CUNG và góc LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Ch ủ đề CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Trong chủ đề tìm hiểu khái niệm đường trịn định hướng, cung, góc lượng giác số cơng thức lượng giác để thực biến đổi lượng giác, chuẩn bị cho chủ đề hàm số phương trình lượng giác đề cập tới sách Cơng Phá Tốn Ngồi ra, kiến thức chủ đề công cụ quan trọng việc học vật lí sau  §1 Cung góc lượng giác A Lý thuyết Đơn vị đo góc cung trịn a Độ Đường trịn bán kính R có độ dài 2 R có số đo 360° chia đường trịn thành 360 phần, phần có độ dài 2 R  R  có số đo 1 (góc tâm chắn cung 360 180 R ) 180 Vậy cung 1 có độ dài R a R ; cung a có độ dài 180 180 STUDY TIP Diện tích: b Radian Chu vi: - Góc tâm chắn cung radian gọi góc có số đo radian (góc radian viết tắt rad) - Cung có độ dài bán kính gọi cung có số đo radian (cung radian) Nhận xét: + Cung độ dài R có số đo rad + Đường trịn có độ dài 2 R có số đo 2 rad + Cung có số độ dài l có số đo   rad R + Cung có số đo  rad có độ dài l   R c Liên hệ giữ độ rad STUDY TIP Khi viết góc theo đơn vị radian ta khơng viết chữ rad sau số đo góc Ví dụ: thay cho rad 360  2 (số đo đường trịn bán kính R)  180   rad  rad  1  180  5717 ' 45''   rad  0, 0175 rad 180 Bảng chuyển đổi số góc lượng giác đặc biệt: Độ 30 45 60 90 120 135 150 180 Rad     2 3 5  Ví dụ 1: Một đường trịn có bán kính R  10cm Tìm số đo (rad) cung có độ dài 5cm A B C D 0,5 Lời giải Theo cơng thức tính độ dài cung trịn l ta có:   l   0,5  rad R 10 Đáp án D Ví dụ 2: Cho đường trịn  O; R  ngoại tiếp lục giác ABCDEF Khi số sso cung đường trịn có độ dài chu vi lục giác theo độ rad là: 1080 A 360 2 B 360  C D 1080 6  Lời giải ABCDEF lục giác  ·AOB  360  60 OA  OB  AOB  AB  OA  R  Chu vi ABCDEF 6R  Cung có độ dài 6R có số đo rad rad  180 1080    Đáp án C Cung lượng giác, góc lượng giác số đo chúng a Đường tròn định hướng - Đường tròn định hướng đường tròn mà ta chọn chiều dương, chiều ngược lại chiều âm - Quy ước: Chiều ngược kim đồng hồ chiều dương, chiều thuận kim đồng hồ chiều âm b Cung lượng giác - Cho hai điểm A, B đường tròn định hướng M chạy đường tròn treo chiều (chiều dương chiều âm) từ A tới B, ta nói M tạo nên cung Ð lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B Kí hiệu AB c Góc lượng giác - Khi M từ A tới B OM quay từ OA tới OB Ta nói tia OM tạo góc lượng giác có tia đầu OA, tia cuối OB Kí hiệu  OA, OB  Ð - Số đo góc lượng giác  OA, OB  số đo cung lượng giác AB Ð - Số đo cung lượng giác: Cho cung tròn AB Nếu OM quay theo chiều dương từ Ð OA tới OB tạo góc  cung AB có số đo   k 2  k  ¢  Ð Kí hiệu: sđ AB Vậy: Ð Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều dương thì: sđ AB    k 2  k  ¢  Ð Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều âm thì: sđ AB    k 2  k  ¢  d Đường trịn lượng giác Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn lượng giác đường tròn định hướng tâm O bán kính R  , cắt Ox A  1;0  A '  1;0  ; cắt Oy B  0,1 B '  0,1 Ta lấy A điểm gốc đường trịn e Biểu diện cung lượng giác đường tròn lượng giác - Để biểu diễn cung  , ta xác định điểm M đường tròn lượng giác cho Ð sđ AM   + Nếu   2    360  , ta chọn điểm M cho ·AOM   (theo chiều dương) + Nếu   2 , ta viết     k 2 ta chọn điểm M