Luận văn thạc sĩ HUS sử dụng các phương pháp lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các phương trình vi phân và một số mô hình ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MƠ SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MƠ SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - Năm 2012 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Lời nói đầu Lời cảm ơn Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach 1.1 Một số kiến thức lý thuyết toán tử giới nội không gian Banach 1.1.1 Những mệnh đề tổng qt hình học khơng gian Banach ánh xạ tuyến tính chúng 1.1.2 Hàm tốn tử tuyến tính giới nội 1.1.3 Toán tử e-mũ 1.1.4 Ví dụ 1.1.5 Định lý Lyapunov tổng qt tốn tử có phổ nằm nửa mặt phẳng trái 10 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach với toán tử 12 1.2.1 Nghiệm phương trình vi phân tuyến tính khơng 12 1.2.2 Dáng điệu nghiệm phương trình khoảng vô hạn 13 1.2.3 Tính giới nội nghiệm phương trình 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.2.4 Điều kiện tồn nghiệm giới nội phương trình không 24 Về phương pháp Lyapunov phương trình vi phân số ứng dụng 2.1 30 Các khái niệm ổn định nghiệm phương trình vi phân 30 2.2 Sự ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số biến thiên( khơng ôtônôm) 32 2.2.1 Tính ổn định hệ tuyến tính với hệ số biến thiên 32 2.2.2 Tính ổn định phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến 33 2.3 Các hàm xác định dấu 35 2.4 Các định lí Lyapunov 36 2.5 Một số mơ hình ứng dụng 45 2.5.1 Sự ổn định trình chuyển động quay vật thể rắn 45 2.5.2 Sự ổn định phi chuyển động 46 2.5.3 Mô hình quần thể 47 Về cân tiệm cận tương đương tiệm cận phương trình vi phân khơng gian Hilbert 3.1 49 Sự cân tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Hilbert 49 3.2 Về tương đương tiệm cận phương trình vi phân khơng gian Hilbert 54 Tài liệu tham khảo 58 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời nói đầu Việc nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân (PTVP) có ý nghĩa quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân, đồng thời có nhiều ứng dụng mơ hình thực tế Vì năm gần có nhiều cơng trình nhà khoa học nước sâu nghiên cứu lĩnh vực Mục đích luận văn trình bày lại số kết tính chất nghiệm PTVP tuyến tính khơng gian Banach số ứng dụng phương pháp Lyapunov mơ hình cụ thể khoa học kỹ thuật Bố cục luận văn gồm ba chương Chương 1: Trong chương chúng tơi trình bày số tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach Chương 2: Trong chương hai chúng tơi trình bày số kết phương pháp Lyapunov việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân Sau trình bày số ví dụ minh họa mơ hình thực tế Chương 3: Trình bày kết tính cân tiệm