SKKN rèn kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 8 qua việc vận dụng các hằng đẳng thức

Đề tài Rèn kỹ giải toán cho học sinh lớp qua việc vận dụng đẳng thức PHẦN I MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Qua năm thực tế giảng dạy môn đại số 8, phần lớn học sinh thuộc đẳng thức đáng nhớ thực hành chiều rộng lẫn chiều sâu học sinh chưa vận dụng để đến kết mong muốn Phần trắc nghiệm khách quan, tự luận thông hiểu vận dụng học sinh đạt kết chưa cao Định hướng giải tốn có áp dụng đẳng thức đáng nhớ nhằm hình thành tư lơgic Khả tổng hợp, phân tích, tìm hướng giải, định hướng tốn nhằm phát huy tính thơng minh, sáng tạo học sinh để kết nhanh, gọn mà đảm bảo tính xác Loại bỏ bước giải rườm rà nhằm tạo tự tin làm toán Rèn luyện khả vận dụng thực tế cách thông minh, nhanh nhẹn Mơn tốn nói chung, đẳng thức nói riêng vận dụng nhiều việc giải toán Nắm cách vận dụng ứng dụng nhiều vào lớp môn đại sốlớp Vận dụng đẳng thức đáng nhớ nhiều mà học sinh chưa nắm phương pháp, chưa thật đam mê mà học tập cịn gượng ép Vì tơi chọn đề tài nhằm mục đích nâng cao chất lượng tiết luyện tập, kiểm tra tiết, kiểm tra học kỳ trường Trung Học Cơ Sở II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI ĐỀ TÀI Đối tượng Học sinh lớp 8A, 8B,Trường THCS Thị Trấn năm học 2017 – 2018 Phạm vi tổng kết: Đề tài thực phạm vi lớp 8A,8B trường THCS Thị Trấn năm học 2017-2018 III NHIỆM VỤ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page - Giúp giáo viên dạy lớp nâng cao chất lượng lớp mình, hạn chế sai sót học sinh giải toán, tạo hứng thú học toán học sinh - Định hướng giải tốn, có phương pháp thích hợp với đề bài, tổng kết dạng tốn, có niềm tin vững vàng giải tốn - Học sinh biết phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá để giải toán từ đơn giản đến phức tạp - Lập kế hoạch giải toán theo phương pháp tích cực IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI Nắm vững cách nhớ đẳng thức theo kinh nghiệm giáo viên truyền đạt hay theo cách nhớ riêng học sinh để viết khơng nhầm lẫn Từ nhận biết tập đơn giản Luyện tập, vận dụng kiến thức học kết hợp với đẳng thức để giải tập Rèn luyện thao tác tư duy, tính tốn để giải tập nhanh nhẹn, xác 3.Thông hiểu vấn đề vận dụng giải tập phức tạp, rèn luyện học sinh khá, giỏi hiểu rõ cách vận dụng Đi sâu vào tập để hiểu tầm quan trọng việc giải tập liên quan V.CƠ SỞ TIẾN HÀNH ĐỀ TÀI Thành bước đầu áp dụng “ đẳng thức” tổng kết từ lớp 8A,8B năm học 2017-2018 trường THCS Thị Trấn  PHẦN II NỘI DUNG Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page I THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Những kỹ a)Học thuộc đẳng thức, ý giá trị Giả sử (A+B)2=A2+2AB+B2 A;B biểu thức không nghĩ đơn số hay biến, học sinh dễ nhầm lẫn đến kết sai Vd:(2x+3y)2= 2x2+2.2x.3y+3y2 Cái sai: (2x)2; (3y)2 giáo viên nên cân nhắc kỹ thảo luận nhóm hay kiểm tra học sinh để khắc sâu b) Bài toán yêu cầu làm gì? Triển khai đẳng thức, viết tổng thành tích, tìm x, cộng trừ, nhân, chia phân thức… c) Định hướng giải toán làm cho học sinh nảy nhiều tình làm cho học sinh bối rối Do đó, giáo viên ln lưu ý giải yêu cầu ta phải bước nào, làm gì? Có dùng đẳng thức hay khơng sử dụng đẳng thức hợp lý Những thao tác đòi hỏi nhịp nhàng, hợp lý để