cac dang bai tap can bac hai va can bac ba

Chương Căn bậc hai - Căn bậc ba §1 Căn bậc hai Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa 1 Căn bậc hai số thực a số x cho x2 = a Mỗi số dương a có √ hai bậc hai hai số đối nhau, số dương kí hiệu cịn số âm kí hiệu − a √ Số có bậc hai số 0, ta viết = Số âm khơng có bậc hai √ Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a ! Chú ý Số gọi bậc hai số học √ a xác định a ≥ √ √ Định lí Với hai số a, b khơng âm ta có a < b ⇔ a < b Các dạng tốn Dạng Tìm bậc hai bậc hai số học số Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa máy tính cầm tay ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Tính bậc hai số sau 16 1 0,36 √ a Chương Căn bậc hai - Căn bậc ba Lời giải Ta có Căn bậc hai số ±1 12 = (−1)2 = Căn bậc hai số ±3 32 = (−3)2 = 16 Căn bậc hai số ± Å ã2 Å ã2 4 16 = − = 3 Căn bậc hai số 0,36 ±0,6 (0,6)2 = (−0,6)2 = 0,36 ! Học sinh sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết Ơ Ví dụ Tính bậc hai số học số sau 0,01 0,25 0,04 4 Lời giải Ta có ! √ √ √ 0,25 = 0, 0,52 = 0,25 … Å ã2 2 4 = = 3 0,01 = 0, 0,12 = 0,01 0,04 = 0, 0,22 = 0,04 Học sinh sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết √ Ơ Ví dụ Tính tổng S = 0,49 + … − … 25 Lời giải 22 Ta có S = 0,7 + − = − 15 ! Học sinh sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết Tài liệu Toán của: Căn bậc hai Dạng So sánh bậc hai Ta thường sử dụng tính chất bất đẳng thức, cụ thể: ® a>b a + c > b + d Nếu c>d ® a>b ac > bc Nếu c>0 ® a>b ac < bc Nếu cb>0 Nếu ac > bd c>d>0 √ √ Với hai số a, b không âm ta có a < b ⇔ a < b ⇔ a2 < b2 ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ô Ví dụ So sánh số sau: √ 26 √ √ + 15 √ √ + 11 + √ −5 35 −30 √ Lời giải √ √ √ Ta có 26 > 25 ⇒ 26 > 25 hay 26 > √ ® ®√ ®√ 7< 7 Chứng minh √ Nếu a > a > a Nếu a < a < √ a Lời giải √ √ √ √ Ta có tính chất, nếu√a > b > a >√ b, từ giả thiết a > ⇒ a > = Nhân hai vế với a > ta a > a √ √ Tương tự √ ta có a < ⇒ a < √ = Nhân hai vế với a > ta a < a Giáo viên: Chương Căn bậc hai - Căn bậc ba Dạng Tìm x Phương pháp giải: Thường biến đổi biểu thức dạng f (x) = a (∗) Nếu a < (∗) vơ nghiệm Nếu a = (∗) ⇔ f (x) = Nếu a > (∗) ⇔ f (x) = a2 Nếu không biến đổi tương đương phương trình dùng phép biến đổi suy sau phải thử lại ! ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Tìm x thỏa mãn: √ x = −2018 √ x + − = Lời giải Vì √ x ≥ −2018 < nên không tồn x thỏa mãn Điều kiện √ x + ≥ ⇔ x ≥√−1 Khi x + − = ⇔ x + = ⇔ x + = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = Ơ Ví dụ Tìm x thỏa mãn √ x2 + 5x + 20 = − √ x2 + = Lời giải Å ã 25 55 55 2 Ta có x + 5x + 20 = x + 5x + + = x+ + > 0, ∀x ∈ R Khi 4 √ x2 + 5x + 20 = ⇔ x2 + 