Thông tin tài liệu
TrƯờng đại học hồng đức Khoa GIO DC tiểu học BàI GIảNG RẩN LUYN K NNG GII TON TIU HC DùNG CHO ĐHGD TIểU HọC Thanh Hóa, tháng năm 2021 Chng i cng v gii toán Tiểu học 1.1 Giải toán ý nghĩa việc thực hành giải toán TH 1.1.1 Quan niệm toán giải toán a Bài toán Theo nghĩa rộng, toán vấn đề khoa học hay sống cần giải Theo nghĩa hẹp, toán vấn đề khoa học hay sống cần giải phương pháp toán học Ở TH, toán hiểu theo nghĩa hẹp này, chí nhiều cịn hiểu cách đơn giản nữa: toán tập sách giáo khoa b Cấu trúc toán Một tốn có hai phần: phần cho (cái biết) phần cần tìm (cái chưa biết) Phần cho phần cần tìm số, số đo đại lượng (con số + đơn vị đo), quan hệ (hay điều kiện) Ví dụ 1: Xét toán sau: “Hãy chia 105 cam thành phần cho phần thứ hai gấp lần phần thứ phần thứ ba” Trong ví dụ này, phần cho gồm số 105 cho biết số cam, quan hệ phần thứ hai phần thứ (phần thứ hai gấp lần phần thứ nhất), quan hệ phần thứ hai phần thứ ba (phần thứ hai phần thứ ba) Phần cần tìm ba số số cam ba phần Ví dụ 2: Xét tốn sau: “Tìm số tự nhiên biết viết thêm số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị thu số gấp lần số ban đầu” Trong ví dụ này, cho khơng có số mà có quan hệ số biết số tạo thành thêm chữ số vào chữ số hàng chục hàng đơn vị Cái cần tìm số cho ban đầu c Giải toán Giải toán tìm chưa biết tốn Q trình giải tốn q trình tìm chưa biết tốn Về chất, q trình giải tốn q trình suy luận vận dụng dãy phép suy luận liên quan nhằm rút cần tìm từ biết Quá trình giải ghi lại thành lời giải, cuối lời giải thường ghi rõ câu trả lời cần tìm câu trả lời gọi đáp số tốn Ví dụ 3: Xét tốn: “Hồng có bơng hoa, Lan có nhiều Hồng hoa Hỏi hai bạn có tất bơng hoa?” Trong tốn này, phần cho là: - Hồng có bơng hoa; - Lan có nhiều Hồng bơng hoa Trong tốn này, phần cần tìm là: hai bạn có tất bơng hoa? Ở mức u cầu trình bày, lời giải tốn sau: Số bơng hoa Lan có: + = (bơng hoa) Số bơng hoa hai bạn có: + = (bông hoa) Đáp sô: hoa Lời giải ghi lại trình suy luận trình giải: Suy luận 1: Vì Hồng có bơng hoa Lan có nhiều Hồng hoa nên số hoa Lan là: + = (bông hoa) Suy luận 2: Vì Hồng có bơng hoa Lan có bơng hoa nên số bơng hoa hai bạn là: + = (bông hoa) Trong lời giải trên, hai suy luận khơng trình bày (ghi lại) đầy đủ bậc học cao mà ghi dạng rút gọn Đây khác biệt đáng lưu ý cách trình bày lời giải TH cách trình bày lời giải bậc học cao 1.1.2 Ý nghĩa việc thực hành giải toán TH Ở trường TH, giải tốn có nhiều ý nghĩa a Thơng qua thực hành giải tốn để hình thành kiến thức, kĩ cho HS Ví dụ, để hình thành cho HS kĩ thực phép tính với phân số, số thập phân, SGK thường đưa số tốn có nội dung thực tế Chẳng hạn để hình thành cho HS phép cộng hai phân số mẫu số, SGK đưa tốn sau: “Có băng giấy màu, bạn Nam tô màu băng giấy, sau tơ màu tiếp băng giấy Hỏi bạn Nam tô màu phần băng giấy” b Thơng qua thực hành giải tốn để củng cố kiến thức, kĩ cho HS Ví dụ, để củng cố khái niệm phép nhân số tự nhiên, ta đưa tốn sau cho HS luyện tập: “Thay phép cộng phép nhân tính kết quả: a) + + + b) + + + 6” c Thơng qua thực hành giải tốn rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn Ví dụ: Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 120 m, chiều dài chiều rộng 4m Hỏi người ta thu hoạch kg thóc ruộng đó? Biết 10 mét vng ruộng thu hoạch 120 kg thóc, d Thơng qua thực hành giải toán phát triển lực tư cho HS Ví dụ 1: Cho tamP giác ABC có diện tích 200 cm2 Kéo dài AB đoạn BM AB, kéo dài BC đoạn CN A BC kéo dài CA đoạn AP AC NốiB điểm 200 M, N, P Tính diện tích2 tam giác MNP M cmABP tam giác C giác Giải: Tam ABCN có chung đường cao hạ từ B AP = AC nên S ABP S ABC 200cm (1) Tam giác BPA tam giác BPM có chung đường cao hạ từ P AB = BM nên S BPM S ABP S ABC 200cm (2) 2 Từ (1) (2) suy S ABM S PBA S PBM 200cm 200cm 400cm 3 Tương tự ta có S BMN SCNP 400cm Từ (1), (3) (4) ta có: S MNP S ABC S PMA S BMN SCNP 200cm 400cm 400cm 400cm 1400cm Bằng suy luận tương tự cách giải toán trên, học sinh giải tốn sau: “ Cho tứ giác ABCD, kéo dài AB đoạn BM AB, kéo dài BC đoạn CN BC, kéo dài CD đoạn DP CD, kéo dài DA đoạn AQ DA Nối điểm M, N, P, Q Tính diện tích tứ giác ABCD, biết diện tích tứ giác MNPQ 20 cm2” Ví dụ 2: Yêu cầu HS thực hành giải toán sau: Cho dãy tính sau: 28 – (28 – 24) Em đặt đề tốn, có giáo dục dân số, giáo dục mơi trường, có lời giải dãy tính Kết HS đưa đề toán sau: Bài toán 1: Khu