Luận văn thạc sĩ VNU UEd phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa học cho học sinh năng khiếu toán ở bậc trung học phổ thông về bất đẳng thức và các bài toán cực trị

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TẠ XUÂN HÒA PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2009 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TẠ XUÂN HÒA PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TỐN Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THƠNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2009 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TẠ XUÂN HÒA PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC Mã số: 60 14 10 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Vũ Lƣơng HÀ NỘI – 2009 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC Lời cảm ơn Mở đầu 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học – lựa chọn cho giáo dục đại 1.1.1 Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học 1.1.2 Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học có ƣu 1.1.3 Những yêu cầu dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học 1.1.4 Kết luận 10 1.2 10 Phát bồi dƣỡng học sinh giỏi phổ thông 1.2.1 Mục tiêu việc bồi dƣỡng học sinh giỏi toán 10 1.2.2 Năng khiếu toán học 11 1.2.3 Phát triển tƣ sáng tạo toán học cho học sinh trƣờng phổ thông 12 1.3 Xác định đề tài nghiên cứu định hƣớng nghiên cứu 13 1.4 Các bƣớc trình nghiên cứu 13 Chƣơng HƢỚNG DẪN HỌC SINH TỰ NGHIÊN CỨU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 15 VÀ CỰC TRỊ 2.1 Các bất đẳng thức đại số 15 2.1.1 Bất đẳng thức AM-GM 15 2.1.2 Bất đẳng thức BCS 18 2.1.3 Bất đẳng thức Jensen 23 2.1.4 Bất đẳng thức Chebyshev 26 2.2 Các đẳng thức, bất đẳng thức tam giác 28 2.2.1 Đẳng thức 28 2.2.2 Bất đẳng thức 30 2.3 31 Một số định lý khác LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.3.1 Định lý Lagrange 31 2.3.2 Định lý dấu tam thức bậc hai 34 2.3.3 Định lý hàm tuyến tính 36 2.4 Ứng dụng quan hệ đƣờng thẳng với đƣờng conic vào toán tìm 38 cực trị biểu thức đại số 2.5 Phƣơng pháp xây dựng bất đẳng thức 43 2.5.1 Phƣơng pháp xây dựng bất đẳng thức dạng phân thức 43 2.5.2 Đƣa thêm tham số 44 2.5.3 Đổi biến số 47 2.5.4 Ƣớc lƣợng biểu thức đối xứng 49 2.6 Dạng hệ bất đẳng thức Bunhiacopxki áp dụng 51 2.7 Đẳng thức, Bất đẳng thức xây dựng từ toán tam giác 58 2.7.1 Một số kết 59 2.7.2 Xây dựng toán phƣơng pháp giải 61 2.8 68 Một số phƣơng pháp đặt ẩn phụ chứng minh bất đẳng thức Chƣơng THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 82 3.1 82 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 3.1.1 Mục đích thực nghiệm 82 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 82 3.1.3 Tổ chức thực nghiệm 82 3.2 86 Một số kết nghiên cứu học sinh 3.2.1 Tam giác 86 3.2.2 Tam giác cân 87 3.2.3 Tam giác vuông 88 3.2.4 Sử dụng bƣớc đầu sở 88 3.2.5 Đƣa vectơ tích vô hƣớng 93 3.2.6 Kết hợp bất đẳng thức cổ điển 95 3.2.7 Tận dụng tính đơn điệu hàm số 101 3.3 103 Một số nhận xét sau thực nghiệm Kết luận 106 Tài liệu tham khảo LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong trình hình thành phát triển tƣ học sinh Tốn học có vai trị đặc biệt quan