cận tương đương tiệm cận phương trình vi phân PTVP khơng gian Hilbert Nội dung chương dựa vào kết nghiên cứu của: GS TS Nguyễn Thế Hoàn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach Nội dung chương bao gồm kiến thức chuẩn bị tốn tử tuyến tính khơng gian Banach số tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính với tốn tử Các kết chương trích dẫn từ tài liệu [1] 1.1 Một số kiến thức lý thuyết tốn tử giới nội khơng gian Banach 1.1.1 Những mệnh đề tổng qt hình học khơng gian Banach ánh xạ tuyến tính chúng Không gian định chuẩn không gian Banach Tập hợp L đươc gọi không gian định chuẩn thực (phức) L khơng gian tuyến tính (vector) trường số thực (phức) phần tử (vector) x ∈ L xác định số không âm x - chuẩn phần tử x- có tính chất sau: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (a) αx = |α| x x ∈ L với số thực (phức) α (b) x + y ≤ x + y với x, y ∈ L (bất đẳng thức tam giác) (c) x = x = Hàm số ρ (x, y) = x − y xác định không gian định chuẩn metric, L không gian metric Dãy {xn } ⊂ L gọi dãy sở lim n,m→∞ xn − xm = Không gian định chuẩn gọi không gian Banach dãy sở có giới hạn, phần tử x ∈ L cho lim xn − x = (nói cách khác khơng n→∞ gian Banach L(=B) không gian đủ metric ρ (x, y) = x − y ) 2.Toán tử tuyến tính Giả sử B1 B2 khơng gian Banach Ánh xạ A : B1 → B2 gọi tốn tử tuyến tính nếu: A (αx + βy) = αAx+βAy với số α, β x, y ∈ B1 Tốn tử tuyến tính liên tục liên tục x = Tính liên tục tương đương với tính giới nội tốn tử A, tức tính hữu hạn đại lượng def A = sup Ax |x ∈ B1 , x = x = sup { Ax |x ∈ B1 , x = 1} Tập tốn tử tuyến tính giới nội A : B1 → B2 kí hiệu [B1 ; B2 ] Tập không gian Banach với chuẩn định nghĩa với phép cộng phép nhân toán tử với số (A + B) x = Ax + Bx; (αA)x = α (Ax) Toán tử B : B2 → B1 gọi toán tử ngược toán tử A : B1 → B2 kí hiệu B = A−1 , AB = I2 ; BA = I1 , Ik tốn tử đồng Bk : Ik x = x với x ∈ Bk (k = 1, 2) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định lý 1.1.1 Giả sử toán tử A ∈ [B1 , B2 ] ánh xạ một-một tương ứng từ không gian Banach B1 tới khơng gian Banach B2 Khi tốn tử nghịch đảo A−1 tốn tử tuyến tính bị chặn A−1 ∈ [B1 , B2 ] Tập tốn tử giới nội khơng gian B vào kí hiệu ngắn gọn [B] Tổng trực tiếp không gian phép chiếu Một tập tuyến tính đóng khơng gian Banach B gọi không gian Ta nói khơng gian Banach B phân rã thành tổng trực tiếp không gian B1 B2 : · B = B1 + B2 (1.1) phần tử x ∈ B biểu diễn dạng x = x1 + x2 , (1.2) x1 ∈ B1 , x2 ∈ B2 Mỗi không gian B1 B2 phần bù trực tiếp không gian Phép khai triển (1.2) sinh hai toán tử Pk : B → Bk (k = 1, 2) xác định đẳng thức Pk x = xk (k = 1, 2); x1 x2 thành phần x khai triển (1.1) Các toán tử P1 P2 có tính chất Pk2 = Pk ; P1 + P2 = I; P1 P2 = P2 P1 = (1.3) Toán tử P ∈ [B] gọi phép chiếu P = P 1.1.2 Hàm tốn tử tuyến tính giới nội Phổ giải thức Giả sử B không gian Banach phức Điểm λ mặt phẳng phức gọi điểm qui tốn tử A ∈ B [B] tồn toán tử (giải thức toán tử A), Rλ = (A − λI)−1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tập hợp ρ (A) tất điểm qui tốn tử A mở Phần bù σ (A) gọi phổ toán tử Phổ σ (A) ln khác rỗng, đóng nằm hình trịn |λ| ≤ A Chính xác hơn, phổ σ (A) nằm hình trịn có bán kính rA n rA = lim n→∞ An (Sự tồn giới hạn dễ dàng suy từ hệ thức Am+n ≤ Am An ) ∞ Thật vậy, với λ với |λ| > rA chuỗi λ−(k+1) Ak hội tụ tuyệt đối metric k=0 [B] , chuỗi tương ứng từ chuẩn làm trội cấp số nhân với công bội rA +ε |λ| với ε > 0, chỗ Khi nhân chuỗi với λI − A ta có I Vậy, |λ| > rA tồn giải thức, ∞ (1.4) λ−(k+1) Ak Rλ = − k=0 Có thể đường tròn |λ| = rA ln có điểm phổ σ (A) Vì giới hạn lim n→∞ 1.1.3 n An gọi bán kính phổ tốn tử A Tốn tử e-mũ Định nghĩa e-mũ toán tử Trong lý thuyết phương trình vi phân tốn tử hàm eAt đóng vai trị đặc biệt quan trọng, đưa nhờ hai hệ thức Đầu tiên ma trận eA xác định A e = lim n→∞ A A2 An I+ + + + 1! 2! n! ∞ = n=0 An n! , eAt = − 2πi eλt (A − λI)−1 dλ, (1.5) ΓA ∞ At e = k=0 Ak tk k! (1.6) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lấy vi phân hệ thức (1.5) theo t dấu tích phân ta công thức deAt = AeAt dt (1.7) Thật vậy, deAt =− dt 2πi λeλt (A − λI)−1 dλ ΓA = 1.1.4 − 2πi λ(A − λI)−1 dλ × − ΓA 2πi eλt (A − λI)−1 dλ = AeAt ] ΓA Ví dụ Ví dụ 1.1.1 Tìm etA , biết: (a)A = −1 ; (b)B = , A3 = −1 1 −1 −1 Lời giải: a,Ta tính −1 A= −1 0 −1 , A2 = 0 , A4 = =I Tương tự A5 = A, A6 = A2 , Từ ta được: etA = 0 1 −1 +t ∞   =  + n=0 ∞ − n=0 t2 2! −1 0 −1 ∞ t2n (−1)n (2n)! 2n+1 t (−1)n (2n+1)! = + n=0 ∞ t3 3! −1 t2n+1 (−1)n (2n+1)! 2n n=0 t (−1)n (2n)! cos t sin t − sin t cos t Ở ta sử dụng công thức khai triển Taylor cos t = ∞ sin t = b, n=0 + t4 4! 0 +     ∞ n=0 2n t (−1)n (2n)! 2n+1 t (−1)n (2n+1)! A= 1 −1 −1 , A2 = 0 0 , A3 = 0 0 , LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com La-Call J P(Mỹ), Levison N, Codoling E.A (Mỹ), Maccer H L, Yoshizawa T , Hale J K, Bell Man R , Rouche N Chúng xin trích dẫn sau vài kết tiêu biểu Ổn định phận (V V Rumianxev 1957) Giả sử f : I × Ω × Rm → Rn g : I × Ω × Rm → Rm I = [τ, ∞) ⊂ R, Ω miền mở Rn có chứa gốc tọa độ, giả sử f (t, 0, 0) = g(t, 0, 0) = t ∈ I Xét hệ phương trình vi phân: · x = f (t, x, y) · y = g (t, x, y) (2.31) Ta định nghĩa hàm a : R+ → R+ , a (0) = gọi thuộc lớp κ -hàm liên tục tăng ngặt Sau ta thường kí hiệu a ∈ κ Định nghĩa 2.4.1 Ký hiệu z(t) = (x(t), y(t)) nghiệm hệ (2.31) Ta nói nghiệm z (t) ≡ ổn định (∀ε > 0) , (∀t0 ∈ I) , (∀z0 ∈ Bδ ) ∀t ∈ J + : x (t, t0 , z0 ) < ε Định lý 2.4.4 Nếu tồn hàm V : I × Ω × Rm → R cho