SKKN từ 2021 2022

1 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài: Xã hội không ngừng biến đổi ngày phát triển, sống ln địi hỏi người không ngừng gia tăng hiểu biết, giới chịu chi phối xu “Tồn cầu hóa” kinh tế thị trường, “ Kinh tế tri thức” chuyển dịch theo hướng “ xã hội thông tin”, “ xã hội học- hành”, bắt đầu buổi bình minh văn minh mới- văn minh trí tuệ Khơng có trường học cung cấp cho người học tất tri thức để làm việc suốt đời Để thực nhiệm vụ, công việc hiệu lúc tái tri thức sẵn có mà cịn cần phải có tri thức nên cần phải biết tự học chìa khóa hiểu biết, phát triển bền vững Sự hiểu biết tri thức thu tùy vào khả tự học người Tự học tự động não, suy nghĩ, sử dụng lực trí tuệ để chiếm lĩnh, tiếp thu lĩnh vực hiểu biết thành kiến thức Tự học q trình tìm hiểu, lĩnh hội kiến thức khoa học rèn luyện kỹ thực hành khơng có hướng dẫn trực tiếp giáo viên quản lý trực tiếp nhà trường Sinh thời Chủ tịch Hồ Chí Minh quan niệm tự học sau: “Tự học cách tự động” phải biết tự động học tập “Tự động học tập” tự học cách hồn tồn, tự giác, tự chủ, khơng đợi nhắc nhở, không chờ giao nhiệm vụ mà tự vạch kế hoạch học tập cho tự triển khai, thực kế hoạch cách tự giác, tự làm chủ thời gian để tự kiểm tra, đánh giá kết học tập Tự học có vai trị lớn, quan trọng giúp người học không ngừng nâng cao hiệu học tập thân, biết phát huy khả sẵn có mình, giúp người học biết cách học: học thầy, học bạn, sách, thông tin đại chúng Tự học giúp người học tăng khả học hỏi, nghiên cứu, tự nghiên cứu để có khả học tập suốt đời Trường Phổ thơng dân tộc nội trú (PTDTNT) loại trường chuyên biệt mang tính chất phổ thơng, dân tộc nội trú Trường vừa thực nhiệm vụ trường phổ thông, vừa thực nhiệm vụ trường chuyên biệt Các em học sinh ưu tú dân tộc, nuôi dạy đảm bảo điều kiện phát triển toàn diện, tương lai họ cán người dân tộc, lực lượng lao động có trình độ văn hóa khoa học kỹ thuật nghiệp phát triển kinh tế xã hội vùng dân tộc miền núi 100% học sinh nhà nước cấp học bổng, ăn ở, sinh hoạt trường, dễ tìm tài liệu học tập, trao đổi với bạn bè thầy cơ, em có nhiều thời gian rảnh nên thuận lợi cho việc tự học Qua q trình cơng tác, trao đổi với giáo viên chủ nhiệm giáo viên môn, nhận thấy việc hướng dẫn tự học đa số dừng lại việc hoàn thành tập sách giáo khoa, nhiều giáo viên trọngcho học sinh tự làm toán mà chủ yếu giải toán cho học sinh, quan tâm số lượng chất lượng; q trình dạy học quan tâm đến việc rèn luyện thao tác tư duy, phương pháp suy luận, chưa định hướng để học sinh khai thác, mở rộng, phát triển tốn Nhiều giáo viên cịn cho giải xong toán kết thúc hoạt động, hiệu học tập em học sinh chưa mong muốn Xuất phát từ lý mạnh dạn đưa vấn đề: “Nâng cao hiệu tự học học sinh trường PTDTNT THCS Quỳ Hợp thông qua việc khai thác, phát triển số toán Đại số 8” để nghiên cứu Một mặt nhằm nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ mình, mặt khác giúp em tìm thêm cách giải, khai thác thêm ý tốn, để từ nâng cao hiệu tự học thân II Mục đích nghiên cứu - Nâng cao ý thức tự học cho học sinh để từ nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường - Phát huy trí tuệ, rèn luyện khả suy luận logic; phát triển tính sáng tạo linh hoạt đồng thời rèn luyện óc quan sát phán đoán cho học sinh - Giúp giáo viên học sinh có tài liệu cụ thể chi tiết, tương đối đầy đủ có hệ thống dạng tập vận dụng đẳng thức tốn liên quan - Thơng qua nội dung, phương pháp, sai lầm mà học sinh hay mắc phải tập vận dụng nhằm: củng cố lý thuyết phát huy trí tuệ cho học sinh, rèn luyện khả suy luận lơ gíc; phát triển tính sáng tạo linh hoạt đồng thời rèn luyện óc quan sát phán đốn cho học sinh III Phương pháp nghiên cứu Thông qua việc trực tiếp giảng dạy, bồi dưỡng HSG nghiên cứu tài liệu rút số dạng tập cách giải Thông qua việc trực tiếp giảng dạy chấm học sinh rút sai lầm mà học sinh thường mắc phải IV Phạm vi nghiên cứu sử dụng Một số dạng toán vận dụng chứng minh đẳng thức sách giáo khoa lớp Tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh lớp 8, đặc biệt học sinh giỏi PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Thuận lợi - 100% học sinh hưởng học bổng, em tập trung trường nên dễ trao đổi, thảo luận; có thời gian để tự học; nhà trường tổ ni dưỡng, chăm sóc, nhà trường tạo điều kiện thuận lợi để em tập trung vào học tập; - Chất lượng đầu vào tương đối tốt, trình độ em tương đương tạo điều kiện thuận lợi việc truyền tải kiến thức, tổ chức nhóm nhỏ học tập từ giáo viên cho học sinh; - Nhà trường có đủ tài liệu học tập, bố trí phịng đọc; có phịng tin học kết nối mạng internet giúp em khai thác, tìm tịi nguồn học liệu Khó khăn - Trường xây dựng xong giai đoạn 1, chưa triển khai giai đoạn nên thiếu sân chơi bãi tập, thiếu phịng nội trú, phải bố trí phòng số lượng học sinh tương đối lớn gây ảnh hưởng đến hoạt động tự học học sinh - Học sinh nhà trường đa số em đồng bào thuộc xã đặc biệt khó khăn huyện nhà, lần đầu sống xa gia đình, em cịn bỡ ngỡ, rụt rè, nhiều em tự ti khơng chịu khó tìm tịi học tập, chưa chủ động khai thác, mở rộng toán - Giáo viên chưa mạnh dạn hướng dẫn, định hướng cho học sinh khai thác, tìm tịi lời giải, hướng phát triển mở rộng toán Thực trạng - Nhà trường quản lý tốt nề nếp cho học sinh tự học vào buổi chiều, buổi tối lên lớp, nhiên không gian tự học học sinh hẹp, số lượng học sinh phịng đơng nên việc tập trung tư để nghiên cứu tìm lời giải cho tốn nhiều gặp khó khăn với học sinh - Cách giảng dạy giáo viên tập trung vào giải toán, tăng số lượng tập mà chưa trọng đến định hướng để học sinh tự nghiên cứu, khám phá, phát triển, mở rộng toán - Học sinh thụ động cách tự học, đa số em dừng lại tập sách giáo khoa mà chưa biết khai thác, mở rộng toán Kết khảo sát trước áp dụng sáng kiến Trong trình nghiên cứu đề tài tơi đề kiểm tra 15 phút cho HS khối học sinh lớp (đội tuyển HSG), hình thức tự luận Để kiểm tra khả làm cách trình bày HS Kết đạt sau: Sĩ số Số 8 Loại giỏi Loại Loại TB Loại yếu SL % SL % SL % SL % 0,1 0,3 0,4 0,2 Từ kết khảo sát thông qua kiểm tra cho thấy chất lượng HS nắm thấp, đặc biệt cách trình bày lời giải chưa chặt chẽ dẫn đến kết không đạt điểm tối đa cho phần câu Các định hướng để khai thác toán 4 Chứng minh đẳng thức Chứng minh đẳng thức: ( ?1 ?3 trang 9; 10 sách giáo khoa Đại số 8) Chứng minh đẳng thức: a (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab (1) b (a-b)2 = a2 + b2 – 2ab (2) Giải: Ta có (a+b)2 = (a+b)(a+b) = (a+b)a + (a+b)b = a.a + b.a + a.b + b.b = a +2ab + b2 Vậy (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 Nếu thay “b” = “-b” từ tốn ta có: (a-b)2 = [(a+(-b)]2 = a2 + 2a(-b) + (-b)2 = a2 - 2ab + b2 Vậy (a-b)2 = a2 – 2ab + b2 Đa số giáo viên học sinh dừng lại kết giải tập chưa đặt đẳng thức vận dụng khơng vận dụng Từ ta có định hướng: Đinh hướng Ta cộng đẳng thức (1) (2) vế theo vế xem Ta có (a+b) + (a-b)2 = 2(a2 + b2) dẫn em học sinh đến với toán mới: Bài toán 1.1: Chứng minh rằng: (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2 + b2) (3) Định hướng 2: Đẳng thức thể mối quan hệ tổng, hiệu tổng bình phương Như biết hai ba đại lượng ta dễ dàng tìm đại lượng cịn lại Vận dụng giải toán sau: Bài toán 1.2: Cho hai số a, b thỏa mãn + = Tính giá trị biểu thức A = – Lời giải: Học sinh giải tốn theo cách khác, nhiên sử dụng đẳng thức Đặt x = ;y= , rõ ràng x > y Từ giả thiết ta có x + y = 4, x + y2 = 10 Áp dụng đẳng thức (3) ta suy (x – y)2 = 2(x2+y2) – (x+y)2 (x-y)2 = 2.10 – 42 = Do x – y = Vậy A = Nếu để ý đến x + y = 4, kết hợp với đẳng thức x – y = ta tìm x y Bài tốn 1.3: Giải phương trình: 8+ x + 5− x = 5 Hướng dẫn: ĐKXĐ: x 25 Tương tự lời giải toán 1.2 ta có Từ suy ra: Thỏa mãn điều kiện Thử lại đúng, phương trình có nghiệm x = Định hướng 3: Nếu cộng hai đẳng thức (1) (2) ta có đẳng thức mới, lấy đẳng thức (1) trừ đẳng thức (2) vế theo vế sao?, ta có tốn: Bài tốn 1.4: Chứng minh rằng: (a+b)2 – (a-b)2 = 4ab (4) Định hướng 4: Đẳng thức (4) cho ta mối quan hệ tổng, hiệu tích hai số Khai thác kết ta có số tốn sau: + Bài tốn 1.5: Giải phương trình: Hướng dẫn: Đặt = a, = 10 = b, ta có a + b = 10, a.b = Áp dụng đẳng thức (4) ta suy (a – b)2 = 96 Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: a – b = Trường hợp 2: a – b = -4 kết hợp với a + b = 10⇒ kết hợp với a + b = 10⇒ Vậy phương trình có hai nghiệm {-2; 2} ⇒ x = -2 ⇒x = Định hướng 5: Lấy (1) chia (2) với giả thiết a b ta có: Lưu ý: Nếu có thêm mối liên hệ a.b a2 + b2 ta tính giá trị biểu thức , từ giải tốn sau: Bài toán 1.6: Cho a > b > thỏa mãn điều kiện 3a + 3b2 = 10ab Tính giá trị biểu thức: P = Lời giải: Ta có P2 = Suy P = (vì a > b > ⇒ P > 0) Định hướng 6: Trở lại với toán: a2 + b2 - 2ab = (a-b)2 Như có a2 + b2 - 2ab = 0, suy (a - b)2 = hay a = b Hoàn toàn tương tự ta có: b + c2 – 2bc = (b-c)2 = hay b = c; c2 + a2 – 2ca = (c-a)2 = hay c = a Cộng đẳng thức vế theo vế ta được: 2(a2 + b2 + c2) – 2ab – 2bc – 2ca = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = a = b = c Hay a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca tốn sau: a = b = c (5) Từ chứng minh Bài toán 2.1: Chứng minh rằng:(a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca) a = b = c Đinh hướng 7: Hãy nhân vế a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca với cộng vào hai vế với a2 + b2 + c2 cho ta toán khác Bài toán 2.2: Chứng minh rằng: (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2) a = b = c Vận dụng kết tốn cơng cụ giải tốn ta đinh hướng để học sinh giải số tốn hay khó sau: Bài toán 2.3: Cho ba số a, b, c thỏa mãn (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = a2 + (a+2)(b+c) + 2022 7 Lời giải: Theo tốn 2.2 ta có (a+b+c)2 = 3(a2+b2+c2) a = b = c Thay vào biểu thức A ta suy ra: A = a2 + (a+2)(a+a) + 2022 = 3a2 + 4a + 2022 = 3(a+ )2 + Vậy A đạt giá trị nhỏ a = - Vận dụng kết ta có toán khác Bài toán 2.4: Giải hệ phương trình sau: a b Lời giải: a Từ phương trình (*) (5) ta suy x = y = z Thay vào (**) ta có x2002 = y2002 = z2002 = 32002 ⇒ x = y = z = x = y = z = -3 b Giải tương tự ta x = y = z = Nếu đặt , Khi Như a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca = k ta dễ dàng suy x, y, z Từ nhận xét cho ta toán mới: Định hướng 7: Từ (5) ta thay a ; b ; c ta có toán: 1 1 1 Bài toán 2.5: Chứng minh rằng: x + y + z = xy + yz + zx ⇔ x = y = z Vận dụng kết tốn biết, khai thác ta tìm số kết thú vị sau: Bài tốn 2.6: Tìm ba số a, b, c biết a + b + c = 12abc ⇒ abc Lời giải: Do Chia hai vế đẳng thức Theo toán 2.5 ⇒ a = b = c = a+b+c=12abc cho abc ta Định hướng 8: Thay “12” số “k > 0” ta có tốn tổng qt Bài tốn 2.7: Biết a + b + c = kabc 1 + + =k a b2 c2 (k > 0) Tìm số a, b, c theo k Định hướng 9: Từ đẳng thức đẳng thức với abc ta nhân hai vế ⇔ có Ta có tốn mới: Bài tốn 2.8: Cho số a, b, c thỏa mãn Tính a + b3 b3 + c c3 + a3 + + giá trị biểu thức A = c(c + b)(c + a ) a( a + c )(a + b) b(b + a )(b + c ) Lời giải: Từ nhận xét trên, biểu thức rút gọn suy A = ⇒ a = b = c thay vào Bản chất toán a = b = c, từ giáo viên dễ dàng tạo toán loại cho em học sinh luyện tập Như vậy, xuất phát từ kết xem hiển nhiên với định hướng, dẫn dắt khéo léo giáo viên giúp em học sinh tự học, tự tìm giải tốn mới, tốn hay khó Hơn em học sinh tự tìm cho phương pháp học hiệu thơng qua hoạt động học tập tích cực sáng tạo Bây ta lại biến đổi giả thiết toán 2.5 theo hướng khác Định hướng 10: Từ toán: Như cho , ta dễ dàng suy ⇒ x = y = z Cho ta toán mới: hay 1 1 x + y + z =3  Bài tốn 2.9: Giải hệ phương trình:   + + =3  xy yz zx Hướng dẫn: Xuất phát từ nhận xét em học sinh dễ dàng có từ suy x = y = z = Việc phân tích kỹ lời giải tốn hướng dễ dàng đến với toán tổng quát Bài toán 2.10: Giải HPT sau theo a > 0: 1 1  x + y + z = 3a ( I )    + + = a ( II )  xy yz zx 10 Hướng dẫn: Từ (I) bình phương hai vế kết hợp với (II) ta có Do suy x = y = z Đến em học sinh dễ dàng tìm kết toán Định hướng 11: Nếu xyz = ⇒ x + y + x = Như có x + y + z = ta suy từ ta xét tốn sau: Bài tốn 2.11: Biết ba số a, b, c thỏa mãn abc = Tìm số a, b, c Lời giải: Đặt x = x+y+z= hay x + y + z = ,y= ,z= ⇒ xyz = (vì abc = 1) Từ giả thiết suy (*) Mà xyz = ⇒ x + y + z = (**) Từ (*) (**) ⇒ ⇒ ⇒ x = y = z = Vậy a = b = c = Đến ta thấy từ toán ban đầu, định hướng, dẫn dắt học sinh theo đường lối không giúp em giải toán đặc biệt toán khó mà cịn cho em thấy phát triển mạch kiến thức Các em rèn luyện thao tác tư duy, khả xâu chuỗi tổng hợp hệ thống toán mối quan hệ biện chứng, điều quan trọng giáo dục cho em không xem nhẹ kiến thức bản, khơng xem thường tốn dễ sở, tiền đề cho tốn khó mà ta gặp sau Trên sở từ tập bản, với định hướng giáo viên học sinh tự nghiên cứu, tìm tịi để tìm hướng cho tốn để từ nâng cao nâng cao hiệu tự học em đồng thời nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường 11 Những vấn đề hình thành, kinh nghiệm rút ra, sản phẩm chính, kết đạt SSKN 6.1 Những vấn đề hình thành - Đề tài tìm tịi nghiên cứu sáng tạo thân trình quản lý dạy học, đáp ứng việc nâng cao chất lượng giáo dục, đồng thời hạn chế, khắc phục tình trạng học sinh chưa coi trọng việc nắm kiến thức bản, thiếu chủ động việc khai thác, mở rộng toán, thiếu tư sáng tạo - Đổi phương pháp dạy học: Trong trình dạy học tăng cường định hướng khai thác toán, coi trọng việc tự học; coi trọng sáng tạo, phát học sinh - Kiểm tra đánh giá: Đổi cách đề để phát huy tính tự học đồng thời làm cho học sinh thấy khơng tự học làm 6.2 Kinh nghiệm việc khai thác toán để nâng cao hiệu tự học - Dạy cho học sinh nắm coi trọng kiến thức sách giáo khoa; phát huy tinh thần tự học, đặc điểm tình hình nhà trường để thúc đẩy phong trào tự học học sinh - Luôn đặt câu hỏi, định hướng cho học sinh khai thác hướng sau giải toán bản; giao nhiệm vụ cho học sinh nhà phát tập mà học sinh phải phát huy tìm tịi lời giải từ tốn giải nhiệm vụ - Vận dung tốt lý thuyết “Vùng phát triển gần nhất” Vygotsky để xâu chuổi, hệ thống, phát triển tốn theo trình tự logic, hợp lý tạo hứng thú học tập sáng tạo cho học sinh - Phát huy vai trò tự học, tự nghiên cứu, tinh thần sáng tạo người thầy Người thầy phải không ngừng tự học để nâng cao chuyên mơn nghiệp vụ 6.3 Những kết đạt SSKN - Học sinh chủ động vấn đề tự học, ln trăn trở, tìm tịi, khám phá toán, khắc phục “hiện tượng” trước em cảm thấy “hết” tập sau hoàn thành tập sách giáo khoa - Tư sáng tạo, độc lập suy nghĩ, tự tìm lời giải toán học sinh tăng lên rõ rệt; - Việc định hướng, khai thác tập giúp em cố kiến thức học; biết vận dụng kiến thức học tập;phát kiến thức sở kiến thức biết; rèn luyện kỹ trình bày cho học sinh; tạo niềm tin, hứng thú học tập; phát triển tư tốn học thơng qua thao tác tư khái qt hố, đặc biệt hóa, tương tự hóa, tư thuận đảo, 12 - Cách dạy, cách giao nhiệm vụ kiểm tra đánh giá nhóm chun mơn có chuyển biến tích cực - Sau áp dụng phương pháp dạy học nêu trên, nhận thấy chất lượng giảng dạy phân môn nâng lên rõ rệt, kết khảo sát cụ thể sau: Sĩ số Số Loại giỏi Loại Loại TB Loại yếu SL % SL % SL % SL % 08 08 0,4 0,5 0,1 0 Phương pháp thực SKKN - Kiểm tra, giám sát, thu tập thông tin; - Thực nghiệm: Tổ chức triển khai trường; - Tổng kết, rút kinh nghiệm III Kết luận Đổi phương pháp dạy học cần gắn liền với đa dạng hố hình thức dạy học, coi trọng việc tự học học sinh Để làm điều cần đổi cách dạy người thầy cách học, ý thức tự học học sinh Người thầy phải biết định hướng, hướng dẫn, dẫn dắt học sinh tìm tịi, khai thác lời giải toán, biết xem kết luận toán giả thiết toán khác để khám phá, tìm hướng cho tốn Việc dạy học q trình phức tạp, địi hỏi nhiều cơng sức trí tuệ không cá nhân giáo viên mà em học sinh đóng vài trị quan trọng Nếu coi trọng việc dạy lớp, không phát huy vai trị tự học học sinh hiệu giảng dạy khơng cao Để em tự học tốt, người thầy phải biết định hướng dẫn em khai thác phát triển toán; phải biết quy “lạ” “quen”, phải làm cho em thấy tốn hay khó trình học tập bắt nguồn từ toán quen thuộc ách giáo khoa Xuất phát từ toán đơn giản, với hướng dẫn người thầy, em khai thác tối đa ứng dụng để giải tốn Đề xuất tốn bổ sung vào cơng cụ giải tốn nhằm nâng cao kỷ giải tốn khó Đề tài dẫn dắt em học sinh tìm nhiều hướng giải khác cho toán hay tổng quát chúng lên trường hợp giải chúng Trên vài ý kiến nhỏ đúc rút từ thực tế năm giảng dạy Tuy nhiên với khả có hạn tơi đề cập tới vài tình mà tơi gặp q trình truyền thụ kiến thức cho học sinh Tơi nhận thấy phần lớn em phát huy tính tích cực, sáng tạo, tính nhanh nhẹn tinh thần đoàn kết việc tiếp thu hay xây dựng kiến thức; tính chất khơ khan vốn có tiết dạy học tốn nói chung hạn chế tối đa, em cảm thấy vui vẻ, nhẹ 13 nhàng học, hứng thú em học sinh thể rõ kết mà em đạt Tuy nhiên bên cạnh kết đạt cịn số tồn số học sinh kiến thức nắm chưa chắn nên phần ảnh hưởng đến tiến trình dạy Hơn khả có hạn thân nên tạo dán đoạn q trình dạy học Những tốn nêu cố gắng nhiều không tránh khỏi sai lầm, thiếu sót, mong đóng góp chân thành từ thầy, giáo, bạn bè đồng nghiệp để giúp thân tơi hồn thiện phương pháp dạy học mình, phần giúp học sinh lĩnh hội kiến thức cách tối ưu Giúp em có sở vững vàng bước tiếp đường tri thức Tôi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa toán 8( tập 1) - Bộ giáo dục đào tạo Nâng cao phát triển toán 8( tập 1) - Vũ Hữu Bình Các dạng tốn phương pháp giải tốn - Tơn Thân( chủ biên) 500 toán nâng cao - Nguyễn Đức Tấn Các đề thi kiểm định chất lượng học sinh giỏi Toán 14 MỤC LỤC Nội dung Trang Phần I Đặt vấn đề I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Phương pháp nghiên cứu IV Phạm vi nghiên cứu sử dụng Phần II Nội dung nghiên cứu 1) Phương pháp nghiên cứu 1.1)Khách thể nghiên cứu 1.2) Quy trình nghiên cứu: Phần III Kết luận Tài liệu tham khảo 14 15 ... thức: A = a2 + (a+2)(b+c) + 2022 7 Lời giải: Theo tốn 2.2 ta có (a+b+c)2 = 3(a2+b2+c2) a = b = c Thay vào biểu thức A ta suy ra: A = a2 + (a+2)(a+a) + 2022 = 3a2 + 4a + 2022 = 3(a+ )2 + Vậy A đạt... Lời giải: Từ nhận xét trên, biểu thức rút gọn suy A = ⇒ a = b = c thay vào Bản chất toán a = b = c, từ giáo viên dễ dàng tạo toán loại cho em học sinh luyện tập Như vậy, xuất phát từ kết xem... hay x + y + z = ,y= ,z= ⇒ xyz = (vì abc = 1) Từ giả thiết suy (*) Mà xyz = ⇒ x + y + z = (**) Từ (*) (**) ⇒ ⇒ ⇒ x = y = z = Vậy a = b = c = Đến ta thấy từ toán ban đầu, định hướng, dẫn dắt học sinh