trọng Ngƣời giáo viên cần rèn luyện cho học sinh thấy đƣợc nhiều hình thức diễn tả nội dung Toán học đồng thời phải rèn luyện cho học sinh biết lựa chọn hình thức phù hợp thể nội dung Bất đẳng thức cực trị có vị trí đặc biệt tốn học, khơng nhƣ đối tƣợng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị nhƣ cơng cụ đắc lực mơ hình tốn học liên tục nhƣ mơ hình tốn học rời rạc lý thuyết phƣơng trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Trong chƣơng trình tốn phổ thơng, Bất đẳng thức cực trị nội dung hay thƣờng xuất kì thi đại học, học sinh giỏi cấp, Olympic Toán, Đây nội dung quan trọng nhằm rèn luyện trí tuệ cho học sinh Nhìn bất đẳng thức dƣới nhiều phƣơng diện khác giúp học sinh linh hoạt lựa chọn hình thức thể nội dung Điều kích thích tƣ sáng tạo cho em Tuy nhiên, bất đẳng thức cực trị nội dung khó, khơng đổi phƣơng pháp dạy học dẫn đến tình trạng truyền thụ chiều Định hƣớng đổi phƣơng pháp dạy học tích cực hóa việc học ngƣời học Để giải mâu thuẫn ngƣời thầy cần tăng cƣờng giao lƣu thầy trò q trình dạy học Có nhƣ vừa tích cực hóa đƣợc việc học ngƣời học vừa rèn luyện đƣợc tính linh hoạt nhìn nhận vấn đề theo nhiều phƣơng diện khác cho học sinh Để đáp ứng nhu cầu phát triển lực tƣ duy, lực nghiên cứu, sáng tạo cho học sinh từ bƣớc chân vào cấp ba, chọn đề LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com tài “Phát triển kỹ nghiên cứu khoa học cho học sinh khiếu toán bậc trung học phổ thông bất đẳng thức tốn cực trị” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu: Nâng cao kỹ nghiên cứu khoa học cho học sinh thông qua dạy học phần bất đẳng thức toán cực trị Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu phƣơng pháp nhằm phát triển kỹ nghiên cứu khoa học cho học sinh - Xây dựng hệ thống modun kiến thức dạy học nội dung bất đẳng thức cực trị cho học sinh giỏi - Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài Nội dung nghiên cứu - Nghiên cứu phƣơng pháp dạy học nhằm phát triển kỹ nghiên cứu khoa học cho học sinh - Nghiên cứu bất đẳng thức cực trị - Nhìn nhận đẳng thức, bất đẳng thức theo nhiều phƣơng diện khác dựa vào mối liên hệ tƣơng ứng số với đại lƣợng hình học lƣợng giác - Sáng tạo bất đẳng thức cách nhìn bất đẳng thức có theo phƣơng diện - Đề xuất giải pháp sƣ phạm Phƣơng pháp nghiên cứu 4.1 Nghiên cứu lý luận Tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề liên quan đến đề tài định hƣớng cho việc nghiên cứu; phân tích tổng hợp quan điểm dựa tài liệu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com tâm lý học, giáo dục học, phƣơng pháp dạy học môn toán tài liệu bất đẳng thức cực trị 4.2 Thực nghiệm sƣ phạm Đối tƣợng thực nghiệm: học sinh lớp 12A1, 12A5 trƣờng THPT Ngô Quyền Xử lý kết số phƣơng pháp thống kê toán học Cấu trúc luận văn Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học – lựa chọn cho giáo dục đại 1.1.1 Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học 1.1.2 Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học có ƣu 1.1.3 Những yêu cầu dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học 1.1.4 Kết luận 1.2 Phát bồi dƣỡng học sinh giỏi phổ thông 1.2.1 Mục tiêu việc bồi dƣỡng học sinh giỏi toán 