5x + 20 = 16 ⇔ x2 + 5x + = ⇔ (x + 1)(x + 4) = ñ x = −1 ⇔ x = −4 Vậy x = −1 x = −4 Điều kiện x2 + ≥ (luôn đúng) Ta có √ √ − x2 + = ⇔ x2 + = − = −1 √ Vì x2 + > cịn −1 < nên không tồn x thỏa mãn Tài liệu Toán của: Căn bậc hai Luyện tập Bài Tìm bậc hai số học căc bậc hai số sau: 0,25 169 81 2,25 Lời giải Vì 0,25 = 0,52 nên bậc hai số học 0,25 0,5 bậc hai 0,25 ±0,5 Vì 81 = 92 nên bậc hai số học 81 bậc hai 81 ±9 Vì 169 = 132 nên bậc hai số học 169 13 bậc hai 169 ±13 Vì 2,25 = 1,52 nên bậc hai số học 2,25 1,5 bậc hai 2,25 ±1,5 Bài Rút gọn biểu thức: √ √ √ A = 27 + 12 − 48 √ √ √ B = 147 + 54 − 27 √ √ √ C = 2(4 − 2) + 3(1 − 2)2 √ √ √ √ D = − 125 − 80 + 605 Lời giải √ √ √ √ √ √ √ A = 27 + 12 − 48 = + 10 − 12 = √ √ √ √ √ √ B = 147 + 75 − 27 = + − 12 = √ √ √ √ √ √ √ C = 2(4 − 2) + 3(1 − 2)2 = 12 − + 3(1 − + 8) = 12 − + 27 − 12 = 21 √ √ √ √ √ √ √ √ √ D = − 125 − 80 + 605 = − 5 − + 11 = Bài So sánh số sau: √ 41 √ √ 2 27 147 Ta có Ta có Ta có Ta có √ √ −3 −5 √ 2 − Lời giải √ √ = 36 Mà 36 < 41 nên < 41 √ √ √ √ 27 = 108 Mà 108 < 147 nên 27 < 147 √ √ √ √ √ √ √ √ = 45 = 75 Mà 45 < 75 nên < ⇒ −3 > −5 √ √ √ √ 2 − = − = − = − Mà < nên 2 − < Bài Tìm số thực x thỏa mãn: Giáo viên: Chương Căn bậc hai - Căn bậc ba √ √ √ √ −2x2 − = x2 + + = −3x + = 12 √ √ ( x − 7)( x + 7) = 3x − = 9(x − 1) − 19 = Lời giải Điều kiện xác định −2x2 − ≥ (vô lí) Vậy khơng tồn x thỏa mãn đề 2 Điều kiện ≥ (luôn đúng) √ √ xác định x + √ Ta có x + + = ⇔ x2 + = −2 (vơ lí x2 + > với x) Vậy không tồn x thỏa mãn đề Điều kiện xác định 3x − ≥ ⇔ x ≥ √ 17 Ta có 3x − = ⇔ 3x − = 16 ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) 17 Vậy x = 4 Điều kiện xác định −3x + ≥ ⇔ x ≤ √ 140 Ta có −3x + = 12 ⇔ −3x + = 144 ⇔ x = − (thỏa mãn điều kiện) 140 Vậy x = − ® ® x≥0 x≥0 √ Điều kiện xác định √ ⇔ ⇔ x ≥ 49 x − 49 ≥ ( x − 7)( x + 7) ≥ √ √ Ta có ( x − 7)( x + 7) = ⇔ x − 49 = ⇔ x = 53 (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 53 Điều kiện xác định 9(x − 1) ≥ ⇔ x ≥ Ta có 9(x − 1) − 19 = ⇔ 9(x − 1) = 21 ⇔ 9(x − 1) = 441 ⇔ x − = 49 ⇔ x = 50 (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 50 Bài (*) Chứng minh √ số vô tỉ Lời giải √ √ m m số hữu tỉ Suy = , m, n ∈ N∗ phân số phân số tối giản n n √ m m Khi = ⇔2= ⇔ m2 = 2n2 (1) n n Do 2n2 nên m2 ⇒ m ⇒ m = 2m1 , m1 ∈ N∗ ⇒ m2 = 4m21 Thay vào (1) suy 2n2 = 4m21 ⇔ n2 = 2m21 ⇒ n2 ⇒ n m Do m, n chia hết phân số không tối giản, điều mâu thuẫn với giả sử n trên.√ Vậy số vô tỉ Giả sử Tài liệu Toán của: Căn bậc hai Bài (*) Chứng minh √ số vô tỉ Lời giải √ m m phân số tối giản số hữu tỉ Suy = , m, n ∈ N∗ phân số n n √ m m Khi = ⇔5= ⇔ m2 = 5n2 (1) n n Do 5n2 nên m2 ⇒ m ⇒ m = 5m1 , m1 ∈ N∗ ⇒ m2 = 25m21 Thay vào (1) suy 5n2 = 25m21 ⇔ n2 = 5m21 ⇒ n2 ⇒ n m không tối giản, điều mâu thuẫn với giả sử Do m, n chia hết phân số n trên.