de thi chon hoc sinh gioi toan 9 nam 2016 2017 so gddt ninh binh

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: TỐN Ngày thi: 21/02/2017 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu, 01 trang Câu (4,0 điểm): Cho biểu thức: = M x − 16 x + x +1 với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 16 + + x −6 x +8 2− x x −4 a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm x để M = c) Tìm số nguyên x để M số nguyên Câu (6,0 điểm): Giải phương trình, hệ phương trình sau: a) x + 2x + 2x + 2x + x + 2x + 10 = b) x + = x + x + 10 , x, y số nguyên dương c) x + 2y + 2xy − 4x − 3y − =  4x + (1 + )=  x + y +1  d)   4y + (1 − )=  x + y +1 Câu (2,0 điểm): Cho phương trình: x + 2(m − 1)x + m + 2m + = ( x ẩn; m tham số khác 0) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x thỏa mãn: 10 + + = x + x x1x 9m Câu (6,0 điểm): Cho đường tròn tâm O, bán kính R có đường kính AB cố định C điểm thay đổi đường tròn (C khác A B) Gọi H hình chiếu C AB, I trung điểm AC Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến A đường tròn (O; R) M, đường thẳng MB cắt đường thẳng CH K a) Chứng minh điểm C, H, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn (O;R) c) Chứng minh IK song song với AB d) Xác định vị trí điểm C để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn Tìm giá trị Câu (2,0 điểm): Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = nhỏ biểu thức Q = a + b3 + c3 HẾT Họ tên thí sinh : Số báo danh:…………… Họ tên, chữ ký: Giám thị 1: Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: TỐN - Ngày thi 21/2/2017 (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) I Hướng dẫn chung Bài làm học sinh đến đâu cho điểm đến Học sinh sử dụng kết câu trước làm câu sau Đối với hình, vẽ sai hình khơng vẽ hình khơng cho điểm Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho điểm đủ phần hướng dẫn, thang điểm chi tiết tổ chấm thống Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch đảm bảo thống thực toàn hội đồng chấm Điểm toàn thi lẻ đến 0,25 II Hướng dẫn chi tiết Câu Đáp án x − 16 x + x +1 với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 16 + + x −6 x +8 2− x x −4 a) Rút gọn biểu thức M Điểm Cho biểu thức = M (1,25 điểm) x − 16 x + x +1 − + ( x − 2)( x − 4) x −2 x −4 0.25 = x − 16 − ( x + 4)( x − 4) + (2 x + 1)( x − 2) ( x − 2)( x − 4) 0.25 = x− x −2 ( x − 2)( x − 4) 0.25 = ( x − 2)( x + 1) ( x − 2)( x − 4) 0.25 - Ta có M = = x +1 x −4 Câu 1(4đ) b) Tìm x để M = x +1 Ta có: M = 6↔ = x −4 ↔ x= + 6( x − 4) ↔ x= ↔x= 25 c) Tìm số x nguyên để M số nguyên x −4+5 = 1+ x −4 x −4 Để M số nguyên ∈ Z ↔ ( x − 4) ước x −4 Ta có: M = 0.25 (1,25 điểm) 0.5 0.25 0.25 0.25 (1,5 điểm) 0.5 0.25 ↔ ( x − 4) ∈ {−5;5; −1;1} ↔ x ∈ {−1;9;3;5} 0.25 Suy ra: x ∈ {9; 25; 81} 0.25 Vậy: x ∈ {9; 25; 81} M ∈ Z 0.25 Giải phương trình, hệ phương trình sau a) GPT: x + x3 + x + x + x + x + 10 = 2 - Điều kiện x ∈ R (hoặc x + x + 10 ≥ ) - Phương trình ↔ ( x + x3 + x ) + ( x + x + 1) + x + x + 10 = (1,5 điểm) 0.25 0.25 ↔ ( x + x) + ( x + 1) + ( x + 1) + = Câu (6đ) 0.25 ( x + x ) ≥  Do ∀x ∈ R : ( x + 1) ≥ → ( x + x) + ( x + 1) + ( x + 1) + ≥   ( x + 1) + ≥ ( x + x ) =  Dấu xẩy ( x + 1) =0 ↔x= −1 (tmđk)   ( x + 1) + = 0.25 0.25 Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x = -1 b) GPT: x + = x + x + 10 - Điều kiện x ≥ −2 - Phương trình: ↔ ( x + 2)( x − x + 4) = x − x + + 3( x + 2) ↔4 0.25 (1,5 điểm) 0.25 x+2 3( x + 2) = 1+ x − 2x + x − 2x + 0.25 t = x+2 3t ↔  Đặt t = (t ≥ 0) , ta có 4t =+ t = x − 2x +  2 +) TH1: t =1 → x + = x − x + ↔ x − 3x + = ↔ x ∈ {1; 2} (tm : x ≥ −2)  11 + 177 x = (tm : x ≥ −2)  2  +) TH2: t = → 9( x + 2) = x − x + ↔ x − 11x − 14 = ↔  11 − 177 = (tm : x ≥ −2) x   11 + 177 11 − 177  - Vậy tập nghiệm pt: S = 1; 2; ;  2   0.25 0.25 0.25 0.25 *Cách khác: - Điều kiện x ≥ −2 - Phương trình ↔ ( x + 2)( x − x + 4) = ( x − x + 4) + 3( x + 2) 0.25 Đặt u = 0.25 x − x + 4; v = x + 2;; u ≥ 0, v ≥ Khi ta có 4uv = u + 3v u = v Học sinh lập luận  u = 3v +) TH1: u = v ↔ x − x + = x + ↔ x − 3x + = ↔ x ∈ {1; 2} (tm : x ≥ −2) 11 + 177 11 − 177  ;  2   +) TH2: u = 3v → x − x + = 9( x + 2) ↔ x − 11x − 14 = ↔ x ∈   - Vậy tập nghiệm pt: S = 1; 2;  11 + 177 11 − 177  ;  2  0.25 0.25 0.25 0.25 c) GPT: x + y + xy − x − y − = , x, y số nguyên dương (*) Viết lại pt dạng: x + x( y − 2) + y − y − = Coi (*) pt bậc hai ẩn x Pt (*) có nghiệm nên (1,5 điểm) 0.25 ∆ ' ≥ ↔ ( y − 2) − (2 y − y − 2) ≥ ↔ y + y − ≤ ↔ −3 ≤ y ≤ 0.25 Do y số nguyên dương nên y ∈ {1; 2} 0.25  x = −1 x = +) TH1: y = → x − x − = ⇔  Cặp số x = 3; y = thỏa mãn pt ban đầu +) TH2: y = → x = ↔ x = (ktm : x > 0) - Vậy nghiệm pt: ( x; y ) = (3, 1)   x + 2(1 + x + y + 1) =  d) GHPT:   y + 2(1 − )=  x + y +1 2 - Điều kiện: x ≥ − ; y ≥ − ; x + y + ≠ 2  (a) 1 + x + y + = 4x +  - Hệ phương trình ↔  1 1 − = (b)  x + y + 4y + Từ hệ phương trình suy x > − ; y > − + (1) 4x + 4y + 2 Trừ vế theo vế pt (a) cho pt (b), ta được: = − (2) x + y +1 4x + 4y + Nhân tương ứng hai vế (1) (2): = − x + y +1 4x + y + ↔ 4(4 x + 2)(4 y + 2) = ( x + y + 1)(−4 x + 36 y + 16) 0.25 0.25 0.25 (1.5 điểm) 0.25 0.25 Cộng vế theo vế pt (a) pt (b), ta được: = 0.25 0.25 ↔ x + xy − y + 5( x − y ) =0 ↔ ( x − y )( x + y + 5) =0 +) TH1: x = y Thay vào (a):  4y + =↔ y = −  1+ = ↔ (4y + 2) += 4y + ↔  2y + 4y +  4y + = ↔ y =  −1 −1 −1 −1 1 1 y= − →x= − (tm : x > ; y > ); y = → x = (tm : x > ; y > ) 4 2 2 2 1 +) TH2: x + y + = loại x > − ; y > − 2  −1 −1 1  );( , )  - Vậy nghiệm hệ là: ( x; y ) = ( , 2  0.25 0.25 Cho phương trình x + 2(m − 1) x + m + 2m + = ( x ẩn; m tham số khác 0) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn: Phương trình phải có nghiệm phân biệt x1 ; x2 10 (2 điểm) + + = x + x2 x1 x2 9m ↔ ∆ ' > ↔ (m − 1) − (m + 2m + 1) > ↔ −4m > ↔ m < Theo Viet: x1 + x2 = −2(m − 1); x1 x2 = m + 2m + Để tồn đẳng thức Ta có: 0.25 0.25 10 + + = x1 x2 ≠ ↔ m + 2m + ≠ ↔ m ≠ −1 x + x2 x1 x2 9m (Học sinh không lập luận phần cho điểm) 10 10 0 + + =↔ + + = 2 x + x x1x 9m (x1 + x ) − 2x1x x1x 9m 10 1 10 Câu ↔ + + =↔ + + = 2 4(m − 1) − 2(m + 2m + 1) m + 2m + 9m m − 6m + m + 2m + 9m 3(2đ) 1 10 1 10 0↔ ↔ ( + + )= + + = 1 m m−6+ m+2+ m−6+ m+2+ m m m m Đặt = t m + Do m < 0; m ≠ −1 nên t < 0; t ≠ −2 Khi ta có phương trình m  t = −3 (tm : t < 0; t ≠ −2) 1 10 + + =0 ↔ 10t − 22t − 156 =0 ↔  26 t t −6 t +2 = (ktm: t < 0; t ≠ −2)   −3 − −3 +  =−3 ↔ m + 3m + =0 ↔ m ∈  ;  m    −3 − −3 +  ; Vậy m ∈   giá trị cần tìm   Với t =−3 → m + 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Cho đường tròn tâm O, bán kính R có đường kính AB cố định C điểm thay đổi đường tròn (C khác A B) Gọi H hình chiếu C AB, I trung điểm AC Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến A đường tròn (O; R) M, đường thẳng MB cắt đường thẳng CH K Câu 4(6đ) M C I A K O H B a) Chứng minh điểm C, I, O, H thuộc đường tròn (1,5 điểm)  0.5 +) CH ⊥ AB → CHO = 90 nên H thuộc đường trịn đường kính CO = = OC ; IA = IC → ∆AOC cân O có trung tuyến OI nên OI ⊥ AC → OIC +) OA 900 0.5 → I thuộc đường trịn đường kính CO Vậy: điểm O, I, C, H thuộc đường trịn đường kính CO 0.5 b) Chứng minh MC tiếp tuyến của (O; R) (1,5 điểm) Tam giác OAC cân O, có OI đường trung tuyến nên OI đường trung trực 0.5 Mà M ∈ OI → MA = MC OA = OC  Xét hai tam giác AMO CMO có OM chung → ∆OAM = ∆OCM (c.c.c)  MA = MC  = = Vì MAO 900 → MCO 900 → MC ⊥ CO , hay MC tiếp tuyến (O;R) c) Chứng minh IK song song với AB CH ⊥ AB KH BH BH → KH / / MA ⇒ = = (1) MA AB R  MA ⊥ AB Do  ACB = 900 → BC ⊥ AC → BC / / OM Ta có  Xét hai tam giác BCH OMA có  = OAM   BHC CH BH BH (2) → ∆BCH  ∆OMA → = =   = MOA  MA OA R CBH Từ (1) (2) suy = CH KH → K trung điểm CH  IC = IA ∆CAH có:  → IK đường trung bình ∆CAH → IK / / AH → IK / / AB  KC = KH 0.5 0.5 (1,5 điểm) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 d) Xác định vị trí điểm C để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn (1,5 điểm) Chu vi tam giác ABC (2 P) = AB + BC + CA = R + (CB + CA) 0.25 2 2 2 Mặt khác ta có (CB + CA) ≤ (CB + CA )(1 + = ) AB= R 0.25 0.25 → CA + CB ≤ 2 R Suy (2 P) ≤ R + 2 R =(2 + 2) R 0.25 0.25 Dấu “=” xảy ↔ CA = CB ↔ C điểm cung AB Vậy: Max(2 P) = 2(1 + 2) R ↔ C điểm cung AB 0.25 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3 (2,0 điểm) Q = a +b +c  a , b, c ≥ → ≤ a , b, c ≤ 3 a + b + c = Do  0.25 Ta có b3 + c3 = (b + c)3 − 3bc(b + c) = (3 − a)3 + 3(a − 3)bc 0.25 a − ≤ 3  Do  → 3(a − 3)bc ≥ (a − 3)(3 − a ) = − (3 − a )3 b+c 2 4 (3 − a ) bc ≤ ( ) = Câu 3 3 (27 − 27 a + 9a − a ) 5(2đ) Suy b + c ≥ (3 − a ) − (3 − a ) = 4 Khi Q = a + b3 + c3 ≥ a + (27 − 27a + 9a − a ) = (a + 3a − 9a + 9) 4 0.25 0.25 0.25 3  + (a + 3a − 9a + 5) =  + (a − 1) (a + 5)  ≥ 4  a − =   a − =0 a ∈φ Dấu xẩy  b = c ↔ ↔ a = b = c =1   a= b= c= a − =0 a + b + c =  = Vậy giá trị nhỏ Q a = b = c = 0.25 0.25 0.25 ... ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2016- 2017 Mơn: TỐN - Ngày thi 21/2 /2017 (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) I Hướng dẫn chung Bài làm học sinh đến đâu... 9m (Học sinh không lập luận phần cho điểm) 10 10 0 + + =↔ + + = 2 x + x x1x 9m (x1 + x ) − 2x1x x1x 9m 10 1 10 Câu ↔ + + =↔ + + = 2 4(m − 1) − 2(m + 2m + 1) m + 2m + 9m m − 6m + m + 2m + 9m 3(2đ)... = MC  = = Vì MAO 90 0 → MCO 90 0 → MC ⊥ CO , hay MC tiếp tuyến (O;R) c) Chứng minh IK song song với AB CH ⊥ AB KH BH BH → KH / / MA ⇒ = = (1) MA AB R  MA ⊥ AB Do  ACB = 90 0 → BC ⊥ AC → BC