1.2.2 Năng khiếu toán học 1.2.3 Phát triển tƣ sáng tạo toán học cho học sinh trƣờng phổ thông 1.3 Xác định đề tài nghiên cứu định hƣớng nghiên cứu 1.4 Các bƣớc trình nghiên cứu Chƣơng HƢỚNG DẪN HỌC SINH TỰ NGHIÊN CỨU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 2.1 Các bất đẳng thức đại số 2.1.1 Bất đẳng thức AM-GM 2.1.2 Bất đẳng thức BCS 2.1.3 Bất đẳng thức Jensen 2.1.4 Bất đẳng thức Chebyshev 2.2 Các đẳng thức, bất đẳng thức tam giác 2.2.1 Đẳng thức 2.2.2 Bất đẳng thức 2.3 Một số định lý khác LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.3.1 Định lý Lagrange 2.3.2 Định lý dấu tam thức bậc hai 2.3.3 Định lý hàm tuyến tính 2.5 Ứng dụng quan hệ đƣờng thẳng với đƣờng conic vào tốn tìm cực trị biểu thức đại số 2.5 Phƣơng pháp xây dựng bất đẳng thức 2.5.1 Phƣơng pháp xây dựng bất đẳng thức dạng phân thức 2.5.2 Đƣa thêm tham số 2.5.3 Đổi biến số 2.5.4 Ƣớc lƣợng biểu thức đối xứng 2.6 Dạng hệ bất đẳng thức Bunhiacopxki áp dụng 2.7 Đẳng thức, Bất đẳng thức xây dựng từ toán tam giác 2.7.1 Một số kết 2.7.2 Xây dựng toán phƣơng pháp giải 2.8 Một số phƣơng pháp đặt ẩn phụ chứng minh bất đẳng thức Chƣơng THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 3.1.1 Mục đích thực nghiệm 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 3.1.3 Tổ chức thực nghiệm 3.2 Một số kết nghiên cứu học sinh 3.2.1 Tam giác 3.2.2 Tam giác cân 3.2.3 Tam giác vuông 3.2.4 Sử dụng bƣớc đầu sở 3.2.5 Đƣa vectơ tích vơ hƣớng 3.2.6 Kết hợp bất đẳng thức cổ điển 3.2.7 Tận dụng tính đơn điệu hàm số 3.3 Một số nhận xét sau thực nghiệm Kết luận Tài liệu tham khảo LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chƣơng CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học - lựa chọn cho giáo dục đại học đại 1.1.1 Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học Bản chất dạy học theo phƣơng pháp nghiên cứu khoa học tổ chức trình ngƣời học lĩnh hội nội dung dạy học theo logic nghiên cứu khoa học Trình tự logic nghiên cứu khoa học đƣợc mơ hình hóa qua Tổng hợp kết quả/ kết luận/ khuyến nghị Phân tích bàn luận kết xử lý thơng tin Luận thực tiễn (quan sát, thực nghiệm) Luận lý thuyết (xây dựng sở lý luận) Lập phƣơng án thu thập thông tin (luận chứng) Đặt giả thuyết (tìm câu trả lời sơ bộ) Phát vấn đề (đặt câu hỏi nghiên cứu) giai đoạn nhƣ sau: Áp dụng mơ hình vào việc dạy học với tƣ cách phƣơng pháp dạy học nói đến trật tự tƣơng tự thiết kế môn học vấn đề nội dung môn học Việc nghiên cứu môn học hay học việc ngƣời dạy với ngƣời học phát hiện/đặt vấn đề cần giải (vấn đề lý luận hay thực tiễn) khuôn khổ môn học liên môn Giai đoạn giải vấn đề đặt thông qua LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy : Rr  S S sin A sin B sin C   2 sin A sin B sin C 2 sin A sin B sin C sin A  sin B  sin C Theo AM - GM ta có : Rr S S sin A sin B sin C  sin A sin B sin C sin A  sin B  sin C  mà : sin A  sin B  sin C  sin A sin B sin C   Rr 3 4S S 4 27 3 3 3  S  đpcm 3.2.5 Đƣa vector tích vơ hƣớng: Ví dụ 3.2.5.1 CMR tam giác ta có : cos A  cos B  cos C  Lời giải : Lấy vector đơn vị e1 , e2 , e3 lần lƣợt cạnh AB, BC , CA Hiển nhiên ta có : e  e A  0   cos e , e   cos e , e   cos e , e    e3 e 2   2cos A  cos B  