√ Vậy số vô tỉ Giả sử √ Giáo viên: Chương Căn bậc hai - Căn bậc ba §2 Căn thức bậc hai đẳng thức √ A2 = |A| Tóm tắt lý thuyết Ta có √ ® A2 = |A| = A A ≥ −A A < Ä√ ä2 Ä√ ä2 √ √ ! Cần phân biệt A2 với A Khi viết A2 A số âm Khi viết A A phải số khơng âm √ Điều kiện xác định (hay có nghĩa) A A ≥ Cách giải bất phương trình dạng |x| ≤ a |x| ≥ a với a > sau |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a ñ x≥a |x| ≥ a ⇔ x ≤ −a Các dạng toán Dạng Tìm điều kiện để √ A xác định Phương pháp giải √ A có nghĩa A ≥ √ có nghĩa A > A Kiến thức bổ sung: Chú ý với a số dương ta ln có: x2 ≤ a2 ⇔ −a ≤ x ≤ a ñ x≥a 2 x ≥a ⇔ x ≤ −a ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Tìm x để thức √ − 2x có nghĩa Lời giải √ 5 − 2x có nghĩa − 2x ≥ ⇔ −2x ≥ −5 ⇔ x ≤ Tài liệu Toán của: Căn thức bậc hai đẳng thức 10 … Ô Ví dụ Tìm x để thức x2 √ A2 = |A| có nghĩa − 4x + Lời giải … có nghĩa ⇔ x − 4x +   có nghĩa ⇔ (x − 2)2 > ⇔ x = (x − 2)2 Ô Ví dụ Với giá trị x biểu thức √ 25 − x2 có nghĩa? Lời giải √ 25 − x2 có nghĩa ⇔ 25 − x2 ≥ ⇔ −x2 ≥ −25 ⇔ x2 ≤ 25 ⇔ |x| ≤ ⇔ −5 ≤ x ≤ … Ơ Ví dụ Tìm giá trị x để biểu thức có nghĩa x − 100 Lời giải … ñ x > 10 có nghĩa ⇔ x2 − 100 > ⇔ x2 > 100 ⇔ |x| > 10 ⇔ x − 100 x < −10 Ơ Ví dụ Có giá trị nguyên x để biểu thức M = nghĩa? √ x+4 + √ − x có Lời giải ® ® x+4≥0 x ≥ −4 M có nghĩa ⇔ 2−x≥0 x ≤ Vì x ∈ Z nên x ∈ {−4; −3; −2; −1; 0; 1; 2} Vậy có giá trị nguyên x để biểu thức M có nghĩa √ Dạng Rút gọn biểu thức dạng A2 Đưa biểu thức dạng bình phương √ A2 = |A| √ ! Điều kiện xác định A A ĄĄĄ BÀI TẬP MẪU ĄĄĄ Ơ Ví dụ Rút gọn biểu thức sau √ √ 13 + + − √ √ ( 10 − 2) · √ Lời giải » » √ √ √ √ √ − = (1 + 3)2 + (2 − 3)2 = + + 2(2 − 3) = »√ √ √ √ √ √ √ + = ( 5−1)· + = ( 5−1)· ( + 1)2 = ( 5−1)( 5+1) = √ 13 + + √ √ ( 10− 2)· 3+ Giáo viên: Chương Căn bậc hai - Căn bậc ba Ơ Ví dụ Rút gọn biểu thức sau √ a + b − ab với a > b > a−b 11 2 · x−1 … x2 − 2x + với < x < 4x2 Lời giải »√ √ √ √ √ ( a − b)2 a− b a + b − ab √ √ √ =√ √ = = √ a−b a−b ( a − b)( a + b) a+ b   … x2 − 2x + (x − 1)2 2 |x − 1| · = = 2 x−1 4x x−1 (2x) x − 2|x| |x − 1| Do < x < nên |x − 1| = − x; |x| = x Suy =− x − 2|x| x Ô Ví dụ Rút gọn biểu thức sau: √ x4 − 4x2 + − x2 √ x4 − 2x2 + , với x > x+1 Lời giải » √ x4 + 4x2 + − x2 = (x2 + 2)2 − x2 = x2 + − x2 = 2, (x2 + > 0) » √ (x2 − 1)2 x4 − 2x2 + x2 − (x − 1)(x + 1) Vì x > nên = = = = x − x+1 x+1 x+1 x+1 Luyện tập Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa √ √ √ −3x 2x − − 6x Lời giải √ √ −3x có nghĩa ⇔ −3x ≥ ⇔ x ≤ 2x − có nghĩa ⇔ 2x − ≥ ⇔ 2x ≥ ⇔ x ≥ √ 7 − 6x có nghĩa ⇔ − 6x ≥ ⇔ 6x ≤ ⇔ x ≤ √ −3x + có