hàm a ∈ κ (t, x, y) ∈ I × Ω × Rm ta có: V (t, x, y) ≥ a ( x ) , V (t, 0, 0) = V (t, x, y) ≤ Thì nghiệm tầm thường ổn định theo quan hệ x Ngoài hàm b ∈ κ (t, x, y) ∈ I × Ω × Rm thỏa mãn điều kiện V (t, x, y) ≤ b ( x + y ) nghiệm tầm thường z (t) ≡ ổn định theo x Sự ổn định với nhiễu hằng: Giả sử I × Ω → Rn , f (t, 0) = 0, (∀t ∈ I) ta xét phương trình vi phân: x = f (t, x) , (2.32) 44 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cùng với phương trình (2.32) ta xét phương trình y = f (t, y) + g (t, y) (2.33) g : I × Ω → Rn , g (t, 0) = không thỏa mãn y(t) = khơng nghiệm (2.12) Định nghĩa 2.4.2 Nghiệm x = gọi ổn định tác động nhiễu ∀ε > 0, ∃δ1 , δ2 > 0, ∀y0 ∈ Bδ1 g , cho ∀t0 ∈ I, thỏa mãn điều kiện ∀t ≥ t0 , ∀x ∈ Bε (g (t, x)) < δ2 điều kiện sau thỏa mãn ∀t ≥ t0 , y (t, t0 , y0 ) ∈ Bε Định lý 2.4.5 Nếu tồn C hàm V : I × Ω → R, tồn hàm a, b, c ∈ κ tồn số M cho (t, x) ∈ I × Ω; thỏa mãn điều kiện sau đây: a ( x ) ≤ V (t, x) ≤ b ( x ) V (t, x) ≤ −c ( x ) (V đạo hàm dọc theo nghiệm x(t) phương trình (2.11) 2.5 2.5.1 ∂V ∂x (t, x) ≤ M Khi nghiệm x = ổn định với nhiễu Một số mơ hình ứng dụng Sự ổn định q trình chuyển động quay vật thể rắn Xem trang 24 tài liệu [7] Xét chuyển động vật thể hệ tọa độ Oxyz với điểm bất động gốc tọa độ O (không có ngoại lực tác động) Kí hiệu A, B C momen quán tính vật thể gốc tọa 45 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com độ O , kí hiệu ω -vector vận tốc góc hệ tọa độ xét Giả sử p, q, r hình chiếu vector ω lên trục chính, phương trình chuyển động Ơle có dạng   A p = (B − C) qr  B q = (C − A) rp C p = (A − B) pq Phương trình xác lập quay xung quanh trục thứ tương ứng với điểm p = p0 , q = 0, r = Sử dụng phép đổi biến x = p − p0 , y = q, z = r có điểm tới hạn gốc tọa độ nhận hệ phương trình rút gọn:   x =  y= z= B−C A yz C−A B (p0 A−B C (p0 + x) z + x) y +Nếu A < B ≤ C , trình quay thực quanh trục lớn ellipxoit qn tính Có thể lấy hàm Lyapunov V : R3 → R+ : V = B (B − A) y + C (C − A) z + By + Cz + A x2 + 2xp0 ta kiểm V =0 tra hàm V thỏa mãn điều kiện định lí thứ Lyapunov (V (x, y, z) > 0, V (x, y, z) = 0) Vì suy nghiệm tầm thường ổn định chí + Nếu A > B ≥ C nhận kết tương tự ta chọn hàm Lyapunov là: V = B (A − B) y + C (A − C) z + By + z + A x2 + 2xp0 2.5.2 Sự ổn định phi chuyển động Chúng ta quan sát phi bay (hoặc chim bay), giả sử mặt đối xứng trùng với mặt thẳng đứng hệ trục tọa độ thời điểm trình chuyển động Giả sử v tốc 46 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com độ trọng tâm vật thể, θ góc vector chuyển động với trục hoành (trục nằm ngang) Giả sử trục chuyển động (trục hướng theo chiều dài phi cơ) ln tạo nên góc khơng đổi α với v Kí hiệu CD (α) CL (α) hệ số phản lực tùy ý lực đẳng Khi