cos C    cos A  cos B  cos C  e B e C  đpcm Ví dụ 3.2.5.2 Cho ABC nhọn CMR : 95 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com cos A  cos B  cos 2C   Lời giải : Gọi O, G lần lƣợt tâm đƣờng tròn ngoại tiếp trọng tâm ABC A Ta có : OA  OB  OC  3OG Hiển nhiên : OA  OB  OC    3R  R cos OA, OB  cos OB, OC   cos OC, OA  2 O B C  3R  R cos 2C  cos A  cos B    cos A  cos B  cos 2C    đpcm Đẳng thức xảy  OA  OB  OC   OG   O  G  ABC Ví dụ 3.2.5.3 Cho ABC nhọn CMR x, y, z  R ta có : yz cos A  zx cos B  xy cos 2C    x  y2  z2  A Lời giải : Gọi O tâm đƣờng tròn ngoại tiếp ABC O Ta có : xOA  yOB  zOC  B C 0  x  y  z  xy OA.OB  yz OB.OC  zxOC.OA   x  y  z  xy cos 2C  yz cos A  zx cos B   yz cos A  zx cos B  xy cos 2C   x  y  z 2    đpcm 96 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3.2.6 Kết hợp bất đẳng thức cổ điển : Ví dụ 3.2.6.1 CMR ABC ta có : A B C  A B C   sin  sin  sin  cot  cot  cot   2  2 2  Lời giải : Theo AM - GM ta có : sin A B C  sin  sin 2  sin A sin B sin C 2 Mặt khác : A B C cos cos A B C A B C 2 cot  cot  cot  cot cot cot  A B C 2 2 2 sin sin sin 2 cos sin A  sin B  sin C  sin A cos A  sin B cos B  sin C cos C 2 2 2   A B C A B C sin sin sin sin sin sin 2 2 2 A A B B C C sin cos sin cos sin cos 2 2 2   A B C sin sin sin 2 Suy : A B C  A B C   sin  sin  sin  cot  cot  cot   2  2 2  A B C A A B B C C sin sin sin cos sin cos sin cos 2 2 2 2   A B C sin sin sin 2 A B C 1  cot cot cot 2 2 sin A B mà ta có : cot cot cot C 3 97 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  2 A B C 9  cot cot cot   3  2 2 2 Từ 1 2 : A B C  A B C    sin  sin  sin  cot  cot  cot   2  2 2   đpcm Ví dụ 3.2.6.2 Cho ABC nhọn CMR : cos A  cos B  cos C tan A  tan B  tan C   Lời giải : Vì ABC nhọn nên cos A, cos B, cos C, tan A, tan B, tan C dƣơng Theo AM - GM ta có : cos A  cos B  cos C  cos A cos B cos C tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C  sin A sin B sin C cos A cos B cos C sin A  sin B  sin 2C  sin A cos A  sin B cos B  sin C cos C   cos A cos B cos C cos A cos B cos C 3 sin A cos A sin B cos B sin C cos C   2 cos A cos B cos C Suy : cos A  cos B  cos C tan A  tan B  tan C     cos A cos B cos C sin A cos A sin B cos B sin C cos C cos A cos B cos C 93 tan A tan B tan C 1 Mặt khác : tan A tan B tan C  3  9  tan A tan B tan C   3  2 2 Từ 1 2 suy : 98 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com cos A  cos B  cos C tan A  tan B  tan C    đpcm Ví dụ 3.2.6.3 Cho ABC tùy ý CMR :           A B  tan     tan     tan C  A B C 2  tan   tan   tan  2  2     4    Lời giải :  Xét f x   tan x x   ;   2 Khi : f ' ' x   A B Theo Jensen : tan  tan  tan C  1  Xét g x   cot x x   ;   2  Và g ' ' x   21  cot x cot x  x   ;   Theo Jensen : cot 2 A B C  cot  cot  3 2 2 Vậy 1  2 đpcm Ví dụ 3.2.6.4 CMR tam giác ta có :        1  1  1    1  3  sin A  sin B  sin C   Lời giải : Ta sử dụng bổ đề sau : 99 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bổ đề : Cho x, y, z  x  y  z  S : 2      1  1  1    1   x  y  z  S  1 Chứng minh bổ đề : Ta có : 1 1  1 1 VT 1              x y z   xy yz zx  xyz 2 Theo AM - GM ta có : 3 1 9     x y z x yz S Dấu xảy 3  x  y  z  S Tiếp tục theo AM - GM : S  x  y  z  33 xyz  S3 27  xyz   27 xyz S Dấu 4 xảy  x  y  z  4 S Vẫn theo AM - GM ta lại có : 1    33 xy yz zx      xyz  Dấu 5 xảy  x  y  z  5 S Từ 45 suy : 1 27    xy yz zx S 6 Dấu 6 xảy  đồng thời có dấu 45  x  y  z  S Từ 2346 ta có : 100 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com VT 1   27 27  3    1   S S S  S Bổ đề đƣợc chứng minh Dấu xảy  đồng thời có dấu 346 x yz S áp dụng với x  sin A  , y  sin B  , z  sin C  mà ta có sin A  sin B  sin C  3 3 S  2 Theo bổ đề suy :        1  1  1    1  3  sin A  sin B  sin C   Dấu xảy  sin A  sin B  sin C  3  ABC Ví dụ 3.2.6.5 CMR tam giác ta có : l a  lb  l c  p Lời giải : Ta có : la  A  2bc bc bc 2bc cos Theo AM - GM ta có p p  a  bc  bc bc p p  a  1 bc  nên từ 1 suy : bc la  p p  a  2 Dấu 2 xảy  b  c Hồn tồn tƣơng tự ta có : lb  lc  p p  b  3 p p  c  4 101 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dấu 34 tƣơng ứng xảy abc Từ 234 suy : l a  lb  l c  p  p a  p b  p c 5 xảy Dấu  đồng  5 thời có dấu 234  a  b  c áp dụng BCS ta có :   pa  p b  pa  pc p b    33 p  a  b  c  p  c  3p 6 Dấu 6 xảy  a  b  c Từ 56 ta có : l a  lb  lc  p 7 Đẳng thức 7  xảy  đồng thời có dấu 56  a  b  c  ABC Ví dụ 3.2.6.6 Cho ABC CMR : a3  b3  c3 2r  4 abc R Lời giải : Ta có :   S abc  pr  4R p p  a  p  b  p  c  2r 8S p p  a  p  b  p  c  2 p  2a 2 p  2b 2 p  2c     R pabc pabc abc b  c  a c  a  b a  b  c   a b  ab  b c  bc  c a  ca  a  b  c  2abc abc abc 3 2r a  b  c a b b c c a a b c  4  6        R abc abc b a c b a c  đpcm 102 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3.2.7 Tận dụng tính đơn điệu hàm số: Ví dụ 3.2.7.1 CMR : sin x   với x   ;  2x   2 Lời giải : f x   Xét sin x    với x   ;  x   2  f ' x   x cos x  sin x x2   g x   x cos x  sin x với x   ;   2 Xét    g ' x    x sin x  x   ;   g x  nghịch biến khoảng  2    g x   g 0   f ' x    f x   f     đpcm 2 Ví dụ 3.2.7.2  với  ;  CMR :  sin x     cos x  x   2 Lời giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tƣơng đƣơng với : sin x  cos 3 x  sin xcos   f x   sin xcos x   Xét Ta có : x x0  với x   ;   2  f ' x   cos x   sin xcos x   f ' ' x   cos x  1  sin x   sin xcos x   x   ;    2  f ' x  đồng biến khoảng  f ' x   f ' 0   f x  đồng biến khoảng  f x   f 0   đpcm 103 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 3.2.7.3 CMR với ABC ta có : 2R  a 2R  b2R  c   8R e 3 Lời giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tƣơng đƣơng với : 2R  a 2R  b 2R  c   e 2R 2R R 3 a  b  c    1  1  1  e  R  R  R  3  1  sin A1  sin B 1  sin C   e 3 Xét f x  ln 1  x  x với  x   f ' x   x 1    x  0 ;1 1 x 1 x  f x  nghịch biến khoảng  f x   f 0   ln 1  x   x Lần lƣợt thay x  sin A, sin B, sin C vào bất đẳng thức cộng lại ta đƣợc : ln 1  sin A  ln 1  sin B   ln 1  sin C   sin A  sin B  sin C  ln1  sin A1  sin B 1  sin C   sin A  sin B  sin C  1  sin A1  sin B 1  sin C   e sin Asin B sin C 3  1  sin A1  sin B 1  sin C   e mà sin A  sin B  sin C  3  đpcm Ví dụ 3.2.7.4 CMR :  sin 20  20 Lời giải : Đặt a  sin 20   a  sin 30   a  Ta có : 3  sin 60  sin 3.20  sin 20  sin 20  3a  4a  2 104 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  4a  3a  3   a nghiệm phƣơng trình : x  3x  0 2 Xét đa thức : f x   x  3x  Ta có : f  1  1  f 0  3 32  0 2   f  1 f 0  Bởi f x  liên tục toàn trục số Do đa thức f x  có nghiệm thực khoảng  1; 0    27  46 0 f   54   3 Lại có :   1000  1757   f 0   20   2000  1   f f 0    20  1   đa thức f x  có nghiệm thực khoảng  ;   20  32 32 1  f 1    f   f 1  Lại có : f    2 2 2 1   đa thức f x  có nghiệm thực khoảng  ;1 2  1 Bởi a   ;   a nghiệm thực khoảng  ;   đpcm  2  20  3.3 Một số nhận xét sau thực nghiệm Sau dạy học theo cách phát triển kỹ nghiên cứu khoa học cho lớp chọn toán lớp đại trà, tác giả rút số nhận xét sau: Ưu điểm: Nâng cao việc tự học học sinh, tính tự giác khả nghiên cứu khoa học độc lập, phát triển tƣ sáng tạo Đồng thời tạo phong trào nghiên cứu khoa học toàn trƣờng, bƣớc đầu kết đơn giản, nhƣng thành nghiên cứu em , 105 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com em thấy tự hào điều Qua giúp em dần tiếp cận với trình độ đào tạo theo chuẩn quốc tế mà nƣớc nhƣ Singapor, Australia, Thái Lan, áp dụng Nhược điểm: Việc phát triển kỹ nghiên cứu khoa học khó dạy cho học sinh kém, học sinh lớp đại trà, nhƣng tác giả nghĩ khắc phục đƣợc nhƣợc điểm làm dễ tập, đề tài nghiên cứu cho phù hợp Giải pháp: Ngoài việc đƣa tập dạng chuyên đề, chuyên đề cho học sinh giỏi, việc phát triển phong trào học tập nói chung mơn tốn nói riêng trƣờng phổ thơng, cần phải tổ chức hoạt động ngoại khố tốn, ngồi việc vận dụng kiến thức sách giáo khoa, phải đƣa ứng dụng thực tế, thiết thực môn cho học sinh thấy việc cần thiết môn học Phát triển kỹ nghiên cứu khoa học cho học sinh khiếu toán bậc trung học phổ thông bất đẳng thức toán cực trị nội dung quan trọng nhằm mục đích Hoạt động nhiều dạng nhƣ: a Dạy học chuyên đề: Theo chuyên đề từ dễ đến khó bất đẳng thức cực trị b Tìm hiểu lịch sử mơn : Liên quan đến kiến thức học, nói chuyện bất đẳng thức đẹp hay ngày lễ, câu lạc toán học, hội thảo tốn Hiện sách giáo khoa có đọc thêm nhà toán học, ứng dụng toán học Đây hƣớng tốt để em hứng thú học môn, noi gƣơng nhà toán học, hay học tập đƣợc phần cách học, cách sáng tạo, cách phát triển tƣ duy, c Tổ chức thi tốn: Hiện có nhiều thi giải toán cho khối lớp nhà trƣờng, tỉnh/thành phố, khu vực, tồn quốc hay tạp chí " Toán học Tuổi trẻ" hàng tháng mà bất đẳng thức 106 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com cực trị phần quan trọng Từ giúp học sinh trao đổi vấn đề vƣớng mắc với bạn, thầy cô miền đất nƣớc d Tập dượt nghiên cứu tốn học: Một hình thức nghiên cứu tốn học điển hình trƣờng phổ thơng làm tập san, làm chun đề mơn tốn Trong nhà trƣờng nên thành lập tiểu ban mơn tốn thầy học sinh giỏi u thích mơn tốn cho tờ báo chun san toán trƣờng, để chào mừng ngày lễ lớn năm số vấn đề nhƣ: Giải tập chuyên đề, kinh nghiệm học toán, phƣơng pháp cho dạng toán, cách chứng minh cho định lý sách giáo khoa, phát vấn đề từ lý thuyết học, tìm tốn từ tốn biết, tìm nhiều lời giải cho toán, phát sai lầm giải toán, giới thiệu chùm toán theo chun đề đó, giới thiệu tốn hay, khó Qua phần thực nghiệm, bƣớc đầu thực nghiệm, mong qua thực tế lần này, với dìu dắt thầy hƣớng dẫn góp ý thầy phản biện, hội đồng giám khảo, tác giả tiếp thu, rút kinh nghiệm để làm thực nghiệm tốt 107 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN Từ trình nghiên cứu lý luận thực tiễn việc phát triển kỹ nghiên cứu khoa học cho học sinh khiếu toán bậc trung học phổ thơng bất đẳng thức tốn cực trị, rút số kết luận sau: Việc phát triển kỹ nghiên cứu khoa học cho học sinh nhà trƣờng phổ thơng có vị trí quan trọng mục tiêu giáo dục phổ thông, đặc biệt giai đoạn đổi phƣơng pháp dạy học tiếp cận với chuẩn quốc tế hội nhập nhƣ Luận văn trình bày khái niệm tính chất kỹ nghiên cứu khoa học Luận văn nêu số biện pháp bồi dƣỡng phát triển kỹ nghiên cứu khoa học cho học sinh khiếu toán bậc trung học phổ thông Luận văn xây dựng hệ thống kết nghiên cứu bất đẳng thức cực trị dƣới dạng báo nhỏ, thể đƣợc số thành phần kỹ nghiên cứu khoa học, chƣa đầy đủ khn khổ luận văn Những khó khăn sai lầm bƣớc đầu học sinh nghiên cứu khoa học Luận văn trƣớc hết có ý nghĩa tác giả, nội dung quan trọng chƣơng trình dạy Mong luận văn đóng góp phần nhỏ bé công phát triển kỹ nghiên cứu cho học sinh nhằm nâng cao chất lƣợng giáo dục, đồng thời tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp Kết thực nghiệm sƣ phạm phần kiểm nghiệm đƣợc tính khả thi hiệu đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO Vũ Cao Đàm, Phương pháp luận nghiên cứu khoa học, Nxb Giáo dục, 2008 108 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nxb Hà Nội, 2005 Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chƣơng, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dƣơng Thuỵ, Nguyễn Văn Thƣờng, Phương pháp dạy học mơn tốn, Nxb Giáo dục, 1994 Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng, Các giảng bất đẳng thức Cô-si, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng, Các giảng bất đẳng thức Bunhiacopxki, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007 Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng, Một số giảng toán tam giác, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 Nguyễn Vũ Lƣơng, Phương pháp dạy học môn toán nhà trường THPT, khoa Sƣ phạm, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức định lý áp dụng, Nxb Giáo dục, 2006 Đỗ Thanh Sơn, Phép biến hình mặt phẳng, Nxb Giáo dục, 2008 10 Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ, Suy luận khám phá, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 11 Nguyễn Cảnh Toàn, Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu khoa học, Nxb Giáo dục, 1997 12 Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Văn Lê, Nhà giáo Châu An, Khơi dậy tiềm sáng tạo, Nxb Giáo dục, 2005 13 Trần Thúc Trình, Rèn luyện tư dạy học tốn, Viện khoa học giáo dục, 2003 14 Tạp chí “ Tốn học tuổi trẻ” 109 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TẠ XUÂN HÒA PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ... NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CHO HỌC SINH NĂNG KHIẾU TỐN Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THƠNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC... triển kỹ nghiên cứu khoa học cho học sinh khiếu tốn bậc trung học phổ thơng bất đẳng thức toán cực trị? ?? Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu: Nâng cao kỹ nghiên cứu khoa học cho học