de thi hsg cap huyen toan 8 nam 2012 2013 phong gddt viet yen bac giang

PHÒNG GD&ĐT VIỆT YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN THI: TỐN LỚP ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  2013 x  2012 x  2013  x2  x   x2 Rút gọn biểu thức sau: A    1     2x  8  4x  2x  x   x x  Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: (2 x  x  2013)  4( x  x  2012)  4(2 x  x  2013)( x  x  2012) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  2x  3x   y3 Câu (4,0 điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x  dư 10, f(x) chia cho x  dư 24, f(x) chia cho x  thương 5x dư Chứng minh rằng: a (b  c)(b  c  a)  c(a  b)(a  b  c)  b( a  c)(a  c  b) Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF Chứng minh rằng: 1 = + 2 AD AM AN Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn abc  Chứng minh : 1    a (b  c) b (c  a ) c (a  b) -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) PHÒNG GD&ĐT VIỆT YÊN HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ THI CHÍNH THỨC NGÀY THI … /4/2013 MƠN THI: TỐN LỚP Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Hướng dẫn giải Ta có x  2013 x  2012 x  2013   x  x   2013 x  2013x  2013 (4.0 điểm) 0,5  x  x  1  x  x  1  2013  x  x  1 (2.0 điểm) 0.5   x  x  1 x  x  2013 0.5 Kết luận x  2013 x  2012 x  2013   x  x  1 x  x  2013 x  x  ĐK:  0.25  x2  x   x2  1   2   2x  8  4x  2x  x   x x  Ta có A   0.25  x2  x  x  x   2x2     2 x2  2( x  4) 4(2  x)  x (2  x)   0.5 0.25 (2.0 điểm)  x2  2x   ( x  1)( x  2)   x( x  2)  x   ( x  1)( x  2)  x2       2 x2 x2   2( x  2)( x  4)     2( x  4) ( x  4)(2  x )   x  x  x  x x  x( x  4)( x  1) x    2( x  4) x x ( x  4) 2x x  x 1 Vậy A  với  2x x   0.5 0.25 Câu (4.0 điểm) a  x  x  2013 b  x  x  2012 0.25 Đặt:  Phương trình cho trở thành: (2.0 điểm) 0.5 0.5 a  4b  4ab  (a  2b)   a  2b   a  2b Khi đó, ta có: x  x  2013  2( x  x  2012)  x  x  2013  x  10 x  4024 2011  11x  2011  x  11 2011 Vậy phương trình có nghiệm x  11 0.5 0.5 0.25 3  Ta có y  x  2x  3x    x     4  (2.0 điểm) xy (1) 0.5 (2) 0.5  15  (x  2)  y  4x  9x    2x      16  3  y x2 Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + 0.25 Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = -1; từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán là: (-1 ; 0) KL Câu Giả sử f(x) chia cho x  thương 5x dư ax  b Khi đó: f ( x)  ( x  4).(5 x)  ax+b Theo đề bài, ta có: (2.0 điểm)   f (2)  24 2a  b  24 a      f ( 2)  10 2a  b  10 b  17 Do đó: f ( x)  ( x  4).( 5 x)  x+17 0.5 0.25 (4 điểm) 0.5 0.5 0.5 47 x  17 Ta có: a (b  c)(b  c  a)  c(a  b)(a  b  c )  b(a  c )(a  c  b)  (1) xz  a  a  b  c  x  x y   Đặt: b  c  a  y  b  a  c  b  z   yz  c   Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( x)  5 x3  0.5 0.25 Khi đó, ta có: (2.0 điểm) x z x y y z y z x z x y 2    .y    x  ( x  y )( x  y ).z  2   2  x z xz yz z y 2  y  x  ( x  y ) z 2 2 1  ( x  z ) y  ( z  y ).x  ( x  y ).z 4 1  ( x  y ).z  ( x  y ).z   VP(1) (đpcm) 4 VT(1)  KL:… 0.5 0.25 0.25 0.25 (6 điểm) Câu E A B H (2.0 điểm) 0.5 F D C M N  = ABF  (cùng phụ BAH ) Ta có DAM AB = AD ( gt)   = 900 (ABCD hình vng) BAF = ADM  ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành  = 900 (gt) Mặt khác DAE Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật (2.0 điểm) 0.5 0.5 0.25 Ta có ΔABH  ΔFAH (g.g)  0.75 AB BH BC BH hay ( AB=BC, AE=AF) = = AF AH AE AH  = HBC  (cùng phụ ABH ) Lại có HAB  ΔCBH  ΔEAH (c.g.c) 0.5 0.5 S SΔCBH  BC   BC  2  ΔCBH =  = (gt)    , mà  = nên BC = (2AE) SΔEAH  AE  SΔEAH  AE   BC = 2AE  E trung điểm AB, F trung điểm AD 0.5 Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.5 Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có:  AD AM AD CN =  = CN MN AM MN 0.5 Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: (2.0 điểm)  MN MC AB MC AD MC hay =  = = AN AB AN MN AN MN 2 0.5 CN + CM MN  AD   AD   CN   CM    + = + = = =1        MN MN  AM   AN   MN   MN  0.5 (Pytago) 2.0 điểm 1  AD   AD  (đpcm)      +  =  2 AM AN AD  AM   AN  Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với  a, b, c  R x, y, z > ta có 0.5 0.75 a2 b2 c2  a  b  c     x y z x yz a b c Dấu “=” xảy    x y z Thật vậy, với a, b  R x, y > ta có a2 b2  a  b    x y x y Dấu “=” xảy   a   bx  ay  2 (**) y  b x   x  y   xy  a  b  (*)  (luôn đúng) a b  x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a b2 c  a  b  c  a  b  c       x y z x y z x yz a b c Dấu “=” xảy    x y z 1 2 1 Ta có:    a  b  c a (b  c ) b (c  a) c (a  b) ab  ac bc  ab ac  bc 2 Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 1 2 1 Mà    nên a  b  c  a b c ab  ac bc  ab ac  bc Vậy 1    a (b  c) b (c  a) c (a  b) (đpcm) Điểm toàn 0.5 1 1 1 1 1         2 a b c a b c  a b c     ab  ac bc  ab ac  bc 2(ab  bc  ac) 1 1 2    a b c 1 2 1 1 1 a Hay  b  c      ab  ac bc  ab ac  bc  a b c  (Vì abc  ) 0.25 0.25 0.25 (20 điểm) Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm  ... BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ THI CHÍNH THỨC NGÀY THI … /4 /2013 MƠN THI: TỐN LỚP Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Hướng dẫn giải Ta có x  2013 x  2012 x  2013   x  x   2013. .. x  2013x  2013 (4.0 điểm) 0,5  x  x  1  x  x  1  2013  x  x  1 (2.0 điểm) 0.5   x  x  1 x  x  2013? ?? 0.5 Kết luận x  2013 x  2012 x  2013   x  x  1 x  x  2013? ??...  2013 b  x  x  2012 0.25 Đặt:  Phương trình cho trở thành: (2.0 điểm) 0.5 0.5 a  4b  4ab  (a  2b)   a  2b   a  2b Khi đó, ta có: x  x  2013  2( x  x  2012)  x  x  2013