cho ·AOM   Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn lượng giác M thuộc  Ð đường tròn cho ·AOM  (M thuộc góc phần tư thứ tư) Số đo AM giá trị sau đây? 5  13 11 A B C D 6 6 Lời giải Vì M thuộc góc phần tư thứ IV ·AOM  30 nên góc tính theo chiều âm  ·AOM   theo chiều dương   2   Ð  sđ AM    k 2  k  ¢  11  k 2  k  ¢  11  k 2  k  ¢  Vì k  ¢ nên có đáp án C thỏa mãn (với k  2 ) Đáp án C Ví dụ 2: Cho bốn cung (trên đường tròn định hướng):    5 7 ;  Các cung có điểm cuối trùng là: 3  10 ;  ; 3 A   B   C   D   Lời giải    điểm cuối M  10 4   2  điểm cuối M 3  5    2  điểm cuối M 3  7    2  điểm cuối M 3 Đáp án B Ví dụ 3: Cung  có điểm đầu A điểm cuối M số đo  là: 7 7 7 7  k  k  k 2  k 2 A B C D 4 4 Lời giải Cung  có điểm đầu A điểm cuối M theo chiều dương có số đo 7  k 2  k  ¢  Đáp án D  Trong số sau, số 12 số đo góc lượng giác có tia đầu, tia cuối với góc lượng giác  OA; OB  ? Ví dụ 4: Cho góc lượng giác  OA; OB  có số đo A 13 12 B 25 12 C 49 12 D 19 12 Lời giải + 13    ; 12 12 49    4 ; 12 12 + 25     2 ; 12 12 19 7   12 12 Đáp án C B Các dạng tốn điển hình Ví dụ 4: Đổi số đo cung sau sang radian: 70 (làm trịn đến hàng phần nghìn) A 2,443 B 1,222 C 2,943 D 1,412 Lời giải Cách 1: Dùng công thức đổi từ độ sang radian a  a 70   rad  70    rad  1, 222  rad 180 180 Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi: - Chuyển sang chế độ Radian: - Sau ấn: Đáp án B rad C 150 Ví dụ 2: Đổi số đo cung sau sang độ, phút, giây: A 4744 '47 '' B 3733'37 '' D 30 Lời giải  180   180  Cách 1: Dùng công thức: a rad =  a   rad=     6   Chuyển đổi sang độ, phút, giây máy tính Nhập biểu thức 5.180 vào máy tính, sau ấn 6 ta kết A Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi: - Chuyển sang chế độ: Sau ẩn: Đáp án A Ví dụ 3: Trên đường tròn lượng giác lấy điểm M cho ·AOM  150 Tính Ð diện tích hình giới hạn điểm O AM là: A 5 (đvdt) B 5 (đvdt) C 5 (đvdt) D 5 (đvdt) 12 Lời giải Diện tích hình trịn lượng giác là: S0   R   (đvdt) Ð  sđ AM  150  k 360 ·AOM  150   (k  ¢) Ð   sđ AM  360  150  k 360  210  k 360 Ð 150 5  360 12 Ð 210 7  360 12 + sđ AM  150  Stp   + sđ AM  210  S   Ð 5 Ð + sđ AM  360 sđ AM  360  S  (đvdt) 12 Đáp án D Ví dụ 4: Trên đường trịn lượng giác lấy điểm M ; M ; M ; M cho ngũ Ð giác AM 1M M M ngũ giác đều, sđ AM là: A 27 C 60 B 144 D 120 Lời giải Vì AM 1M M M ngũ giác nên ·AOM  M · OM  M · OM  M · OM  M · OA  360  72 1 2 3 4 Ð · OM  144 sđ AM   ·AOM  ·AOM  M Nếu M , M , M , M xếp theo thứ tự ngược lại, ta có đáp án khơng đổi Đáp án B Ví dụ 5: Trên đường trịn lượng giác, số tập hợp n điểm M , M , , M n thỏa mãn n điểm tạo thành đa giác là: A B C D vô số Lời giải STUDY TIP Tập hợp n điểm tạo thành đa giác đường tròn lượng giác tập hợp điểm M thỏa mãn: Để M 1M M n đa giác · OM  M · OM  M · OM   M · OM  M · OM  2 M 2 3 n 1 n n n  Tập hợp điểm cần tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: Ð sđ AM    k 2  k ¢ n Vì  góc nên có vơ số tập hợp n điểm thỏa mãn u cầu tốn Đáp án D Ð Ví dụ 6: Trên đường tròn lượng giác, cho cung lượng giác sđ AM có số đo 8,18 Hỏi M nằm goác phần tư thứ mấy? A I B II C III D IV Lời giải Ta có: 8,18  2, 6  3  8,18  2,5    4  8,18  1,5  4  M nằm góc phần tư thứ III (M nằm điểm  3 ) Ð Lưu ý: đường tròn lượng giác cho cung lượng giác AM có số đo  Với k  ¢ ta có: + M nằm góc phần tư thứ k 2    + M nằm góc phần tư thứ hai   k 2   k 2      k 2 + M nằm góc phần tư thứ ba   k 2    + M nằm góc phần tư thứ tư 3  k 2 3  k 2    2  k 2 Đáp án C Ð Ví dụ 7: Trên đường trịn lượng giác, cho điểm M xác định sđ AM   Gọi M điểm đối xứng M qua đường thẳng d thỏa mãn đường thẳng cắt Ð đường trịn D (D có tung độ khơng âm) ·AOD         Cung AM Ð có số đo         Khi số đo cung lượng giác AM là: A 2    k 2 B 2    k 2 C   2  k 2 D   2  k 2 Lời giải Dễ thấy đường thẳng d trục đối xứng đường tròn nên M đối xứng với M qua d thuộc đường tròn lượng giác STUDY TIP Với đối xứng với M qua d d cắt D tung độ khơng âm) ; sđ Thì số sđ Gọi giao điểm d với  O  D  yD   Ð Ð Vì M đối xứng với M qua d  sđ AM  sđ DM Ð Ð Ð Ð Ð Ta có: MD  AD  AM  sđ MD      sđ DM     Ð Ð Ð Ð Lại có : AM  AD  DM  sđ AM          2   Ð  sđ AM  2    k 2 Đây trường hợp với    90,  có giá trị dương Những trường hợp khác chứng minh tương tự ta có kết Đáp án A Ví dụ 8: Chọn điểm A  1;0  làm điểm đầu cung lượng giác đường trịn lượng 27 giác Tìm điểm cuối M cung lượng giác có số đo A M điểm cung phần tư thứ B M điểm cung phần tư thứ hai C M điểm cung phần tư thứ ba D M điểm cung phần tư thứ tư Lời giải Ð sđ AM  27 3 3  6   ·AOM  4  M điểm cung phần tư thứ hai Đáp án B Ví dụ 9: Một đường trịn bán kính 20cm Tính độ dài cung đường trịn có số  đo (tính gần đến hàng phần trăm) 16 A 3,92 B 3,93 C 24,67 D 24,68 Lời giải Cung có số đo rad có độ dài R  20cm Cung có số đo   R  3,93cm rad có độ dài là: 16 16 Đáp án B Ví dụ 10: Khi biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác Khẳng định sai? A Điểm biểu diễn cung  cung    đối xứng qua trục tung B Điểm biểu diễn cung  cung  đối xứng qua gốc tọa độ C Mỗi cung lượng giác biểu diễn điểm D Cung  cung a  k 2  k  ¢  có điểm biểu diễn Lời giải Điểm biểu diễn cung  cung  đối xứng qua trục hồnh Đáp án B Ví dụ 11: Cho góc lượng giác có sđ  Ox; Ou     n 2  m, n  ¢  Chọn khẳng định A Ou Ov đối xứng B Ou Ov vng góc C Ou Ov trùng  D Ou Ov tạo với góc 5  m2 sđ  Ox; Ov   Lời giải Ta có: sđ  Ox; Ou   5    m 2   2  m2    m  1 2 với m  ¢ 2 Vậy n  m  Do Ou Ov trùng Đáp án C  sin  2a  b   sin b  2 sin  2a  b   sin  b   2 6sin b tan  a  b  2   3 tan a 4sin b  sin B sin C 1  cos  B  C   cos  B  C  2 1    cos  B  C   cos  B  C    B, C có vai trị góc đo Ví dụ:  sin A  sin B  sin C  max  3  ABC Câu 13: Đáp án C Mà  B  C    tan A  tan B  tan C   Ta có:  BC    2  3   A   B C   ABC sin x  cos x   sin x  cos x  3sin x cos x  sin x  cos x   cos A.cos B.cos C  max  cos A  cos B  cos C Câu 17: Đáp án D   cos A  cos B  tan B sin B  cos C  tan C sin C cos B sin B  cos C sin B   sin C cos B sin C Câu 14: Đáp án C   cos A  cos B   12      sin A  sin B   cos A cos B tan   tan   p; tan  tan   q; cot   cot   r;cot  cot   s  r.s  cot  cot   cot   cot    1   tan   tan     tan   tan   tan  tan  tan  tan  tan   tan  p   2  tan  tan   q  tan  tan  Câu 15: Đáp án B Ta có:   cos A cos B  sin A sin B    cos A  cos B   sin A sin B  cos A cos B (bất đẳng thức AM  GM )  Dấu "  " xảy cos A  cos B   sin A  sin B  A B  ABC Câu 16: Đáp án B   3sin x cos x   sin 2 x   cos x   1     cos x 4  8  a  ;b  8 Theo hệ thức Vi – et ta có:   t / m Chú ý: Thông thường biểu thức tam giác đạt giá trị lớn (hay nhỏ nhất) với góc A,   cos C sin B  cos B sin C (vì sin B,sin C  )  cos C.sin C  cos B.sin B  sin B  sin 2C B  C  B  2C   B  C   B  C     B  C  A    Suy ra, ABC cân A ABC vuông A Câu 18: Đáp án A Hệ thức lượng tam giác vuông: C C C cos cos 2   C cos A cos B sin (Bđt AM-GM)  sin C  cos A cos B   cos C  cos A cos B  tan x  cot x  tan x  cot x  1   tan x.cot x  Khi thay vào đẳng thức cho ta được:   cos  A  B   cos A cos B R sin B R sin C R sin  B  C    cos B cos C sin B sin C sin B sin C sin  B  C     cos B cos C sin B sin C sin B cos C  sin C cos B  cos B cos C sin  B  C   sin B sin C sin  B  C  sin  B  C    cos B cos C sin B sin C  cos B cos C  sin B sin C  cos B cos C  sin B sin C    cos A cos B  sin A sin B =2cos A cos B  cos A cos B  sin A sin B   tan x  cot x  Khi   tan x  cot x  2 a b c    2R sin A sin B sin C  a  R sin A  R sin  B  C  ; b  R sin B; c  R sin C  cos  B  C    tan x.cot x  2sin Dấu "  " xảy  cos  A  B   A  B  tan x  cot x     tan x  cot x   1  tan x  cot x    ABC cân C Dấu "  " xảy Chú ý: Một số hệ thức tam giác cân:  tan x  cot x  1 a tan A  b tan B   a  b  tan A B 2 tan B  tan C  tan B tan C C 2sin A sin B cot  sin C sin B  cos A sin C    BC   A 2  ABC vuông A Câu 20: Đáp án A Câu 19: Đáp án B Ta có: tan A  tan B sin A cos B  sin B cos A  cos A cos B sin A  sin B =2 cos A  cos B 1  sin x   6  sin x   4 sin  A  B  C Giả thiết   cot cos A cos B   sin x    a  4; b   ab  24 Câu 21: Đáp án D Ta có: tan x  cot x  tan x  cot x (vì tan x, cot x dấu) Câu 22: Đáp án A Gọi góc  thỏa mãn cos   ;sin   5 Khi f  x    sin x cos   cos x sin   =5sin x     5  y  3sin x  cos x  5 f  x    2 sin x  cos x  5  cos x   1 sin x   sin x  cos x  1   Thế (1) vào (2), giải hệ ta có nghiệm: 3 4 ;cos x  5 12  a  b   ; ab  25 sin x   a, b nghiệm phương trình t  7t 12  0 25 cos x  sin x  12  "" Dấu  cos x  Cách khác: Áp dụng bđt Buniacopxki ta có:  3sin x  cos x  3 4 2 x  cos x   25 2  5  3sin x  cos x  Dấu "  " xảy  sin x cos x    sin x  cos x     sin x    f  x  max  cos x      sin x      f  x    cos x      a   ;b   5 xảy 2 sin x  ln có y  a  b  Cách làm sai:   cos x     1 Dấu "  " xảy  cos x  (sai)   cos x  sin x     cos x  sin x   Cách giải:  M  3; m   M  n  Đặt cos x  t Nhận xét: Với biểu thức dấu giá trị tuyệt đối A, cho a, b hai số thực khác nhau: Khi A  t  4t  - a  A  b; ab  Nếu 0 A a a b (với 1  t  ) Ta có A   t    mặt khác, 1  t  nên  t    b  A  a a  b Do A  - Nếu a  A  b; ab  Vậy Amin  a b 0 A b ab a  0,  A  b y  a sin x  b cos x  a , b  ¡ Câu 25: Đáp án C cos x  cos x  - Nếu số 0, giả sử Tổng quát: Hàm số 2  2  cos x  sin x  2   sin  3 * Cách tính giá trị max, hàm số bậc ẩn sin x (hoặc cos x ) dạng at  bt  c ( a  0; t  sin x t  cos x  t  1) : Câu 24: Đáp án A - Nếu 1  Ta có: b  1: 2a sin x  sin x  sin x cos x  a b Câu 23: Đáp án B  11 11    sin x     2 4     sin x  Ta có: Dấu "  " xảy Dấu "  " xảy   sin x   t / m + a   hàm số đạt b , max hàm số đạt 2a đầu mút, đầu mút t b hàm số đạt 2a max gần với  + a   max hàm số đạt  4  y    y  b , hàm số đạt 2a đầu mút, đầu mút gần  M  4; m   M  m  t với  b hàm số đạt 2a nhỏ nằm đầu mút, đầu mứt làm cho hàm số lớn đạt