tốn gọn gàng, đến kết nhanh, xác Lưu ý cách trình bày để giải toát lên nội dung cần truyền tải đến người xem d) Giải tốn có dùng đẳng thức nên rèn luyện nhiều, tạo kỹ thực hành tốt Đi từ đơn giản đến phức tạp Sử dụng thành thạo, nâng cao khả suy luận, đòi hỏi phải kỹ lưỡng, Biết vận dụng điều học vào giải để phân tích đề tốn, nhận định A; B để dễ dàng việc tính tốn Khi học mơn tốn nói chung, đẳng thức nói riêng; việc tâm huyết điều cần thiết Giáo viên cần tạo cho học sinh phương pháp học tốn, em có đam mê đam mê làm cho học sinh học tốn nhẹ nhàng vững niềm tin tiếp bước đường học vấn Những giải pháp đề tài  Đề tài đưa giải pháp sau: - Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán - Xây dựng kỹ vận dụng đẳng thức dạng toán  Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page - Đưa dạng toán đơn giản vận dụng đẳng thức  Đối với học sinh đại trà: Vận dụng phát triển kỹ - Phối hợp nhiều đẳng thức dạng toán - Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán - Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kĩ thực hành - Tìm tịi cách giải hay, khai thác toán  Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư - Giới thiệu thêm số Nhị thức Newton, tam giác Pascal…và số dạng toán số phương, … II CƠ SỞ LÝ LUẬN Sơ đồ việc vận dụng Hằng đẳng thức chương trình Đại số Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page Hằng đẳng thức – Những vấn đề liên quan Bảy HĐT đáng nhớ HĐT mở rộng Các dạng tốn Tính nhanh Ví dụ Giải pt HD giải Chứng minh đẳng thức Bài tập vận dụng Tìm GTLN ,GTNN biểu thức Tính chia hết, số nguyên tố hợp số Phân tích đa thức thành nhân tử Tính giá trị biểu thức Số phương …………………… Các đẳng thức Bình phương tổng: ( A + B ) = A + AB + B = ( A − B ) + AB Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page Bình phương hiệu: ( A − B ) = ( B − A) = A − AB + B = ( A + B ) − AB Hiệu hai bình phương: A − B = ( A − B )( A + B ) Lập phương tổng: ( A + B ) = A + A B + AB + B = A3 + B + AB( A + B ) Lập phương hiệu: ( A − B ) = A − A B + AB − B = A − B − AB( A − B ) Tổng hai lập phương: A3 + B = ( A + B ) ( A − AB + B ) = ( A + B ) − AB.( A − B) Hiệu hai lập phương: A3 − B = ( A − B ) ( A + AB + B ) = ( A − B) + AB.( A − B) Hằng đẳng thức mở rộng • ( A + B + C ) = A2 + B + C + AB + AC + BC • ( A + B − C ) = A2 + B + C + AB − AC − BC • An − B n = ( A − B ) ( An −1 + An − B + An −3 B + + A2 B n−3 + AB n− + B n −1 ) • A2 k + B k = ( A + B ) ( A2 k − A2 k −1B + A2 k −2 B − + A2 B k −2 − B 2k −1 ) • A2 k +1 + B k +1 = ( A + B ) ( A2 k − A2k −1B + − + A2 B k − − AB k −1 + B k ) • ( A1 + A2 + + An ) = A12 + A22 + + An2 + A1 A2 + + A1 An + A2 A3 + + A2 An + + An −1 An ( A1 + A2 + A3 + − An ) = A12 + A22 + A32 + + An2 + A1 A2 + − A1 An + A2 A3 + − A2 An + − An −1 An • ( A + B) n = An + n ( n − 1) n − 2 n ( n − 1) ( n − ) n−3 n n−1 A B+ A B + A B + + B n 1.2 1.2.3 III MỘT SỐ DẠNG TOÁN CÓ VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC Việc sử dụng Hằng đẳng thức vận dụng nhiều dạng tốn khác nhau.Sau ,tơi xin đề xuất số dạng tốn có sử dụng Hằng đẳng thức *Dạng 1:Tính nhanh Ví dụ a)252-152 = ? Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page b)9502-8502 = ? c)56.64 = ? d) 1012 = ? e) 47.53 = ? Định hướng: Khi HS quan sát 252-152 nghĩ đến việc sử dụng đẳng thức vận dụng đến tập a)252-152 = (25+15)(25-15) = 40.10 = 400 b)9502-8502 = (950+850)(950-850) = 1800.100 =180000 c)56.64 = (60-4)(60+4) = 602 -42 = 3584 d) 1012 =(100+1)2 = 1002 +200+1 = 10201 e) 47.53 = (50-3)(50+3) = 502-32 =2491 Từ việc dùng hẳng đẳng thức vào giải ví dụ trên,HS vận dụng để giải tập mang tính tư cao Ví dụ a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 Định hướng a/Nhóm hạng tử cách thích hợp vận dụng đẳng thức A2 – B2 =… A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052 A = + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042) A = + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004) A = + + + + + … + 2004 + 2005 A = [( + 2002 ) 2005] : = 2011015 b/ Câu b) toán ngược với câu a),bằng cách áp dụng kết 2+1 = 22-1 Ta có: Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B=… B = (232 - 1)(232 + 1) – 264 B = 264 – – 264 B=-1 *Dạng 2: Giải phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình (3x – 2)3 – (x-3)3 = (2x+ 1)3 Định hướng: Giúp HS nhận rằng: (3x - 2) - (x - 3) = 2x + Khi đó, đặt 3x - = a, x - = b 2x + = a – b Biến đổi phương trình cho dạng a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)  ab(a – b) = …  Từ tìm nghiệm phương trình Ngồi cách đó, ta định hướng cho học sinh Nhận xét: (3x – 2) + (-x + 3) + (-2x – 1) = Nên đặt 3x – = a; -x + = b; -2x – = c Vận dụng đẳng thức, ta có: a3 + b3 + c3 = a+b+c=0 Với cách vận dụng đẳng thức vào giải phương trình,ta giải dạng tốn phương trình nghiệm nguyên sau: Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phương trình: x3 +y3+z3- 3xyz=1 Ta có x3+y3+z3-3xyz=1 ⇔ (x+y+z) (x2 +y2+z2-xy-xz-yz)=1 Ta xét x2+y2+z2-xy-xz-yz = ½.[(x-y2 +(y-z)2+(z-x)2 ] ≥ nên xảy x + y + z =1 (1) x2+y2+z2-xy-xz-yz = 1(2) Từ (1) ta có: x2+y2+z2+2(xy+yz+xz) = (3) Từ (2),(3) => xy + yz + zx = Nên x2 +y2 + z2 = giả sử x2 ≥ y2 ≥ z2 =>z = 0; y = 0; x = ± Sau thay giá trị xét điều kiện,ta tìm nghiệm ngun phương trình Ví dụ 3.Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = Với toán ,GV định hướng cho HS đưa tổng bình phương cách tính hạng tử để xuất bình phương tổng 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = ⇔ (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = ⇔ ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 = ⇔ ( x + y + z)2 = ; ( x + 5)2 = ; (y + 3)2 = Vậy x = - ; y = -3; z = Việc biến đổi vận dụng linh hoạt đẳng thức giúp HS giải tập cách nhanh gọn hợp lý Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page *Dạng 3:Chứng minh đẳng thức Ví dụ 1: Chứng minh ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) a = b = c Định hướng giải: Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) Ta có: => a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac => a2 + b2 + c2 - ab - bc – ac = => 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc – 2ac = => ( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = => ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = => ( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = hay ( c – a)2 = => a = b hay b = c hay c = a => a = b = c Ví dụ Cho tam giác ABC có cạnh tương ứng a,b,c thoả mãn a3+b3+c3 = 3abc Hỏi tam giác ABC tam giác gì? GV định hướng: Từ giả thiết: a3+b3+c3 = 3abc  Nghĩ đến việc sử dụng đẳng thức Áp dụng vào tập Ta có a3 +b3+c3 = 3abc a + b + c = ⇔ a = b = c Vì a,b,c cạnh tam giác ABC nên a+b+c ≠ nên ta có a=b=c (a,b,c >0) => ∆ABC tam giác Ví dụ 3: Cho x + y + z = Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 10 Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử (BT-44b)-SGK-tr20) * Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” mũ “6” ta có tốn Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6) a6 – b6 = ( a ) − ( b3 ) = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) 2 Ví dụ 2: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6) Giải: a6 – b6 = ( a ) − ( b3 ) = (a3 – b3)( a3 + b3 ) 2 = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2) Giáo viên củng cố cho học sinh: Các đẳng thức đáng nhớ, kĩ nhận dạng đẳng thức qua toán, dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử mà sử dụng đẳng thức cho thích hợp Ví dụ 3: Phân tích đa thức (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử Định hướng giải: Ta thấy : x – y + y – z + z – x = => áp dụng nhận xét cách làm tương tự Ví dụ Dạng tốn 2, ta có: (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x-y) (y-z) (z-x) Ví dụ 4: Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử Cũng tương tự Ví dụ 3, Ví dụ 4, hạng tử lại phức tạp biến đổi tương tự Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3 Ta thấy x2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = => áp dụng nhận xét ta có: (x2+y2)3+ (z2-x2)3+ (-y2-z2)3 = 3(x2 + y2)(z2 –x2)(-y2 – z2) = 3(x2+y2) (x+z)(x-z)(y2+z2) Sau ví dụ trên,ta xét ví dụ tương tự như: Ví dụ 5: Phân tích đa thức (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 15 (x+y+z)3 – x3-y3-z3 =[(x +y) +z]3 – x3 – y3 – z3 = (x+y)3 + (x+y) (x+y+z) – x3-y3-z3 = x3 + y3+3xy(x+y)+z3+3z(x+y)(x+y+z) –x3-y3-z3 = 3(x+y) (xy+ yz +xz +z2) = 3(x+y)(y+z)(z+x) Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử (x+y+z)3 –(x+y-z)3-(x-y+z)3 -(-x+y+z)3 Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c =>x+y+z = a+b+c  (a+b+c)3 - a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz Ví dụ Xét tốn phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc Ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a+b) + c3 – 3abc = [(a+b)3+c3 ] – 3ab(a+b+c) = (a+b+c) [(a+b)2–c(a+b)+c2 ]– 3ab (a+b+c) = (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 – ac- ab + c2- 3ab) = (a +b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) = (a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] Qua ví dụ vừa xét ta có nhận xét mang tính tổng quát sau: a + b + c = Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc  a = b = c Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc  a3 + b3 + c3 – 3abc = => (a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] = a + b + c = =>  a + b + c = =>  a = b = c (a − b) + (b − c ) + (a − c) = 2 Áp dụng phương pháp sử dụng đẳng thức phân tích đa thức thành nhân Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 16 tử ví dụ trên, ta có số tập vận dụng sau Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử a/ a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b ) b/ a + 4a − 29a + 24 c/ x + x + x − x + d/ x + x + 11x + e/ ( x + 1).( x + 3).( x + 5).