Thông tin tài liệu
Giaovienvietnam.com BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC VẬN DỤNG CAO (C) z = x − + yi ( x, y ∈ ¡ ) tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức , thỏa z =1 N z0 = − i (C) MN M mãn điểm biểu diễn số phức Tìm điểm thuộc cho có độ dài lớn Câu Gọi M ( 1;1) A B 1 3 M ; ÷ ÷ 2 C M (1;0 ) D M ( 0;0 ) Hướng dẫn giải Chọn A M ( x; y ) Ta có: ( C ) : ( x − 1) Do nên MN Vậy MN điểm Câu Gọi (C) Tâm có độ dài lớn MN đường kính, hay I (1;0) trung M (1;1) Lời bình: tốn tọa độ lớp M I ( 1;0 ) + y2 = nằm đường tròn N ( 1; −1) ∈ ( C ) điểm cho MN 10 , cho đường trịn (C) điểm N Tìm đạt min, max (C) z = x − + yi ( x, y ∈ ¡ ) tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức , thỏa z =1 z = + 3i M (C ) N mãn điểm biểu diễn số phức điểm thuộc cho MN MN có độ dài lớn Khi độ dài lớn A 34 B C Hướng dẫn giải Chọn A D M ( x; y ) Ta có: Câu Gọi + y =1 nằm đường tròn N ( 5;3) Do ( C ) : ( x − 1) Giaovienvietnam.com (C) nằm nên MN Tâm I (1;0) MN = NI + R = + = có độ dài lớn (C) ( x, y ∈ ¡ ) z = x − + yi tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức , thỏa z =1 z = + 3i M (C) N mãn điểm biểu diễn số phức điểm thuộc cho MN MN có độ dài bé Khi độ dài bé A 34 B C D Hướng dẫn giải Chọn D M ( x; y ) Ta có: Do nằm đường trịn N ( 5;3) (C) nằm ngồi nên MN có độ dài bé I ( 1; ) Tâm MN = NI − R = − = thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ z1 − z2 A z1 + = 5; z2 + − 3i = z2 − − 6i z1 ; z2 Câu Cho hai số phức ( C ) : ( x − 1) + y = B 121 C 25 D 49 Lời giải Chọn A z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i (a1 , b1 , a2 , b2 ∈ ¡ ) Gọi z1 + = ⇔ ( a1 + 5) + b12 = 25 Khi I ( −5; ) ; R = z1 Tập hợp điểm biểu diễn đường tròn tâm Giaovienvietnam.com Cũng theo giả thiết, ta có: z2 + − 3i = z2 − − 6i ⇔ ( a2 + 1) + ( b2 − 3) = ( a2 − 3) + ( b2 − ) 2 2 ⇒ 8a2 + 6b2 − 35 = ∆ : x + y − 35 = z2 Tập hợp điểm biểu diễn đường thẳng −5.8 − 35 15 d ( I , ∆) = = ⇒ d ( I, ∆) > R 82 + ⇒ z1 − z2 = d ( I , ∆ ) − R = z+1 + z−1 = Câu Cho số phức z thỏa mãn m = z Gọi M = max z M n A 2 B C 3 D M = max z + 1+ i z − − 3i = Câu Cho số phức z thỏa mãn (M + n2 Gọi m= z + 1+ i , Tính ) giá trị biểu thức A 28 B 24 C 26 D 20 z1 Câu Kí hiệu nghiệm phức có phần ảo âm phương trình tọa độ điểm điểm biểu diễn số phức M ( −2;1) A M ( 3; − ) B Câu Cho hai số phức z1 − z2 ? thỏa mãn w = ( + 2i ) z1 − i C M ( 2;1) D z2 = iz1 Trên mặt phẳng ? M ( 3; ) z1 + − i = z1 , z2 z − 16 z + 17 = Tìm giá trị nhỏ m biểu thức Giaovienvietnam.com A m = − B m = 2 C m = D m = 2 − Lời giải Chọn D z1 + − i = Do M1 nên điểm biểu diễn z2 = iz1 nên điểm quay 900 thuộc đường tròn tâm M2 Do I ( −1;1) z1 z2 (điểm biểu diễn M1 ) ảnh z1 − z2 = M M = 2OM Suy bán kính R=2 O qua phép quay tâm , góc OM ngắn ngắn OM = R − OI = − Ta có: ( ) m = 2− = 2 −2 Vậy: Đề xuất z1 + − i = Do M1 nên điểm biểu diễn I ( −1;1) z1 thuộc đường tròn tâm bán kính ( ) R=2 z1 − z2 = z1 − iz1 = ( − i ) z1 = z1 = 2OM ≥ ( R − OI ) = 2 − = 2 − (Vẽ hình thể mơ tả cho phần đánh giá) Câu Tính mơđun số phức z z z + 2017( z + z ) = 48 - 2016i thỏa mãn z = 2020 z =4 A B z = 2017 Lời giải C Chọn A - Đặt z = a + bi (a, b ẻ Ă ) ị z = a - bi z.z + 2017( z + z ) = 48 - 2016i - Ta có: Û 3(a + b ) + 4034b.i = 48 - 2016i Þ a + b = 16 z =2 D Giaovienvietnam.com z = a + b2 = - Vậy Chọn A z + z.z - = z Câu 11: Tính môđun số phức thỏa mãn 3 z= z= 2 A B Câu 12: Số số phức z thỏa mãn đẳng thức: A B Câu 13: Cho số phức z z =1 z =3 C D 1 z + ( z - z) = 1+ ( z + z ) i 2 C D z −1 = thỏa mãn điêu kiện Tính giá trị lớn biểu thức T = z +i + z −2−i A max T = B max T = C max T = Hướng dẫn giải Chọn C z = x + yi ( x, y Ỵ ¡ Đặt ) , ta có: z - = Û x- 1+ yi = 2 Û ( x- 1) + y2 = Û x2 + y2 = 2x + 1( *) T = z + i + z − − i = x + ( y + 1) i + x − + ( y − 1) i Lại có: = x2 +( y + 1) + ( x- 2) +( y- 1) = x2 + y2 + 2y + 1+ x2 + y2 - 4x- 2y + D max T = Giaovienvietnam.com ( *) Kết hợp với , ta được: T = 2x + 2y + + 6- 2x- 2y Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta é ( +1 ) êê( T£ ë max T = Vậy ) ( 2x + 2y + + 2ù 6- 2x- 2y ú= ú û ) z = Câu 14 (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019): Xét số phức z thỏa mãn Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức bán kính 34 A B 26 w= + iz + z đường tròn có C 34 26 D Lời giải Chọn A Ta có Đặt w= + iz ⇒ w(1 + z ) = + iz ⇔ z ( w − i ) = − w ⇒ w − i = − w 1+ z w = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) x + ( y − 1) = ( x − 4) Ta có + y ⇔ ( x + y − y + 1) = x − x + 16 + y ⇔ x + y + x − y − 14 = ⇔ ( x + ) + ( y − ) = 34 2 34 Vậy tập hợp điểm biễu diễn số phức w đường trịn có bán kính M Câu 15: Gọi khác A m P= z +i z giá trị lớn giá trị nhỏ z ≥2 thỏa mãn 2M − m = Tính B với z số phức M − m 2M − m = C M − m = 10 D 2M − m = Giaovienvietnam.com Lời giải Chọn B P = 1+ Ta có i i 1 ≤ 1+ ≤ 1+ ≥ 1− ≥ z | z| Mặt khác: z | z| Vậy, giá trị nhỏ P là , xảy z = −2i ; giá trị lớn P xảy z = 2i ⇒ 2M − m = z = Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z2 − z + Tính giá trị M m 39 B 13 A 13 D C 3 z −3 + z +3 = Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn nhỏ z A Khi M + m − B + D + C w2 + = w P = ( x − y ) + 12 Câu 18: Cho số phức w = x + yi ( x, y ∈ R ) thoả điều kiện Đặt Khẳng định sau A ( P =− w −2 ) B ( P =− w −2 ) C Lời giải P = ( w − 4) D ( P = w −4 ) Chọn B ( ) ( w2 + = w ⇔ x − y + + xyi = x + yi ⇔ x − y + + x y = x + y Ta có: ) ⇔ x + y + 16 + x y + x − 12 y = ⇔ x + y + x y − x − y + + ( x − y ) + 12 = ( ) ⇔ ( x − y ) + 12 = − ( x + y + x y − x − y + ) ⇔ P = − ( x + y − ) = − w − 2 ( P =− w −2 Hay phương án chọn B ) Giaovienvietnam.com w = w Nhận xét: câu đáp án A Câu 19: Cho số phức w = x + yi ( x, y ∈ R ) thoả điều kiện P = 8( x − y ) − 12 Khẳng định sau 2 P = ( w − 2) A Đặt ( ) P = x − y + 12 ( P = ( w + 2)2 B w2 − = w P = ( w + 4) C D P = w −4 ) Nhận xét: thay số thành -4; 12 thành -12 thay làm tương tự khó khăn cặp số (2;4) giá trị thay Câu 20: Cho w = sin α + i cos α ( a=− 34 3 ta có * Với Min z + 4i − = Vậy: Câu 89: Trong mặt phẳng phức, xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M , M ′ ; số phức z ( + 3i ) có điểm biểu diễn N Gọi N ′ điểm đối xứng với N qua z + 4i − đường thẳng MM ′ Biết tứ giác MNM ′N ′ hình thoi Tìm phần ảo z để đạt giá trị nhỏ 96 192 96 192 − − A 25 B 25 C 25 D 25 Lời giải Chọn A Phân tích: Dựa vào tính chất hình thoi tứ giác có hai đường chéo vng góc cắt trung điểm đường ⇒ N ∈ Ox Giaovienvietnam.com Giả sử: z = a + bi ( a, b ∈ ¡ * Khi đó: ) Ta có M ( a; b ) M ′ ( a; −b ) z ( + 3i ) = ( 4a − 3b ) + ( 3a + 4b ) i N ( 4a − 3b;3a + 4b ) Suy N ∈ Ox ⇒ 3a + 4b = ⇒ a = − b * Do tứ giác MNM ′N ′ hình thoi nên 25 64 4 z + 4i − = b + ÷ + ( b + ) = b + b + 41 * Ta có 96 b=− ⇒ z + 4i − 25 đạt giá trị nhỏ z−w =9 Câu 90: Cho số phức z w thỏa mãn z + w = + 4i Tìm giá trị lớn biểu thức T= z+w A max T = 176 B max T = 14 C max T = D max T = 106 Lời giải Chọn D Phân tích: Từ yêu cầu toán ta nghĩ đến BĐT Bunhiacopxki, vấn đề lại biến đổi để xuất Ta có ( z +w 2 z +w 2 tốn giải xong ) = z+w ( T = ( z + w ) ≤ ( + 1) z + w nên + z − w = 25 + 81 = 106 2 ) = 106 Do T ≤ 106 z−w =c >0 Câu 91: Cho số phức z w thỏa mãn z + w = a + bi; a , b ∈ ¡ (hoặc z+w =c>0 T = p z + q w z − w = a + bi; a , b ∈ ¡ ) Tìm giá trị lớn biểu thức với p > 0, q > Lời giải Ta có: ( 2 z +w ) = z+w + z − w = a2 + b2 + c2 ( T = ( p z + q w ) ≤ ( p + q ) z + w Khi 2 ) =( p a + b2 + c + q2 ) ÷ Giaovienvietnam.com T≤ Nên ( a2 + b2 + c2 p2 + q2 ÷ ) 3 z − + 3i = z + − i Câu 92: Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) thỏa mãn Tính S = x + y biết P = z − − 2i − z + − i biểu thức đạt giá trị lớn A S = B S = 16 C S = 54 D S = 27 Lời giải Chọn C Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Oxy Ta có z − + 3i = z + − i ⇔ ( x − 1) + ( y + 3) = ( x + 3) + ( y − 1) ⇔ x − y = Gọi A ( 1; ) , B ( −1;1) , 2 P = z − − 2i − z + − i = MA − MB MA − MB Bài toán trở thành: “Tìm M thuộc đường thẳng d : x − y = cho lớn nhất.” Xét P ( x, y ) = x − y , ta có P ( A ) ×P ( B ) = −1×( −2 ) = > Do A , B nằm phía đường thẳng d I ( 3;3) Gọi I giao điểm AB với d , ta tìm Ta có MA − MB ≤ AB Đẳng thức xảy M trùng với I Do P đạt giá trị lớn 3 M ( 3;3) tọa độ M Vậy x = y = S = + = 54 Giaovienvietnam.com Nhận xét: Bài tốn khó A , B nằm khác phía đường thẳng d Khi ta cần tìm điểm đối xứng B ' B qua d M trùng với I = AB '∩ d z −z =2 Câu 93: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = + 6i Tìm giá trị lớn biểu P = z1 + z2 thức B Pmax = 104 A Pmax = 26 C Pmax = 32 + D Pmax = Lời giải Chọn A Ta có ( z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 ) ≥( z + z2 ) z2 = + 6i − z1 z1 = z2 z1 + z2 = + 6i ⇔ z1 = z1 − − 6i z −z =2 P = z1 + z2 ≤ 26 z1 − − 3i = Suy , dấu "=" xảy z2 = + 6i − z1 z1 = 17 + 19i ⇔ 5 23 11 i z1 = + 5 Vậy Pmax = 26 Tổng quát: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = z0 giá trị lớn biểu thức P = z1 + z2 ( z0 ≠ ) z1 − z = m > Gọi điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z0 M , N , K Tìm Giaovienvietnam.com 2 Ta có z1 + z2 = OM + ON 2 z1 + z2 (z ≥ + z2 ) = 2OE + z + m2 MN = 2 ⇒ z1 + z2 ≤ Suy giá trị lớn P = z1 + z2 z0 + m z0 + m z + z + z − z = z2 P = z − − 2i Câu 94: Cho số phức z thoả mãn Giá trị lớn biểu thức A +5 B +3 C + Lời giải +3 D Chọn B Cách 1: Đại số z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Đặt z + z + z − z = z ⇔ a + b = a + b ⇔ ( a − 1) + ( b − 1) = ( 1) Từ giả thiết Ta có P = z − − 2i = ( a − 5) + ( b − ) = a + b − 10a − 4b + 29 = −2 ( a + 1) − ( b + 1) + 47 Dễ thấy P lớn a, b ≤ Khi P = −12a − 6b + 29 a + 1) + ( b + 1) = Do a, b ≤ nên từ ( ) ta có ( 2 P = −2 ( a + 1) − ( b + 1) + 47 ≤ Suy (2 2 + 12 ) ( a + 1) + ( b + 1) + 47 = 47 + 10 = + ( a + 1) + ( b + 1) = 10 a = −1 − a +1 b +1 = ⇔ b = −1 − 10 a + 1, b + < Dấu = xảy Cách 2: Hình học z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Đặt z + z + z − z = z ⇔ a + b = a + b ⇔ ( a − 1) + ( b − 1) = ( 1) Từ giả thiết Tập hợp M A ( −1;1) nhỏ) , biểu diễn z thuộc phần đường tròn bán kính R = có tâm B ( 1;1) C ( 1; −1) D ( −1; −1) , , nằm chọn vẹn góc phần tư (bỏ cung Giaovienvietnam.com P = ME với E ( 5; ) Từ hình vẽ ta thấy max P = HE = ED + = + Nhận xét: Nếu yêu cầu tìm ta làm tương tự z + z + z − z = z2 z Câu 95: Cho số phức thoả mãn Giá trị nhỏ biểu thức P = z − − 2i A − B 17 − Câu 96: Cho số phức z thỏa mãn P = z + - 4i A C − z + z +3 z - z = z B 2 D − Giá trị nhỏ biểu thức C D z + z + z − z = a , b, c Câu 97: Cho số phức z thỏa mãn ; dương Gọi M , m giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = z - - 3i Tính M + m A 10 + 34 HD: Chọn B Từ đồ thị ta xác định B + 58 C 10 + 58 D 10 E ( 3;3) , A1 ( 4;0 ) , A2 ( 0; ) , A3 ( −4; ) , A4 ( 0; −2 ) , H1 ( 2;1) EM = EH1 = , EM max = EA = 58 Khi đó, Giaovienvietnam.com Câu 98: Cho số phức z thỏa mãn nhỏ z − + 4i Gọi M , m giá trị lớn nhất, Tính M − m C 57 + D 57 + 1≤ z −2+i ≤ z − + 3i Câu 99: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M giá trị lớn , A 57 + z +5 = z + z B 57 + m giá trị nhỏ z + − 2i Tính M + m A B C D Lời giải Chọn A I ( 2; −1) A ( 2; −3) , B ( −2; ) Lấy điểm , ; điểm N biểu diễn số phức z Ta có < AI = < ⇒ M = AN max = AI + = ; BI = > ⇒ m = BN = BI − = Do đó, M + m = Câu 100: Cho hai điểm A , B hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z0 , z1 khác z + z = z0 z1 thỏa mãn đẳng thức Hỏi ba điểm O , A , B tạo thành tam giác gì? ( O gốc tọa độ) ? Chọn phương án đầy đủ A Cân O B Vuông cân O Lời giải C Đều D Vuông O Chọn C Hai điểm A , B hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z0 , z1 OA = z0 OB = z1 AB = z1 − z0 Theo giả thiết suy ra: , 2 2 2 z0 + z1 = z0 z1 ⇔ z0 − z0 z1 + z1 = ⇔ ( z0 + z1 ) ( z0 − z0 z1 + z1 ) = Ta có: 3 3 ⇔ z0 + z1 = ⇔ z0 = − z1 ⇔ z0 = z1 ⇔ OA = OB 2 2 ( z − z ) = z0 + z1 − z0 z1 = − z0 z1 ⇒ z1 − z0 = z1 z0 Xét ⇔ AB = OA.OB ⇔ AB = OB Vậy AB = OB = OA hay tam giác OAB tam giác ... 2018 ( i − 1) − ( i ( i − 1) Giaovienvietnam.com 2019 ) = 1009 − 1010i −1 ( ) = 1009 − 1010i 2019i 2018 ( i − 1) − i 2019 − ( i − 1) w = 1009 − 1010i − i = 1010 − 1010i z1 = z2 = z1 z2 M N Câu... i + 1) ( ) ( 2) ta được: ) = −2019 ( i + 1) + ( −i + 1) 504 i +1 2i −2020i − 2018 = ? ?1009 − 1010i ⇒ a = ? ?1009 ;b = −1010 ⇒ T = −3a + b = 2017 Câu 53: Gọi T tổng phần thực phần ảo số phức T Tính... ∑ ( 4n ) − ∑ ( 4n − ) ÷+ ∑ ( 4n − 3) − ∑ ( 4n − 1) ÷i n =1 n =1 n =1 n=1 = −1010 + 1009 i Suy tổng phần thực phần ảo số phức w Cách 2: Phân tích Cách sử dụng cấp số cộng để tính tổng
Ngày đăng: 02/12/2022, 21:07
Xem thêm:
