(SKKN HAY NHẤT) ứng dụng của tích phân vào diện tích và thể tích

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH Người thực hiện: Lê Văn Nam Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Nông Cống I SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN .18 2.3 Các SKKN giải pháp sử dụng giải vấn đề 18 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, thân, đồng nghiệp nhà trường 18 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 19 3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong thời đại cạnh tranh khốc liệt nay, người muốn hội nhập phát triển cần có khả tư sáng tạo Có thể nói rằng, dạy học sinh biết sáng tạo, có kỹ khả xử lí tình nhiệm vụ quan trọng người thầy Phải nói tích phân loại tốn hay khó, vận dụng nhiều lĩnh vực đời sống Trong chương trình ơn thi đại học năm trước (khoảng 2017 trở trước) tốn tích phân đề thi không nhiều số lượng thể loại Khi tốn tích phân thường tính tích phân xác định hàm đoạn ( thi TN cần bấm máy) tìm nguyên hàm hàm số cho trước.Tuy nhiên từ chuyển sang thi trắc nghiệm tích phân khai thác triệt để kiến thức THPT Chính độ khó tăng lên, dạng đa dạng Đặc biệt để hồn thành hết câu tích phân đề thi học sinh khơng phải thành thạo kiến thức tích phân mà cịn biết tổng hợp kiến thức liên quan phải hiểu biết thực tế Trong dạng tích phân phần " Ứng dụng tích phân" có lẽ làm học sinh vất vả Bởi để xử lý toán học sinh cần thiết lập công thức, mà để thiết lập công thức cần nắm kiến thức bản, ứng dụng thực tế phải thực tinh tế phù hợp cho việc xử lý câu tích phân với thời gian ngắn Đây dạng toán mà em học sinh giỏi thích khám phá giáo viên dạy thích nghiên cứu nó, qua cách dạy" Ứng dụng tích phân ” giáo viên rèn luyện khả tư duy, khả độc lập làm việc đặc biệt khả thường xuyên tổng hợp kiến thức toán học, khả liên hệ thực tế qua tổng quát hóa vấn đề liên quan Do tơi định chọn đề tài SKKN: “ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH”nhằm giới thiệu với đồng nghiệp số kinh nghiệm thân việc phát triển tư sáng tạo cho học sinh giải toán ứng dụng tích phân, từ góp phần nâng cao chất lượng đại trà chất lượng mũi nhọn giảng dạy mơn tốn bậc THPT 1.2 Mục đích nghiên cứu Tôi trăn trở để em học sinh đại trà đam mê tốn hơn, sống có mục đích lý tưởng hơn, đặc biệt cơng tác ôn luyện đội tuyển việc ôn luyện học sinh nhân tố lấy điểm cao kỳ thi tốt nghiệp LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com THPT, biết cách tư để định dạng phương pháp giải tốn tích phân liên quan đến ứng dụng tự tin với câu hỏi vận dụng cao kỳ thi TNTHPT kỳ thi chọn học sinh giỏi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong khuôn khổ SKKN, đề cập đến việc rèn luyện khả tư duy, kỹ xử lí tình liên hệ thực tế gặp số toán “ ứng dụng tích phân vào việc tính diện tích thể tích” Đối với học sinh đại trà, giỏi 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sau dạy xong phần lý thuyết " Ứng dụng tích phân vào tính diện tích thể tích", tơi cho học sinh thử làm số mức độ nhận biết, thơng hiểu thấy có nhiều học sinh giải được, làm tương đối tốt Tiếp tục giới thiệu số mức độ vận dụng vận dụng cao loại nàythì học sinh làm được, đối tượng lớp có nhiều em học sinh khá, giỏi nhà trường Phải đề khó quá, hay tâm lí em chưa tự tin Tơi cho đề thi khơng phải q khó, bám sát dạng Tuy nhiên có biến hố chút làm cho học sinh lúng túng phương hướng giải Do dựa vào kinh nghiệm chưa đủ Điều quan trọng hàng đầu phải rèn luyện khả tư , liên hệ thực tế để giải vấn đề Chính tơi sử dụng " Phương pháp học nhóm" Phương pháp " Giải vấn đề" chủ yếu! Tôi chia lớp học thành nhóm, thành phần đối tượng nhóm cố gắng giống nhau, để có tương tác qua lại giúp đỡ lẫn NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến - Vấn đề: Nhiều học sinh lúng túng, tự tin tiếp cận phần " Úng dụng tích phân" - Mục tiêu: Để em học sinh tự tin linh hoạt tiếp cận phần " Ứng dụng tích phân" - Câu hỏi: Làm để em học sinh tự tin linh hoạt, giải xác nhanh thời gian ngắn Để làm tốt điều này, trăn trở tâm nghiên cứu, tìm tài liệu từ nguồn như: SGK, sách tập SGK, Đê thi THPT năm, tài liệu từ nhóm tốn tồn quốc, xin tài liệu từ thầy uy tín tỉnh nhà sau chọn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com lọc tổng hợp chọn cho phù hợp với " Phương pháp nhóm" " phương pháp giải vấn đề" mà đưa trước Làm cho học sinh dể tiếp cận đem lại hiệu cao Chúng ta biết tích phân có nhiều ứng dụng, nhiều dạng toán Tuy nhiên khuôn khổ SKKN xin đưa dạng toán thường gặp kỳ thi quan trọng TNTHPT Chọn học sinh giỏi tỉnh nhà Dạng 1.Ứng dụng tích phân vào tính thể tích Hình phẳng Hình phẳng giới hạn giới hạn diện tích diện tích Hình thức đề thường hay cho Hình thức 1: Khơng cho hình vẽ, cho dạng kết quả, so sánh với bốn đáp án Hình thức 2: Khơng cho hình vẽ, cho dạng Giải tìm nghiệm với nhỏ nhất, lớn Hình thức 3: Cho hình vẽ, giải phương trình tìm tọa độ giao điểm (nếu chưa cho hình), chia diện tích nhỏ, xổ hình từ xuống, ghi cơng thức bấm máy tính LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hình thức 4: Cho ba hàm trở lên, chẳng hạn hình Dạng2 Ứng dụng tích phân tính thể tích Thể tích vật thể Gọi ta nên vẽ phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục điểm diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục điểm Giả sử hàm số liên tục đoạn Khi đó, thể tích vật thể xác định: Thể tích khối trịn xoay a) Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường trục hồnh hai đường thẳng quanh trục b) Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường trục hoành hai đường thẳng quanh trục LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com c)Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường (cùng nằm phía so với hai đường thẳng quanh trục Dạng Ứng dụng tích phân để tính diện tích Câu Tính diện tích hình phẳng gạch chéo hình bên Lờigiải Bình luận: Đây mức độ thơng hiểu, cho dạng hình vẽ học sinh nhận đưa cơng thức tính Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường Lờigiải Bình luận: Đây mức độ thơng hiểu, Khơng cho hình vẽ, cho dạng tính! , nắm lý thuyết hs đưa cơng thức Ta có Phương trình hồnh độ giao điểm: Diện tích hình phẳng: Câu Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong vẽ bên ) hình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lờigiải Bình luận:Đây mức độ thơng hiểu, Cho hình vẽ, giải phương trình tìm tọa độ giao điểm (nếu chưa cho hình), chia diện tích nhỏ, xổ hình từ xuống, ghi cơng thức bấm máy tính Phương trình hồnh độ giao điểm Dựa vào đồ thị, diện tích hình phẳng cần tìm Vậy Câu Tính diên tich hinh phăng giơi han bơi hai thi ham sơ , va truc Lờigiải Bình luận: Cho ba hàm trở lên, chẳng hạn ta nên vẽ hình Đối với loại học sinh thường bị lúng túng khơng vẽ hình mà xét pt hồnh độ giao điểm đua công thức LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dưa vao hinh ve ta thấy hình phẳng cần tính diện tích gồm phần: Phần 1: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục Phần 2: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , Do diện tích cần , , trục , , tính Sau đến với số câu vận dụng - VDC Câu Cho hàm số xác định liên tục đoạn có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích hình phẳng hàm số trục hồnh giới hạn đồ thị Tính tích phân Lời giải Bình luận: Đây mức độ vận dụng, hs cần nắm vững kiến thức tích phân hàm hợp phân chia hình phẳng tốt Ta có Mà Vậy LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vì hình chữ nhật Gọi diện tích phần bị tơ màu khơng bị tơ màu Ta có: Suy ra: Gọi tổng chi phí Khi ta có (đồng) Câu ( Thực tế) Một cổng hình Parabol hình vẽ sau Chiều cao , chiều rộng , Chủ nhà làm hai cánh cổng đóng lại hình chữ nhật tơ đậm có giá đồng , cịn phần để trắng làm xiên hoa có giá đồng Hỏi tổng số tiền để làm hai phần bao nhiêu? Lờigiải Gắn hệ trục tọa độ Oxy cho có đỉnh trùng , trùng parabol qua gốc tọa độ 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giả sử phương trình parabol có dạng Vì parabol có đỉnh qua điểm nên ta có Suy phương trình parabol Diện tích cổng Mặt khác chiều cao Diện tích hai cánh cổng ; Diện tích phần xiên hoa Vậy tổng số tiền để làm cổng đồng Bình luận: Tạm dừng hay đẹp dạng 1, tơi tiếp tục tìm hay dạng Dạng Ứng dụng tích phân để tính thể tích Câu Gọi hình phẳng giới hạn đường , Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay bằng: Lờigiải , quanh trục 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bình luận: Đây mức độ thơng hiểu, nên hs khơng gặp vấn đề khó khăn nắm lý thuyết Ta tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục bằng: Câu Cho hình phẳng giới hạn đường Gọi thể tích khối trịn xoay tạo thành quay trục Mệnh đề sau đúng? Lờigiải xung quanh Thể tích vật thể tạo nên Câu Tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parapol (P): đường thẳng d: quay xung quanh trục ? Lờigiải Bình luận: Đây tốn học sinh dể bị nhầm lẫn tốn khác, nhiên q trình giảng dạy tơi ln tìm cách vẽ hình cho em dể tưởng tượng! Công việc hiệu em gặp toán lạ mà đặc thù dùng hình xử lý 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: Ta có: Câu (VD) Cho hình phẳng giới hạn hai đường ; Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục Lờigiải Bình luận: Thực chất khơng phải đơn giản cách tư duy, áp dụng máy móc cơng thức dẫn đến sai xót Nên mức độ ta xem vận dụng, hay sau vẽ hình, dựa vào hình nhận xét cho cơng thức tích phân vơ đẹp y=2(1-x 2) y=1-x2 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số Lấy đối xứng đồ thị hàm số qua trục ta đồ thị hàm số Ta có Suy thể tích khối trịn xoay cần tìm Câu ( VD) Tính thể tích vật trịn xoay tạo miền hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , , xoay quanh trục Lờigiải Bình luận: Bài tương tự sau vẽ hình, nhiên lồng vào nhau, sau tính phần lồng vào thiếu phần hay hai nằm tinh tế đó, điều làm cho học sinh hiểu thêm ý nghĩa sống " Biết vươn tới hay đẹp để hoàn thiện thân" 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét phương trình Xét hình giới đồ thị hàm số , , Thể tích vật thể trịn xoay cần tìm thể tích vật thể trịn xoay thu quay quanh hình quanh trục Do Tương tự ta có Câu ( VD) Cho hai mặt cầu thuộc cầu tạo Lờigiải có bán kính ngược lại Tính thể tích thỏa mãn tính chất tâm phần chung hai khối 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phần chung hai khối cầu tạo khối tròn xoay, tương đương phần hình phẳng quay quanh trục hay hai lần phần mặt phẳng tạo quay quanh trục Đặt hệ trục hình phương trình đường trịn , điểm có hồnh độ ; có hồnh độ nên thể tích : Câu ( VDC) Cho hình thang có song song Tính thể tích khối trịn xoay quay hình thang đường thẳng Lờigiải quanh trục 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dễ thấy Có hình bình hành nên Vậy tam giác Xét hệ trục tọa độ ; hình vẽ Có phương trình ; Phương trình Vậy Cách 2: Thể tích khối trịn xoay tạo theo đề thể tích khối trụ có chiều cao có chiều bán kính đáy cao bán trừ thể tích hai khối nón kính đáy Vậy Câu ( VDC) Gọi thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường , quanh trục Đường thẳng cắt đồ thị hàm số (hình vẽ) Gọi thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác quanh trục Biết Tính a ? Lờigiải Bình luận: Cái khó loại phải vẽ hình phân chia hợp lý 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có: Mà Gọi hình chiếu Khi xoay tam giác quanh ta khối trịn xoay lắp ghép hai khối nón sinh tam giác , hai khối nón có mặt đáy có tổng chiều cao nên thể tích khối trịn xoay Câu ( VDC) , từ suy Cho hàm số Biết đồ thị có đồ thị tiếp xúc với đường thẳng điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số cho hình vẽ Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình phẳng H giới hạn đồ thị trục hoành quay xung quanh trục Lờigiải Dựa vào đồ thị hàm số Khi Điều kiện đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng là: 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com suy + +Khi hồnh độ giao điểm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Trước áp đụng đề tài này, hoạt động lớp không đồng Một số em học TB hay bị nãn thiếu tự tin, ngược lại số em học tốt lại có ý cầm chừng, chưa phát huy hết khả Lớp chưa phát huy tinh thần học nhóm 2.3 Các SKKN giải pháp sử dụng giải vấn đề Trong đề tài, tập đưa theo mức độ tăng dần, chọn lọc kỹ từ nguồn tài liệu như: SGK, Tài liệu nhóm tốn VD- VDC, đề thi THPTQG trước Nên việc nhóm hoạt động tăng dần độ khó Để sử lý nhanh kỹ phải tốt mà nhóm cịn phải đồn kết biết tơn trọng lắng nghe Các em khí vui vẻ tham gia đem lại kết tương đối nhanh xác Tuy nhiên mức độ số câu VDC em mức độ trung bình cịn nhiều khó khăn Tơi ln tìm cách giải thích thêm câu cho em em có u cầu.Trong suốt q trình thực đề tài tơi ln động viên khuyến khích em, khen thưởng nhóm làm nhanh xác, nhắc nhở nhóm chưa hồn thành nhiệm vụ thời gian 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, thân, đồng nghiệp nhà trường Vì đặc thù nhà trường phân công dạy lớp chọn phân đứng đội tuyển nên tơi có hội nhiều lần thực đề tài cấp độ khác với nhiều đối tượng khác Khi sử dụng đề tài lớp chọn em tốt tốn thích thú đặc biệt em đội tuyển toán nhà trường Và em học sinh mức độ trung bình tiếp thu tốt phần thơng hiểu vận dụng, cịn phần VDC cịn hạn chế Vì lớp thường khai thác phần đề tài ( chủ yếu phần thông hiểu vận dụng) Riêng lớp chọn đội tuyển khai thác triệt để đề tài này! Cụ thể:Ôn luyện đội tuyển năm học 2017 -2018 ôn tập cho 20 em học sinh nằm đội tuyển: Toán, lý, hóa, sinh nhà trường Kết quả: 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Về kết đội tuyển Giải Đội tuyển (5 HS) Về kết ơn THPTQG ( Nhóm ơn luyện lớp Điểm cao 20 học sinh KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sau sử dụng đề tài để dạy cho học sinh đặc biệt nhóm học sinh giỏi ôn thi đội tuyển, nhận thấy em rèn khả tư tốt hơn, phán đoán nhanh nhẹn đặc biệt đem lại hiệu rõ rệt kỳ thi quan trọng, đồng thời sau sử dụng đề tài thấy học sinh linh hoạt công việc tự tin sống! Mặc dù lực khả cịn hạn chế, tơi thiết nghĩ thời đại 4.0 việc rèn luyện kỹ sống qua học điều vô quan trọng cấp thiết Bên cạnh nhà trường có tồn phát triển mạnh hay khơng khâu mũi nhọn quan trọng Chính mà đề tài góp phần khơng nhỏ cho thành công nghiệp giáo dục cá nhân nói riêng cho phát triển trường THPTNCI nói chung Có thể nói SKKN : “ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN” bước đầu thành cơng theo mục đích cá nhân tơi Tích phân có ứng dụng rộng lớn, nhiều dạng tốn ứng dụng tích phân, khuôn khổ đề tài giới thiệu hai dạng Hai dạng hai dạng thực dụng đề thi TNTHPT Vì cố gắng song đề tài khó tránh khỏi bất hợp lí vài điểm Rất mong nhận góp ý chân thành đồng nghiệp, học sinh yêu thích tích phân để đề tài hồn thiện hơn./ Trong q trình thực đề tài tơi có tham khảo nguồn tài liệu từ nhóm tốn nước, cám ơn thầy ln tâm huyết giáo dục nước nhà! 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hi vọng tài liệu bổ ích để đồng nghiệp tham khảo giảng dạy để học sinh vận dụng làm tập tìm tịi khám phá vẻ đẹp mn hình mn vẻ tích phân 3.2 Kiến nghị Mong thời gian tới tồn giới nói chung đất nước Việt Nam nói riêng vượt qua đại hoạn covic, để tất học sinh nước đến trường an toàn, để thảo sức đam mê nghiên cứu lĩnh vực đam mê có tốn học Tôi mong muốn lãnh đạo sở, lãnh đạo trường, tổ chuyên môn quan tâm tới thiết bị, mơ hình tốn học để học lý thuyết em vận dụng vào thực hành tốt nhiều Đặc biệt với tích phân có đầy đủ thiết bị mơ hình tơi nghĩ hiệu của đề tài " ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN" sinh động hiệu với em nhiều! Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 08 tháng năm 2021 ĐƠN VỊ Lê Văn Nam 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Lê Văn Nam Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Nông Cống T T Tên đề tài SKKN Giải hệ phương pháp hàm Giải hệ phương pháp đánh giá Tích phân hàm ẩn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... toán “ ứng dụng tích phân vào việc tính diện tích thể tích? ?? Đối với học sinh đại trà, giỏi 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sau dạy xong phần lý thuyết " Ứng dụng tích phân vào tính diện tích thể tích" ,... tài SKKN: ? ?ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH”nhằm giới thiệu với đồng nghiệp số kinh nghiệm thân việc phát triển tư sáng tạo cho học sinh giải tốn ứng dụng tích phân, từ góp... biết tích phân có nhiều ứng dụng, nhiều dạng tốn Tuy nhiên khn khổ SKKN tơi xin đưa dạng tốn thường gặp kỳ thi quan trọng TNTHPT Chọn học sinh giỏi tỉnh nhà Dạng 1 .Ứng dụng tích phân vào tính thể