phố A có 28 gia đình Trong phong trào vận động gia đình khơng sinh thứ ba, 24 gia đình thực tốt, gia đình khơng thực tốt tình nguyện góp gia đình triệu để xây dựng nhà văn hóa Theo tính tốn nhà văn hóa cần phí 28 triệu Hỏi khu phố A phải lập kế hoạch xin nhà nước tiền nữa? Bài tốn 2: Đội niên tình nguyện phố B nhận trồng xanh đường phố Đội có 28 người, theo tính tốn người trơng đủ Vì có kế hoạch đột xuất, 24 người đội cử làm việc khác, số người lại người trồng Hỏi thiếu chưa trồng? Ví dụ 3: Với nội dung “Các tốn phân số số thập phân”, nêu BT sau: Tính tổng: S = 1 1 , sau nêu nhận xét khái quát 1 3 5 7 9 11 phát biểu toán tương tự toán tổng quát tốn giải tốn Kết sau tính tổng trên, nêu nhận xét khái quát, SV đưa đề toán sau giải toán này: Bài tốn 1: Tính tổng S= 1 1 4 6 8 10 10 12 Bài toán 2: Tính tổng S= 1 1 1 1 3 5 7 9 11 n 1 n 3 , với n số tự nhiên Hoặc: S= 1 1 1 4 6 8 10 10 12 n n , với n số tự nhiên 1.2 Tổ chức dạy học giải toán TH - Các hoạt động chuẩn bị cho giải toán - Hoạt động làm quen với giải Tốn - Hình thành rèn luyện kĩ giải toán 1.3 Phân loại tốn TH 1.3.1 Bài tốn có lời văn toán áp dụng quy tắc Khi giải toán TH, cần phân biệt toán có lời văn tốn áp dụng qui tắc Bài toán áp dụng qui tắc toán túy toán học, đề dạng toán thường gồm mệnh lệnh thực yêu cầu đó, giải tốn ta khơng cần phải suy nghĩ xem cần phải làm phép tính mà việc áp dụng qui tắc học để giải tốn Ví dụ, toán sau toán áp dụng qui tắc: Bài tốn 1: Tính 17 + 23 Bài tốn 2: Tính giá trị biểu thức: (3,5 + 8) – 4,5 Bài tốn có lời văn tốn mà đề tốn có chứa lời văn để giải toán dạng phải dựa vào lời văn mà xác định xem cần phải áp dụng phép tính để giải tốn Ví dụ, tốn sau tốn có lời văn: “Hồng có 17 táo, Lan có 23 táo Hỏi hai bạn có táo?” 1.3.2 Bài toán đơn toán hợp Khi giải tốn có lời văn TH, cần phân biệt toán đơn toán hợp Bài toán đơn tốn cần giải phép tính Ví dụ, tốn sau tốn đơn: “Hồng có 27 lê, Phượng có 23 lê Hỏi hai bạn có lê?” Để giải toán này, ta cần thực phép tính: Cả hai bạn có số lê là: 27 + 23 = 50 (quả lê) Đáp số: 50 lê Bài tốn hợp tốn cần hai phép tính để giải Ví dụ, tốn sau tốn hợp: “Hồng có 27 lê, Phượng có 23 lê Hỏi trung bình bạn có lê?” Để giải tốn này, ta cần thực phép tính: Cả hai bạn có số lê là: 27 + 23 = 50 (quả lê) Trung bình bạn có số lê là: 50 : = 25 (quả lê) Đáp số: 25 lê 1.3.3 Bài tốn điển hình tốn khơng điển hình Ngồi tốn áp dụng qui tắc có mẫu giải sẵn, có số tốn có lời văn có mẫu giải sẵn, cần nhớ mẫu giải được, ta gọi tốn tốn điển hình Trong chương trình Tốn TH, ta thường gặp dạng tán điển hình sau: - Bài tốn nhiều hơn, hơn; - Bài tốn dạng tìm hai số biết tổng hiệu chúng; - Bài tốn dạng tìm hai số biết tổng tỉ chúng; - Bài tốn dạng tìm hai số biết hiệu tỉ chúng; - Bài toán đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch; - Bài toán tỉ số, tỉ số phần trăm; - Bài tốn tính giá trị trung bình… Ngồi dạng tốn áp dụng qui tắc, tốn điển hình, dạng tốn cịn lại gọi tốn khơng điển hình Các dạng tốn khơng điển hình thường dùng để rèn luyện, phát triển tư cho HS dùng để bồi dưỡng HS khá, giỏi 1.4 Kết luận Mỗi toán thuộc dạng khác có cách tóm tắt sơ đồ khác GV cần trọng rèn cho HS nhận dạng tập, phương trình dự kiến để tìm số sơ đồ thích hợp cho cách tóm tắt tốn Phương pháp SĐĐT khơng để tóm tắt tốn mà cịn dùng để lập luận( trực quan suy luận) thực hành giải toán Chính vậy, GV cần rèn kĩ sử dụng PP cho HS Chương Các toán điển hình Tiểu học 2.1 Các tốn áp dụng quy tắc 2.1.1 Thực phép tính Thực thành thạo phép tính yêu cầu chương tringf toán TH Để 100% HS giải thành thạo dạng tốn này, cần làm tốt cơng việc sau: - Dạy cho HS học thuộc bảng cộng, trừ, nhân, chia Có thể hiểu bảng cộng, trừ, nhân, chia bảng ghi tất phép tính với số có chữ số - Dạy đặt tính - Dạy học thuộc qui tắc làm tính, qui tắc thực thứ tự phép tính Các qui tắc khơng khó hiểu, HS làm sai chủ yếu nhầm lẫn, phép cộng, phép trừ có nhớ 2.1.2 So sánh hai số So sánh hai số kiến thức kĩ chương trình toán TH, đề so sánh được, cần: - Thuộc thứ tự số có chữ số; - Thuộc qui tắc so sánh (so sánh hai số tự nhiên có nhiều chữ số, so sánh hai phân số có mấu số, hai phân số khác mẫu số, so sánh hai số thập phân) 2.1.3 Tính giá trị biểu thức Tính giá trị biểu thức số (khơng chứa chữ) có nghĩa thực dãy phép tính Để giải loại tón này, ngồi việc thực thành thạo phép tính, HS cần phải