Luận văn thạc sĩ HUS tính chất bóng của phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THỊ BÍCH THỤC TÍNH CHẤT BĨNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THỊ BÍCH THỤC TÍNH CHẤT BĨNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - 2013 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Lời cảm ơn ii Lời nói đầu iii Tập hyperbolic phương trình vi phân thường 1.1 Định nghĩa tập hyperbolic 1.2 Tính bị chặn phép chiếu 1.3 Tính liên tục phép chiếu 1.4 Nhị phân mũ phương trình vi phân 11 1.4.1 Định nghĩa 11 1.4.2 Vài tính chất nhị phân mũ 12 1.4.3 Liên hệ nhị phân mũ tập hyperbolic 18 1.4.4 Tính vững nhị phân mũ 21 1.5 Tính co giãn tập hyperbolic 35 1.6 Tính vững tập hyperbolic 39 Các định lý tính bóng tập hyperbolic 46 2.1 Định lý tính bóng rời rạc 46 2.2 Định lý tính bóng liên tục 60 Kết luận 68 Tài liệu tham khảo 69 i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời cảm ơn Để hồn thành chương trình đào tạo hồn thiện luận văn này, thời gian vừa qua nhận nhiều giúp đỡ quí báu gia đình, thầy bạn bè Vì vậy, này, muốn gửi lời cảm ơn tới người Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, thầy nhiệt tình hướng dẫn bảo tơi q trình hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy cô Khoa, người trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tơi q trình học cao học Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn-Cơ-Tin học, phịng Sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện thủ tục bảo vệ luận văn Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình tơi, người động viên ủng hộ ii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời nói đầu Tính chất bóng có nguồn gốc từ việc giải số phương trình vi phân/sai phân Tính chất bóng có nghĩa tồn quỹ đạo gần giả quỹ đạo cho trước Tính bóng nghiên cứu Anosov, Bowen, Sinai - người nhận liên quan đến tốn ổn định tồn cục hệ động lực Trước đây, Anosov, Bowen, Sinai dùng phương pháp hình học để nghiên cứu tính bóng Sau này, Palmer dùng cách tiếp cận giải tích cho tính bóng thơng qua lý thuyết nhị phân mũ phương trình vi phân Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tính bóng hệ động lực lân cận tập hyperbolic từ sách "Shadowing in Dynamical Systems Theory and Applications" Ken Palmer năm 2000 Chúng tơi đơn giản hóa chứng minh Palmer Luân văn cấu trúc sau: Chương trình bày kết tập bất biến hyperbolic cho phương trình vi phân thường Chương nhắc lại khái niệm nhị phân mũ chứng minh vài tính chất (tính vững, tính co giãn) dùng làm cơng cụ chứng minh định lý Chương kết luận văn, gồm Định lý tính bóng rời rạc Định lý tính bóng liên tục Cuối số bình luận hướng nghiên cứu danh mục tài liệu tham khảo Do thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp để luận văn hồn thiện Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2013 Trần Thị Bích Thục iii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Tập hyperbolic phương trình vi phân thường 1.1 Định nghĩa tập hyperbolic Cho U tập mở Rn F : U → Rn trường vectơ lớp C Khi với cặp (τ, ξ) ∈ R × U tốn giá trị ban đầu x˙ = F (x), x(τ ) = ξ (1.1) có nghiệm xác định khoảng mở cực đại I(τ, ξ) ⊂ R Ta đặt O = {(t, τ, ξ) : τ ∈ R, ξ ∈ U, t ∈ I(τ, ξ)} O tập mở ta xác định Φ : O → Rn Φ(t, τ, ξ) = x(t), x(t) nghiệm tốn giá trị ban đầu (1.1) Φ hàm thuộc lớp C (C r F C r ), tính nghiệm ta có tính chất Φ(t, s, Φ(s, τ, ξ)) = Φ(t, τ, ξ) F độc lập với thời gian, tính chất Φ(t, τ, ξ) = Φ(t − τ, 0, ξ), I(τ, ξ) = τ + I(0, ξ) miền xác định tương ứng Ký hiệu φ(t, ξ) = φt (ξ) = Φ(t, 0, ξ)(= Φ(0, −t, ξ)) Ta gọi φ dịng phương trình (1.1) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét phương trình vi phân thường ôtônôm sau x˙ = F (x), (1.2) F : U → Rn trường vectơ lớp C , ký hiệu φ dịng tương ứng Ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 Một tập compact S ⊂ U gọi hyperbolic phương trình (1.2) (i) F(x) = với x ∈ S; (ii) S bất biến, tức là, φt (S) = S với t; (iii) có phân tích liên tục Rn = E (x) ⊕ E s (x) ⊕ E u (x) với x ∈ S (1.3) với E (x) = span{F (x)} dim E s (x), dim E u (x) không đổi, cho với t với x thuộc S Dφt (x)(E s (x)) = E s (φt (x)), Dφt (x)(E u (x)) = E u (φt (x)), có số dương K, α có tính chất với t ≥ x thuộc S Dφt (x)ξ ≤ Ke−αt ξ với ξ ∈ E s (x), (1.4) Dφ−t (x)ξ ≤ Ke−αt ξ với ξ ∈ E u (x) (1.5) Gọi P (x), P s (x) P u (x), với x ∈ S, phép chiếu tương ứng với tập hyperbolic S Phân tích liên tục định nghĩa hiểu theo nghĩa ánh xạ x → P (x), x → P s (x), x → P u (x) liên tục Điều kiện tính liên tục phân tích suy từ điều kiện khác (như bỏ qua gỉả thiết tính liên tục phân tích) Ví dụ 1.1 Hệ vi phân hai chiều x = x(1 − x2 − y ) − y y = y(1 − x2 − y ) + x biến đổi dạng toạ độ cực (r, ϕ) sau r = 1r (xx + yy ) = r(1 − r2 ) ϕ = r12 (xy − yx ) = r12 (x2 + y ) = Khi đó, đường trịn r = hay S = {(x, y) : x2 +y = 1} quỹ đạo tuần hoàn hyperbolic (xem [3], trang 144-145) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.2 Tính bị chặn phép chiếu Xét phép chiếu P (x), P s (x), P u (x) tương ứng khai triển (1.3) Trong phần ta chứng minh phép chiếu bị chặn Mệnh đề 1.1 Gọi P (x), P s (x) P u (x), với x ∈ S, phép chiếu tương ứng với tập hyperbolic S Khi chúng bị chặn đều, tức sup{ P (x) , P s (x) , P u (x) } ≤ M < +∞ x∈S Chứng minh Xét vectơ khác không v ∈ E (x), ξ ∈ E s (x), η ∈ E u (x) đặt x0 (t) = Dφt (x)v, xs (t) = Dφt (x)ξ, xu (t) = Dφt (x)η với x ∈ S Chú ý v = αF (x) với α số thực x0 (t) = αF (φt (x)) Do với t M0−1 ∆ v với ≤ x0 (t) ≤ M0 ∆−1 v M0 = sup F (x) , ∆ = inf F (x) x∈S x∈S (1.6) Ta chọn số dương T cho σ= ∆eαT > M0 K Khi x0 (T ) xs (T ) + v ξ = ≥ = xs (T ) ξ s x (T ) ξ xs (T ) ξ ξ x0 (T ) xs (T ) + xs (T ) v xs (T ) ξ x0 (T ) xs (T ) − xs (T ) v xs (T ) ξ x0 (T ) −1 xs (T ) v ∆eαT −1 M0 K ≥ e−M1 T = (σ − 1)e−M1 T với M1 = sup DF (x) x∈S LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mặt khác, x0 (T ) xs (T ) + v ξ ξ v + v ξ v ξ + v ξ DφT (x) = ≤ eM1 T Do ξ v + v ξ ≥ (σ − 1)e−2M1 T Từ bất đẳng thức v ξ + v ξ ξ ≤2 ξ+v , ta có ξ (σ − 1)e−2M1 T ≤ ξ + v ξ ≤ 2e2M1 T σ−1 ξ+v Từ ta suy max { v , ξ } nên ≤ v 2e2M1 T ≤ ξ+v σ−1 2e2M1 T ξ+v σ−1 ξ 2e2M1 T ≤ ξ+v σ−1 (1.7) Tương tự xét x0 (T ) xu (T ) + v η = ≥ = x0 (T ) v x (T ) v x (T ) v ≥ e−M1 T v x0 uT ) x0 (T ) + x0 (T ) ξ x0 (T ) v xu (T ) x0 (T ) − x0 (T ) ξ x0 (T ) v xu (T ) −1 x0 (T ) η ∆eαT −1 M0 K = (σ − 1)e−M1 T Mặt khác x0 (T ) xu (T ) + v η = ≤ eM1 T η ≤ v η + v η v η + v η DφT (x) 2e2M1 T η+v σ−1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ suy max{ v , η } ≤ 2e2M1 T η+v σ−1 Do tính bất biến, với t ta có max nên x0 (t) , xu (t) ≤ x0 (t) 2e2M1 T ≤ x0 (t) + xu (t) σ−1 2e2M1 T x (t) + xu (t) σ−1 xu (t) 2e2M1 T ≤ x0 (t) + xu (t) σ−1 (1.8) Tiếp theo ta nhận thấy với t ≥ ξ xs (t) x0 (t) + xu (t) v+ξ eαt x0 (t) + xu (t) ≥ K v + η αt e x0 (t) + xu (t) ≥ K M0 ∆−1 x0 (t) + Ke−αt xu (t) eαt = (t) x K M0 ∆−1 + Ke−αt u xu (t) x (t)+xu (t) x (t)+x (t) ≥ eαt σ−1 −1 K (M0 ∆ + Ke−αt )2e2M1 T (1.8) Ta chọn số dương T1 cho σ1 = eαT1 σ−1 > −1 K (M0 ∆ + Ke−αT1 )2e2M1 T (1.9) Sau đó, sử dụng x0 (T1 ) + xu (T1 ) xs (T1 ) + ξ v+η theo trên, ta suy 2e2M1 T1 ξ ≤ v+η+ξ σ−1 Do P s (x)(v + η + ξ) = ξ, nên P s (x) ≤ 2e2M1 T1 , σ−1 suy P s (x) bị chặn Ta lại nhận thấy với t ≥ xu (t) η v+ξ x (t) + xs (t) eαt v+ξ K x (t) + xs (t) eαt v+ξ ≥ −1 K M0 ∆ v + Ke−αt ξ eαt = v K M0 ∆−1 + Ke−αt ≥ v+ξ ≥ ξ v+ξ eαt σ−1 K (M0 ∆−1 + Ke−αt )2e2M1 T (1.7) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do W (t) cho cơng thức t t DF (φs (y))[Dφs (y) − Dψ s (y)]ds + [DF (φs (y)) − DG(ψ s (y))]Dψ s (y)ds 0 với ≤ t ≤ hmax , áp dụng Bổ đề Gronwall để ước lượng Dψ s (y) sau sử dụng phương trình (1.64) Chương 1, t t W (t) ≤ [σ + ω( φs (y) − ψ s (y) )]e(M1 +σ)s ds M1 W (s) ds + 0 t t [σ + ω(σseM1 s )]e(M1 +σ)s ds + M1 ≤ W (s) ds 0 t M1 hmax ≤ hmax [σ + ω(σhmax e )]e (M1 +σ)hmax + M1 W (s) ds, ω(δ) = sup{ DF (x) − DF (y) : x, y ∈ U, x − y ≤ δ} Do đó, theo Bổ đề Gronwall, W (t) ≤ hmax [σ + ω(σhmax eM1 hmax )]e(M1 +σ)hmax +M1 t Tức Dψ t (y) − Dφt (y) ≤ hmax [σ + ω(σhmax eM1 hmax )]e(2M1 +σ)hmax với y nằm S ≤ t ≤ hmax Cụ thể, Dψ hk (yk ) − Dφhk (yk ) ≤ hmax [σ + ω(σhmax eM1 hmax )]e(2M1 +σ)hmax Tiếp theo ý từ phương trình (2.11) ta có F (yk ) vk − F (yk ) ≤ 2M0 [ω+ (δ) + ω− (δ)] Kết hợp ước lượng lại ta thấy L − T ≤ hmax [σ + ω(σhmax eM1 hmax )]e(2M1 +σ)hmax + 2M0 [ω+ (δ) + ω− (δ)] + M2 δ + eM1 hmax σ (2.12) +∞ Để kiểm tra lại T khả nghịch, cho trước (g, l) = ({gk }+∞ k=−∞ , {lk }k=−∞ ) X, ta phải chứng minh phương trình sau zk+1 = Dφhk (yk )zk + sk F (yk+1 ) vk+1 + gk (2.13) 55 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com zk , F (yk ) vk = lk (2.14) với dãy bị chặn zk sk Nếu ta đặt zk = λk vk + Sk wk , (2.15) ta thấy zk , vk = λk từ phương trình (2.14) λk = lk F (yk ) (2.16) ∗ Nhân phương trình (2.13) với vk+1 ta sk = ∗ ∗ {λk+1 − vk+1 Dφhk (yk )(λk vk + Sk wk ) − vk+1 gk } F (yk+1 ) (2.17) ∗ sử dụng kết Dφhk (yk )vk bội vk+1 Nhân phương trình (2.13) với Sk+1 ta ∗ wk+1 = Ak wk + Sk+1 gk , (2.18) dó ∗ Ak = Sk+1 Dφhk (yk )Sk Để hoàn thiện chứng minh định lý ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.2 Cho {Ak }+∞ k=−∞ dãy bị chặn ma trận khả nghịch cấp n × n T : l∞ (Z, Rn ) → l∞ (Z, Rn ) toán tử xác định (T u)k = uk+1 − Ak uk với k ∈ Z Khi phương trình sai phân uk+1 = Ak uk (2.19) có nhị phân mũ R với số mũ λ số K tốn tử T khả nghịch T −1 ≤ K(1 + λ)(1 − λ)−1 Chứng minh Xem [6, tr80-82] 56 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi đó, sử dụng Bổ đề 2.2 sử dụng kết phương trình (2.8) có nhị phân mũ (−∞, +∞) với số L số mũ β hmin suy phương trình (2.18) có nghiệm bị chặn wk với w ≤ C1 g , C1 = L − e −h β −1 1+ β hmin Vì T (z, s) = (g, l) có nghiệm (z, s) X s cho phương trình (2.17) z cho phương trình (2.15) (2.16) z ≤ ∆−1 l + C1 g , s ≤ ∆−1 ∆−1 l + eM1 hmax ∆−1 l + eM1 hmax C1 g + g , ∆ = inf F (x) x∈S Vì T khả nghịch T −1 ≤ C2 , C2 đại lượng phụ thuộc vào ∆, C1 , M1 hmax Tiếp theo ta giả sử δ σ đủ nhỏ để vế phải phương trình (2.12) khơng C2 vượt q Ta sử dụng kết sau (gọi "Định lý hàm ngược Lipschitz") Mệnh đề 2.1 Cho X, Y không gian Banach A, B ∈ B(X, Y ) Giả sử A khả nghịch Khi B thỏa mãn A−B < A−1 B khả nghịch B −1 ≤ A−1 − A−1 A−B , B −1 − A−1 ≤ A−1 B − A − A−1 A − B Khi tập ánh xạ khả nghịch từ X vào Y tập mở B(X, Y ) ánh xạ A → A−1 liên tục tập Áp dụng Mệnh đề 2.1 ta suy L khả nghịch L−1 ≤ C , 57 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com C = 4C2 Để chứng minh đầy đủ định lý: Ta áp dụng Bổ đề 2.1 cho ánh xạ G xác định phương trình (2.4) Như ra, L−1 = DG(y, h)−1 tồn L−1 ≤ C , cho δ σ đủ nhỏ phụ thuộc vào F, S, hmax hmin Cũng sử dụng phương trình (1.64) Chương ta G(y, h) ≤ δ + eM1 hmax hmax σ ≤ δ1 := max eM1 hmax hmax , (δ + σ) Tiếp theo ta ý (x, t) ∈ O (z, s) ∈ X +∞ DG(x, t)(z, s) = {zk+1 − Dψ tk (xk )zk − G(ψ tk (xk ))sk }+∞ k=−∞ , { zk , F (yk ) }k=−∞ Do (x, t) − (y, h) ≤ Cδ1 (ta giả sử nhỏ ε0 ), [DG(x, t) − DG(y, h)](z, s) = sup [Dψ tk (xk ) − Dψ hk (yk )]zk + [G(ψ tk (xk )) − G(ψ hk (yk ))]sk k∈Z Do [DG(x, t) − DG(y, h)](z, s) ≤ sup Dψ tk (xk ) − Dψ hk (yk ) + (M1 + σ) ψ tk (xk ) − ψ hk (yk ) (2.20) k∈Z Để xấp xỉ số hạng vế phải, ta ý x − yk ≤ Cδ1 ≤ t ≤ hmax + ε0 t ψ t (x) − ψ t (yk ) [G(ψ s (x)) − G(ψ s (yk ))]ds x − yk + = t ≤ ψ s (x) − ψ s (yk ) ds x − yk + (M1 + δ) áp dụng Bổ đề Gronwall ta ψ t (x) − ψ t (yk ) ≤ x − yk e(M1 +σ)t (2.21) Khi ψ t (x) − ψ hk (yk ) ≤ ψ t (x) − ψ t (yk ) + ψ t (yk ) − ψ hk (yk ) ≤ x − yk e(M1 +σ)t + t G(ψ s (yk ))ds hk (M1 +σ)(hmax +ε0 ) ≤ Ce δ1 + (M0 + σ)|t − hk | 58 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do x − yk ≤ Cδ1 |t − hk | ≤ Cδ1 ψ t (x) − ψ hk (yk ) ≤ δ2 := C[e(M1 +σ)(hmax +ε0 ) + M0 + σ]δ1 (2.22) Tiếp theo, sử dụng phương trình (2.21), ta ý với x t, Dψ t (x) − Dψ t (yk ) t [DG(ψ s (x))Dψ s (x) − DG(ψ s (yk ))Dψ s (yk )]ds = t DG(ψ s (x)) Dψ s (x) − Dψ s (yk ) ds ≤ t DG(ψ s (x)) − DG(ψ s (yk )) Dψ s (yk ) ds + t Dψ s (x) − Dψ s (yk ) ds ≤ (M1 + δ) t [2σ + ω( ψ s (x) − ψ s (yk ) )]e(M1 +σ)s ds + t Dψ s (x) − Dψ s (yk ) ds ≤ (M1 + δ) + [2σ + ω(δ2 )]e(M1 +σ)(hmax +ε0 ) (hmax + ε0 ) Do với x − yk ≤ Cδ1 |t − hk | ≤ Cδ1 Dψ t (x) − Dψ t (yk ) ≤ [2σ + ω(δ2 )]e2(M1 +σ)(hmax +ε0 ) (hmax + ε0 ) Khi đó, với x t Dψ t (x)−Dψ hk (yk ) ≤ Dψ t (x) − Dψ t (yk ) + Dψ t (yk ) − Dψ hk (yk ) t DG(ψ s (yk ))Dψ s (yk )ds ≤ Dψ t (x) − Dψ t (yk ) + hk t ≤ Dψ t (x) − Dψ t (yk ) + (M1 + σ)e(M1 +σ)s ds hk t t ≤ Dψ (x) − Dψ (yk ) + (M1 + σ)e(M1 +σ)(hmax +ε0 ) |t − hk | Do x − yk ≤ Cδ1 |t − hk | ≤ Cδ1 Dψ t (x) − Dψ hk (yk ) ≤ δ3 , (2.23) với δ3 = [2σ + ω(δ2 )]e2(M1 +σ)(hmax +ε0 ) (hmax + ε0 ) + C(M1 + σ)e(M1 +σ)(hmax +ε0 ) δ1 59 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ phương trình (2.20), (2.22) (2.23) suy (x, t) − (y, h) ≤ Cδ1 DG(x, t) − DG(y, h) ≤ δ4 := (M1 + σ)δ2 + δ3 Vì vậy, thêm vào điều kiện cho với σ δ, ta cần điều kiện Cδ4 ≤ Áp dụng Bổ đề 2.1, định lý chứng minh với M = C max{eM1 hmax hmax , 1} 2.2 Định lý tính bóng liên tục Chúng ta chứng minh định lý bóng trường hợp liên tục Trong định lý trước giả quỹ đạo nằm hồn tồn tập S cịn định lý giả quỹ đạo nằm ngồi khơng xa tập S Định nghĩa 2.3 Cho δ > Khi δ−giả quỹ đạo phương trình x˙ = F (x) hàm khả vi liên tục y(t) cho với t ∈ R y(t) ˙ − F (y(t)) ≤ δ Định lý 2.2 Cho U ∈ Rn tập lồi mở cho F : U → Rn trường vectơ khả vi liên tục Giả sử S ⊂ U tập compact hyperbolic phương trình (1.2) Định nghĩa 1.1 Cho y(t) δ−giả quỹ đạo cho d(y(t), S) ≤ d với t Khi tồn số dương δ0 , σ0 , d0 M phụ thuộc vào F S cho G : U → Rn trường vectơ khả vi liên tục thỏa mãn F (x) − G(x) + DF (x) − DG(x) ≤ σ x∈U với σ ≤ σ0 δ ≤ δ0 , d ≤ d0 tồn nghiệm x(t) phương trình (2.2) hàm khả vi liên tục nhận giá trị thực α(t) với α(0) = cho với t x(α(t)) − y(t) ≤ M (δ + σ + d) 60 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com x(α(t)) − y(t), F (y(t)) = Hơn |α (t) − 1| ≤ M (δ + σ + d) Chứng minh Ý tưởng chứng minh sử dụng định lý bóng rời rạc xác định α(t) phù hợp Với k ∈ Z , chọn yk ∈ S cho y(k) − yk ≤ d Khi đó, áp dụng Bổ đề Gronwall, yk+1 − φ1 (yk ) ≤ yk+1 − y(k + 1) + y(k + 1) − φ1 (yk ) + φ1 (y(k)) − φ1 (yk ) ≤ d + eM1 δ + eM1 d = eM1 δ + (1 + eM1 )d, M1 = sup DF (x) x∈U Cho δ , σ , M tương ứng với F, S, hmin = hmax = Định lý 2.1 Khi σ ≤ σ0 eM1 δ + (1 + eM1 )d ≤ δ , +∞ giả quỹ đạo rời rạc {yk }+∞ k=−∞ ε−bóng điểm {xk }k=−∞ quỹ đạo phương trình (2.2) với xk+1 = ψ tk (xk ) ε = M [eM1 δ + (1 + eM1 )d + σ] Trước hết ta thay đổi giá trị xk Với k ∈ Z ta tìm số τk cho ψ τk (xk ) − y(k), F (y(k)) = Để chứng minh hoàn thiện định lý ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.3 Cho F : U → Rn trường vectơ lớp C tập mở U ∈ Rn Cho x y điểm thuộc U v vectơ Rn cho F (y), v = F (x) − F (y) ≤ | F (y), v | v 61 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giả sử nghiệm φt (x) phương trình (1.2) xác định đoạn [−α, α] DF (φt (x))F (φt (x)) ≤ | F (y), v | 2α v với |t| ≤ α Khi | x − y, v | ≤ α| F (y), v | tồn t thỏa mãn |t| ≤ 4| x − y, v | | F (y), v | cho φt (x) − y, v = Hơn nữa, có t thỏa mãn biểu thức cuối với |t| ≤ α Chứng minh Xem [6, tr101-102] Giả sử M1 d + σ ≤ ∆ , (2.24) ∆ = inf F (x) , x∈S ta áp dụng Bổ đề 2.3 cho phương trình (2.2) với y(k) y, xk x, F (y(k)) v ∆ α = (M0 + σ)(M1 + σ), M0 = sup F (x) x∈U Chú ý xk − y(k) ≤ ε + d (2.25) Nên ∆ ∆2 (M1 + σ), (M0 + σ)(M1 + σ)}, 32 từ Bổ đề 2.3 suy tồn τ = τk thỏa mãn ε + d < min{ |τk | ≤ 8∆−1 xk − y(k) (< α) (2.26) ψ τ (xk ) − y(k), F (y(k)) = (2.27) Hơn τk số τ thỏa mãn phương trình (2.27) |τ | ≤ α Khi ta đặt xk = ψ τk (xk ) 62 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com xk − y(k), F (y(k)) = Từ phương trình (2.25) (2.26) suy |τk | ≤ 8∆−1 (ε + d) xk − y(k) ≤ ψ τk (xk ) − xk + xk − y(k) ≤ (M0 + σ)|τk | + xk − y(k) (2.28) ≤ [8(M0 + σ)∆−1 + 1](ε + d) Đồng thời ý xk+1 = ψ sk (xk ), sk = −τk + tk + τk+1 , ta ước lượng |sk − 1| ≤ |tk − 1| + |τk | + |τk+1 | ≤ ε + 16∆−1 (ε + d) Với k ∈ Z, ta tìm hàm αk : [0, 1] → R cho ψ αk (t) (xk ) − y(t + k), F (y(t + k)) = với ≤ t ≤ Ta tiếp tục sử dụng Bổ đề 2.3 cho phương trình (2.2) với y(t + k) ∆ y, ψ t (xk ) x, F (y(t + k)) v α = (M0 + σ)(M1 + σ) Chú ý rằng, theo Bổ đề Gronwall, ψ t (xk ) − y(t + k) ≤ eM1 ( xk − y(k) + σ + δ) (2.29) ≤ t ≤ Do đó, sử dụng biểu thức (2.24), (2.28) (2.29) eM1 [8(M0 + σ)∆−1 + 1)(ε + d) + σ + δ] ∆ ∆2 < min{ (M1 + σ), (M0 + σ)(M1 + σ)}, 32 (2.30) từ Bổ đề 2.3 suy tồn τ = τk (t) thỏa mãn |τk (t)| ≤ 8∆−1 ψ t (xk ) − y(t + k) (< α) (2.31) ψ t+τ (xk ) − y(t + k), F (y(t + k)) = (2.32) 63 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hơn τk (t) số τ thỏa mãn phương trình (2.32) |τ | ≤ α Cụ thể, tính nhất, suy τk (1) = sk − τk (0) = 0, (2.33) với ε + 16∆−1 (ε + 2d) ≤ ∆ (M0 + σ)(M1 + σ) cho trước Tiếp theo ta chứng minh τk (t) khả vi liên tục đoạn [0, 1] Nếu ta đặt g(t, τ ) = ψ t+τ (xk ) − y(t + k), F (y(t + k)) , ta thấy ∂g (t, τ ) = G(ψ t+τ (xk )), F (y(t + k)) ∂τ ≥ F (y(t + k)) − G(ψ t+τ (xk )) − F (y(t + k)) F (y(t + k)) Giờ ta sử dụng phương trình (2.28), (2.29), (2.30) (2.31), ta thấy với τ = τk (t) G(ψ t+τ (xk )) − F (y(t + k)) ≤ G(ψ t+τ (xk )) − F (ψ t+τ (xk )) + F (ψ t+τ (xk )) − F (ψ t (xk )) + F (ψ t (xk )) − F (y(t + k)) ≤ σ + M1 [8(M0 + σ)∆−1 + 1] ψ t (xk ) − y(t + k) ∆ ≤σ+ Do đó, sử dụng biểu thức (2.24), ta có ∂g ∆ (t, τk (t)) ≥ (∆ − M1 d − σ − ) F (y(t + k)) ∂τ ∆ ≥ F (y(t + k)) (2.34) Do ∂g (t, τk (t)) > 0, ∂τ từ định lý hàm ẩn tính τk (t) suy τk (t) khả vi liên tục đoạn [0, 1] Khi ta đặt αk (t) = t + τk (t) với ≤ t ≤ 1, 64 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ta thấy αk (t) khả vi liên tục với ≤ t ≤ 1, ψ αk (t) (xk ) − y(t + k), F (y(t + k)) = (2.35) áp dụng biểu thức (2.31), ψ αk (t) (xk ) − y(t + k) ≤ [8(M0 + σ)∆−1 + 1] ψ t (xk ) − y(t + k) (2.36) Từ phương trình (2.33) suy αk (0) = 0, αk (1) = sk Để có cơng thức cho αk (t), ta đạo hàm phương trình (2.35) theo t ta G(ψ αk (t) (xk ))αk (t) − y(t ˙ + k), F (y(t + k)) + ψ αk (t) (xk ) − y(t + k), DF (y(t + k))y(t ˙ + k) = (2.37) Từ phương trình (2.34) suy ∆ F (y(t + k)) > Vì ta giải phương trình (2.37) αk (t) để G(ψ αk (t) (xk )), F (y(t + k)) ≥ (2.38) αk (t) = (2.39) y(t ˙ + k), F (y(t + k)) − ψ αk (t) (xk ) − y(t + k), DF (y(t + k))y(t ˙ + k) G(ψ αk (t) (xk )), F (y(t + k)) Điều có nghĩa với k αk (1) = αk+1 (0) Hơn từ phương trình (2.39) suy αk (t) − = y(t ˙ + k) − G(ψ αk (t) (xk )), F (y(t + k)) G(ψ αk (t) (xk )), F (y(t + k)) ψ αk (t) (xk ) − y(t + k), DF (y(t + k))y(t ˙ + k) − α (t) k G(ψ (xk )), F (y(t + k)) sử dụng phương trình (2.38) với ≤ t ≤ ta ước lượng |αk (t) − 1| = ≤ 4∆−1 y(t ˙ + k) − G(ψ αk (t) (xk )) +M1 ψ αk (t) (xk ) − y(t + k) y(t ˙ + k) F (y(t + k)) ≤ 4∆−1 y(t ˙ + k) − F (y(t + k)) + F (y(t + k)) − F (ψ αk (t) (xk )) + F (ψ αk (t) (xk )) − G(ψ αk (t) (xk )) +M1 (1 + δ(∆ − M1 d)−1 ) ψ αk (t) (xk ) − y(t + k) ≤ 4∆−1 [δ + σ + M1 (2 + δ(∆ − M1 d)−1 ) ψ αk (t) (xk ) − y(t + k) (2.40) 65 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giờ ta định nghĩa α : R → R   s0 + · · · + sk−1 + αk (t − k) k ≤ t ≤ k + 1, k ≥ α(t) = α (t) ≤ t ≤  −sk − · · · − s−1 + αk (t − k) k ≤ t ≤ k + 1, k ≤ −1 ta xác định nghiệm x(t) = ψ t (x0 ) Khi từ αk (t) thuộc lớp C , αk (0) = , αk (1) = sk αk (1) = αk+1 (0) suy α(t) hàm thuộc lớp C với α(0) = Hơn nữa, từ biểu thức (2.28), (2.29), (2.35), (2.36), (2.39) (2.40) suy với t x(α(t)) − y(t), F (y(t)) = 0, x(α(t)) − y(t) ≤ eM1 [8(M0 + σ)∆−1 + 1][σ + δ + (8(M0 + σ)∆−1 + 1)(ε + d)], (2.41) α (t) = y(t), ˙ F (y(t)) − x(α(t)) − y(t), DF (y(t))y(t) ˙ G(x(α(t))), F (y(t)) (2.42) |α (t) − 1| ≤ 4∆−1 [δ + σ + M1 (2 + δ(∆ − M1 d)−1 ) x(α(t)) − y(t) ] (2.43) Do đó, với việc chọn M thích hợp, phần tồn định lý chứng minh xong Phần lại ta cần chứng minh tính Trước hết, ta giả sử δ, σ, d đủ nhỏ để vế phải bất đẳng thức (2.43) nhỏ Khi suy α(t) đồng phơi Chú ý d(x(t), S) ≤ d + M (δ + σ + d) δ, σ, d đủ nhỏ từ Định lý 1.2 suy nghiệm x(t) nằm tập 3α , số cận N , N s , N u compact hyperbolic SO với số mũ phép chiếu phụ thuộc vào F S Chú ý ta áp dụng chứng minh Mệnh đề 1.4 cho phương trình (2.2) SO mơđun liên tục ω(ε) thay ω(ε) + 2σ, ω(·) mơ đun liên tục DF , ta cần ε σ đủ nhỏ phụ thuộc vào F S Vì số co giãn SO nhận Định lý 1.1 chọn phụ thuộc vào F S Cho z(t) nghiệm khác phương trình (2.2) β : R → R hàm khả vi liên tục với β(0) = cho với t z(β(t)) − y(t) ≤ M (δ + σ + d) 66 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy với t z(β(t)) − x(α(t)) ≤ 2M (δ + σ + d), γ = β ◦ α−1 Khi 2M (δ + σ + d) không vượt số co giãn tập hyperbolic SO , từ Định lý 1.1 suy tồn số thực τ cho x(0) = ψ τ (z(0)), |τ | ≤ T.2M (δ + σ + d) T số phụ thuộc vào F S δ, σ d đủ nhỏ Giờ ta giả sử z(β(t)) − y(t), F (y(t)) = với t (2.44) Cụ thể z(0) − y(0), F (y(0)) = Vì β(0) = 0, ta có z(0) − y(0) ≤ M (δ + σ + d) Tuy nhiên, ý ψ τ (z(0)) − y(0), F (y(0)) = x(0) − y(0), F (y(0)) = Khi đó, từ tính Bổ đề 2.3 suy τ = với δ, σ d đủ nhỏ cho trước Vì x(0) = z(0) x(t) = z(t) t Tiếp theo, ý từ phương trình (2.42) suy α(t) nghiệm phương trình vi phân vơ hướng α = y(t), ˙ F (y(t)) − ψ α (x(0)) − y(t), DF (y(t))y(t) ˙ α G(ψ (x(0))), F (y(t)) với α(0) = Từ phương trình (2.44) với t, x(0) = z(0) với δ, σ, d đủ nhỏ cho trước G(z(β(t))), F (y(t)) > với t, β(t) nghiệm tốn giá trị ban đầu Do đó, từ tính ta có α(t) = β(t) với t Vậy tính chứng minh định lý chứng minh 67 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết luận Chúng ta chứng minh phiên tính bóng (rời rạc liên tục) tập bất biến hyperbolic phương trình vi phân thường x = F (x) không gian hữu hạn chiều Các tính chất cho phương trình đủ gần phương trình xét Giả thiết F xác định tập lồi, mở U giả thiết mang tính kỹ thuật Chúng tơi mong muốn bỏ giả thiết việc thay đổi ước lượng qua định lý trung bình Các kết thích hợp để suy rộng cho hệ thang thời gian, thân thang thời gian pha trộn tính rời rạc tính liên tục Chúng tơi nghiên cứu toán thời gian tới 68 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tài liệu tham khảo [1] Ju.L Daleckii and M.G Krein, (1974), Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, Amer.Math.Soc Translations, R.I Providence [2] J Massera and J.J Schăaffer, (1966), Linear Differential Equations and Function Spaces, Academic Press, New York [3] J Meiss, (2007), Diferential Dynamical Systems, SIAM, Philadelphia [4] M.W Hirsch and S Smale, (1974), Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press, New York [5] R.A Sacker and G.R Sell, (1974), "Existence of dichotomies and invariant splittings for linear differential systems I", J.Diff.Eqns, (15), 429-458 [6] Palmer Ken, (2000), Shadowing in Dynamical Systems Theory and Applications, Kluwer Academic Publishers [7] W.A Coppel, (1965), Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equations, D.C Heath, Boston [8] W.A Coppel, (1978), "Dichotomies in stability theory", Lecture Notes in Mathematics, (629), Springer-Verlag, Berlin 69 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... S 1.4 1.4.1 Nhị phân mũ phương trình vi phân Định nghĩa Xét phương trình vi phân tuyến tính x˙ = A(t)x (1.22) Khi hệ n nghiệm độc lập tuyến tính x1 (t), x2 (t), , xn (t) phương trình (1.22) gọi... Sinai dùng phương pháp hình học để nghiên cứu tính bóng Sau này, Palmer dùng cách tiếp cận giải tích cho tính bóng thơng qua lý thuyết nhị phân mũ phương trình vi phân Trong luận văn này, chúng... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THỊ BÍCH THỤC TÍNH CHẤT BĨNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ HUY