max, cịn lại Ví dụ câu 15, hàm số đạt cos a  xa  max hàm số đạt 1 , max A  Còn sin a  x y  5   P    4  P  Vậy P  4 cos x  1; Amin   cos x   sin a cos a    3sin a  cos a  5 +  a  f  x   a  sin x  a + 1  a  Câu 26: Đáp án D phương trình x  px  q  nên Xét hàm số y  sin x  3sin x  theo có  b  1,5  2a lí Viet, ta có  tan   tan    p   tan  tan   q tan   tan  p   tan  tan  q  Khi hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ  tan       sin x  1;sin x  1 Câu 29: Đáp án D Với sin x   y  4 ĐKXĐ: sin x  Với sin x  1  y  Tổng quát: f  x   sin x  f  x   sin x  Vì tan  , tan  hai nghiệm định  (vì  sin x  ) sin x + a  a  Câu 28: Đáp án A =2  đạt GTNN: Dấu "  " xảy đạt sin x   b®tAM-GM  sin x  sin x  1 t / m  Khi P  3sin a  cos a   sin a   ;cos a    t / m  5 A  Dấu ''  '' xảy   , max, câu 16 sin x   sin x sin x sin x   sin x  x  y Ta có:       nên tồn 3  2 b   giá trị lớn -Nếu 2a , 1 cách giá trị  Câu 27: Đáp án C a cho: sin x  f  x   sin x  f  x    sin x   a Câu 30: Đáp án B Ta có y   cos x   t / m cos   Hoặc    cos x   cos x a sin x  cos x    cos x Câu 31: Đáp án A +) Áp dụng câu 25, ta có: m   2  m  2 m2 m2 m2  f  x    m  m 4 m f  x    m  5  4m  m  20  1   m  4m  20  (vô nghiệm) +) m   f  x   sin x  1 sin x  -Với sin x  1  f  x   2m  Cho 2m    m  (không t/m) cos15  cos 45  cos 30.cos15 …  cos15 2 6  cos15   1 Khi ta kết đáp án cần tìm  cos15    Ấn máy tính ta có kết tương tự Câu 34: Đáp án B  5 7 sin  sin 12 12 12 5 7  sin sin  t2 12 12 Hoặc ta bấm máy tính cách tính giá trị t gán vào biến A máy, sau tính biểu thức cần tính đề thử đáp án, đáp án có kết trùng với biểu thức cần tính chọn t  cos15  cos Ví dụ trên, nhập - sin x   f  x    (khơng t/m) Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 32: Đáp án B Câu 35: Đáp án D sin  5  a   sin  2.2    a  =sin    a   sin a Câu 36: Đáp án D Với       tan   Vậy không xác định góc  thỏa mãn u cầu tốn Câu 37: Đáp án C Chia tử mẫu cho sin x ta được: A  cot x 17 17    cot x 15 15 Có thể bấm máy tính tìm góc  cách bấm: Rồi ấn Khi gán cos15  A (để chế độ tính độ), nhập vào hình: Ta góc  , gán vào giá trị A nhập biểu thức sin A  cos A sin A  cos A 3   3     sin  cos 10 10 kết cần tìm Câu 33: Đáp án A Chú ý: sin A viết máy tính 5 7 sin sin  A  A2 12 12 sin 5 7 sin  A2 12 12  sin  A  , tương cos A, tan A Câu 38: Đáp án D tự với  3  A  cos  7  x   3sin   x      cos  x  sin x 2  cos    sin     9      cos    cos    x   3cos  x     sin x  sin x  cos    2   cos x  3cos x  2sin x  2sin x  cos x Câu 39: Đáp án B 3cos x cot x  3cos x   3sin x cos x  sin x   3sin x cos x  3sin x cos x  A  sin x  cos6 x  Ấn máy tính: Nhập kiến thức vào máy với x góc bất kì, nhiều gốc kết kết cần tìm    Đối chiếu với sin    có góc  thỏa mãn 9 sin   cot    cot   2  cot   mà       cot    cot   2  tan   1   cot  2 Câu 41: Đáp án C 10 Vậy có giá trị m để P số  Câu 45: Đáp án A Nhân tử mẫu G với sin  cos  ta có: 16 16     33 2 sin x cos x tan x cot x 16    16 cot x 2 sin x cos x  tan x  33 16    16 cot x 2 sin x cos x +16  tan x   50 32    50 sin x cos2 x 16    25 sin x cos2 x Áp dụng bất đẳng thức cos   3sin  cos   sin  4 15    cos    19 =9 9  8 13   cos   9 G Câu 43: Đáp án A Ta có tan a   cos a  có: 3m  10   m  Câu 42: Đáp án C Chia tử mẫu cho cos3 a ta Câu 40: Đáp án C Để P khơng phụ thuộc vào   tan a  cos a A  tan a cos a  tan a   tan a =  tan a  tan a  16   =  288 Bunhiacopxki ta có: Câu 44: Đáp án B   16 2    sin x  cos x  sin x cos x      1  25  25  16    2  sin x cos x  sin x  cos x  25 Dấu "  " xảy P  m  sin   cos6    sin    cos   12sin  cos  Mà  m   3sin  cos    2sin  cos   12sin  cos   m   sin  cos   3m  10  2   sin x  cos x 2 sin x cos x sin x  cos x   5cos x   cos x   (vì  x  ) sin x  cos15.cos 45.cos 75  (vì  x  ) cos15.cos 75 2 2   cos 60  cos 90    4  Dùng máy tính ta tìm góc x   79  Khi ta có: tan  x    4  Câu 46: Đáp án C sin x  cos x  cos x A  2   cos x   cos    cos    2 Thử đáp án có đáp án C thỏa mãn Câu 47: Đáp án C  sin a  cos a   2 sin a  cos a    sin a   cos a  sin a  cos a   1    cos a    cos a  2   cos a  cos a   Câu 50: Đáp án B A  cot 30  cot 40  cot 50  cot 60 Ta có:   cot 30  cot 60    cot 40  cot 50 cos a  cos a    1  kh«ng t/m cos a    1  t/m cos a    1 1  tan a  1 tan a  tan 2a   tan a    1  1   1  1   1  cos3 10  3cos10 1      12 3   Câu 48: Đáp án D Nên 1  cos x   sin x  P  sin a  cos a 7 =1-2sin2 a cos a   =1 cos 30  cos  3.10   Vì  a   2  9 Câu 49: Đáp án D Câu 51: Đáp án D Ta có: 7  7  1  cos 30  cos 90 cos10  cos 90 2   cos 30 cos10 cos10.cos 20   cos 20 cos 30.cos10   sin a     82  1  82 sin 90 sin 90  sin 30.sin 60 sin 40.sin 50  cos3 10  3cos10   cos10 11 nghiệm phương trình x  x   Câu 52: Đáp án C sin 2a A  sin a  sin 5a   sin 3a  cos a  cos 5a   cos 3a 2sin 3a cos 2a  sin 3a = cos 3a cos 2a  cos 3a sin 3a  2cos 2a  1 =  tan 3a cos 3a  cos 2a  1 Câu 53: Đáp án A cos 10  cos 20  cos 30 + +cos 180   cos 10  cos 100    cos 20  cos 110     cos 90  cos 180    sin 100  cos 100    sin 110  cos 110     sin 180  cos 180   11412  1  43 Cách bấm máy: Nhập vào 18 hình biểu thức:  CTTQ là: A   cos  10 X  x 1 Câu 54: Đáp án B A  cos 20  cos 40   cos160  cos180   cos 20  cos160    cos 40  cos140     cos80  cos160   cos180   ABC µ + Tại B  µA  C  2n Vậy với n  2018 A  sè h¹ng sin B cos A  cos C 1 1 sin C cos B  cos C µ C µ  cos A  cos B  µA  B 1  ; 21 1 n2 A  ; 1 n 3 A  ; 1 n4 A  16 n 1 A  sin B 3cos C 1 sin C cos B  cos C µ  50  B µ  80 Giả sử µA  C Thử máy tính thấy khơng thỏa mãn 2018 Câu 56: Đáp án A Nếu 1  sin B sin C  sin  B  C   sin  B  C   1 3  sin  B  C    2    sin  B  C    B  C  mãn TH 5 B C  mà C  µA  B µ C µ  60 thỏa  ABC µ  VP  + Tại C  µA  B sin B µ C µ 1 B sin C   ABC Vậy ABC  cos180  1 Câu 55: Đáp án B (loại Ta sử dụng cách thử máy tính Thơng thường biểu thức thường có cơng thức tổng qt Khi cơng thức n Vì thử với không thỏa mãn) n  1; 2;3; D (vì Xét ABC cân: k 2 k  nờn khụng tha món) C µ + Tại A  B Câu 2: Đáp án B B C  B C nên Câu 57: Đáp án C µ C µ  60 Dễ thấy µA  B đẳng thức cho  loại B III Đề kiểm tra chủ đề Câu 1: Đáp án 15  27    2 ;    2.2 ; 7 7 20     3 7 3 l  2.20 không 150 50  360 có dạng Câu 3: Đáp án B Câu 6: Đáp án A Vì ABC vng A 3 3 3  l  2 R  R 2 3 R   R  14 3 5  180  300 3 ·  BAC  90 Câu 7: Đáp án B Câu 4: Đáp án C Câu 8: Đáp án C 15  15    180 12 18km / h  5m / s  500cm / s Ð     k 2 7 =  k 2  k  ¢   AC  Ð Với k  1  AC  Chu vi bánh xe 20 cm , suy thời gian quay hết vong bánh xe là: 25  2.12    s®Ox  ; Oz    Câu 5: Đáp án B  tia đối Câu 9: Đáp án A Số điểm M thỏa mãn là: 2 :   10 (điểm) Câu 10: Đáp án C Gọi AH đường cao  AH qua O Ð   s®BC  · · BOC  BAC    O  có:   ·  120  BOH  60 · BC  BH  2.BO.sin BOH 5 Câu 12: Đáp án D 20  0,12569  s  500  2.BO  BC đường kính  O  Cứ kim giây quay 60 vòng, quay 60.5  300 vịng Sau kim 2 8 Có  nên xác định điểm M cách Nhận xét: Số k tăng lên (hoặc giảm đi) đơn vị điểm M trùng với A (bắt đầu từ k  , sau đến k  8; k  16; ; k  8i  i  ¢  ) Vậy sau số k đó, M lại bắt đầu chu kì giống cũ giây quay góc: 360.300  108000 Câu 11: Đáp án C  BO  R  l  R 3.3  3R  số đo cung 3rad Vậy có điểm M thỏa mãn Câu 13: Đáp án B 25 3 3 ·  4   uOv  7 Câu 14: Đáp án A · 3230  350  8.360  uOv  360  350  10 Câu 15: Đáp án D tan  cot     tan  , cot  dấu khoảng xác định Câu 16: Đáp án D Giả sử với    sin   0; cos    tan    cot  không xác định Câu 17: Đáp án D + Nếu M khơng trùng với A A '  có điểm N thỏa mãn yêu cầu toán (hình vẽ)    3       2    cos       I 2     3 3     2 2    sin       II 2       cos       cot    2 2    III sai Vì tan  , tan  hai nghiệm phương trình x  px  q  nên theo định lí Viet, ta có  tan   tan   p   tan  tan   q  tan        P  cos       1  p.tan       q.tan        Câu 20: Đáp án C   x  cos   k  3     n cos   n2   ví i k ch½     cos  4  n2    ví i k lỴ      p.tan       q.tan       tan        p  p  p  q   1 q 1 q    q   p q  q p    q   p2 Theo đề sin   0;cos    M thuộc góc phần tư thứ II Câu 19: Đáp án C 1  cot x tan x    tan x   x  k  2  f  x  Với x  Câu 18: Đáp án B  p  1    1 q  Câu 23: Đáp án B + Nếu M  A  M  A ' khơng có điểm thỏa mãn yêu cầu tan   tan  p   tan  tan   q Câu 21: Đáp án A tan x  5cot x  tan x  5cot x  tan x 5cot x  (bất đẳng thức AM-GM) Câu 22: Đáp án C k  k  Z  cot x  Mà tập giá trị cot x ¡ (với cos x  ) Vậy tập giá trị f  x   ¡ \  0 Câu 24: Đáp án C tan x  sin x    sin 2016 x    sin 2018 x  sin x 1  cos 2015 x    cos x  cos 2017 x  cos x  sin 2018 x  cos 2017 x  sin x  cos x  Dấu "  " xảy  sin x   sin x    2017   cos x   cos x    sin x  1  cos x    sin 2018 x   cos x      sin  x    sin x  cos x; 4    cos  x    cos x  sin x 4    sin  x    sin x  cos x; 4    sin   x   cos x  sin x 4  Câu 27: Đáp án B sin x  0x;sin x  0x  A  sin x  2sin x   3x Vậy có cặp  sin x, cos x  thỏa mãn Dấu "  " xảy sin x    sin x   t/m sin x  Câu 25: Đáp án A Điều kiện xác định: D  ¡ Câu 28: Đáp án A (Vì sin x  cos x  M  cos a  cos  a  120   cos  a  120   12  12     ) Ta có:  cos a  cos a  sin a sin120 A sin x  A cos x  A  sin x  cos x   cos a  sin a sin120    A  1 sin x  A  cos x  A  2    A  A    A  1 2    A  3  A2  A   A  2A 1 y  2A  2    A  A 10      A A  10   Câu 31: Đáp án A cos C   cos  A  B   cos A cos B  sin A sin B  42  20 52    1  1   65   13  20 12 20  36 16     65 13 65 65 Câu 32: Đáp án C  tan x  cot x  10  tan x, cot x   tan x.cot x  nghiệm phương trình: t   t  10t     t   Vậy có cặp giá trị thỏa mãn  52 6;5    52 6;5   Câu 33: Đáp án B Câu 29: Đáp án B sin  x  y  cos y  cos  x  y  sin y  sin  x  y  y   sin x Câu 30: Đáp án D cos a  cos18  cos 78   A    2sin  30  sin 48 Vậy a  b    sin 48  cos 42 Câu 26: Đáp án B Vậy giá trị dương nhỏ  42  a  42  k 360  k  ¢    a  42  k 360  k  ¢  sin x cos x   sin x  cos x   sin x  cos x     25     1   16  32 Câu 34: Đáp án B  cos x  sin x    cos x sin x   cos x  sin x     cos x  sin x     cos x  sin x    cos x sin x     cos x,sin x nghiệm phương trình: t 1 t2     t  Mà sin x  1 1 ;cos x  4 1   tan x   6 1  sin x  4 4  3  p  4; q   Câu 35: Đáp án B cot   tan    cot   tan   sin    sin   cos  A  cos       1    sin   cos   1    1  cos   cos   1   tan    cos  Câu 37: Đáp án A Chia tử mẫu cho sin  có: cot  2 2 sin  A  sin  12  cot    cot    cot    cot    12  cot  30  60 1   12  4.27 Câu 38: Đáp án D 4r s 2   tan    cos   r  s  h2  r  s  2r s  4r s r  s2  2  r  s2   2  r s   r  s2   cos    2  r s  r  s2  cos   2 r s (vì cos    nhọn r  s  0) Câu 40: Đáp án A  4 3sin x  cos x   cos x   sin x   m2   2sin x  sin x    cos x   sin x   sin x    sin x  3cos x  cos x    tan   cot    m  Câu 41: Đáp án B Câu 39: Đáp án D Q  sin x cos x  cos x sin x  tan   cot     tan   cot    tan  cot   sin x cos x  cos x  sin x  3tan  cot   tan   cot   1  sin x cos x  sin x  m3  3m Câu 42: Đáp án A Câu 36: Đáp án C Với a, b  áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:  sin x cos x     a  b  a   a   sin x  cos x    A sin x  sin x  2sin x cos x  2sin x cos x  2sin x cos x  sin x  sin x  sin  sin x  sin x  sin x  sin x sin x  sin x  A  sin x sin x cos x   a b ab Dấu "  " xảy sin x cos x sin x  cos2 x    a a ab Khi đó:  A 1 1   cos x 2 2  1 x x  cos  cos 2 Câu 48: Đáp án B Câu 45: Đáp án C sin x cos x  a3 b Xét biểu thức: 2 sin x  sin x  cos x  cos x        a  a  b  b   sin x cos x      b   a  b  a  sin x cos x      b   a  b  a 1 1    a  b a  b  a  b Câu 43: Đáp án A Thử với n   sin  1  2  sin  3  2 3 n   sin  sin  sin 4  1 n   sin Thử giá trị n vào đáp án, ta có đáp án A thỏa mãn Câu 44: Đáp án A tan x.tan x  tan x 1    tan x    tan x  tan x   tan x  Ta có: R  2 R tan x  tan x   tan x    tan x  tan x  tan x  1  R  R  p  p  2 R 2 Áp dụng  1 ta có: p2 (bđt AM – GM)  R   16 a a a  tan  tan 2 2 a a   2n 1 tan n 1  2n tan n 2 a  tan a  2n tan n Câu 46: Đáp án A S n  tan a  tan S quat   R Dấu "  " xảy  2R   R    Câu 47: Đáp án B cos 2  R 2 p   2 16 Câu 49: Đáp án C sin x  cos x tan x  cot x  sin x.cos x 2   2sin x cos x sin x 1  cos x  cos x   2 x  cos 2  p 2 x  R 2  2  R  R S   R2 Cquat  2 R 2  S  S Dấu "  " xảy    Câu 50: Đáp án B Gọi tiếp tuyến chung hai đường tròn AB, A ' B '  A, A '   I ; R  ; B ', B   J ; R   Từ I kẻ IH  BJ  BH  R1   JH  BJ  BH  R2  R1  ·  Có cos BIJ JH   IJ · · ·  120  BJI  60  BJB '  BJI · '  120 Dễ thấy ·AIA '  BIB · AB '  AB  IH  IJ sin BJH  4 Chiều dài dây là: AB  A ' B ' l ·ANA '  lBMB · ' 120 240 2  10 360 360 22 8 3  36,89  cm  8 3 ... 2448 D 4243 §2 Giá trị lượng giác cung Công thức lượng giác A Lý thuyết dạng tốn điển hình I Giá trị lượng giác cung α đường tròn lượng giác Trên đường trịn lượng giác, cho cung ¼ AM   (cịn viết... điểm đầu cung lượng giác đường trịn lượng 27 giác Tìm điểm cuối M cung lượng giác có số đo A M điểm cung phần tư thứ B M điểm cung phần tư thứ hai C M điểm cung phần tư thứ ba D M điểm cung phần... c Góc lượng giác - Khi M từ A tới B OM quay từ OA tới OB Ta nói tia OM tạo góc lượng giác có tia đầu OA, tia cuối OB Kí hiệu  OA, OB  Ð - Số đo góc lượng giác  OA, OB  số đo cung lượng giác