( x + ) + 15 f/ ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) Gợi ý: a/ Thay b − c = −(c − a) − (a − b) Sau thay, ta ( a − b ) ( c − a ) + ( c − a ) ( b − a ) = ( a − b )( c − a )[ ( c + a ) − ( b + a ) ] = ( a − b )( c − a )( c − b ) b/ Đáp số: ( a − 1)( a − 3)( a + 8) c/ Đáp số: ( x + 3x − 1) d/ Đáp số: ( x + 1)( x + 2)( x + 3) e/ Đáp số: ( x + x + 10).( x + 6).( x + 2) f/ Đặt x − y = a y − z = b z − x = c ⇒ a + b + c = ⇒ a + b = −c ⇒ ( a + b ) = − c 3 ⇒ a + b + 3ab( a + b ) = −c ⇒ a + b + c = −3ab(a + b) = 3abc VT = 3( x − y )( y − z )( z − x ) Dạng 7: Tính giá trị biểu thức Sử dụng đẳng thức, ta phân tích đa thức thành nhân tử từ ta vận dụng để tính giá trị biểu thức.Sau đây, số ví dụ minh họa Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 17 1 1 xy yz zx + + z x2 y Ví dụ 1: Cho x + y + z = tính P = 1 1 Từ x + y + z = => x3 + y + z = xyz => P = 1 xy yz zx xyz xyz xyz 1  xyz3 + + = + + = xyz + +  = =3 z x y z x y y z  xyz x   a  b  b  c  c a Ví dụ 2: Cho abc ≠ 0, a3+b3+c3 = 3abc tính A = 1 + 1 + 1 +  a + b + c = Từ a3 + b3 + c3 = 3abc =>  a = b = c  a + b  b + c  a + c  − c − a − b = −1   =  b  c  c  b c α Nếu a+b+c = A =  Nếu a = b = c A = (1+1) (1+1) (1+1) = => A có giá trị: -1 Ví dụ 3: Cho xyz ≠ thoả mãn x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2  x  y  z  Tính P = 1 + 1 + 1 +  y   z  x Đặt a= xy, b = yz, c =zx a + b + c = Ta có x3y3 + y3z3 + x3z3 = 3x2y2z2 => a3 + b3 + c3 = 3abc =>  a = b = c Nếu a + b + c = hay xy + yz + xz = (x+z) y = -xz  x  y  z   x + y  y + z  z + x  ( x + y ) z ( y + z ) x ( x + z ) y   = P = 1 + 1 + 1 +  =   = y  x  x  y  z  x  yz zx xy ( − xy )( − yz )( − zx ) = −1 zx.xy yz Nếu a = b = c hay xy = yz = zx => x = y = z => P =8 Ví dụ 4: Cho a + b + c = tính giá trị biểu thức A = (a-b)c3 + (b-c)a3+(c-a)b3 Ta biến đổi b-c = b-a+a-c Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 18 Ta A = (a-b)c3 + (b-a)a3 + (a-c)b3 = (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c) Vì a+b+c=0 -> A=0 Ví dụ 5: Cho x+y+z=0 tính giá trị biểu thức B = x3 + y + z − xzy x + y + z 3xyz = = −3 x+y+z=0 => x +y +z = 3xyz => B = − xyz − xyz 3 Ví dụ 6: Cho a3+b3+c3 = 3abc a+b+c ≠ tính giá trị biểu thức M= a + b2 + c ( a + b + c) ta có a3+b3+c3- 3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2 –ab-bc-ca) = 2 = ( a + b + c ) [( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ] = Mà a+b+c ≠ => (a+b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 = => a=b=c => M = a + a + a 3a = = 9a ( 3a ) Ví dụ 7: Cho a+b+c = (a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ 0) tính giá trị biểu thức A= a b2 c2 + + ; cb ca ab B= a2 b2 c2 + + a − b2 − c b2 − c2 − a c − a − b2 a + b3 + c Ta có A = a+b+c=0 => a3 + b3 + c3 = 3abc abc A= 3abc =3 abc a2 b2 c2 B= 2 2+ 2 2+ 2 a −b −c b −c −a c −a −b Từ a+b+c= => a+b = -c => a2+b2+2ab=c2 -> c2-a2-b2= 2ab TT: a2-b2-c2 =2bc; b2-c2-a2=2ac a2 b2 c2 a + b3 + c3 + + = Nên B= ta có a+b+c=0 => a3+b3+c3 = 3abc a 2bc 2ac 2ab 2abc -> B = 3abc = 2abc Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 19 Ví dụ 8: Cho a+b+c = tính giá trị biểu thức: a b  a −b b −c c − a  c + + + + A=    a b   a − b b − c c − a   c Đặt B = a−b b−c c−a + + c a b Ta có B c c b−c c−a c  b − bc + ac − a  = 1+ +    = 1+  a−b a −b a b  a −b  ab  c ( a − b )( c − a − b ) 2c 2c = 1+ = 1+ =1+ a−b ab ab abc a 2a = + ; Tương tự B b−c abc Vậy A = + b 2b3 = + ; B c−a abc ( 2c 2a 2b3 a + b3 + c3 +1 +1 =3 abc abc abc abc ) Vì a+b+c = => a3 + b3 + c3 = 3abc => A = + 2.3abc =9 abc Ví dụ 9: Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) Tính giá trị biểu thức sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Hướng dẫn a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ⇒ x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chú ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) Ví dụ 10: Cho a > b > , biết a/ 3a + 3b = 10ab Tính P = a−b a+b Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 20 b 2a + 2b = 5ab Tính Q = a+b a−b Định hướng: a − 2ab + b 3a + 3b − 6ab 10ab − 6ab a−b = = = a Xét P =   = a + 2ab + b 3a + 3b + 6ab 10ab + 6ab a+b Mà P > ⇒ P = b (Tương tự) Xét E = ⇒ E = Ví dụ 11: a Cho a + b + c = a + b + c = 14 Tính A = a + b + c b Cho x + y + z = x + y + z = a Tính B = x + y + z theo a Định hướng: a Ta có: 14 = ( a + b + c ) ⇒ a + b + c = 196 − 2( a b + b c + c a ) Ta có: a + b + c = ⇒ ( a + b + c) a2 + b2 + c2 = ⇒ ab + bc + ac = − = −7 ⇒ ( ab + bc + ac ) = 49 ⇒ a b + b c + a c + 2abc( a + b + c ) = 49 ⇒ a b + b c + a c = 49 Vậy A = a + b + c = 196 − 2.49 = 98 b/ x = −( y + z ) ⇒ x = ( y + z ) ⇒ x − y − z = yz ⇒ ( x − y − z ) = y z 2 ( ) ( ⇒ x + y + z = 2x y + y z + 2x z ⇒ x + y + z = x + y + z ) = a4 ⇒ B = a4 Dạng 8:Sử dụng đẳng thức giải tốn số phương Số phương: • Số phương bình phương số tự nhiên • Số phương khơng tận số 2,3,7,8 • Số phương chia hết chia hết cho • Số phương chia hết cho chia hết • Số phương chia hết cho chia hết 25 Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 21 • Số phương chia hết cho 23 chia hết cho 24 • Số phương chia dư Số phương chia dư Ví dụ: Tìm a ∈ Z để A = a2 + 2a + số phương Định hướng: A số phương A viết dạng nào? Giả sử A = b2, ta có: a2 + 2a + = b2  a2 + 2a + + = b2  (a + 1)2 + = b2  b2 – (a + 1)2 = (1) … Áp dụng đẳng thức phân tích đa thức vế trái (1) thành nhân tử, ta biến đổi đẳng thức (1)…  a = ?,b = ? Tương tự, với cách giải Ví dụ trên, ta dễ dàng giải tập sau Sau đây,là số tập áp dụng Bài 1: Cho a, b, c số nguyên thoả mãn a2 - b2 = 4c2 Chứng minh biểu thức sau có giá trị số phương A = ( 5a - 3b + 8c )( 5a - 3b - 8c ) Bài 2: Cho a số nguyên Chứng minh P = ( a + 1)( a + 2)( a + )( a + ) + số phương Bài 3: Cho x, y, z số nguyên Chứng minh Q = 4x( x + y )( x + y + z )( x + z ) + y2z2 số phương Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 22 Bài 4: Cho P = ( a+1)(a -2)( a +5 )( a +2 ) + 36 a) Chứng minh rằng: a số ngun P có giá trị số phương b) Tìm a để P = c) Tìm giá trị nhỏ P + 1974 Bài 5: Cho a số nguyên Chứng minh P = a - 6a3 + 5a2 + 12a + số phương Bài 6: Cho P = a4 - 4a3 - 2a2 + 12a + a) Chứng minh: a số nguyên P số phương b) Tìm a để P = c) Tìm giá trị nhỏ P + d) Chứng minh a số nguyên lẻ P chia hết cho 16 Bài 7: Cho a số nguyên Chứng minh biểu thức sau có giá trị số phương a) A = ( a2 + a + )( a2 + 5a + ) + 4a2 b) B = ( a2 + 3a + )( a2 + 3a + ) + c) C = ( a2 + 4a + )( a2 + 4a + ) + d) D = ( a + )( a + )( a + )( a + ) + Bài 8: Tìm số nguyên x cho biểu thức sau có giá trị số phương a) A = x2 - 4x - 25 e) E = x4 + x3 + 17 x2 + 4x + b) B = x2 + x + f) F = x4 - 8x3 + 14 x2 + 8x - 14 c) C = x2 + x + 13 g) G = ( x2 - 6x - )( x2 - 6x + ) + 15 d) D = x( x - )( x - )( x - ) Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 23 IV BIỆN PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI  Biện pháp Để thực tốt kĩ giải toán qua việc vận dụng đẳng thức nêu trên, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: Củng cố lại phép tính, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc lớp 6, Ngay từ đầu chương trình Đại số giáo viên cần ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức Khi gặp dạng toán, học sinh cần nhận xét:  Quan sát đặc điểm toán: Nhận xét quan hệ hạng tử toán (về hệ số, biến)  Nhận dạng toán: Xét xem toán cho thuộc dạng nào? Áp dụng đẳng thức cho phù hợp Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 24  Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Từ sở mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với toán Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận thực bước giải phải có kiểm tra Phải có đánh giá tốn xác theo lộ trình định, từ lựa chọn sử dụng cách giải cho phù hợp Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng toán, nhận xét đánh giá toán theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào tốn, sử dụng thành thạo kỹ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tịi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác  Kết Kết áp dụng kĩ góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh đại trà Cụ thể kết kiểm tra toán tổng hợp có vận dụng đẳng thức câu nhỏ (như dạng toán trên) thống kê qua giai đoạn ba lớp 8A, 8B năm học 2017 – 2018 sau: a) Chưa áp dụng giải pháp Kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm Thời gian TS Đầu học kỳ I đến học kỳ I HS Chưa áp dụng giải pháp 65 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 29 44,62% * Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm kỹ phân tích tốn, đẳng thức đáng nhớ, cách trình bày giải cịn lung tung b) Áp dụng giải pháp Lần 1: Khảo sát chất lượng học kỳ I Thời gian TS HS Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 25 Đầu học kỳ I đến học kỳ II Kết áp dụng giải pháp (lần 1) 65 35 53,85% * Nhận xét: Học sinh hệ thống, nắm kiến thức đẳng thức đáng nhớ, vận dụng tốt kĩ giải toán, biết nhận xét đánh giá tốn dạng tốn, trình bày hợp lý Lần 2: Kiểm tra học kì II Thời gian TS Đầu học kỳ I đến học kỳ II HS Kết áp dụng giải pháp (lần 2) 65 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 51 78,46% * Nhận xét: Học sinh nắm vững kiến thức đẳng thức, vận dụng thành thạo kỹ biến đổi, phân tích, biết dựa vào tốn biết cách giải truớc đó, linh hoạt biến đổi vận dụng đẳng thức trình bày giải hợp lý có hệ thống logic, cịn số học sinh yếu, chưa thực tốt Học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phương pháp giải, phân loại dạng tốn, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ giải nhanh tốn có dạng tương tự, đặt nhiều vấn đề mới, nhiều toán  Tóm lại: Từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững đẳng thức chương trình học, học rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hố hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh cịn giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài tốn học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học toán Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 26  PHẦN III: KẾT LUẬN  Bài học kinh nghiệm Thông qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép rút số kinh nghiệm sau:  Đối với học sinh yếu kém: Là trình liên tục củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp vận dụng tốt đẳng thức vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK  Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng đẳng thức vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi suy mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức  Đối với học sinh giỏi: Ngoài việc nắm dạng toán bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm dạng tốn nâng cao khác, tập dạng mở rộng giúp em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải dạng toán tốt Qua tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 27 tư cách tồn diện cho q trình tự nghiên cứu em  Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh trình cung cấp thơng tin có liên quan chương trình đại số đề cập Giáo viên phải định hướng vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đề cập, giúp học sinh nắm vững dạng toán rèn luyện kĩ phân tích cách tường minh dạng tập để tìm hướng giải sau biết áp dụng phát triển nhanh tập tổng hợp, kĩ vận dụng đẳng thức cách đa dạng giải toán Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi say mê hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học toán Nếu thực tốt phương pháp trình giảng dạy học tập chất lượng học tập môn học sinh nâng cao hơn, đào tạo nhiều học sinh giỏi, đồng thời tuyển chọn nhiều học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện,  Hướng phổ biến áp dụng Đề tài triển khai phổ biến áp dụng rộng rãi chương trình đại số lớp 8, cho năm học sau  Hướng nghiên cứu phát triển Đề tài nghiên cứu tiếp tục dạng toán vận dụng đẳng thức nâng cao  Đề xuất Tuy nội dung đề tài rộng, song khn khổ thời gian có hạn người viết ví dụ, tốn điển hình có nhiều ứng dụng chương trình Rất mong đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 28 chuyên đề đầy đủ hoàn thiện Thị Trấn , ngày 15 tháng năm 2018 Tác giả Phạm Hồng Dương TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK Toán (Tập 1,2) - NXB GIÁO DỤC SGK Toán (Tập 1,2) - NXB GIÁO DỤC SGV Toán (Tập 1,2) - NXB GIÁO DỤC Các chuyên đề Đại số bồi dưỡng HSG THCS – NXB Giáo dục Các toán sưu tầm qua đề thi HSG cấp Một số sách tham khảo tác giả Cách giải toán số học sinh trường THCS Diễn Bích Tạp chí Tốn tuổi thơ – Nhà xuất giáo dục Tạp chí Tốn học tuổi trẻ - Nhà xuất giáo dục  Tác giả: Phạm Hồng Dương – THCS Thị Trấn – Diễn Châu – Nghệ An Gmail: duongmen2012@gmail.com Page 29 ... tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức Khi gặp dạng toán, học sinh cần nhận xét:  Quan... Page - Đưa dạng toán đơn giản vận dụng đẳng thức  Đối với học sinh đại trà: Vận dụng phát triển kỹ - Phối hợp nhiều đẳng thức dạng toán - Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán - Củng cố... 1.2.3 III MỘT SỐ DẠNG TỐN CĨ VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC Việc sử dụng Hằng đẳng thức vận dụng nhiều dạng tốn khác nhau.Sau ,tơi xin đề xuất số dạng tốn có sử dụng Hằng đẳng thức *Dạng 1:Tính nhanh Ví