nắm vững thứ tự thực phép tính dãy tính (trong biểu thức đó) Thứ tự trình bày mạch lạc chia trường hợp: - Biểu thức khơng có dấu ngoặc; - Biểu thức có phép cộng trừ, phép nhân chia; - Biểu thức có phép tính cộng trừ lẫn nhân chia; - Biểu thức có dấu ngoặc 2.1.4 Tính giá trị thường dùng thống kê - Tính trung bình cộng: trung bình cộng n số a1 ;a2 ;a3 ; ;an số có giá trị tính theo cơng thức a1 + a2 + a3 + + an n ; - Tính tỉ số phần trăm: + Tỉ số phần trăm số a so với số b x% ta chia b thành 100 phần a chiếm x phần + Cách tính tỉ số phần trăm a so với b sau: x = a 100 : b 2.1.5 Tính chu vi, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình Áp dụng cơnh thức tính chu vi, diện tích, thể tích hình 2.1.6 Tính vận tốc, qng đường, thời gian chuyển động S S Áp dụng công thức: S = v´ t ; v = t ; t = v 2.2 Các tốn ý nghĩa bốn phép tính - Các toán ý nghĩa phép cộng Bản chất phép tính cộng phép tốn hợp hai tập hợp không giao (ở TH ta thường dùng thuật ngữ gộp hai tập hợp khác ta tập hợp mới, số phần tử tập hợp tổng số phần từ hai tập hợp ban đầu) Vì vậy, dạng tốn HS cần phải biết nhận dạng chúng thông qua từ khóa: gộp, thêm, nhiều - Các tốn ý nghĩa phép trừ Bản chất phép tính trừ phép tốn lấy phần bù tập hợp tập hợp chứa (bao) (ở TH ta thường dùng thuật ngữ tách tập hợp thành hai tập hợp khác ta hai tập hợp mới, số phần tử tập hợp số phần từ tập hợp ban đầu bớt số phần tử tập hợp kia) Vì vậy, dạng tốn HS cần phải biết nhận dạng chúng thơng qua từ khóa: tách, bớt, - Các tốn ý nghĩa phép nhân Bản chất phép tính nhân tích đề hai tập hợp (ở TH ta thường dùng thuật ngữ gộp tập hợp khác có số phần tử ta tập hợp mới, số phần tử tập hợp tổng số phần từ tập hợp ban đầu) Vì vậy, dạng tốn HS cần phải biết nhận dạng chúng thơng qua từ khóa: gộp nhóm nhau, tăng số lần, gấp số lần, ghép thành cặp - Các toán ý nghĩa phép chia Bản chất phép tính nhân chia cách phân hoạch tập hợp thành tập hợp có số phần tử (ở TH ta thường dùng thuật ngữ tách tập hợp thành tập hợp khác có số phần tử ta tập hợp mới, tổng số phần tử tập hợp số phần từ tập hợp ban đầu) Vì vậy, dạng tốn HS cần phải biết nhận dạng chúng thơng qua từ khóa: tách thành nhóm nhau, giảm số lần, số lần, tách thành cặp, chia tìm số phần tử, chia tìm số phần, so sánh gấp-kém số lần - Các toán đơn quan hệ thành phần kết phép tính Bản chất dạng tốn tìm thành phần chưa biết tốn đơn, phép tính 2.3 Các tốn hợp giải hai phép tính cộng trừ 2.4 Các tốn tìm hai số biết kết hai phép tính - Tìm hai số biết tổng hiệu chúng; - Tìm hai số biết tổng tỉ chúng; - Tìm hai số biết hiệu tỉ chúng; - Tìm hai số biết tổng tích chúng; - Tìm hai số biết hiệu tích chúng; - Tìm hai số biết tích thương chúng; 2.5 Các toán tỷ số tỉ số phần trăm - Các tốn tỉ số có dạng: + Tìm tỉ số hai số a b; + Tìm số a biết số b tỉ số hai số a b; + Tìm số b biết số a tỉ số hai số a b; - Các toán tỉ số phần trăm có dạng: + Tìm tỉ số % hai số a b; + Tìm số a biết số b tỉ số % hai số a b; + Tìm số b biết số a tỉ số % hai số a b; 2.6 Các toán hai đại lượng tỷ lệ - Bài toán hai đại lượng tỉ lệ thuận (biểu thị dạng y = a x); - Bài toán hai đại lượng tỉ lệ nghịch (biểu thị dạng x y = a) - Bài toán liên quan đến đại lượng tỉ lệ thuận đại lượng tỉ lệ nghịch 2.7 Một số tốn điển hình khác - Toán trồng cây: + Số đường hở số khoảng cách cộng thêm một; + Số đường kín số khoảng cách - Tốn chuyển động đều: + Tốn tìm qng đường biết vận tốc thời gian; + Tốn tìm vận tốc biết quãng đường thời gian; + Tốn tìm thời gian biết qng đường vận tốc Chương Các phương pháp thường dùng giải Toán Tiểu học Chuyên đề SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG TRONG DẠY HỌC TOÁN TIỂU HỌC Khái niệm phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng (SĐĐT) phương pháp giải toán tiểu học, mối quan hệ đại lượng cho đại lượng phải tìm toán biểu diễn đoạn thẳng Dựa vào SĐĐT để tìm lời giải tốn Cách tóm tắt tốn sơ đồ - Khi phân tích tốn cần phải thiết lập mối liên hệ phụ thuộc đại lượng cho toán, muốn làm việc ta thường dùng đoạn thẳng thay để biểu thị nhứng cho cần tìm (số cho, số phải tìm tốn) tốn Để minh hoạ quan hệ đó, ta phải tìm độ dài đoạn thẳng cần xếp đoạn thẳng cách thích hợp để thấy mối liên hệ phụ thuộc đại lượng tạo số hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ để tìm phương hướng giải đáp đắn, hiệu nhanh Ứng dụng phương pháp SĐĐT để giải toán tiểu học 3.1 Giải toán đơn 3.1.1 Giải toán đơn với phép tính cộng Ví dụ: Đặt đề tốn theo sơ đồ giải tốn đó: 12 kg Bao gạo: ? kg 16 kg Bao ngô: Hướng dẫn HS đặt đề bài: Bằng hệ thống câu hỏi phát vấn, dẫn dắt HS đến với đề toán: Đề bài: Bao gạo nặng 12kg, bao ngô nặng 16 kg Hỏi hai bao nặng kg? Bài giải: Cả hai bao nặng số kg là: 12+16 = 28( kg) Đáp số: 26 kg 3.1.2 Giải toán đơn với phép tính trừ Ví dụ: Tấm vải hoa dài 30 m Cô bán hàng bán 24m Hỏi vải hoa lại m? 24 m Bài giải: ?m Ta có sơ đồ: đại lượng tạo số hình ảnh30 cụmthể giúp ta suy nghĩ để tìm phương hướng giải đáp đắn, hiệu nhanh Tấm vải hoa lại số mét là: 30 – 24 = (m) Đáp số: m 3.1.3 Giải toán đơn với phép tính nhân Ví dụ: Vườn nhà Nam có cam, số ổi gấp lần số cam Hỏi vườn nhàn Nam có ổi? Bài giải: Ta có sơ đồ: Cây cam: ? Cây ổi: Vườn nhà Nam có số ổi là: x = 30 ( cây) Đáp số: 30 Nhận xét: Khi giải toán phép tính nhân, SĐĐT biểu diễn số phần tương ứng với đại lượng tốn 3.1.4 Bài tốn đơn với phép tính chia Ví dụ: Hồ có 28 viên bi xanh, số viên bi xanh gấp lần số viên bi vàng Hỏi Hồ có viên bi vàng? Giải: Ta có sơ đồ 28 viên Bi xanh: Bi vàng: ? viên Hồ có số viên bi vàng 28 : = ( viên) Đáp số: viên 3.2 Ứng dụng phương pháp SĐ ĐT để giải toán hợp 3.2.1.Giải tốn hợp với hai phép tính cộng trừ Mẫu 1: a + (a – b) Ví dụ: Đặt đề toán theo sơ đồ giải tốn đó: ? viên ? viên viên 10 12 viên Chú ý: Cơ sở toán học để giải tốn TNTC quy tắc tìm thành phần chưa biết phép tính Vì tốn dạng cho học sinh từ lớp Chú ý rằng, vịng số phép tính phải phù hợp với trình độ lớp 2.2 Ứng dụng để giải tốn có lời văn Bài tốn: Bình có số nhãn Bình cho An số nhãn vở, cho Lan số nhãn cịn lại cịn 10 nhãn Hỏi lúc đầu Bình có nhẫn ? Bài giải Số nhãn lại sau cho An: 10 10 : 2´ = 15 ( ) Số nhãn Bình lúc đầu : 15 15 : 1´ = 45(cái ) Đáp số: 45 nhãn Ứng dụng để giải toán PPTNTC gộp Bài toán : Tìm số, biết chuyển đơn vị từ số thứ sang số thứ 2, đơn vị từ số thứ sang số thứ chuyển đơn vị từ số thứ sang số thứ ta số 10 Phân tích : Ta tóm tắt bước chuyển đổi nói đề sau: - đơn vị - đơn vị - đơn vị Số thứ nhất: - ; + kết 10 Số thứ hai : + ; - kết 10 Số thứ ba : + ; - kết 10 Số thứ cần tìm là: 10 – + = Số thứ hai cần tìm là: 10 + – = 13 Số thứ ba cần tìm là: 10 -7+ = Vậy số cần tìm là: ; 13 ; Chú ý: Bài tốn giải cách lập bảng sau : 44 Lần chuyển Lần Lần Lần Cuối Sau lần 10 10 – = 10 10 10 10 + = 16 Sau lần Lúc đầu 4+4=8 10 + = 17 17 – = 13 16 – = 9 Vậy số cần tìm là: ; 13 ;9 2.4 Ứng dụng để giải toán vui tốn cổ Một người qua đường hỏi ơng lão chăn ngựa: “Ơng ơi! Làm trơng ơng buồn phiền vậy?” Ơng lão trả lời: “Làm tơi khơng buồn phiền được? Một nửa đàn ngựa tôi, thêm nửa bị lạc phía đơng Hai phần ba số ngựa lại thêm phần ba bi lạc phía tây Ba phần tư số ngựa cịn lại sau hai lần lạcđó thêm phần tư vừa bị trộm tối qua cịn lại ngựa cuối tơi cưỡi đây” Hỏi đàn ngựa ơng lão có con? Bài giải: Số ngựa ông lão cưỡi bị trộm là: (1 ) 4 5 4 (con) 1con Số ngựa không bị lạc hướng đông là: (5 ) 3 16 3 (con) Số ngựa đàn là: (16 ) 2 33 (con) Đáp số: 33 Kết luận: Sau học xong PPTNTC học sinh nhận dạng, giải PPTNTC Ngồi học sinh cịn có kĩ thiết kế đề toán theo dạng toán TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Mạnh Chung, Bài giảng mơn PPDH tốn Tiểu học 2, (Tài liệu lưu hành nội mơn Tốn khoa SPTH ĐH Hồng Đức thẩm định), Thanh Hóa, 2011 Trần Diên Hiển, Rèn kĩ giải toán Tiểu học, Nxb Đại học sư phạm, Hà Nội, 2008 Đỗ Trung Hiệu, Nguyễn Hùng Quang, Kiều Đức Thành, Phương pháp dạy học toán tập hai (phần thực hành giải tốn)-Giáo trình đào tạo giáo viên Tiểu học hệ CĐSP, Nxb Giáo dục, Hà Nội, 2000 45 Đáp số: 33 Đỗ Trung Hiệu, Vũ Dương Thuỵ, Các Phương pháp giải toán Tiểu học Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1999 Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 1, 2, 3, 4, Chuyên đề 10 PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ Những vấn đề cần ý 1.1 Khái niệm phương pháp đồ thị Trong số toán tiểu học, ta thường gặp đối tượng số nhóm đối tượng khác mà chúng có mối quan hệ Để giải toán dạng này, người ta dùng hình vẽ để biểu diễn mối quan hệ đối tượng Trong hình vẽ, đối tượng biểu diễn điểm( vịng trịn, vuông…) Mỗi quan hệ biểu diễn mũi tên Hình vẽ nói ta gọi đồ thị (hoặc sơ đồ, lưu đồ, lược đồ…) toán Mỗi điểm(hoặc vịng trịn vng…) gọi đỉnh, mũi tên gọi cạnh sơ đồ Khi thực lời giải cách sử dụng sơ đồ nói trên, ta gọi giải phương pháp ứng dụng đồ thị(hoặc sơ đồ, lưu đồ…) Cơ sở toán học phương pháp đồ thị Cơ sở toán học toán học phương pháp giải toán phương pháp ứng dụng đồ thị quy tắc tìm thành phần chưa biết phép tính Vì vậy, tốn dạng cho học sinh từ lớp Các lớp khác phân biệt vòng số kỹ thực phép tính khác 1.3 Các bước tiến hành giải toán phương pháp đồ thị Bước Tìm hiểu đề phân tích đề Bước Vẽ sơ đồ dùng hình vẽ để biểu diễn mối quan hệ đối tượng Bước Ứng dụng sơ đồ vào giải toán Ứng dụng phương pháp đồ thị để giải toán tiểu học 2.1 Ứng dụng phương pháp đồ thị để giải toán số học Đồ thị toán dạng có đỉnh số cho phải tìm, cạnh phép tốn, phép tốn xi theo điều kiện đề phép toán ngược cần thực để đến số cần tìm Ví dụ 1: Tìm số biết nhân số với cộng với 10 sau chia cho kết 60 Hướng dẫn giải: Theo đề ta thực liên tiếp phép tính sau với số cần tìm: × 2; + 10; :5 cho kết cuối 60 Từ ta có sơ đồ sau: 46 X2 + 10 :5 60 :2 - 10 X5 Như ta xác định số cần tìm cách thực liên tiếp phép tính sau với 60 × 5; -10; :2 Vậy số cần tìm là: ( 60 × – 10 ) : =145 Đáp số: 145 Ví dụ 2: Bình nghĩ số , đem số nhân với 1,8 cộng với 3,36 chia cho 2,5 kết 10,2.Hỏi Bình nghĩ số Hướng dẫn giải: - Theo đề Bình thực liên tiếp phép với số cần tìm: × 1,8 ; +3,36 ; :2,5 cho kết cuối 10,2 - Từ ta có sơ đồ sau: ×1,8 +3,36 :2,5 10,2 :1,8 -3,36 ×2,5 Như ta xác định số cần tìm cách thực liên tiếp phép tính sau với 10,2: × 2,5 ; -3,36 ; :1,8 Vậy số Bình nghĩ là: (10,2 ×2,5 -3,36 ) :1,8 =12,3 Đáp số: 12,3 2.2 Ứng dụng PP đồ thị để giải tốn có lời văn Ví dụ 3: Một người qua đường hỏi cậu bé chăn vịt: “Đàn vịt cậu có con”? Và trả lời: + Một nửa số vịt thêm nửa tắm mát sông số vịt lại thêm 4 số vịt lại thêm - kiếm ăn hồ kiếm ăn hồ - Còn vịt què nhốt lồng Hỏi đàn vịt cậu bé có con? Hướng dẫn giải: Ta tóm tắt tốn lưu đồ sau: 47 - :2 - :4 :5 - ? ×2 + ×4 ×5 + + - Một nửa số vịt tắm sông nghĩa số vịt lại số vịt ban đầu chia cho Sau thêm nửa nghĩa đem số vịt lại (nêu trên) trừ số vịt khơng tắm mát sơng Giải thích tương tự số vịt cịn lại Vậy số vịt đàn là: (((5+ 1 ) × + ) × + ) × 2) =211 (con) Đáp số: 211 Ví dụ 4: Trong phịng có người khách Họ bắt tay Hỏi người ta đếm bắt tay phòng khách? Hướng dẫn giải: Ta gọi người khách theo thứ tự A, B, C, D Ta có sơ đồ sau: A A B B C C D D Nhìn vào sơ đồ ta thấy: -Có bắt tay người A - Có bắt tay người B (mà khơng có người A) Có bắt tay người C (mà khơng có người A B) Vậy số bắt tay phòng khách là: + 2+ = ( bắt tay) Đáp số: bắt tay 2.3 Ứng dụng PP đồ thị để giải tốn suy luận lơgic Ví dụ 5: Ba thầy giáo tên Tốn, Lý, Hố dạy ba mơn Tốn, Lý, Hố Hỏi thầy dạy mơn gì, biết thầy dạy mơn Lý tuổi thầy Toán; thầy Lý, thầy Toán thầy dạy mơn Tốn q Hướng dẫn giải: Ta có sơ đồ sau: M Tốn T Tốn M Lí T Lí M Hóa T Hóa 48 Theo đề ta có: - Thầy Lý thầy Tốn thầy quê với thầy dạy Toán Vậy thầy dạy Tốn khơng có tên Lý Tốn Ta nối nét đứt đỉnh M.Toán với T.Toán M.Toán với T.Lý Ta nối nét liền đỉnh M.Toán với T.Hố - Thầy dạy mơn Lý tuổi thầy Tốn Vậy thầy dạy mơn Lý khơng có tên Tốn Vì ta nối nét đứt M.Lý với T.Hoá nối nét liền M.Lý với T.Lý Cịn lại cột M.Hố nối nét liền với T.Tốn Trả lời: - Thầy Hố dạy mơn Tốn - Thầy Lý dạy mơn Lý - Thầy Tốn dạy mơn Hố Ví dụ 6: Ba người mang quốc tịch Việt Nam, Thái Lan Trung Quốc ba nhà liền đường phố Mỗi nhà quét màu sơn khác người làm nghề khác Cho biết: + Nhà người Thái Lan quét ve xanh + Người Trung Quốc nhạc sĩ + Nhà người Việt Nam + Nhà quét ve xanh cạnh nhà quét ve vàng + Nhà văn nhà thứ kể từ bên trái Hỏi nhà văn quốc tịch gì? Ai nhà quét ve màu hồng Hướng dẫn giải: Theo ta có: Ve xanh Nhạc sĩ Ve vàng Nhà văn Ve hồng Trung Quốc Việt Nam Thái Lan + Nhà người Thái Lan quét ve xanh.Ta nối nét liền Thái Lan – ve xanh; nhà người Việt Nam giữa; nhà quét ve xanh cạnh nhà quét ve vàng Vậy nhà quét ve vàng nhà người Việt Nam Ta nối nét liền ve vàng - người Việt Nam 49 Nhà quét ve hồng người Trung Quốc Ta nối nét liền ve hồng – Trung Quốc + Nhà Văn nhà thứ kể từ bên trái; nhà người Việt Nam giữa; người Trung Quốc nhạc sĩ.Ta nối nét liền Trung Quốc- nhạc sĩ Vậy người Thái lan nhà văn Ta nối nét liền Thái Lan- nhà văn Trả lời: - Nhà văn có quốc tịch Thái Lan - Người Trung Quốc nhà quét ve hồng Kết luận Phương pháp đồ thị dạng toán thường sử dụng tiểu học Các lớp khác phân biệt vòng số kỹ thực phép tính khác