nghĩa ⇔ −3x + ≥ ⇔ 3x ≤ ⇔ x ≤ Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa Tài liệu Tốn của: √ −3x + Ôn tập chương 90 √ √ x+4 x−4+ x−4 x−4 … Bài 31 Cho biểu thức A = Rút gọn A Tìm giá trị 16 1− + x x nguyên x để A có giá trị nguyên Lời giải Điều kiện x√> √ x−4+2+ x−4−2 Ta có A = x−4 x 2x Nếu x > A = √ x−4 4x Nếu < x ≤ A = x−4 4x 16 Với A = =4+ x−4 x−4 A ∈ Z ⇔ 16 (x − 4) Do x ∈ Z, < x ≤ nên x ∈ {5, 6, 8} √ 2x 2(a2 + 4) Với A = √ ∈ Z x ∈ Z nên x − = a ∈ Z ⇒ A = = 2a + ⇒ a a a x−4 Lại có x > ⇒ a > 2, a = a = Từ suy x = 20 x = 68 Vậy x ∈ {5, 6, 8, 20, 68} Bài 32 Cho a ≥ 0, a = Rút gọn biểu thức ï ò » » √ » √ √ a−1 3 √ S = − 20 + 14 + (a + 3) a − 3a − : −1 2( a − 1) Lời giải Ta có … Ä √ √ ä2 √ 6−4 2= 2− =2− … » Ä √ √ ä3 √ 3 20 + 14 = 2+ =2+ » √ √ √ 3 (a + 3) a − 3a − = a−1 = a−1 √ √ a−1 a+1 a−1 √ −1= −1= 2 ( a − 1) √ Ä √ äÄ √ ä √ a−1 = − + = Suy S = − 2 + + ( a − 1) : √ Bài 33 Chứng minh 20092 + 20092 · 20102 + 20102 số nguyên dương Lời giải » Đặt a = 2009, ta có 20092 + 20092 · 20102 + 20102 = = = = Vậy √ 20092 + 20092 · 20102 + 20102 = a2 + a2 (a + 1)2 + (a + 1)2 a4 + 2a3 + 3a2 + 2a + a4 + a2 + + 2a3 + 2a2 + 2a (a2 + a + 1)2 (a2 + a + 1)2 = a2 + a + số nguyên dương Giáo viên: Chương Căn bậc hai - Căn bậc ba Bài 34 Chứng minh đẳng thức √ 91 … … 3 2−1= − Lời giải + … √ Đặt = a ⇔ = a3 Đẳng thức cần chứng minh tương đương với √ a−1= » − a + a2 √ ⇔ 9(a − 1) = a2 − a + ⇔ (a2 − a + 1)3 = 9(a − 1) Ta có (a2 − a + 1)3 = = = = (a2 − a + 1)2 (a2 − a + 1) = (a4 + a2 + − 2a3 − 2a + 2a2 )(a2 − a + 1) (2a + 3a2 + − − 2a)(a2 − a + 1) = 3(a2 − 1)(a2 − a + 1) 3(a − 1)(a + 1)(a2 − a + 1) = 3(a − 1)(a3 + 1) 9(a − 1) (đpcm) Bài 35 Giả sử a b hai số dương khác thỏa mãn a−b= √ − b2 − √ − a2 Chứng minh a2 + b2 = Lời giải √ √ √ √ √ √ a − b = − b − − a2 ⇔ a + − a2 = b + − b ⇔ a − a2 = b − b ⇒ a2 − a4 = b2 − b4 ⇔ a4 − b4 − (a2 − b2 ) = ⇔ (a2 − b2 )(a2 + b2 − 1) = Theo đề ta có a = b nên a2 − b2 = 0, suy a2 + b2 − = hay a2 + b2 = 1 1 + = Chứng minh a b 2018 √ √ √ a + b = a − 2018 + b − 2018 Bài 36 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn Lời giải ab 1 + = ⇔ = 2018 a b 2018 a+b Khi ta có     √ √ ab ab a − 2018 + b − 2018 = a − + b− a+b a+b     a2 b2 a b = +√ + =√ a+b a+b a+b a+b √ a+b =√ = a + b a+b Từ giả thiết Vậy đẳng thức chứng minh Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 92 Bài tập trắc nghiệm xy y xy mẫu chung ; ; 2 − y xy − x y − xy C xy(x2 − y ) D xy(x2 + y ) Lời giải Bài 37 Khi quy đồng mẫu thức phân thức A x2 − y B x(x2 − y ) x2 Ta có x2 − y = (x − y)(x + y) xy − x2 = x(y − x) y − xy = y(y − x) ⇒ mẫu chung xy(x − y)(x + y) = xy(x2 − y ) Chọn đáp án C x2 x+1 + − x x − 2x + C x < D x > Lời giải Bài 38 Điều kiện xác định biểu thức P = A x = B x = ±1 Ta có x2 − 2x + = (x − 1)2 nên điều kiện xác định x − = ⇔ x = Chọn đáp án A Bài 39 Kết rút gọn phân thức A 2−x B x−2 3(x + 2) x2 − 4x + 3x2 − 12 C − 2+x D 2+x Lời giải (x − 2)2 x−2 x2 − 4x + = = 3x − 12 3(x − 2)(x + 2) 3(x + 2) Chọn đáp án B Ta có 2017 Bài 40 Điều kiện để biểu thức √ xác định x−2 A ≤ x < B x > C ≤ x = D x = Bài 41 Giá trị biểu thức (3a − 1)2 A 3a − B − 3a C 3a − − 3a D |3a − 1| √ √ Bài 42 Biết x > 1, rút gọn P = (1 − x) √ √ √ √ A x − B − x C (1 − x)2 D ( x − 1)2 √ Bài 43 Biết ≤ a < 2, giá trị biểu thức a − a − √ √ √ √ A a − − B − a − C a − D ( a − − 1)2 √ Bài 44 Phân tích P = x x − thành nhân tử √ √ √ √ A ( x − 2)(x + x + 4) B ( x + 2)(x − x + 4) √ √ C ( x − 2)3 D ( x + 2)3 Giáo viên: Chương Căn bậc hai - Căn bậc ba 93 √ √ Bài 45 Tìm tất nghiệm phương trình 5x − 80 = A x = B x = 16 C x = −4 Lời giải Ta có √ 5x − √ 80 = ⇔ √ 5x = √ … 80 ⇔ x = D x = −16 80 = Chọn đáp án A √ √ Bài 46 Tìm tất nghiệm phương trình 11x2 − 44 = A x = ±2 B x = C x = −2 Lời giải Ta có √ 11x − √ √ D x = ± √ √ 44 √ 44 = ⇔ x = √ = = ⇔ x = ± 11 Chọn đáp án D √ √ Bài 47 Tìm tất nghiệm phương trình 3x + 32 − = √ √ √ √ A x = 2 B x = C x = −2 D x = −3 Lời giải Ta có √ √ √ √ √ √ 3x + 32 − = ⇔ 3x + − 2 = ⇔ 3x + = ⇔ x = −2 Chọn đáp án C √ Bài 48 Cho phương trình 2x2 + = Khẳng định sau đúng? A Phương trình có nghiệm x = ±2 B Phương trình có nghiệm x = C Phương trình vơ nghiệm D Phương trình vơ số nghiệm Lời giải Vì x2 ≥ 0, ∀x nên 2x2 + ≥ 8, ∀x, nên phương trình vơ nghiệm Chọn đáp án C Bài 49 Tìm tất nghiệm phương trình 4(2 − x)2 = 10 A x = −3 B x = C x = −3 x = D x = −7 Lời giải Ta có 4(2 − x)2 ≥ 0, ∀x, biến đổi phương trình dạng: đ đ » − x = x = −3 2 4(2 − x)2 = 10 ⇔ 4(2 − x) = 100 ⇔ (2 − x) = 25 ⇔ ⇔ − x = −5 x=7 Ç √ å Ç √ √ å 32 2− √ −1 : 7+ √ Bài 50 Tính giá trị biểu thức Q = √ √ √ √ 6 A Q = B Q = C Q= D Q= Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 94 Lời giải Ta có å Ç Ç √ √ √ √ √ √ √ å √ √ 2− 2− 32 2− √ −1 : 7+ √ √ √ = : =√ = Q= 3 3 Chọn đáp án C √ 17 − 12 Bài 51 Kết phép tính √ − 2 √ √ √ A + 2 B + C − Lời giải D 2− √ Ta có √ 17 − 12 √ = 3−2 √ 9−2·3·2 2+8 = √ 2−2· 2·1+1 Ä Ä√ ä2 √ ä2 √ 3−2 2 − √ 3−2 √ √ = = = − Ä√ ä2 − − 2−1 Chọn đáp án C   √ √ 3+ 3− √ + √ ta kết Bài 52 Rút gọn biểu thức S = − + √ √ A A = B A = C A = D A = Lời giải   Ta có √ √ 3+ 3− √ + √ = S = 3− 3+ √ √ 3+ 3− = + = 2 Ä √ ä2 3+ Ä + 3− √ ä2 Chọn đáp án C Ä √ ä √ √ ä Ä√ Bài 53 Giá trị biểu thức − 15 10 + + 15 √ √ √ √ √ √ A B 10 + C 10 − D − Lời giải Ta có Ä Ä √ ä Ä√ √ ä» √ √ ä Ä√ √ ä» √ 10 + + 15 = − 15 5+ + 15 − 15 … Ä √ ä Ä√ √ ä Ä√ √ ä2 = − 15 5+ 5+ Ä √ ä Ä√ √ ä2 Ä √ äÄ √ ä = − 15 + = − 15 + 15 Ä √ äÄ √ ä = − 15 + 15 = Chọn đáp án A Giáo viên: Chương Căn bậc hai - Căn bậc ba Bài 54 Tính giá trị T = A T = √ 95 » 5− 3− B T = √ 29 − 12 C T = Lời giải D T = Ta có T = = … √   √ » √ − 29 − 12 = 5− 5− … Ä√ √ 5−   … Ä √ ä2 5−3 = 3− √ » √ 5− 6−2 ä2 − = Chọn đáp án D √ Bài 55 Với giá trị x x ≥ 4? A x ≥ 64 B x < 64 C x ≥ 16 Lời giải D < x < Ta có √ x ≥ ⇔ x ≥ 43 ⇔ x ≥ 64 Chọn đáp án A √ √ √ x3 + 2x2 Bài 56 Khi x = − giá trị 4x − 2 + √ x+2 √ √ √ A −6 B −5 C −7 Lời giải √ D √ Khi x = − ta √ √ −4 − 2 + √ √ √ √ √ √ √ −2 + − 2+2 = −6 + = −6 + = −5 √ √ − 2+2 − 2+2 Chọn đáp án B √ a−1 √ : √ có kết Bài 57 Với a > biểu thức P = √ a a+ a−a a + a √ A a − B −1 C D a − Lời giải Ta có √ √ √ √ √ √ a−1 a (a a + 1) ( a − 1) (a a + 1) ( a − 1) √ √ = √ √ √ P = √ : = a a + a − a a2 + a a (a − a + 1) a− a+1 √ √ √ √ √ ( a + 1) (a − a + 1) ( a − 1) √ = a+1 a − = a − = a− a+1 Chọn đáp án D Tài liệu Toán của: Ôn tập chương 96 √ Bài 58 Tìm x cho 4x − 20 + A x = B x = … x − 1√ − 9x − 45 = C x = Lời giải D x = Ta có √ 4x − 20 + … √ √ √ √ x − 1√ − 9x − 45 = x − + x − − x − = x − Khi √ √ x − = ⇔ x − = ⇔ x − = ⇔ x = Chọn đáp án D √ Å ã x−2 x Bài 59 Cho biểu thức M = − √ + : , với x ≥ 0, x = 1, x = Với x−1 x+1 x−1 giá trị x M = ? A x = B x = 16 C x = 32 D x = 64 Lời giải Với điều kiện x ≥ 0, x = 1, x = ta có √ √ ã Å x−2 x x−1−4 x+4+1 x−1 + : = ·√ √ M = 1− √ x−1 x−1 x+1 x−1 x ( x − 2) √ √ ( x − 2) x−2 = √ √ = √ x ( x − 2) x Khi M= ⇔ √ √ √ √ x−2 √ = ⇔ x − = x ⇔ x = ⇔ x = 16 x Chọn đáp án B Giáo viên: Chương Căn bậc hai - Căn bậc ba 97 §9 Giới thiệu đề kiểm tra tiết chương 1 Đề số 1- Tự Luận cho HS đại trà Bài Tìm giá trị x để biểu thức sau xác định … √ 1 2x − − x Lời giải √ Biểu thức 2x − xác định 2x ≥ ⇔ x ≥ Vậy x ≥ biểu thức xác định … 1 Biểu thức − x xác định − x ≥ ⇔ x ≤ 2 Vậy x ≤ biểu thức có nghĩa √ √ √ √ √ Bài Sắp xếp số sau theo thứ tự tăng dần 2; 5; 3; 97; 11 Lời giải √ √ √ √ √ √ √ √ Ta có = 98; = 80; √3 =√ 108; 11 = 99 √ √ √ Thứ tự tăng dần theo số 5; 97; 2; 11; Bài Tính giá trị biểu thức Ä 3− √ ä2 10 »√ √ 2 ( − 7) Ä 4− √ ä2 + Ä √ ä2 4+ Lời giải Ä 3− √ ä2 √ √ 10 = |3 − 10| = 10 − »√ √ √ √ √ √ ( − 7) = | − 7| = − Ä 4− √ ä2 + Ä √ ä2 √ √ √ √ + = |4 − 5| + |4 + 5| = − + + = Bài Rút gọn giá trị biểu thức Ä√ √ √ ä √ √ A = − + 10 · − Tài liệu Toán của: Giới thiệu đề kiểm tra tiết chương 98 1 √ −√ √ 5+ 5−     √ √ 4+ 4− √ + √ C = 4− 4+ B = √ Lời giải Ä√ √ √ ä √ √ √ √ √ √ √ A = − + 10 · − = 16 − · + 20 − = − + − = −2 √ 1 √ −√ √ = B = √ 5+ 5−   C =   √ √ 4+ 4− √ + √ = 4− 4+ √ √ √ 5− 5+ √ − = −2 −2 Ä Ä √ ä2 √ ä2 √ √ 4+ + 4− 4+ 7+4− √ = = Ä √ äÄ √ ä 4+ 4− Bài Giải phương trình √ √ √ x − 9x + 16x = √ √ 4√ 4x + 20 − + x + 9x + 45 = Lời giải Điều kiện x ≥ Khi ⇔ ⇔ ⇔ Vậy tập nghiệm phương trình √ √ √ x − 9x + 16x = √ √ √ x−6 x+4 x=5 √ x=5 25 x = (thỏa điều kiện) ß ™ 25 S = Điều kiện x ≥ −5 Khi √ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ √ 4√ 4x + 20 − + x + 9x + 45 = √ √ √ x+5−3 x+5+4 x+5=6 √ 5+x=6 √ x+5=2 x+5=4 x = −1 (thỏa điều kiện) Vậy tập nghiệm phương trình S = {−1} √ Å √ ã x x x−4 Bài Cho biểu thức √ +√ √ x−2 x+2 4x Giáo viên: Chương Căn bậc hai - Căn bậc ba 99 Rút gọn biểu thức với x > x = √ Tính giá trị P x = − 2 Lời giải Với x > 0; x = 1; x = 4, ta có P = = = = Vậy P = √ Å √ ã x x x−4 √ √ +√ x−2 x+2 4x √ √ √ √ x( x + 2) + x( x − 2) x − √ x−4 4x √ √ x x √ x √ x √ x √ Tính giá trị P x Ä= − ä √ √ 2−1 Thu gọn x = − 2 = Ä√ ä2 √ √ Khi P = x = − = − Đề số 2: Trắc nghiệm kết hợp tự luận dành cho học sinh đại I PHẦN TRẮC NGHIỆM (4.0 điểm) Bài Căn bậc hai số học số a khơng âm √ A số có bình phương a B − a √ √ C a D ± a Lời giải Căn bậc hai số học số a không âm Chọn đáp án C √ Bài Căn bậc hai 16 A B −4 a D ±4 C 256 Lời giải Số 16 có hai bậc hai −4 Chọn đáp án D Bài Kết khai biểu thức √ √ A − B − Ä√ Ä√ ä2 − C −1 − Lời giải √ D 1+ ä2 Ä√ ä √ 3−1 = − = − Chọn đáp án B Tài liệu Toán của: √ Giới thiệu đề kiểm tra tiết chương 100 Bài Điều kiện xác định thức A x ≥ 12 B x≥ √ 12 − 21x C x≤ Lời giải Căn thức xác định 12 − 21x ≥ ⇔ 21x ≤ 12 ⇔ x ≤ D x ≤ 21 12 ⇔x≤ 21 Chọn đáp án C √ Bài So sánh với 6, kết luận sau đúng?√ √ A > B < √ C = D Không so sánh Lời giải √ √ √ Ta có 25 > 24 ⇒ > Chọn đáp án A √ √ Bài Kết phép tính 27 − 125 √ A B −2 C 98 Lời giải √ √ √ 3 27 − 125 = 33 − 53 = − = −2 Chọn đáp án B √ Bài Tất giá trị x để x ≤ A x > 16 B ≤ x ≤ 16 C x < 16 Lời giải D √ 98 √ D ≤ x < 16 Điều √ kiện x ≥ x ≤ ⇔ x ≤ 16 Vậy ≤ x ≤ 16 Chọn đáp án B √ √ √ = a − b với a, b số nguyên dương Khi giá trị a − b 3+ A B −2 C D −3 Lời giải √ √ √ 2( − 3) √ √ = Ta có √ = − ⇒ a = 5, b = a − b = 5−3 3+ Chọn đáp án A … x+1 Bài Thu gọn biểu thức A = |x| với −1 ≤ x < ta √ √ x A A = x + B A = − x + C A = x + D A = |x + 1| Lời giải √ x+1 √ Ta có A = |x| · = x + |x| Chọn đáp án A √ Bài 10 Nếu x thỏa mãn điều kiện + x = x nhận giá trị sau đây? A B C D 36 Bài Cho √ Giáo viên: Chương Căn bậc hai - Căn bậc ba 101 Lời giải Với x ≥ 0, ta có Chọn đáp án D 3+ √ x=3⇔3+ √ x=9⇔ √ x = ⇔ x = 36 II PHẦN TỰ LUẬN (6.0 điểm) √ √ Bài 11 Tìm x, biết 2x − − = Lời giải Điều kiện: x ≥ Phương trình tương đương với √ √ 2x − = ⇔2x − = 12 17 ⇔x = (thỏa mãn điều kiện) 17 giá trị cần tìm Vậy x = Bài 12 Thực phép tính √ √ √ A = + − 50; B = 1 √ + √ 3+ 3− Lời giải √ √ √ √ √ √ A = + 22 · − 52 · = + 10 − 10 = √ √ 6 3− 5+3+ = = B = Ä √ ä= √ äÄ 9−5 3+ 3− √ Å Bài 13 Cho biểu thức: P = 1 √ − √ 1− a 1+ a ãÅ √ +1 a ã (0 < a = 1) Rút gọn