bai giang dai cuong ve duong thang va mat phang

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG BÀI GIẢNG ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết cách xác định điểm, đường thẳng mặt phẳng không gian + Hiểu khái niệm giao tuyến, giao điểm, thiết diện  Kĩ + Xác định giao tuyến hai mặt phẳng không gian + Xác định giao điểm hai đường phẳng khơng gian   Trang   I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm đầu Mặt phẳng: Mặt hồ nước yên lặng cho ta hình ảnh phần mặt phẳng Mặt phẳng khơng có bề dày, khơng có giới hạn Biểu diễn mặt phẳng thường dùng hình bình hành miền góc có ghi tên mặt phẳng góc Kí hiệu mặt phẳng ta thường dùng chữ in hoa (A, B, C ) kí tự  ,  ,  ,… đặt ngoặc (A), (B), (α), cần thiết Khi điểm A thuộc mặt phẳng (α) ta nói: A nằm mặt phẳng (α) hay mặt phẳng (α) chứa A, hay A thuộc (α) Kí hiệu: A    Khi điểm B không nằm mặt phẳng (α), kí hiệu B    Tính chất thừa nhận Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng Có bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng Nếu có nhiều điểm thuộc mặt phẳng ta nói điểm đồng phẳng Dựa vào tính chất chứng minh điểm thẳng hàng Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn có điểm chung khác chúng Dựa vào tính chất chứng có đường thẳng chung chứa tất điểm minh điểm thẳng hàng TOANMATH.com Trang   chung hai mặt phẳng Đường thẳng chung d hai mặt phẳng phân biệt      gọi giao tuyến      Kí hiệu d        Xác định mặt phẳng Cách 1: Qua ba điểm khơng thẳng hàng có mặt phẳng Cách 2: Qua đường thẳng điểm nằm ngồi có mặt phẳng Cách 3: Qua hai đường thẳng cắt có mặt phẳng Hình chóp Trong mặt phẳng   , cho đa giác lồi A1 A2 An Lấy điểm S nằm mặt phẳng   Lần lượt nối S với đỉnh A1 , A2 , , An để n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 Hình gồm đa giác A1 A2 An n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 gọi hình chóp kí hiệu S A1 A2 An Ta gọi S đỉnh, đa giác A1 A2 An mặt đáy, tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 gọi mặt bên hình chóp Các đoạn thẳng SA1 , SA2 , , SAn gọi cạnh bên, cạnh đa giác A1 A2 An cạnh đáy hình chóp Chú ý: Nếu đáy hình chóp tam giác ta gọi “hình chóp tam giác” hay “tứ diện” TOANMATH.com Trang   II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1:Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp giải Tìm giao tuyến mặt phẳng      Ví dụ: Cho S điểm khơng thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng  SAC   SBD  Hướng dẫn giải Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng  A     A          A      B     B  a       B      AB        Chú ý Hai đường thẳng phân biệt cắt chúng nằm mặt phẳng (địng phẳng) khơng song song với Ta có S   SAC    SBD  1 Trong mặt phẳng (ABCD) có AC  BD  O Lại có O  AC   ASC   O   SAC   O  BD   SBD   O   ABD   O   SAC    ABD   2 Từ (1) (2) suy SO   SAC    SBD  Ví dụ mẫu Ví dụ Trong mặt phẳng   cho tức giác ABCD có cặp cạnh đối không song song S    Xác định giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây: a)  SAC   SBD  b)  SAB   SCD  c)  SAD   SBC  Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang   a) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O  AC  DB Ta có S   SAC    SBD  1 O  AC   SAC   O   SAC  Lại có   O   SAC    SBD  O  BD   SBD   O   SBD   2 Từ (1) (2) suy SO   SAC    SBD  b) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi  H   AB  CD Ta có S   SAB    SCD   H  AB   SAB   H   SAB  Lại có   H   SAB    SCD     H  CD   SCD   H   SCD  Từ (3) (4) suy