Đề thi Dự trữ môn Toán 3 khối A - Đề chuẩn của Bộ.
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2006 (ĐỀ DỰ TRỮ) Đề DỰ BỊ 1 – khối A – 2006 Phần Chung Cho Tất Cả Các Thí Sinh Câu I (2 đ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số y = xx x ++ + 2 25 1 (C) 2) Dựa vào đồ thò (C), tìm m để phương trình sau đây có hai nghiệm dương phân biệt x 2 + 2x + 5 = (m 2 + 2m + 5)(x + 1) Câu II (2 đ) 1) Giải phương trình: cos3x cos 3 x – sin3x sin 3 x = +232 8 2) Giải hệ phương trình: ()() (, ) ()( ) xyyxy x yR xyx y ⎧ ++ + = ⎪ ∈ ⎨ ++−= ⎪ ⎩ 2 2 14 12 Câu III (2 đ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho hình lăng trụ đứng ABC A BC ′ ′′ có A(0, 0, 0) ; B(2, 0, 0) ; C(0, 2, 0) ; A ′ (0, 0, 2) 1) Chứng minh A ′ C vuông góc với BC. Viết phương trình mp (AB C ′ ) 2) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B C ′ ′ trên mp (AB C ) ′ Câu IV (2 đ) 1) Tính tích phân: I = dx x x++ + ∫ 6 2 21 41 2) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện: x 2 + xy + y 2 ≤ 3. Chứng minh rằng: xxyy − −≤ − − ≤ − 22 43 3 3 43 3 Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu Va hoặc câu Vb Câu Va (2đ) ) 1 Trong mp với hệ trục Oxy, cho elíp (E): xy + = 22 1 12 2 Viết phương trình hypebol (H) có hai đường tiệm cận là y = ± 2x và có hai tiêu điểm là hai tiêu điểm của elíp (E) 2)Áp dụng khai triển nhò thức Newton của (x 2 + x) 100 , chứng minh rằng: CC C ⎞ ⎛⎞ ⎛ −+− ⎜⎟ ⎜⎟ 99 100 0 1 99 11 1 100 101 199 C ⎛ ⎞ ⎛⎞ + = ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ 198 199 100 100 100 100 1 200 0 2 2 2 ập k 1) ải phươ 2) o h hộp ⎜⎟ ⎝⎠ 100 2 ( k n C là số tổ hợp ch của n phần tử ) Câu Vb (2 đ) Gi bất ng trình: log x + 1 (-2x) > 2 Ch hìn đứng ABCD. A BCD ′ ′′′ có các cạnh AB = AD = a, A A ′ = a 3 2 và góc BAD = 60 0 . Gọi M và N ần lượt là trung điểm l ùc cạnh A D ′ ′ và A B ′ ′ . Chứng của ca minh A C ′ vuông góc với mp ùp A.BDMN (BDMN). Tính thể tích khối cho Bài giải 1/ KS y= x x + + 2 25x+ 1 , MXĐ: D=R/ { } − 1 y’= () xx+− 2 23 , y x + 2 ’=0 ⇔ 1 x=1 hay x=-3 TC: x=1, y=x+1 -3 -1 x - ∞ 1 +∞ y’ + 0 - - 0 + y -4 + ∞ +∞ -∞ - ∞ 4 2/ Tìm m để pt có 2 nghiệm d ơng phân biệt. Vì x >0, pt đã cho ư ⇔ xx++ + 2 2 25 25 mm x =+ +1 Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thò hàm xx x ++ + 25 1 , x > 0, với đường thẳng y= 2 mm + + 2 25 . Từ BBT và y(0) ta suy ra ⎪ ⎩ ≠− số y = của (C) ycbt ⇔ mm ⎧ ⎪ < + + < <=> ⎨ m m − << 1 20 II 2 4255 Câu +232 1/Giải pt: cos3x.cos 3 x-sin3x.sin 3 x= 8 (1) (1) 3x(c 3cos in3x(3sinx sin3x)= +232 2 ⇔ cos os3x+ x)-s - ⇔ cos 2 3x+sin 2 3x+3(cos3x.cosx-sin3x.sinx)= + 2 32 1 cos4x= ⇔ 2 π 4 ⇔ x= k π π ±+ 16 =cos 2 2 2/ Gỉai hệ phương trình )( ) x ()yy x y ( x yx y ⎧ ++ ⎪ ⎨ + = + +− = 2 2 14 12 (I) *Khi y=0 thì (I) ⎪ ⎩ ⇔ )( )( x x x ⎧ + ⎪ ⎨ ⎪ + −= ⎩ = 2 2 1 120 0 (VN) *Khi y 0 chia hai pt cho y (I) ≠ ⇔ () x yx ⎧ + ++ ⎪ y x yx −= ⎪ ⎨ + ⎪ y + −= ⎪ 2 2 22 1 21 ⎩ 1 ()() x yx y yx yx ⎧ + ++−= ⎪ ⎨ ⎪ + −−+−+= ⎩ 2 2 1 22 22 21 ⇔ 0 ng và tích ) ( do pt tổ ⇔ yx x x +−= ⎧ ⎨ += − ⎩ 2 21 13 ⇔ x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 1 2 hay x y = − ⎧ ⎨ = ⎩ 2 5 Cách khác Thay y của pt 2 vào pt 1 ( I) ()( )()()( ) ()( ) x x yx yx x yx xyxy ⎧ ++ + + − + = + + − ⎪ ⇔ ⎨ ++−= ⎪ ⎩ 22 2 2 11 2 41 2 12 ta có )2 ( chia 2 vế của pt 1 cho 1 + x 2 ) ) 12 ()()( ()( ) yx yx yx xyxy ++− += +− ⎧ ⇔ ⎨ ++−= ⎩ 2 124 12 ()( )( ()( ) yx yx yx xyxy + +− +−+ = +− ⎧ ⇔ ⎨ ++−= ⎩ 2 122242 ⇔ yx x x ⎨ − 2 ⇔ + ⎧ −= += 21 13 ⎩ x y = ⎧ ⎨ = ⎩ 2 hay y 1 x = − ⎧ ⎨ = ⎩ 5 2 Câu III. 1/CM: A’C BC’. Viết phương trình mp(ABC’) ó ( ,,)− ⊥ Ta c / (,, ), 'AC BC=− = uuuur u uuur 02 2 222 ''. ' .( ) A .() .() 'CBC BC=− ⊥0 2 uuuur uuuur r uuuur . Vì A’C AC+ − =⇔22 22 0 uuuu ⊥ BC’, A’ )=−02 2 C ⊥ AB=> A’C ⊥ (ABC’) ⇒ 'AC uuuur là PVT của mp(ABC’) (,, ⇒ pt(ABC’): 0.(x-0)+2(y-0)-2(z-0) = 0 ⇔ y - z = 0 2/Viết phương trình hình chiếu vuông góc của B’C’ lên mp(ABC’) Ta có ''BC= uuuuur uuur ( ,,) BC=−220 . Gọi ( α ) là mp chứa B’C’ và ⊥ (ABC’). h hiếu vuông góc của B’C’ lên mp(ABC’) l iao tuyến của K i đó hình c à g ( α ) và (ABC’) ( α ) có PVT ⎡⎤ ==−−−=−444 4111 uur uuuuur uuuur '',' ( , , ) (,,)nBCAC α ⎣⎦ ⇒ pt( α ):1(x-0)+1(y-2)+1(z-2)=0 ⇔ x+y+z - 4=0. nh chiếu B’C’ lên (ABC’) là xyz yz ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ + +−= − Vậy pt hì =0 40 Câu IV 1/ Tính I= dx x x++ + 2 21 41 ∫ 6 Đặt t= x + 41 ⇒ t 2 =4x+ x=1 ⇒ t − 2 1 4 , tdt 2 dx= .Đổi cận : t ( 2) = 3 ; t ( 6 ) = 5 I= ()tdt+− 5 11 () (ttt =− +++ ∫∫∫ 2 333 11 ) dt dt 55 1 = 2 ln lnt t ⎡⎤ ++ = − ⎢⎥ + ⎣⎦ 3 13 1 1212 5 1 2/Chứng minh: xxy y−−≤−−≤ − 22 43 3 3 43 3 với x 2 +xy+y 2 Đặt A= x 2 +xy+y 2 , B= x 2 -xy-3y 2 *Nếu y= theo û thiết A=x0 thì gia 2 ≤ 3 B=x 2 . Do đó ⇒ B−−≤≤ <43 0 43≤ −3 3 3 (ĐPCM) : ()Ax xy y t t BA x xy y t t − −− == − + ++ 222 222 33 1 *Nếu y ≠ 0 Đặt t= x y .Ta có + Ta tìm tập giá trò của ()() tt tu −− uutu tt = ⇔− ++ 2 2 3 11 ()vì và b=au=−1 ++= ++ 2 30 1 +1 không đồng thời bằng 0 nên miền giá trò củ la u ø Δ ≥⇔0 −−343 3 ≤ u ≤ −+343 3 a u . A.u và Ta có B = 0 ≤ A ≤ 3 −3 ⇒ −4 B 3 ≤ ≤ −+343 Câu Va 1/(E): xy 22 m là +=1 12 2 có hai tiêu điể ( (,F− 1 10,), )F 2 10 0 0 (H) có cùng tiêu điểm với (E) xy 22 ab −= 22 1 vơ ⇒ (H): ùi a 2 +b 2 =c 2 =10 (1) (H) có hai tiệm cận () b yx x a b ⇔==>22 ba =± =± = 2 2 Từ (1),(2) suy ra a 2 =2,b 2 =8 pt(H): a ⇒ xy −= 22 1 28 2/ Ta có () x xCxCxCx Cx+= + + ++ 2 100 0 100 1 101 2 102 100 200 lấy 100 100 100 100 đạo hàm hai vế, cho x= - 1 2 và nhân hai vế cho (-1).Ta có kết quả: ( ) () ()CC C C+− = 100 100 100 100 199 00 2 2 2 ) (− + 1 99 100 99 100 198 199 100 11 1 1 101 2 0 2 Vb 0 Câu x + 1/Giải pt: log x ( ) − > 1 22 (1). Với ĐK: -1< x < 0 0 < x + 1 < 1 ⇒ (1) và -1< x <0 < ⇔ log ( ) log ( ) xx xx ++ −>= + 2 11 22 1 ⇔ x xx++> ⎩ 2 410 − < ⎧ ⎨ 10 ⇔ -2+ 3 < x < 0 2/ Gọi O là tâm hình thoi ABCD S là điểm đối xứng của A qua A’. Khi đó S,M,D thẳng hàng và M l SD ; S,N,B thẳng hàng và N là trung của SB à trung điểm của điểm có AB=AD= a B ADΔ B AD =60 0 ⇒ B ADΔ đều AO= ⇒ a 3 2 , AOAC=2 = a 3 =SA a 3 =AO Hai tam gi 2 a âng ø A n ùc vuoCC’= SAO va CC’ bằng hau ⇒ '' A SO CAC A>C SO==⊥ (1) Vì D BD AC và B ⊥ ⊥ AA’ C’ ( Từ (1) và (2) suy ra AC’ ⇒ BD ⊥ (AC C’A’) ⇒ BD ⊥ A 2) ⊥ (BDMN) đó: V ABDMN = 3 4 1 V SABD ( vì S S Do MN = 4 S SBD ) . ABD aa SA S a =3 4 16 = = 2 3 31 1 3 3 43 4 Hà Văn Chương - Phạm Hồng Danh - Lưu Nam Phát ( Trung Tâm Luyện Thi Vónh Viễn ) . + 232 1/Giải pt: cos3x.cos 3 x-sin3x.sin 3 x= 8 (1) (1) 3x(c 3cos in3x(3sinx sin3x)= + 232 2 ⇔ cos os3x+ x)-s - ⇔ cos 2 3x+sin 2 3x +3( cos3x.cosx-sin3x.sinx)=. − 22 43 3 3 43 3 với x 2 +xy+y 2 Đặt A= x 2 +xy+y 2 , B= x 2 -xy-3y 2 *Nếu y= theo û thiết A=x0 thì gia 2 ≤ 3 B=x 2 . Do đó ⇒ B−−≤≤ <43