biểu thức P √ Tính giá trị P a = + Với giá trị a P > Lời giải Với a > a = 1, ta có: Å ãÅ ã 1 √ − √ √ +1 P = 1− a 1+ a a √ √ √ √ √ 1+ a−1+ a 1+ a a 1+ a √ √ · √ √ √ · √ √ = = = (1 − a)(1 + a) a (1 − a)(1 + a) a 1− a Vậy P = √ 1− a Tài liệu Toán của: Giới thiệu đề kiểm tra tiết chương 102 Ä √ √ ä2 √ √ a = + = + 2 ⇒ a = + 2 √ 2 Ä √ = Vậy P = √ ä =− 1− a 1− 1+2 Với a > a = điều kiện để P > là: √ √ 2 4−1+ a 3+ a √ > ⇔ √ − >0⇔ √ √ >0 >0⇔ 1− a 1− a 1− a 1− a √ √ ⇔1 − a > ⇔ a < ⇔ a < Kết hợp với điều kiện a > ta được: < a < Đề số - Dành cho HS Khá, Giỏi Bài 14 Tính giá trị biểu thức     √ √ 3− 3+ √ + √ A = 3+ 3− B = √ √ − √ + 2+1 3−2 2−4 Lời giải Ta có Õ A= √ ä2 3− Ä √ äÄ √ ä+ 3+ 3− Ä Õ Ä √ ä2 √ √ 3+ 3− 3+ Ä + = √ äÄ √ ä= 2 3− 3+ Ta có Ä Ä √ ä √ ä 3+2 2+4 2−1 ä Ä√ ä+Ä äÄ √ ä B = Ä√ √ äÄ √ ä−Ä √ 2+1 2−1 3−2 3+2 2−4 2+4 Ä √ ä √ √ √ 2−1 9+6 2+4 = + − = 1 √ Bài 15 Cho biểu thức √ √ Å ã √ 3+ x 3− x 36 x−5 √ − √ − Q= : √ (với x > 0, x = 9, x = 25) 3− x 3+ x x−9 x−x Giáo viên: Chương Căn bậc hai - Căn bậc ba 103 Rút gọn Q Tim x để Q < Lời giải Ta có √ √ √ √ 3+ x 3− x (3 + x) − (3 − x) + 36 36 √ − √ − √ √ = 3− x 3+ x x−9 (3 + x) (3 − x) √ 12 ( x + 3) 12 √ √ = √ = (3 + x) (3 − x) 3− x Suy Ta có ® Vậy √ √ √ x (3 − x) 12 x 12 √ √ =√ Q= 3− x x−5 x−5 √ √ √ √ 12 x < ⇔ x − < (do x > ) ⇔ x < ⇔ x < 25 Q n+1−1 n Lời giải Ta có Suy √ √ 1 √ >√ = k + − k √ k k+ k+1 √ √ √ > 2− √ √ √ > 3− 2 ·················· √ √ √ > n + − n n Tài liệu Toán của: Giới thiệu đề kiểm tra tiết chương 104 Công bất đẳng thức theo vế ta Å ã √ 1 1 √ + √ + ··· + √ > n + − n Suy ä Ä√ 1 √ + √ + ··· + √ > n+1−1 n Bài 18 Cho x, y thỏa mãn: < x < 1, < y < x y + = Tính giá trị biểu 1−x 1−y thức: P =x+y+ x2 − xy + y Lời giải Ta có Mà xy x y + = ⇔ x (1 − y) + y (1 − x) = (1 − x) (1 − y) 1−x 1−y ⇔ x + y − 2xy = − x − y + xy ⇔ 3xy − (x + y) + = ⇔ 3xy = (x + y) − (x + y)2 nên ta có (x + y)2 (x + y) − ⇔ (x + y)2 − (x + y) + ⇔ 3(x + y) − 0⇔x+y ⇔ (x + y − 2) (3(x + y) − 2) (do x + y < + = 2) Suy » » (x + y)2 − 3xy = x + y + (x + y)2 − (x + y) + » = x + y + (x + y − 1)2 = x + y + − (x + y) = P =x+y+ Giáo viên: ... Căn bậc hai Luyện tập Bài Tìm bậc hai số học căc bậc hai số sau: 0,25 169 81 2,25 Lời giải Vì 0,25 = 0,52 nên bậc hai số học 0,25 0,5 bậc hai 0,25 ±0,5 Vì 81 = 92 nên bậc hai số học 81 bậc hai 81...Chương Căn bậc hai - Căn bậc ba Lời giải Ta có Căn bậc hai số ±1 12 = (−1)2 = Căn bậc hai số ±3 32 = (−3)2 = 16 Căn bậc hai số ± Å ã2 Å ã2 4 16 = − = 3 Căn bậc hai số 0,36 ±0,6 (0,6)2... hai - Căn bậc ba 23 §4 Liên hệ phép chia phép khai phương Tóm tắt lý thuyết … Định lí Với A ≥ 0, B > √ A A =√ B B Các dạng toán Dạng 11 Khai phương thương A hai biểu thức A ≥ 0, B > 0, ta khai