de thi hoc sinh gioi cap tinh toan 9 nam 2020 2021 so gddt binh dinh

BỘ ĐỀ THI HSG BD HSG – Toán SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP Năm học: 2020 – 2021 Mơn: TỐN – Ngày thi: 18/03/2021 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thức oOo -Bài (5.0 điểm) x  x 1  x  x 1  2b  c 4 Cho số thực a , b , c thỏa mãn a Chứng minh phương trình: ax  bx  c  ln có nghiệm Giải phương trình: Bài (6.0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình:  x  y  x  y    x  y  Cho 69 số nguyên dương phân biệt không vượt 100 Chứng minh chọn từ 69 số số cho chúng có số tổng số lại Bài (4.0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB , nửa đường tròn O  lấy điểm C cho cung BC nhỏ cung AC , qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn O  cắt AB D Kẻ CH vng góc với AB  H  AB  , kẻ BK vuông góc với CD  K  CD  ; CH cắt BK E a) Chứng minh BK  BD  EC b) Chứng minh BH AD  AH BD Bài (3.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A M điểm di động BC ( M khác B , C ) Hình chiếu M lên AB , AC H K Gọi I giao điểm BK CH Chứng minh đường thẳng IM qua điểm cố định Bài (2.0 điểm) Tìm tất giá trị x để:  x    x   x   4  x  x x  x  30  HẾT  GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang BỘ ĐỀ THI HSG BD HSG – Toán ĐÁP ÁN THAM KHẢO – HSG TỐN – BÌNH ĐỊNH 2021 Bài (5.0 điểm) x  x 1  x  x 1  2b  c 4 Cho số thực a , b , c thỏa mãn a Chứng minh phương trình: ax  bx  c  ln có nghiệm  x 1    Điều kiện:  x  x 1    x  x 1   Giải phương trình:  x  Ta có x  x 1    vơ nghiệm Do biết đổi phương trình sau:   x  x 1 x  x 1  x  x 1    x  x 1   x  x 1 Cách 1:          x   x  x 1 1   x  x 1     x  (thỏa ĐK)  x 1  x  x  2    x  x 1   x  x 1     x  x 1 1   Vậy nghiệm phương trình x  Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: VT   VP Đẳng thức xảy khi:  x  1  x  x 1  x  x 1     x  (thỏa ĐK)  x 1  x  x  x  x 1  Vậy nghiệm phương trình x  2b  c ac  b  2bc  c  b  c   với b , c Ta có   b  ac  b  a  Vậy phương trình cho ln có nghiệm Bài (6.0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình:  x  y  x  y    x  y  Cho 69 số nguyên dương phân biệt không vượt 100 Chứng minh chọn từ 69 số số cho chúng có số tổng số cịn lại Ta có:  x  y  x  y    x  y 3  3x y  x y  xy  3xy  y  y   y  y   x  x  y  x  x     2   2 y   x  x  y  x  x   Với y  , ta được: x  x với x   Do trường hợp phương trình có vơ số nghiệm nguyên  x ; y  k ;0 với k    Với y   x  x  y  x  x  , ta có:  y  x  x  x  24 x  x  x  x  1  x  8 x  x 4 Trường hợp 1: x  1 phương trình có nghiệm kép y    1 4 GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang BỘ ĐỀ THI HSG BD HSG – Toán Trường hợp 2: x  1 Để phương trình có nghiệm ngun  số phương, suy x  x  8  a với a     x   a  x   a   16 Lập bảng, tìm  x ; a   9;  3, 8;0, 9;3, 1;3, 0;0, 1;3 Do x  1;0;8;9 - Với x  y  - Với x  1 y  1 - Với x  y  10  y  6 - Với x    y  21 Do trường hợp nghiệm phương trình là:  x ; y   0;0, 1; 1, 8;10, 9;  6, 9;  21  Vậy nghiệm nguyên phương trình là:  x ; y    x ; y   1;1, 8; 10, 9; 6, 9;  21, k ;0 (với k   ) Giả sử 69 số là:  a1  a2  a3   a69  100 Suy a1  32 ; a3  a2  Khi suy ra:   a1  a3  a1  a4   a1  a69  132 1 ; dãy có 67 số hạng   a3  a2  a4  a2   a69  a2  98 2 ; dãy có 67 số hạng Do dãy 1 dãy 2 có 134 số hạng nhận giá trị