆x∆y = ∆2x (ti-1-2ti+ti+1)je.∆y ∆z + ∆2y (tj-1-2tj+tj+1)ie∆x + dτ [ λ ∆z (te-1-te)ij-α(te-tf)ij]∆x∆y ,.v.v ∀ij ∈ gãc giao mỈt, vÝ dơ W20(x) x W2(y) x W3(z): 62 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ρc ∆x∆y∆z dtije λ = dτ ∆x ⎡λ ⎤ ( t j−1 − t j )ie − q ⎥ ⎣ ∆y ⎦ (2ti-1-2ti)je ∆y∆z + ⎢ je ∆x∆z ⎡λ ⎤ (te-1-te)-α(te-tf) ⎥ ∆x∆y ⎣ ∆z ⎦ ij +⎢ - ¸p dơng phÐp xÊp xØ thêi gian, vÝ dơ ph−¬ng ph¸p Euler, cã hƯ tijek+1 = F[ti-ije + tij-ie + tije-1 + ( − )tije F (∀ijl∈V) + tije+1+ tij+ie+ti+ijl]k tijek+1 = F[ti-ije + tij-ie +2tije-1 + ( -2B)tije F (ijl mặt W3) + tij+ie+ ti +ije]k +(2FtfB)k phơng trình cho nút mặt, cạnh, góc khác Để nghiệm ổn định, cần chọn < 2a (3 + ) - Biểu diễn ma trận, hệ phơng trình đại sè cã d¹ng: [t]k+1= {A[t]F+F[tw1]+[2F ∆ q]+[2FtfB]+[ ∆ F qv]}k Trong đó, ma trận hệ A ma trận vuông n x n có đờng chéo, tất hệ số , , tw1, q, tf, qv tính theo toạ độ (ix, jy, ez) lúc k = k bớc tính, điều kiện đầu, lúc = 5.7.2 Phơng pháp sai phân hữu hạn toạ độ trụ (r,,z) Bài to¸n chiỊu tỉng qu¸t t(r, ϕ, z,τ ) víi điều kiện đầu điều kiện biên tuỳ ý đợc giải cách tơng tự: Chia vật n phần tử mặt cắt ri = ir, j = j, ze = ez đánh số thứ tự nút từ (1 n), (nh hình H31) Viết phơng trình cân nhiệt cho phần tử lúc k bất kỳ: * (ije) V, phơng trình cân nhiệt có dạng: c(ri.rz) dtijl r ∆r =[ (ti-1-ti)je(ri)∆ϕ∆z- (ti-ti+1)je(ri+ )∆ϕ∆z dτ ∆r ∆r 63 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt +[ λ ri ∆ϕ (tj-1-tj)ie- λ ri ∆ϕ (tj-tj+1)ie∆r∆z]+[ λ (te-1-te)if - λ ( ∆r ∆z te- te-1)]riz Khi chọn r = z = , phơng trình có dạng: tije= a [(1- 2(2+ 2ri )ti-ije+( ∆2 ri ∆2ϕ ∆ ) tij-1e+tije-1ri ∆ϕ )tije+ tije+1+ ( ∆ ) tij+1e+ ri ∆ϕ (1+ 2ri )ti+ije * Với nút mặt biên W, ví dụ: (ije) biên cách nhiệt W20 mặt = J có phơng trình cân nhiệt lóc chän ∆r = ∆z = ∆ lµ : t’iJe = a ⎡ ∆2 ⎢⎣ (1- ∆ 2ri tije+1+(1+ ti-iJe+2( ∆ 2ri )t1+1Je ∆ ri ∆ϕ )2tiJ-1e- 2(2+ ∆2 ri ∆2ϕ )tiJe ⎤ ⎥ ⎦ * ∀(Rje) trªn biªn r = R loại 3, phơng trình cân nhiệt lµ: ρc (R- ∆r )∆ϕ ∆r ∆z dtRje = dτ [ - λ ∆r (tR-1-TR)je.(R ∆r )∆ϕ∆z-α(tRje-tf)R∆ϕ∆z] + [ λ ∆r )∆z R∆ϕ (tj-tj+1)Re] t' Rje - λ (te-1-te)Rj- λ (te-te+1)Rj](R- ∆r )∆ϕ ∆r ∆z z đặt B = phơng trình có dạng: +[ Khi chọn r = z = ∆ a = ∆ λ (tj-1-tj)Re R ∆ϕ ∆ ⎧ ⎪ R− ∆2 ⎡ ∆2 + t + t − 2 t ⎨ Rj-1e Rje -1 R -ije ⎢ ∆ ⎣ R ( R − ∆ )∆2ϕ ⎪ R−∆ R (R − )∆2 ϕ 4 ⎩ ∆ ∆ + R (R − ) + ∆ 2aRB ⎤ + t R je+1 + t Rj+1e ⎫ + t t ∆ j ∆ ∆ ⎥ Rje ⎬ ( ) ∆ R − R (R − )∆ ϕ R (R − ) ⎦ ⎭ 4 RB * Víi c¸c nót cạnh, nh giao tuyến mặt biên, phơng trình cân nhiệt kết hợp hai điều kiện biên * Với nút góc, nơi giao điểm mặt biên phơng trình cân 64 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính thành số phơng trình vi phân thờng tơng đơng, cách tách biến, tìm nghiệm riêng ổn định biến thiên số Các cách đợc sử dụng tuỳ thuộc tính hay không phơng trình. .. Chơng 4: phơng pháp toán tử laplace 4.1 Nội dung phơng pháp toán tử Laplace 4.1.1 Phơng pháp toán tử Phơng pháp toán tử phơng pháp giải hệ phơng trình vi phân cách: - Chuyển hệ phơng trình vi phân... động nhiệt độ môi trờng k() vật đ(x, ) theo chu kỳ 24h năm 3.4.7.3 Các kết nêu đợc ứng dụng để khảo sát tính toán trình truyền nhiệt không ổn định vách lớp biên mỏng vật hữu hạn, môi trờng có nhiệt