nhau, giáo viên cần hướng dẫn học sinh dùng hình vẽ, sơ đồ phù hợp để biểu diễn mối quan hệ đối tượng TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Mạnh Chung, Bài giảng mơn PPDH tốn Tiểu học 2, (Tài liệu lưu hành nội mơn Tốn khoa SPTH ĐH Hồng Đức thẩm định), Thanh Hóa, 2011 Trần Diên Hiển, Rèn kĩ giải toán Tiểu học, Nxb Đại học sư phạm, Hà Nội, 2008 Đỗ Trung Hiệu, Nguyễn Hùng Quang, Kiều Đức Thành, Phương pháp dạy học toán tập hai (phần thực hành giải toán)-Giáo trình đào tạo giáo viên Tiểu học hệ CĐSP, Nxb Giáo dục, Hà Nội, 2000 Đỗ Trung Hiệu, Vũ Dương Thuỵ, Các Phương pháp giải toán Tiểu học Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1999 Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 1, 2, 3, 4, Chuyên đề 11 Phương pháp ứng dụng nguyên lý Đi-rích-lê Mở đầu Trong giải tốn có tốn cần áp dụng cơng thức ta giải Nhưng có tốn suy luận không cần áp dụng công thức mà phải dựa vào nguyên lý, vấn đề đưa lập luận đến kết luận Các tốn suy luận ứng dụng ngun lý Đi-rích-lê phổ biến Nguyên lý phát triển từ mệnh đề đơn giản gọi nguyên lý “quả cam” hay nguyên lý “chuồng chim bồ câu” Khái niệm ngun lý Đi-rích-lê Ngun lý Đi-rích-lê có hai dạng phát biểu sau: Dạng 1: Nếu có n vật chia thành k nhóm, với k < n, có nhóm chứa đồ vật 50 Ví dụ: Nếu có thỏ nhốt vào chuồng có chuồng nhốt thỏ Dạng 2:Không thể chia n vật thành k nhóm, với k < n , mà nhóm có đồ vật Ví dụ: Khơng thể nhốt thỏ vào chuồng mà chuồng có thỏ Ứng dụng ngun lý Đi-rích-lê để giải tốn Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng: Trong số tự nhiên tồn hai số mà hiệu chúng chia hết cho Phân tích: Khi chia số tự nhiên cho số dư 0,1,2,3,4 (như phép chia cho có số dư khác nhau) Khi chia số tự nhiên cho ta số dư Vì phép chia có số dư khác nên theo ngun lý Đi-rích-lê phải có hai số dư Vì hai số tự nhiên (là số bị chia hai phép chia có số dư nhau) có số dư chia cho 6, nên hiệu chúng chia hết cho Ngun lý Đi-rích-lê ứng dụng chỗ: Ta có số dư phép chia mà có số dư khác phép chia nên phải có số dư Từ phân tích ta có lời giải sau: Trong phép chia cho có số dư khác 0,1,2,3,4 Khi chia số tự nhiên cho phải có hai phép chia có số dư (theo ngun lý Đi-rích-lê) Vì hiệu hai số tự nhiên (là số bị chia hai phép chia này) chia hết cho Kết luận: Trong số tự nhiên ln có hai số, mà hiệu chúng chia hết cho Ví dụ 2: Có 19 can gồm loại: lít, lít 10 lít Có thể tìm can loại hay khơng? Phân tích: Nếu khơng có can loại có nghĩa loại can có không Bây ta để riêng can, 18 can lại ta chia thành nhóm, can loại ta xếp vào nhóm Như nhóm có can (vì 18 can khơng có can loại) Bây ta lấy can thứ 19 phải loại với nhóm nói Xếp vào nhóm nhóm có can loại Ngun lý Đi-rích-lê ứng dụng chỗ : Có 19 can gåm lo¹i chia thành nhóm phải có nhóm có nhiều can loại Từ phân tích ta đến lời giải Giải: Ta phân chia 19 can thành nhóm, can loại ta xếp vào nhóm Vì x = 18 < 19 nên, theo ngun lý Đi-rich-lê phải có nhóm có can loại Kết luận: Có thể tìm can loại 51 Ví dụ 3: Có hịn bi xanh, hịn bi đỏ để hịm kín Hỏi phải lấy bi để số bi lấy có hịn bi màu? Giải: Nếu lấy hịn bi bi khác màu ( bi xanh bi đỏ ) Nếu lấy bi ta thấy: Vì có hai màu khác nên phải có hai hịn bi màu ( theo nguyên lí Đi-rích-lê) Kết luận: Vậy phải lấy hịn bi để số bi lấy có hịn bi màu Nguyên lí Đi-rích-lê ứng dụng chỗ: Có hịn bi muốn lấy hịn bi màu ta phải lấy bi (hay nhiều bi ) Ví dụ 4: Trường tiểu học Ba Đình có 380 học sinh Chứng tỏ có học sinh có ngày sinh nhật? iải: Ta chia 380 học sinh thành 365 nhóm, em có ngày sinh nhật xếp vào nhóm Vì x 365 < 380 nên theo nguyên lí Đi-rích-lê phải có nhóm có em sinh ngày Nguyên lí Đi-rich-lê ứng dụng ch: Cú 380 hc sinh có 380 ngày sinh nhật mµ năm cã 365 ngày 366 ngày có học sinh có ngày sinh nhật Ví dụ 5: Trên giá sách có sách Toán, sách Tiếng Việt, sách Đạo Đức Phải lấy sách để sách khác loại? Giải: Nếu lấy sách sách có loại (mỗi loại ) Nếu lấy sách, thấy: phân chia sách thành nhóm, sách loại xếp vào nhóm Vì loại có x = < nên phải có nhóm Vậy : Ta loại khác Nguyên lý Đi-rich-lê ứng dụng chỗ: có sách gåm loại khác nhau: sách Toán, sách Tiếng Việt, sách Đạo Đức mà muốn lấy sách khác loại phải lấy sách Kết luận Giải toán ngun lí Đi-rích-lê địi hỏi phải lập luận chặt chẽ sáng tạo Các tình vận dụng phong phú đa dạng Để có kĩ giải tốn phương pháp vận dụng nguyên lí Đi-rích-lê trước hết cần nắm cách phát biểu nguyên lí Đi-rích-lê, đặc biệt qua tình vận dụng cụ thể TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Mạnh Chung, Bài giảng mơn PPDH tốn Tiểu học 2, (Tài liệu lưu hành nội mơn Tốn khoa SPTH ĐH Hồng Đức thẩm định), Thanh Hóa, 2011 52 Đáp số: 33 Trần Diên Hiển, Rèn kĩ giải toán Tiểu học, Nxb Đại học sư phạm, Hà Nội, 2008 Đỗ Trung Hiệu, Nguyễn Hùng Quang, Kiều Đức Thành, Phương pháp dạy học toán tập hai (phần thực hành giải tốn)-Giáo trình đào tạo giáo viên Tiểu học hệ CĐSP, Nxb Giáo dục, Hà Nội, 2000 Đỗ Trung Hiệu, Vũ Dương Thuỵ, Các Phương pháp giải toán Tiểu học Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1999 Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 1, 2, 3, 4, Chuyên đề 12 PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH Khái niệm phương pháp diện tích 1.1 Phương pháp diện tích Phương pháp diện tích phương pháp giải tốn, dùng để giải tốn tính diện tích mà khơng sử dụng trực tiếp cơng thức diện tích hình 1.2 Cơ sở tốn học phương pháp diện tích Khi giải tốn PP diện tích, người ta thường sử dụng tính chất sau đây: Nếu hình chia thành hình nhỏ tổng diện tích hình nhỏ diện tích hình lớn ban đầu Nếu ta ghép hình nhỏ lại để hình lớn diện tích hình lớn thu tổng diện tích hình nhỏ đem ghép lại Nếu hai hình có diện tích bớt phần chung hai phần cịn lại có diện tích Nếu ta thêm vào hai hình có diện tích phần chung ta nhận hai hình có diện tích Khi số đo cạnh đáy khơng đổi diện tích chiều cao tam giác hai đại lượng tỉ lệ thuận Khi chiều cao khơng đổi số đo diện tích số đo cạnh đáy hai đại lượng tỉ lệ thuận Khi số đo diện tích khơng đổi số đo cạnh đáy chiều cao tam giác hai đại lượng tỉ lệ nghịch Nếu hai tam giác có số đo cạnh đáy chiều cao diện tích chúng Nếu hai tam giác có diện có số đo cạnh đáy có chiều cao 10 Nếu hai tam giác có diện tích có chiều cao có số đo cạnh đáy nhau… Sử dụng phương pháp diện tích để giải tốn Hình học nhằm rèn luyện, phát triển lực suy luận chứng minh cho học sinh Tiểu học 2.1 Các tốn tính diện tích, so sánh diện tích 53 Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có diện tích 200 cm2 Kéo dài AB đoạn BM AB, kéo dài BC đoạn CN BC kéo dài CA đoạn AP AC Nối điểm M, N, P Tính diện tích tam giác MNP Giải: Tam giác ABP tam giác ABC có chung đường cao hạ từ B AP = AC nên S ABP S ABC 200cm (1) Tam giác BPA tam giác BPM có chung đường cao hạ từ P AB = BM nên S BPM S ABP S ABC 200cm (2) 2 Từ (1) (2) suy S ABM S PBA S PBM 200cm 200cm 400cm 3 Tương tự ta có S BMN SCNP 400cm Từ (1), (3) (4) ta có: S MNP S ABC S PMA S BMN SCNP 200cm 400cm 400cm 400cm 1400cm Bằng suy luận tương tự cách giải tốn trên, học sinh giải toán sau: “ Cho tứ giác ABCD, kéo dài AB đoạn BM AB, kéo dài BC đoạn CN BC, kéo dài CD đoạn DP CD, kéo dài DA đoạn AQ DA Nối điểm M, N, P, Q Tính diện tích tứ giác ABCD, biết diện tích tứ giác MNPQ 20 cm2” Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD, AB lấy điểm M, CD lấy điểm N AN cắt DM I, CM cắt BN H So sánh diện tích tứ giác IMHN với tổng diện tích hai tam giác AID HBC Giải: Tam giác AND tam giác MDN có chung cạnh đáy DN đường cao hạ từ A xuống DN đường cao hạ từ M xuống DN (do AB song song với DC) nên S ADN S MDN S AID SMIN 1 (cùng bớt diện tích DIN) Tương tự có: S MNC S BNC S MNH S BHC (cùng bớt diện tích NHC) Từ (1) (2) suy ra: S INHM S DIA SCHB Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD, cạnh AB lấy hai điểm M N cho AM = MN = NB, cạnh CD lấy hai điểm P Q cho CP = PQ = QD So sánh diện tích tứ giác MNPQ với diện tích tứ giác ABCD” Giải: Ta có: SMNPQ = SMQN + SQNP = SAQN ´ 1 1 + SQNC ´ = SAQCN ´ = ( SAQC + SACN ) ´ 2 2 54 ỉ 2ư 1 =ỗ S + SACB ữ ữ = ( SADC + SACB ) = SABCD ỗ è ADC ø 3 S = S ´ Vậy ABCD MNPQ Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, N thuộc AC cho AC AN ; MN kéo dài cắt BA P a Biết diện tích tam giác APN 100 cm2, tính diện tích tam giác ABC b So sánh PN với NM Giải: a Vì M trung điểm BC nên: S PBM S PCM ; S NBM S NCM S PBN SPCN Vì NC = AN nên: S PNC S PAN 300 cm2 S PBN 300 cm ; S ABN 200 cm Vì AC AN S ABC S ABN 800 cm2 b Vì AC AN NC AN S BNC S BNA 600 cm S BNM SCNM 300 cm S PNC SCNM 300 cm PN NM 2.2 Các tốn tính độ dài, so sánh độ dài Ví dụ 1: Cho tam giác vng có hai cạnh góc vng cm cm Tính cạnh huyền tam giác Giải: Cắt tam giác vng có cạnh góc vng cm cm ghép lại với hình vẽ bên, ta có: Hình vng nhỏ có cạnh cm Vậy hình vng nhỏ có diện tích cm2 Hình vng to có diện tích tổng diện tích tam giác diện tích hình vng nhỏ Vậy diện tích hình vng to là: 6 + = 25 (cm ) Suy cạnh hình vng to cm (vì 5 = 25) Tức cạnh huyền tam giác vuông có độ dài cm Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, BC lấy M cho MC = 2×MB, N điểm AC cho AN = NC4 Kéo dài MN cắt BA P So sánh BA với BP Giải: Vì AN = NC4 nên S APN SCPN S AMN SCMN , suy S APM SCPM 1 Vì MC = 2MB nên S PNC SPNB Từ (1) (2) suy S APN S BPN S ABN S BPN BA BP Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm BC, O trung điểm AM BO kéo dài cắt AC D, CO kéo dài cắt AB E 55 Chứng minh: AB = AE 3; AC = AD Giải: MB = MC Þ AO = OM Þ S S BOM AOB = S COM ( 1) = S MOB; S AOC = S MOC (2) Từ (1) (2) suy S BOC = S ABO ´ Do đường cao hạ từ C đến BD gấp đôi đường cao hạ từ A đến BD Suy ra: SCOD = S AOD ´ Þ CD = DA ´ Þ AC = AD ´ Tương tự ta có AB = AE 2.3 Các tốn khác Ví dụ (Bài toán chứng minh hai đường thẳng song song): Cho tam giác ABC có M, N thuộc AB AC cho AB = AM × 3, AC = AN × a Tính diện tích tam giác AMN, biết tam giác ABC có diện tích 90 cm2 b Tứ giác MNCB hình gì? Vì sao? Giải: 1 3 S ABC , khoảng cách a S AMN S ABN S ABC 90 : 10 (cm2) b S BNC SBMC từ M đễn BC khoảng cách từ N đến BC, nên MN//BC, hay BMNC hình thang Ví dụ (Bài toán chứng minh hai đường thẳng song song): Cho tam giác ABC có M, N thuộc AB AC cho BM = AM × 2, CN = AN × a Chứng minh đường thẳng MN song song với đường thẳng BC b Cho biết độ dài đoạn thẳng MN cm, tính độ dài cạnh BC Giải: a Vì BM = AM × 2, CN = AN × 2, nên S BNC S BMC S ABC Do khoảng cách từ M đến BC khoảng cách từ N đến BC, nên MN//BC b Vì BM = AM × 2, CN = AN × nên 2 S BMN SCMN S ABC S ABC 3 2 Do SBMC : SBMN = SABC : SABC = 3 Tam giác BMC tam giác BMN có chung đường cao nên cạnh đáy chúng tỉ lệ thuận với diện tích chúng, tức BC = MN = = (cm) 56 Ví dụ (Bài tốn dựng hình): Cho tam giác ABC, M điểm BC (M khác trung điểm BC) Hãy vẽ qua M đường thẳng cho đường thẳng chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích nhau? Giải: Giả sử BM < MC, gọi N trung điểm BC Từ N vẽ NP // AM, nối M với P, MP đoạn thẳng cần tìm Thực vậy, tam giác ABN có diện tích 1/2 diện tích tam giác ABC Gọi I giao AN MP Vì NP//AM nên diện tích tam giác AMN diện tích tam giác AMP, suy diện tích tứ giác APMB diện tích tam giác ANB 1/2 diện tích tam giác ABC Ví dụ (Bài tốn dựng hình): Cho tam giác ABC điểm M AB cho AM = MB Hãy chọn điểm N AC cho diện tích tứ giác MNCB gấp lần diện tích tam giác AMN Giải: Vì AM = MB nên S AMC S ABC 1 Lại có: S BMNC S AMN S AMN S ABC Từ (1) (2) ta có: 1 S AMN S AMC AN AC AC AN 3 Vậy phải chọn điểm N AC cho AC = AN 3, đáp ứng yêu cầu tốn Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi O giao điểm ba đường cao AA 1, BB1, CC1 OA OB1 OC1 Tính tổng AA + BB + CC 1 Giải: Tam giác OBC tam giác ABC có chung đáy BC nên: OA1 S = OBC ( 1) AA1 SABC Tương tự ta có: OB1 SOCA OC SOAB = ; = ( 2) BB1 SBCA CC SCAB OA1 OB1 OC SOBC SOCA SOAB SABC =1 Từ (1) (2) ta có: AA + BB + CC = S + S + S = S 1 ABC BCA CAB ABC 57 Từ cách giải tốn này, ta hướng dẫn học sinh giải toan sau: Cho tam giác ABC, O điểm tam giác Kéo dài AO, BO, CO, chúng OA OB1 OC1 cắt BC, CA, AB A1, B1, C1 Tính tổng AA + BB + CC 1 Ngồi ví dụ trên, giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích để giải tốn hình học chứng minh đường thẳng đồng qui, chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh dãy tỉ số (Định lí Talet)… Do khn khổ viết, chúng tơi giới thiệu số ví dụ rèn luyện, phát triển lực suy luận chứng minh cho học sinh Tiểu học thơng qua giải tốn hình học phương pháp diện tích Qua ví dụ cụ thể cho thấy giáo viên quan tâm tới việc bồi dưỡng lực suy luận chứng minh cho học sinh Tiểu học phương pháp diện tích cơng cụ hữu hiệu để đạt mục tiêu TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Mạnh Chung, Bài giảng mơn PPDH tốn Tiểu học 3, (Tài liệu Bộ mơn Tốn - khoa SPTH-ĐHHĐ thẩm định), 2010 Trần Diên Hiển, Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Tiểu học, Nxb Đại học sư phạm, Hà Nội, 2009 Đỗ Trung Hiệu, Đỗ Đình Hoan, Vũ Dương Thuỵ, Vũ Quốc Chung, Phương pháp dạy học mơn Tốn Tiểu học, Nxb Đại học sư phạm, Hà Nội, 2009 Sách bồi dưỡng sinh viên giáo viên đổi Chương trình SGK Tốn Tiểu học Sách giáo khoa Toán 1, 2, 3, 4, 58
Ngày đăng: 09/12/2022, 17:33
Xem thêm:
