Thuật tốn đơn hình giải tốn quy hoạch tuyến tính tắc Lecturer: Phạm Thị Hồi Department of Applied Mathematics - School of Applied Mathematics and Informatics Hanoi University of Science and Technology hoai.phamthi@hust.edu.vn 0/9 Content Ý tưởng Thuật tốn đơn hình Cơ sở lí thuyết thuật tốn đơn hình hoai.phamthi@hust.edu.vn 1/9 Ý tưởng Thuật tốn đơn hình Dạng tắc toán QHTT minimize cx subject to Ax = b, (P) x ≥ 0, A ∈ Rm×n (m < n) có rankA = m; kí hiệu Aj , j = 1, , m; véc tơ cột A; b ∈ Rn , b ≥ Chú ý: hệ Ax = b có nghiệm rank A = rank[A|b] hoai.phamthi@hust.edu.vn 2/9 Ý tưởng Thuật tốn đơn hình Ý tưởng thuật tốn đơn hình Bài tốn quy hoạch tuyến tính (QHTT) có nghiệm đạt đỉnh → Thuật tốn đơn hình xuất phát từ đỉnh miền chấp nhận D = {x ∈ Rn | Ax = b, x ≥ 0} ??? Làm để tìm/nhận dạng đỉnh D? Nghiệm tối ưu địa phương tốn QHTT nghiệm tối ưu tồn cục → Chỉ cần tìm nghiệm tối ưu địa phương hoai.phamthi@hust.edu.vn 3/9 Ý tưởng Thuật tốn đơn hình Mơ tả hình học thuật tốn đơn hình Xuất phát từ x (cách tìm đỉnh D học sau!), giá trị hàm không giảm cạnh xuất phát từ x x nghiệm tối ưu tồn cục (Tại sao?), có cạnh vơ hạn xuất phát từ x mà giá trị hàm giảm tốn khơng có nghiệm tối ưu, trường hợp cịn lại, tìm đỉnh x kề với x thỏa f (x ) < f (x ) hoai.phamthi@hust.edu.vn 4/9 Cơ sở lí thuyết thuật tốn đơn hình Phương án cực biên Theorem Lấy x0 ∈ D, kí hiệu J(x ) = {j ∈ {1, , m} | xj0 > 0} Khi x phương án cực biên hệ véc tơ {Aj | j ∈ J(x )} độc lập tuyến tính Chứng minh In class hoai.phamthi@hust.edu.vn 5/9 Cơ sở lí thuyết thuật tốn đơn hình Ví dụ Giả sử tốn (P) có tập ràng buộc cho hệ sau x1 + 2x2 + x3 + 3x4 + x5 = 2x1 + x2 + 3x4 + x6 = −x1 + x2 + x3 + x7 = xi ≥ 0, i = 1, , Xác định xem điểm có phải phương án cực biên tốn cho khơng? v = (2, 2, 0, 1, 0, 0, 0)T v = (0, 0, 9, 0, 0, 9, −9)T v = (0, 0, 0, 0, 9, 9, 0)T v = (1, 0, 0, 0, 8, 7, 1)T hoai.phamthi@hust.edu.vn 6/9 Cơ sở lí thuyết thuật tốn đơn hình Nhận xét Số thành phần dương phương án cực biên không vượt m Số lượng pacb toán (P) hữu hạn (Tại sao?) Nếu pacb x có |J(x )| = m, ta nói x phương án cực biên (pacb) không suy biến ; ngược lại x đgl pacb suy biến Ví dụ: Tìm pacb hệ x1 + 2x2 + x3 = 2x1 + x2 + 5x3 = hoai.phamthi@hust.edu.vn 7/9 Cơ sở lí thuyết thuật tốn đơn hình Một gồm m véc tơ cột độc lập tuyến tính B = {Aj1 , , Ajm } đgl sở ma trận A Mỗi pacb khơng suy biến x có sở tương ứng với B = {Aj | j ∈ J(x )} Nếu x pacb suy biến bổ sung thêm véc tơ vào tập {Aj | j ∈ J(x )} để sở A Phần xét tốn (P) khơng suy biến, tức pacb khơng suy biến Trường hợp tốn (P) có pacb suy biến xét sau hoai.phamthi@hust.edu.vn 8/9 Cơ sở lí thuyết thuật tốn đơn hình Giả sử ta biết pacb ksb x toán (P) Do B = {Aj | j ∈ J(x )} sở A nên Ak = zjk Aj hay Ak = BZk , j∈J(x ) Ta có xj0 Aj = b hay Zk = B −1 Ak j∈J(x ) f (x ) = xj0 cj j∈J(x ) hoai.phamthi@hust.edu.vn 9/9 ... 0, i = 1, , Xác định xem điểm có phải phương án cực biên tốn cho khơng? v = (2, 2, 0, 1, 0, 0, 0)T v = (0, 0, 9, 0, 0, 9, −9)T v = (0, 0, 0, 0, 9, 9, 0)T v = (1, 0, 0, 0, 8, 7, 1) T hoai. phamthi@hust.edu.vn... minh In class hoai. phamthi@hust.edu.vn 5/9 Cơ sở lí thuyết thuật tốn đơn hình Ví dụ Giả sử tốn (P) có tập ràng buộc cho hệ sau x1 + 2x2 + x3 + 3x4 + x5 = 2x1 + x2 + 3x4 + x6 = −x1 + x2 + x3 +... biến Ví dụ: Tìm pacb hệ x1 + 2x2 + x3 = 2x1 + x2 + 5x3 = hoai. phamthi@hust.edu.vn 7/9 Cơ sở lí thuyết thuật tốn đơn hình Một gồm m véc tơ cột độc lập tuyến tính B = {Aj1 , , Ajm } đgl sở ma