SH   SAB    SCD  c) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi  F   AD  CB Ta có S   SAD    SBC   5  F  AD   SAD   F   SAD  Lại có   F   SAD    SBC   F  CB   SBC   F   SBC   6 Từ (5) (6) suy SF   SAD    SBC  Chú ý: Đối với dạng tứ giác (hình bình hành, vng)… ta xác định giao hai đường chéo điểm thứ hai giao tuyến Ví dụ Cho bốn điểm A, B, C, D không thuộc mặt phẳng Trên đoạn thẳng AB, AC, BD lấy điểm M, N, P cho MN không song song với BC Tìm giao tuyến (BCD) (MNP) Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang   Trong mặt phẳng (ABC) gọi  E  MN  BC Ta thấy P   BCD    MNP  1  E  MN   MNP   E   MNP  Lại có   E   MNP    BCD   E  BC   BCD   E   BCD   2 Từ (1) (2) suy PE   MNP    BCD  Chú ý: A, B, C, D không thuộc mặt phẳng nghĩa A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện Vì giả thiết cho MN khơng song song với BC, nên việc tìm điểm thứ hai giao tuyến cần tìm giao điểm MN BC Ví dụ Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Trên hai đoạn thẳng AB, AC lấy điểm M, N cho AM AN   Tìm giao tuyến (DMN) (BCD) BM NC Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang   Trong tam giác ABC có  AM  BM  AM AN    AN BM NC  2  NC Nên MN BC không song song theo định lý Ta-lét Trong mặt phẳng (ABC) gọi  H   MN  BC Ta thấy D   BCD    DMN  (1)  H  MN   DMN   H   DMN  Lại có   H  BC   BCD   H   BCD   H   DMN    BCD   2 Từ (1) (2) suy DH   DMN    BCD  Chú ý: Vì đề khơng đưa giả thiết khơng song song mà lại cho tỉ lệ độ dài nên ta cần chứng minh MN BC không song song theo định lý Ta-lét Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác BCD Tìm giao tuyến mặt phẳng (ACD) (GAB) Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang   Ta có  A   GAB    ACD  Xét mặt phẳng (BCD) gọi  N   BG  CD  N  BG   ABG   N   ABG    N   ABG    ACD   N  CD   ACD   N   ACD  Vậy  ABG    ACD   AN Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AC, CD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MBD) (ABN) Hướng dẫn giải Ta có  B   ABN    MBD  Vì M, N trung điểm AC, CD nên AN, DM hai trung tuyến tam giác ACD Gọi G  AN  DM G  AN   ABN   G   ABN    G   ABN    MBD  Vậy  ABN    MBD   BG G  DM   MBD   G   MBD  TOANMATH.com Trang   Bài tập tự luyện dạng Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD Giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SBC) đường thẳng A SA B SD C SB D AC Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, gọi O giao điểm AC BD Giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) đường thẳng A SA B SB C SC D SO Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD, gọi O giao điểm AC BD Giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBD) đường thẳng A SA B SB C BD D SO Câu 4: Cho hình chóp S.ABC, gọi G trọng tâm tam giác ABC; M, N trung điềm BC, AC Giao tuyến (SAM) (SBN) A SG B SN C SM D Sx // AM // BN Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành tâm O, giao tuyến mặt (SAC) (SBD) A SC B SA C SB D SO Câu 6: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N trung điểm CD AD, G trọng tâm tam giác ACD BG giao tuyến hai mặt phẳng nào? A (ABM) (BCN) B (ABM) (BDM) C (BCN) (ABC) D (BMN) (ABD) Câu 7: Cho tứ diện ABCD, gọi N K trung điềm AD BC NK giao tuyến mặt phẳng (BCA/) với mặt phẳng A (ABC) B (ABD) C (AKD) D (AKB) Câu 8: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N trung điểm AD BC MN giao tuyến hai mặt phẳng nào? A (BMC) (AND) B (ABD) (ADN) C (BMC) (ACD) D (BMN) (ACD) Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành M, N trung điểm BC SD Giao tuyến hai mặt phẳng (AMN) (SCD) A đường thẳng NI với I giao điểm SC MN B đường thẳng NI với I giao điểm SC AM C đường thẳng NI với I giao điểm CD AM D đường thẳng NI với I giao điểm CD MN Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD với AC BD giao M, AB CD giao N Hai mặt phẳng (SAB) (SCD) có giao tuyến A SA B SM C SN D MN Câu 11: Cho tứ diện ABCD có I, J trung điểm AC, BC Gọi K thuộc BD cho KD < KB Gọi E giao điểm JK CD, F giao điểm AD IE Giao tuyến (IJK) (ACD) A đường thẳng AI B đường thẳng IF C đường thẳng JE D đường thẳng IE Câu 12: Cho tứ diện ABCD M, N hai điểm thuộc hai cạnh AB, AC cho MN cắt BC I Khẳng định sau A Đường thẳng MN cắt đường thẳng CD TOANMATH.com Trang   B Đường thẳng DN cắt đường thẳng AB C (AMN) khơng có điểm chung với (DBC) D  DMN    DBC   DI Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD tứ giác lồi với AB CD không song song Gọi I giao điểm hai đường thẳng AB CD Gọi d giao tuyến mặt phẳng (SAB) (SCO) Tìm d ? A d  SI B d  AC C d  BD D d  SO Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (AD đáy lớn) Gọi O giao điểm AC BD, I giao điểm AB CD Giao tuyến (SAB) (SCO) A SI B SO C Sx // AB D Sy // AD Câu 15: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J K trung điểm AC, BC BD Giao tuyến hai mặt phẳng (ABD) (IJK) A B KI C đường thẳng qua K song song với AB D KD Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD tứ giác lồi Gọi o giao điểm AC BD Gọi c giao tuyến mặt phẳng (SAC) (SBD) Tìm c ? A c  BD B c  SO C c  AC D c  SA Câu 7: Cho hình chóp S.ABC Gọi M, N hai điểm thuộc vào cạnh AC BC, cho MN không song song AB Gọi đường thẳng a giao tuyến mặt phẳng (SMN) (SAB) Tìm a ? A a  SO , với O giao điểm hai đường thẳng AM với BN B a  MI , với I giao điểm hai đường thẳng MN với AB C a  SQ , với Q giao điểm hai đường thẳng BM với AN D a  SI , với I giao điểm hai đường thẳng MN với AB Dạng Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Phương pháp giải Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J điểm nằm AB, AD với I trung điểm AB   AJ  AD Tìm giao điểm IJ mp (BCD) - Để chứng minh A giao điểm đường thẳng d Hướng dẫn giải  A  d mp   , ta phải chứng minh   A    Khi  A  d    TOANMATH.com Trang 10   Ta có điểm S, O hai điểm chung hai mặt phẳng (SAO) (SBD) nên SO   SAO    SBD  Câu 4: Ta có điểm S, G hai điểm chung hai mặt phẳng (SAM) (SBN) nên SG   SAM    SBN  Câu 5: TOANMATH.com Trang 21   Ta có điểm S, O hai điểm chung hai mặt phẳng (SAC) (SBD) nên SO   SAC    SBD  Câu 6: Ta có điểm B, G hai điểm chung hai mặt phẳng (ABM) (BCN) nên BG   AMB   BCN Câu 7: TOANMATH.com Trang 22   Ta có điểm N, K hai điểm chung hai mặt phẳng (BCN) (AKD) nên NK   BCN    AKD  Câu 8: Ta có điểm M, N hai điểm chung hai mặt phẳng (BCM) (AND) nên MN   BCM    AND  Câu 9: TOANMATH.com Trang 23   Câu 10: Ta có điểm S, N hai điểm chung hai mặt phẳng (SAB) (SCO) nên SN   SAB    SCD  Câu 11: TOANMATH.com Trang 24   Gọi E giao điểm JK CD  E  IJ   IJK    E điểm chung thứ  E  CD   ACD   I  IE   IJK   I điểm chung thứ hai Lại có   I  AC   ACD  Vậy  ACD    IJK   IE Câu 12: Ta có: TOANMATH.com Trang 25   D   DMN     D điểm chung (DMN), (DBC) D   BCD   BC  MN   I   I  MN   DMN     I điểm chung (DMN), (DBC) I  BC   BCD   Vậy  DMN    DBC   DI Câu 13: Vì AB, CD đồng phẳng nên gọi  I   AB  CD Ta có I  AB; AB   SAB   I   SAB  1 Lại có I  CD; CD   SCD   I   SCD   2 Từ (1) (2) suy I   SAB    SCD  (3) Mặt khác S   SAB    SCD  (4) Từ (3) (4) suy SI   SAB    SCD  Câu 14: TOANMATH.com Trang 26   Ta có AB, CD đồng phẳng nên gọi  I   AB  CD Ta có I  AB; AB   SAB   I   SAB  1 Lại có I  CD; CD   SCD   I   SCD   2 Từ (1) (2) suy I   SAB    SCD  (3) Mặt khác S   SAB    SCD  (4) Từ (3) (4) suy SI   SAB    SCD  Câu 15: Ta có K điểm chung hai mặt phẳng (ABD) (JJK) TOANMATH.com Trang 27   Mặt phẳng (ABD) chứa AB, mặt phẳng (JJK) chứa IJ mà AB // IJ Từ suy giao tuyến hai mặt phẳng (ABD) (IJK) đường thẳng qua K song song với AB Câu 16:  S   SAC   S c Ta có   S   SBD  Gọi O giao điểm AC BD O  AC   SAC  Suy   Oc O  BD   SBD  Vậy  SAC    SBD   SO  c Câu 17:  S   SNMN  Ta có   S  a Gọi I giao điểm MN với AB  S   SAB  TOANMATH.com Trang 28    I  MN   SMN  Suy   I a  I  AB   SAB  Vậy  SMN    SAB   SI  a Dạng Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng 1-D 2-A 3-D 4-A 5-D 6-D 7-B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Trong (BCD) có MN  CD   K   K giao điểm MN (ACD) Câu 2: Ta có MN, AB đồng phẳng nên gọi  K   MN  AB Câu 3: TOANMATH.com Trang 29   Gọi I giao điểm BD CM Ta có MN, SI   SMC  , gọi  K   MN  SI Suy giao điểm MN (SBD) giao điểm cùa đường thẳng MN với đường thẳng SI Câu 4: SO KC cắt nằm mặt phẳng (SAC) Câu 5: TOANMATH.com Trang 30   Ta có  ABC    SMB   BM Do Z giao điểm đường AN (SBM)  Z   SBM    Z  AN 1 Mà AN   ABC   Z   ABC  Suy Z   ABC    SBM   BM  2 Từ (1) (2) suy Z giao điểm hai đường thẳng AN BM Câu 6: Đường thẳng MN BD nằm mặt phẳng (SBD) Theo giả thiết MN BD không song song TOANMATH.com Trang 31   Gọi  K   MN  BD mà BD   ABCD    K   MN   ABCD  Câu 7: Do Am, SO nằm mặt phẳng (SAC) Gọi  I   AM  SO Mà SO   SBD  nên  I   AM   SBD  Dạng Tìm thiết diện mặt phẳng hình chóp Chứng minh ba điểm thẳng hàng 1-B 2-A 3-C 4-D 5-B 6-D Câu 1: Ta có  SBD    SAC   SO;  ADM    SBD   MD TOANMATH.com Trang 32   Gọi MD  SO  G   SAC    ADM   AG Gọi  N   AG  SC => Thiết diện cắt hình chóp tứ giác ADNM Câu 2: Trong mp (ABCD) gọi  E  CD  MN ; Q  PE  SD Gọi  F   BC  MN ;  R  PF  SB Suy thiết diện tao mặt phẳng (MNP) với hình chóp ngũ giác MNQPR Câu 3: Gọi O  AC  BD;  K   SO  IJ ;  H   AK  SC Khi thiết diện mặt phẳng (AIJ) với hình chóp S.ABCD tứ giác AIHJ Câu 4: TOANMATH.com Trang 33   Thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (MNP) tam giác MNP Câu 5: Gọi M,N trung điểm AB, BC suy AN  MC  G (GCD) cắt đường thẳng AB điểm M Suy tam giác MCD thiết diện mặt phẳng (GCD) tứ diện ABCD ∆ABD có M trung điểm AB suy MD  a ∆ABC có M trung điểm AB suy MC  a TOANMATH.com Trang 34   Gọi H trung điểm CD  MH  CD  S MCD  MH CD Với MH  MC  HD  MC  CD a  a a2 Vậy S MCD  a  2 Câu 6: Tam giác ABC có M, N trung điểm AB, AC Suy MN đường trung bình tam giác ABC => MN // BC Từ E kẻ đường thẳng d song song với BC cắt BD F => EF // BC Do MN // EF suy bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng MNEF hình thang Vây hình thang MNEF thiết diện cần tìm TOANMATH.com Trang 35 ... F => EF // BC Do MN // EF suy bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng MNEF hình thang Vây hình thang MNEF thiết diện cần tìm TOANMATH.com Trang 35 ... điểm cạnh BD C hình bình hành MNEF với F điểm cạnh BD mà EF // BC D hình thang MNEF với F điểm cạnh BD mà EF // BC TOANMATH.com Trang 19   ĐÁP ÁN Dạng Tìm giao tuyến hai mặt phẳng 1-C 2-C 3-D... MN   BCM    AND  Câu 9: TOANMATH.com Trang 23   Câu 10: Ta có điểm S, N hai điểm chung hai mặt phẳng (SAB) (SCO) nên SN   SAB    SCD  Câu 11: TOANMATH.com Trang 24   Gọi E giao điểm