từ đến 132 (có 132 giá trị) Theo ngun tắc Đirichlet suy có số hạng giá trị Giả sử a1  am  an  a2 (với  m , n  69 m , n   ), suy a1  a2  am  an  Vậy từ 69 số nguyên dương phân biệt không vượt 100 chọn số cho chúng có số tổng số cịn lại Bài (4.0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB , nửa đường trịn O  lấy điểm C cho cung BC nhỏ cung AC , qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn O  cắt AB D Kẻ CH vng góc với AB  H  AB  , kẻ BK vng góc với CD  K  CD  ; CH cắt BK E a) Chứng minh BK  BD  EC b) Chứng minh BH AD  AH BD a)  Tam giác CDE có BH  CE ; EK  CD nên B trực tâm CDE  BC  ED 1  Ta có:   HCB  (cùng phụ ABC  ) HAC   BCD  (góc tạo tiếp tuyến dây cung – góc HAC  ) nội tiếp chắn cung BC   HCB  Do đó: BCD Suy BC tia phân giác CDE 2 Từ 1 2 suy ra: CDE cân C   BC đường trung trực ED  BE  BD Khi đó: BK  BD  BK  BE  EK  EC (vì EKC vng K ) GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang BỘ ĐỀ THI HSG BD HSG – Toán b) Gọi I giao điểm BC ED  Ta có: BH AD  BH  AB  BD   BH AB  BH BD - BH AB  BC (do ABC vuông C CH đường cao) - BH BD  BI BC (do BHC  BID ) Suy ra: BH AD  BH AB  BH BD  BC  BI BC  BC  BC  CI   CB.CI 3  Ta có: AH BD  AC ID (do AHC  BID ) 4  AC ID  CB.CI (do ABC  CDI ) 5  Từ 3 , 4  5 suy ra: BH AD  AH BD Bài (3.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A M điểm di động BC ( M khác B , C ) Hình chiếu M lên AB , AC H K Gọi I giao điểm BK CH Chứng minh đường thẳng IM qua điểm cố định  Dựng hình vng ABCD Gọi E giao điểm HM CD ; F giao điểm DM AC  Vì BHM vng cân H ; MKC vng cân K tứ giác AHMK hình chữ nhật nên: BH  HM  AK CK  MK  AH   AKB  Chứng minh được: BDH  ABK (c – g – c), suy BHD   ABK   90 , nên BHD   ABK   90  Lại có AKB  BK  HD 1  Tương tự, chứng minh được: CH  DK 2 Từ 1 2 suy ra: I trực tâm DHK   DI  HK    DFC  (so le trong) 3  Ta có: ME  AC nên DME Vì AHMK hình chữ nhật, CEMK hình vng nên HA  MK  ME  CK  CE Lại có: CD  CA nên CA  CK  CD  CE  AK  DE   DME  4  Khi đó: AHK  EMD (c – g – c)   AHK   DFC  mà AHK   AKH   90 nên DKC   AKH   90 Từ 3 4  , suy ra: AHK Do DM  HK  Từ   , suy ra: D , I , M thẳng hàng; mà D điểm cố định  Do đường thẳng IM ln qua điểm cố định Bài (2.0 điểm) Tìm tất giá trị x để:  x  24  x   x   4  x  x x  x  30 Điều kiện:  x  Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:   4  x  24  x   x   x  x 2   x 1 x  1 1 x  1 x 1 x 2    2 GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang BỘ ĐỀ THI HSG  BD HSG – Toán  x 1 1  x 1 7x 4x    2  x x  27 x  27  x suy x x  x  27 Cộng vế theo vế ta được:  x  24  x   x   4  x  x x  x   x 1  x   27  30 4 Do bất phương trình cho ln với  x   Vậy nghiệm bất phương trình là:  x   CHÚC CÁC EM HỌC TỐT  GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang ... 8;10, ? ?9;  6, ? ?9;  21  Vậy nghiệm nguyên phương trình là:  x ; y    x ; y   1;1, 8; 10, ? ?9;  6, ? ?9;  21, k ;0 (với k   ) Giả sử 69 số là:  a1  a2  a3   a 69  100... 32 ; a3  a2  Khi suy ra:   a1  a3  a1  a4   a1  a 69  132 1 ; dãy có 67 số hạng   a3  a2  a4  a2   a 69  a2  98 2 ; dãy có 67 số hạng Do dãy 1 dãy 2 có 134 số hạng... giác CDE 2 Từ 1 2 suy ra: CDE cân C   BC đường trung trực ED  BE  BD Khi đó: BK  BD  BK  BE  EK  EC (vì EKC vng K ) GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang BỘ ĐỀ THI