(SKKN HAY NHẤT) nâng cao năng lực tư duy và tính sáng tạo cho học sinh qua việc sử dụng công cụ véc tơ vào giải một số bài toán đại số

MỤC L Mục Nội dung 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH N Cơ sở lí luận Một số tính chất véc tơ, bất đẳn Chú ý Thực trạng vấn đề Giải pháp thực Chứng minh bất đẳng thức Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấ Giải bất phương trình Giải phương trình, hệ phương trình Hiệu sáng kiến kinh nghiệm dạy ôn tập cho học sinh 3.1 3.2 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC SKKN ĐƯỢC XẾP UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU: 1.1 Lý chọn đề tài Học Toán để phát triển tư Để trả lời cho câu hỏi mà nhiều bậc phụ huynh học sinh đặt “ Học Tốn để làm gì’’ Hiện nhiều bậc phụ huynh học sinh khơng cịn đặt việc học Tốn quan trọng, mà theo xu hướng đầu tư vào việc học Ngoại Ngữ với mong muốn cần giỏi Ngoại Ngữ Nhưng họ khơng biết rằng, mơn Tốn giúp phát triển tư tính sáng tạo cho người học Đây phẩm chất cần thiết người lao động ngày Trong thực tế giảng dạy trường phổ thông, nhận thấy em học sinh học véc tơ, em gặp khó khăn tiếp thu kiến thức khó khăn thực hành giải tập Tuy nhiên, theo nghĩ phương pháp véc tơ đóng vai trị quan trọng, công cụ mạnh để giải số toán nhanh gọn Việc nghiên cứu phương pháp véc tơ để giải tốn nói chung sử dụng công cụ véc tơ vào chứng minh bất đẳng thức , giải bất phương trình, phương trình hệ phương trình, phần giúp em học sinh hiểu sâu thêm kiến thức véc tơ, đồng thời nhằm bồi dưỡng, nâng cao lực tư duy, khả tìm tòi sáng tạo cho em học sinh thực hành giải toán, sống sau Và với mong muốn khơi dậy niềm đam mê với tốn học em học sinh, chọn đề tài: “ Nâng cao lực tư tính sáng tạo cho học sinh qua việc sử dụng công cụ véc tơ vào giải số tốn Đại số ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Thông qua việc nghiên cứu đề tài phần thực yêu cầu việc đổi phương pháp dạy học, hướng tới việc phát huy tính chủ động, tích cực sáng tạo học sinh trình học tập Đồng thời giúp học sinh cảm thấy hứng thú việc học tập môn Toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu, đưa số dạng tập Đại số ( gồm dạng mẫu hệ thống tập đề nghị ) cho học sinh phân tích, để nhận dạng thể kiến thức véc tơ ( Hình học ) vào việc giải tốn Đại số 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp khảo sát điều tra - Phương pháp thực nghiệm sư phạm - Kết hợp kinh nghiệm yêu cầu thực tế việc dạy học ôn tập cho học sinh UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Việc giải toán tình mị mẫm, tìm tịi dựa hiểu biết người giải tốn [1] Muốn giải nhanh xác tốn, ngồi việc nắm vững kiến thức bản, người học cịn cần phải có tư sáng tạo giải toán Khi gặp toán Đại số mà có chứa bậc hai Hơn nữa, qua phân tích, thấy biểu thức bậc hai biểu diễn dạng nghĩ đến việc sử dụng cơng cụ véc tơ vào để giải tốn Trong thực tế, việc sử dụng cơng cụ véc tơ vào giải toán, cho ta thấy toán giải cách nhanh gọn có lời giải khoa học Như vậy, việc sử dụng phát triển lực tư tính sáng tạo cho học sinh, cho học sinh thấy vận dụng kiến thức liên mơn vào giải vấn đề 2.1.1 Một số tính chất véc tơ, bất đẳng thức véc tơ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a) , Đẳng thức xảy b) khi ta có: ; Đẳng thức xảy hướng; c) Đẳng thức xảy ngược hướng; d) thức xảy hướng; e) xảy Đẳng thức ngược hướng; f) thức xảy 2.1.2 Chú ý: Đẳng Đẳng hướng a) Bất đẳng thức (*) mở rộng lên n véc tơ Đẳng thức xảy khi hướng b) Nếu UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com +) Hai véc tơ hướng +) Hai véc tơ ngược hướng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Kiến thức véc tơ có chương trình Tốn lớp 10, mà học sinh bỡ ngỡ bước vào nhà trường cấp 3, nên gây khó khăn cho học sinh tiếp cận đơn vị kiến thức Dẫn đến học sinh lúng túng giải tập véc tơ Thêm nữa, số tập Đại số liên quan đến bất đẳng thức, bất phương trình, hệ phương trình nhiều học sinh ngại không làm, học sinh cho tập khó Vì việc chọn đề tài với mong muốn giúp em hiểu sâu hơn kiến thức véc tơ, muốn em hứng thú việc học Toán 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Đưa số toán chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình, giải phương trình hệ phương trình, Các tốn giải sử dụng công cụ véc tơ, đồng thời đưa nhận xét, gợi ý cách giải khác kèm theo hệ thống tập đề nghị để học sinh tham khảo 2.3.1 Chứng minh bất đẳng thức: Bài Chứng minh bất đẳng thức: Lời giải: Cách 1: [1] Ta xét véc tơ sau: Do ta có Khi đó: Mà Cách 2: Từ ta có: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hai véc tơ Khi đó: UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có : Bài Cho x, y, z số dương thỏa mãn x+y+z=1 Chứng minh rằng: [2] Lời giải: Ta xét véc tơ sau: Khi ta có: Suy ra: Nhận xét: - Bài tốn sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh Bài Chứng minh rằng, với bốn số thực ta có: Đẳng thức xảy [3] Lời giải: Trong hệ toạ độ , xét , áp dụng ta có: Đẳng thức xảy hai véc tơ phương, tức Nhận xét: - Đây bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số Bất đẳng thức chứng minh: sử dụng phương pháp tam thức bậc hai, phương pháp biến đổi tương đương, … UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài Chứng minh rằng: a) Với bốn số thực ta có: [3] b) Với sáu số thực ta có : Lời giải: a) Trong hệ toạ độ , xét hai vecto Áp dụng ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy hai véc tơ b) Trong hệ toạ độ , xét ba vecto hướng , , áp dụng mở rộng cho ba véc tơ ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy véc tơ , hướng Nhận xét: - Bất đẳng thức sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh Đây bất đẳng thức thường xuyên sử dụng để chứng minh bất đẳng thức khác, học sinh cần nắm vững để vận dụng giải tốn Bài Chứng minh rằng: Lời giải: Ta thấy vế trái [3] bất đẳng thức viết dạng Do đó, mặt phẳng toạ độ Oxy, chọn hai vecto Áp dụng bất đẳng thức xảy hai vecto Bài Chứng minh với Lời giải: , ta có điều cần chứng minh Đẳng thức hướng, tức , ta có [3] Ta có: Ta thấy vế trái bất đẳng thức có dạng tích vơ hướng hai vecto khơng gian tọa độ, hệ toạ độ Oxyz, ta chọn véc tơ Áp dụng ta có: UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đến đây, ta tiếp tục chọn véc tơ , được: áp dụng Đẳng thức xảy hai véc tơ hướng Nhận xét: - Bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức si để chứng minh Bài Chứng minh Lời giải: [3] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét hai vecto ta có và Áp dụng , ta có: Đẳng thức xảy hai véc tơ hướng Nhận xét: - Bài tốn sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh Tuy nhiên, sử dụng phương pháp vecto ta có lời giải đơn giản ngắn gọn Bài Chứng minh với giá trị x, y ta có: Lời giải: Chọn , suy ra: Áp dụng bất đẳng thức xảy hai véc tơ , ta có điều phải chứng minh Đẳng thức hướng Nhận xét: UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Trong này, vế trái có dạng tổng độ dài hai véc tơ hệ toạ độ Oxy, ta chọn hai véc tơ cho độ dài véc tơ tổng tốn giải Bài Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: cos A cos B cosC [3], [6] Lời giải: Ta chọn ba véc tơ mà góc hai véc tơ A, B, C bù với A, B, C có độ dài thích hợp Cách chọn đơn giản lấy ba véc tơ i , j , k có độ dài tương ứng vng góc với cạnh BC, CA, AB tam giác ABC (như hình vẽ) A kr rj O C B Ta có: i Do thay vào (*) ta có: Đẳng thức xảy hay Nhận xét: - Đây toán quen thuộc có nhiều hướng giải quyết, nhiên trường hợp này, việc sử dụng phương pháp véc tơ cho ta lời giải đơn giản ngắn gọn nhiều - Từ tốn ta suy số bất đẳng thức tương tự, chẳng hạn: A sin nên sin B sin C Thật vậy, A, B, C ba góc tam giác A B ta có: , B C UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đẳng thức xảy * Bài tập đề nghị: Bài Cho Bài Cho Chứng minh : [5] Bài Chứng minh với x, y, z ba số thực dương ta có: [6] Bài Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: [6] Bài Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: [6] Bài Chứng minh với x, y, z ba số thực dương ta có: [9] Bài Chứng minh rằng: Bài Cho thoả [9] Chứng minh rằng: [9] Bài Chứng minh với a, b, c ba số thực ta có: [9] Bài 10 Chứng minh với a, b, c ba số thực ta có: [9] 2.3.2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất: x 2 px p Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số: y x 2 qx 2q2 , với p , q số thực khác không cho trước [7] Lời giải: Ta viết lại hàm số cho dạng: y x p2 p2 q x2 q2 Đến đây, toán gợi cho ta hướng giải phương pháp véc tơ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, chọn u x p; p ; v q x; q UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi đó: y u v u v Đẳng thức xảy q p2 hai véc tơ , 0x p p x pqqp pq u tv tq x q Vậy Bài Cho 2x – y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: [9] Lời giải: Ta có: Chọn Áp dụng Ta có Dấu đẳng thức xảy hai véc tơ Vậy hướng, tức đạt Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số Lời giải: [9] Trong , Khi đó: Đẳng thức xảy hai véc tơ u Vậy Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F x,y Lời giải: Ta có: F x , yx 2y2 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét hai véc tơ u u 3x 8y x 1; y Vậy giá trị nhỏ F x , y * Bài tập đề nghị: Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số sau : a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) Bài P Bài A Bài Cho a b c ax by cz , tìm giá trị nhỏ biểu t 16 a a x Cho x , y số thực Tìm giá trị nhỏ biểu x 12 y2 Tìm giá trị lớn hàm số y Bài Cho hai số giá trị nhỏ biểu thức: M x y z [9] Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y cos2x 4cos x cos2x 12cos x 27 [9] 2.3.3 Giải bất phương trình: Bài Giải bất phương trình: UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (3 - x ) x - ³ 40 - 34 x +10 x - x - - 2x [4] Lời giải: Bpt Chọn Khi ta có: Áp dụng Vậy bất phương trình cho lấy dấu đẳng thức Dấu đẳng thức xảy hai véc tơ hướng Do x = khơng nghiệm bất phương trình nên ta có: Bài Giải bất phương trình: Lời giải: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, chọn hai véc tơ ux 1; x Điều kiện: x Khi đó, ta có: Áp dụng tính chất Do vậy, bất phương trình cho lấy dấu đẳng thức Đẳng thức xảy hai véc tơ u nghiệm bất phương trình Bài Giải bất phương trình: Lời giải: Ta có: Bpt Xét hai véc tơ Vậy bất phương trình trở thành: Suy Dễ thấy x = nghiệm bất phương trình 12 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Với = * Bài tập đề nghị : Bài Giải bất phương trình: Bài Giải bất phương trình: Bài Giải bất phương trình: [9] 2.3.4 Giải phương trình hệ phương trình Bài Giải phương trình: Lời giải: [1] Xét véc tơ: Điều kiện: Ta có: Áp dụng Đẳng thức xảy hai véc tơ Do x=0 khơng phải nghiệm phương trình nên ta có: Bài Giải phương trình: Lời giải: hướng [6], [9] Ta có phương trình Xét véc tơ: xác định với x Khi Áp dụng Dấu đẳng thức xảy hai véc tơ hướng Vì x = -1 khơng phải nghiệm phương trình nên: Bài Giải phương trình: Lời giải: [9] 13 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét véc tơ: Điều kiện: Ta có: Áp dụng Đẳng thức xảy hai véc tơ Do x= -1 khơng phải nghiệm phương trình nên ta có: hướng ( tmđk) Bài Giải phương trình: Lời giải: [9] Ta có phương trình Xét véc tơ: Ta có: Áp dụng Dấu đẳng thức xảy hai véc tơ hướng Do x= -1 khơng phải nghiệm phương trình nên ta có: ( tmđk) x Bài Giải hệ phương trình: x 3x Lời giải: Trong tốn ta chưa nhìn thấy cách giải phương pháp véc tơ Tuy nhiên, cần biến đổi thêm bước ta thấy phương hướng sử dụng phương pháp véc tơ Hệ cho tương đương với hệ: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, chọn ba véc tơ Từ hệ phương trình ta có u.v 0; u w 0; 14 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com th - Nếu u - Nếu u Xét hai trường hợp w 2v ta có x 0; y ;z Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm Bài Chứng minh hệ phương trình Lời giải: Trong khơng gian toạ độ Oxyz, chọn hai véc tơ u x ; y ; z2 có: Do u.v trình cho vô nghiệm * Bài tập đề nghị: Bài Giải phương trình sau: a) b) c) d) x2 4x 13 x 2x ; [9] e) x2 f) ; [9] g) ; [9] h) ; [9] 2x x 6x 10 i) Bài Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm: cos x cos2 x cos x cos2 x Bài Giải hệ phương trình: m [9] [9] 15 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a) c) e) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm công tác giảng dạy thân, đồng nghiệp nhà trường Sau áp dụng đề tài vào giảng dạy, nhận thấy bước đầu thu kết khả quan Học sinh hiểu sâu kiến thức véc tơ Học sinh có tiến tư duy, tự tin gặp tốn khó Như vậy, phần tạo động lực cho em giải toán, thể kết kỳ thi khảo sát chất lượng nhà trường Khi thực đề tài này, thân tìm tịi, tham khảo nhiều tài liệu để hệ thống dạng tập mà sử dụng công cụ véc tơ để giải quyết, qua thấy trau dồi thêm kiến thức, đúc rút thêm kinh nghiệm Đề tài thảo luận, đánh giá tổ chuyên mơn cho thấy nội dung đề tài cịn hạn chế, nguồn cảm hứng cho đồng nghiệp việc nghiên cứu khoa học Có tác động khơng nhỏ tới phong trào nghiên cứu khoa học nhà trường 16 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua đề tài, muốn giúp em hiểu sâu kiến thức véc tơ, biết vận dụng kiến thức véc tơ vào giải tốn Việc sử dụng cơng cụ véc tơ vào giải số toán Đại số cho ta: “ lời giải khoa học, giảm nhẹ việc biến đổi, nhanh chóng cho kết thể tư sáng tạo học sinh” [9], ra, học sinh cịn thấy sử dụng kiến thức liên môn giải vấn đề Dần tạo hứng thú, động lực cho em giải toán, em khơng cịn tâm lý e ngại gặp dạng toán mà lâu em cho dạng tốn khó 3.2 Kiến nghị Đề tài cần phát triển, bổ sung thêm hệ thống tập để củng cố thêm kiến thức, tập mẫu cần đưa thêm lời giải chi tiết theo cách không sử dụng công cụ véc tơ, mà từ so sánh đối chiếu để thấy tính ưu việt cơng cụ véc tơ áp dụng vào giải tốn Tuy có cố gắng thực đề tài, song thời gian có hạn, kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến Q thầy bạn bè đồng nghiệp để sáng kiến có ích việc truyền thụ tri thức cho học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn! Vũ Đức Tuấn 17 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thái Hòe, Rèn luyện tư qua việc giải tập toán, NXBGD [2] Trần Phương - Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, NXB Hà Nội [3] Hà Văn Chương, Tuyển tập 700 toán bất đẳng thức, NXB Trẻ [4] Nguyễn Thị Tuyên, Đề thi cuối học kỳ năm học 2020-2021, Trường THPT Hoằng Hóa [5] Đề thi đại học khối A năm 2004 [6] Phan Huy Khải, Tốn học nâng cao cho học sinh, Hình học 10, NXBQG Hà Nội [7] Lê Hồng Đức, Bài giảng chun sâu tốn THPT, Giải tốn Hình học 10, NXB Hà Nội [8] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXBGD [9] Nguồn tham khảo mạng internet [10] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) tác giả: SGK, SGV Hình học 10,12 [11] Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực chương trình, sách giáo khoa lớp 10,12, Bộ Giáo dục Đào tạo 18 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Vũ Đức Tuấn Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên, Trường THPT Hoằng Hóa IV TT Tên đề tài SKKN Một số sai lầm thường gặp QĐ số: 1455/QĐ học sinh suy luận tương tự giải toán bất phương trình 19 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... véc tơ, biết vận dụng kiến thức véc tơ vào giải toán Việc sử dụng công cụ véc tơ vào giải số toán Đại số cho ta: “ lời giải khoa học, giảm nhẹ việc biến đổi, nhanh chóng cho kết thể tư sáng tạo. .. tài: “ Nâng cao lực tư tính sáng tạo cho học sinh qua việc sử dụng công cụ véc tơ vào giải số toán Đại số ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Thơng qua việc nghiên cứu đề tài phần thực yêu cầu việc đổi... nghĩ đến việc sử dụng công cụ véc tơ vào để giải tốn Trong thực tế, việc sử dụng cơng cụ véc tơ vào giải tốn, cho ta thấy toán giải cách nhanh gọn có lời giải khoa học Như vậy, việc sử dụng phát