ta có phương trình biến thiên v θ có dạng: m v = −mg sin θ − CD (α) v , mv θ = −mg cos θ + CL (α) v Bằng cách đặt v02 = mg CL , τ = gt v0 , y dạng: v v0 = dy dτ dθ dτ α = CD CL ta đưa phương trình xét = − sin θ − ay (−cosθ+y 2) = y Trong trường hợp đầy đủ hồn chỉnh tham khảo tài liệu (N G Chetaev[1955]) Ở xét trường hợp đơn giản a = Hệ phương trình có điểm suy biến y0 = 1, θ0 = 2kπ (k ∈ N ),(các điểm tương ứng với trường hợp phi bay theo chiều ngang với vận tốc số) Ta cần xét trường hợp y0 = 1, θ0 = Dễ dàng kiểm tra V (y, θ) = y − y cos θ + 23 tích phân đầu hệ phương trình xét a = Ngoài ta nhận thấy lân cận điểm (1, 0) ta có: V (y, θ) > V (1, 0) = Hơn ta cịn chứng minh V (t, x) ≤ 0, chuyển động máy bay thời điểm ổn định 2.5.3 Mơ hình quần thể Xét mơ hình tương tác hai quần thể sinh học cho hệ phương trình dạng thú- mồi (Lotka-Volterra) dx dt dy dt = (a − by) x = (cx − e) y 47 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a, b, c, e số dương Các vị trí cân hệ phương trình x0 = y0 = x0 = y0 = e c a b Đối với nghiệm x = 0, y = ta sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ để nghiên cứu Do phương trình dx dt dy dt = ax = −ey (2.34) không ổn định (λ1 = a > 0, λ2 = e < 0) nên hệ phương trình (2.10) có nghiệm x = 0, y = khơng ổn định Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm x∗ = e c y ∗ = a b ta dùng phép biến đổi x = u + ec , y = v + ab ta có phương trình rút gọn dạng: du dt dv dt = − be c −buv ac = b u + cuv Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm tầm thường xét hàm Lyapunov: V (u, v) = cu + bv − e ln (e + cu) − a ln (a + bv) Trong lân cận đủ bé gốc tọa độ hàm V (u, v) liên tục, xác định dương Ngồi ta có V (u, v) = c − a e u +b − v e + cu a + bv Ta kiểm tra V (u, v) xác định dương V (u, v) ≤ 0, nghiệm tầm thườngu = 0, v = ổn định theo Lyapunov 48 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Về cân tiệm cận tương đương tiệm cận phương trình vi phân không gian Hilbert 3.1 Sự cân tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính không gian Hilbert Trong không gian Hilbert H ta xét phương trình x = A(t)x (3.1) Trong phần luôn giả thiết A(t) ∈ [H] , ∀t ∈ R+ thỏa mãn điều kiện bảo đảm tồn nghiệm tốn Cauchy Định nghĩa 3.1.1 Ta nói phương trình (3.1) có cân tiệm cận nghiệm có giới hạn hữu hạn vô (khi t → +∞)và với u0 ∈ H tồn nghiệm x(t) (3.1) cho x(t) → u0 t → +∞ Định nghĩa 3.1.2 Cho A(t)=A*(t), t ≥ t0 ≥ x(t) gọi nghiệm mở rộng phương trình · x = A(t)x thỏa mãn phương trình d x(t), y = x(t), A(t)y , ∀y ∈ D (A) ; t ≥ to ≥ dt 49 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chúng xin nhắc lại A (t) h ∈ L1 [0, ∞) ∀h ∈ S (0, 1) tồn số T > số q ∈ (0, 1) cho ∀h ∈ S (0, 1) cho +∞ A (t) h dt < q T Định lý 3.1.1 Cho h ∈ H, A(t)h ∈ L1 [0, +∞) toán tử A(t) tốn tử tự liên hợp Khi nghiệm giới nội phương trình (3.1) có giới hạn (yếu) hữu hạn Hơn nữa, bao hàm A(t)h ∈ L1 [0, +∞) h ∈ S(0,1) , nghiệm bị chặn (3.1) có giới hạn hữu hạn vô hạn Chứng minh Cho x(t) nghiệm bị chặn (3.1), nghĩa tồn M > cho x(t) ≤ M, ∀t ≥ Khi với h ∈ H ta có t x(t), h = x0 , h + t A (τ ) x (τ ) , h dτ = x0 , h + t0 x (τ ) , A (τ ) h dτ (3.2) t0 Ở x0 = x (t0 ) Do t2 t2 x (τ ) , A (τ ) h dτ ≤ M | x(t1 ) − x(t2 ), h | = t1 A (τ ) h dτ < ε t1 t1 , t2 > T , với T đủ lớn Điều có nghĩa tồn lim x(t), h với t→+∞ h ∈ H Do phần thứ định lí chứng minh Do H đầy đủ nên tồn h0 ∈ H cho lim x (t) , h = h0 , h , h ∈ H t→+∞ Từ biểu thức (3.2), ta có +∞ h0 , h = x0 , h − x (τ ) , A (τ ) h dτ (3.3) t0 Từ (3.2), (3.3) ta có +∞ x(t), h = h0 , h − x (τ ) , A (τ ) h dτ , h ∈ H (3.4) t Do +∞ | x(t), h | ≤ | h0 , h | + M A (τ ) h dτ < | h0 , h | + ε (3.5) t 50 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com với t đủ lớn Từ (3.5) tính đầy đủ H ta có (3.6) x(t) ≤ h0 + ε với t đủ lớn Mặt khác, từ hội tụ yếu chứng minh ta có (3.7) h0 ≤ x(t) + ε với t đủ lớn Từ bất đẳng thức (3.6), (3.7) ta suy lim t→+∞ x(t) = h0 Vì x(t) tiến yếu tới h0 ta thu lim x(t) = h0 Định lí chứng t→+∞ Hệ 3.1.1 Giả sử với h ∈ H, A(t)h ∈ L1 [0, +∞) với h ∈ S (0, 1) A(t) toán tử phản tự liên hợp Khi nghiệm phương trình vi phân (3.1) có giới hạn hữu hạn vơ cực Chứng minh Trước hết ta chứng minh nghiệm (3.1) giới nội Thật vậy: Ta xét hàm Lyapunov V (x (t)) = x2 (t) V (x (t)) = x (t) , x (t) Ta xét đạo hàm dọc theo nghiệm: V (x (t)) = x (t) , x (t) + x (t) , x (t) = A (t) x (t) , x (t) + x (t) , A (t) x (t) = A (t) x (t) , x (t) + −A (t) x (t) , x (t) =0 Từ suy x (t) = C , C số hay x (t) = x(t0 )=hngs Vậy nghiệm bị chặn Áp dụng định lý (3.1) ta suy điều phải chứng minh Định lý 3.1.2 Giả sử A(t)h ∈ L1 [0, +∞) với h ∈ S (0, 1) ; A(t) = A∗ (t) Khi với h0 ∈ H tồn nghiệm suy rộng x(t) phương trình (3.5) cho: lim x(t) = h0 t→+∞ (3.8) 51 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chứng minh Xét phiếm hàm +∞ ζ1 (t, h) = h0 , h − A (τ ) x0 (τ ) , h dτ , t t ≥ t0 ; h ∈ H; x0 (t) ≡ h0 +∞ ζ1 (t, h) ≤ h0 h + x0 (τ ) A(τ )h dτ ≤ h0 ( h + q), (3.9) t q = +∞ A(τ )h dτ Ta chọn t0 đủ lớn cho < q < Từ bất đẳng t0 thức (3.11) suy ζ1 (t, h) hàm tuyến tính xác định H Theo định lí Riesz, tồn phần tử x1 (t) H cho ζ1 (t, h) = x1 (t), h Rõ ràng x1 (t) ≤ (1 + q) h0 Bây ta xét hàm +∞ ζ2 (t, h) := h0 , h − x1 (τ ) , A (τ ) h dτ , h ∈ H t Chứng minh tương tự ta thu ζ2 (t, h) hàm tuyến tính liên tục, xác định H Ngược lại ζ2 (t, h) = x2 (t), h x2 (t) ≤ + q + q h0 Tiếp tục q trình này, ta có hàm tuyến tính liên tục +∞ ζn (t, h) := h0 , h − xn−1 (τ ) , A (τ ) h dτ , (3.10) t xác định H Mở rộng tính liên tục hàm có dạng (3.11) ζn (t, h) = xn (t), h xn (t) ≤ (1 + q + + q n ) h0 ≤ h0 1−q (3.12) Bây dãy {xn (t)} hội tụ đoạn [t0 , +∞) Để chứng minh điều ta chứng minh bất đẳng thức sau quy nạp: xn (t) − xn−1 (t) ≤ h0 q n (3.13) 52 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Với n = ta có x1 (t) − x0 (t) = sup | x1 (t) − x0 (t) , h | h ≤1 = sup h∈S(0,1) ≤ sup +∞ ∫ +∞ ∫ t0 x1 (t) − x0 (t) , h dτ A (τ ) h x0 (τ ) dτ ≤ h0 q h∈S(0,1) t0 Công thức (3.13) với n = Giả sử (3.13) với n Khi xn+1 (t) − xn (t) = sup | xn+1 (t) − xn (t) , h | h ≤1 +∞ = sup h∈S(0,1) xn (τ ) − xn−1 (τ ) , A (τ ) h dτ t0 +∞ ≤ A (τ ) h dτ ≤ h0 q n+1 xn (τ ) − xn−1 (τ ) t0 Công thức (3.4) với n + Với < q < 1, bất đẳng thức (3.13) dãy xn (t) hội tụ khoảng [t0 , +∞) Đặt x (t) = lim xn (t) cho n → +∞ (3.10), (3.11) ta thu n→+∞ +∞ x (t) , h = h0 , h − x (τ ) , A (τ ) h dτ , (h ∈ H) (3.14) t Điều x(t) nghiệm suy rộng (3.1) x(t) có giới hạn yếu h0 t → +∞ Bây ta chứng minh x(t) hội tụ mạnh tới h0 t → +∞, việc kiểm tra lại tính hội tụ dãy {xn (t)} Khi ta suy xn (t) → h0 t → +∞ Thật vậy, ta có +∞ | xn (t) − h0 , h | < +∞ xn−1 (τ ) h0 A (τ ) h dτ ≤ 1−q t A (τ ) h dτ , t 53 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do xn (t) − h0 ≤ Do +∞ h0 1−q +∞ A (τ ) h dτ t A (τ ) h dτ → theo h t → +∞ nên định lý chứng minh t 3.2 Về tương đương tiệm cận phương trình vi phân khơng gian Hilbert Trong phần xét hai phương trình y = A (t) y (3.15) x = A (t) x + f (t, x) (3.16) Định nghĩa 3.2.1 Các phương trình (3.15), (3.16) gọi tương đương tiệm cận với nghiệm x(t) (3.16) tồn nghiệm y(t) (3.15) cho lim t→+∞ x (t) − y (t) = (3.17) ngược lại, với y(t) (3.15) tồn nghiệm x(t) (3.16) thỏa mãn (3.17) Chúng ta giả sử A (t) ∈ L [H] với t ≥ A(t) toán tử liên tục mạnh [0, +∞) ; f : [0, +∞) × H → H tốn tử liên tục Trong (3.15) ta kí hiệu U(t) toán tử Cauchy thỏa mãn U(0) = I Xét phương trình z = U −1 (t) f [t, U (t) z] (3.18) Định lý 3.2.1 Cho phương trình (3.15) ổn định U (t) ≤ M Hơn ta giả sử phương trình (3.18) có cân tiệm cận Khi phương trình (3.15) (3.16) tương đương tiệm cận Chứng minh Cho x(t) nghiệm tùy ý (3.16) Dễ dàng thử lại z (t) = U −1 (t) x (t) nghiệm (3.18) Thay vào giả thiết, tồn 54 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com z+∞ = lim z (t) Đặt y(t) = U(t)z+∞ ta dễ dàng thử lại y(t) nghiệm t→+∞ (3.15) mà thỏa mãn (3.17) Ngược lại, cho y(t) nghiệm tùy ý (3.15) thỏa mãn điều kiện y (0) = y0 Thì y (t) = U(t)y0 Theo giả sử tồn nghiệm z(t) (3.18) cho lim z (t) = y0 Cho x(t) = U(t)z(t) Dễ t→+∞ dàng thử lại x(t) nghiệm (3.16) lim t→+∞ x(t) − y(t) ≤ M lim t→+∞ z(t) − y0 = Định lí chứng minh Ví dụ: Xét phương trình sau: x = Ax + B (t) x y = Ay Trong đóA = −1 0 −2 ; B (t) U (t) = e−t e−t e−t −2t e Trong trường hợp ; U −1 (t) = U −1 (t)B (t) U (t) = et 0 e2t e−2t Theo định lí tương đương tiệm cận Levison (xem [5]) phương trình tương đương tiệm cận Tuy nhiên, phương trình z = U −1 (t)B (t) U (t) z khơng có cân tiệm cận Thực vậy, phương trình viết dạng z1 = e−2t z2 z2 = z1 Giả sử hệ có cân tiệm cận Cho h0 = (1, 1) tồn nghiệm (z1 (t) , z2 (t)) cho z1 (t) → I; z2 (t) → I t → +∞ Do z2 (t) → I 55 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com t → +∞ Ta có − ε < z2 (t) < + ε, ∀t ≥ T > Suy z2 (t) > z2 (T ) + (1 − ε) (t − T ) Cho t → +∞ ta suy điều phải chứng minh 56 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com KÊT LUẬN Bản luận văn trình bày lại số kết tính chất nghiệm PTVP tuyến tính khơng gian Banach bao gồm: tính ổn định nghiệm theo Lyapunov, tính giới nội nghiệm nửa trục, tính cân tiệm cận tính tương đương tiệm cận Ngồi luận văn trình bày số ứng dụng phương pháp Lyapunov mơ hình cụ thể khoa học kỹ thuật 57 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tài liệu tham khảo [1] Ju L Daleckii and M G Krein (1974) Stabilitiy of solutions of differential Equation in Banach Space Springer [2] Nguyen The Hoan (1975), Asymptotic equivalence of system of differential equation, IZV Acad Nauk ASSR Number 2, 35-40 (Russian) [3] M A Krasnoselski, S G Kreinn (1956) On the theory of differential equation in Banach space Voronez Gos Univ Trudy sem Funkcional Anal No (in Russian) [4] A V Balakrishnan (1974)Introduction to theory of optimization in Hilbert space (in Russian) [5] B P Demidovic (1967) Lectures on the mathematical theory of stability, "Nauka" Moscow (in Russian) [6] Hoàng Tụy, 2005 Hàm thực giải tích hàm NXB ĐHQG Hà Nội [7] N Rouche P Habets, M Laloy (1977) Stability Theory by Lyapunov Direct Method [8] Nguyen Van Dao (1998)Stability of dynamic systems.NXB ĐHQG Ha Noi [9] W A Coppel (1965) Stability and Asymptotic behaviour of differential Equation.Copyright by D.C Heath and Company [10] Nguyen The Hoan (1981)Some asympptotic behaviour of solutions of nonlinear system of differential equation (Uravnenija) 58 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... NGUYỄN THỊ MƠ SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... Lyapunov) Cùng với định lý vừa trình bày cịn có định lý Lyapunov tính ổn định tiệm cận khơng ổn định phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu nhỏ Nhờ định lý áp dụng để nghiên cứu tính ổn định chuyển... Vi? ??c nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân (PTVP) có ý nghĩa quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân, đồng thời có nhiều ứng dụng mơ hình thực tế Vì năm gần có nhiều cơng trình