Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn

Giáo viên hướng dẫn Đỗ Kim Sơn Giáo viên hướng dẫn Đỗ Kim Sơn 10 Toán Chuyên đề ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 1 Công Hậu, Ngọc Luân, Mai Phương, Cao Tín, Như Ý Giáo viên hướng dẫn Đỗ Kim Sơn 10 Toán CHUYÊ[.]

Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Tốn Cơng Hậu, Ngọc Luân, Mai Phương, Cao Tín, Như Ý Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán CHUYÊN ĐỀ Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Một số khái niệm quan trọng trọng đại số, tốn học nói chung khái niệm đa thức Trong chương trình phổ thơng phần đại số hầu hết nghiên cứu đa thúc bậc nhất, bậc hai số đa thức dạng đặc biệt bậc cao Rất nhiều ứng dụng tập học chương trình phổ thơng Và hơm nay, với hướng dẫn thầy Đỗ Kim Sơn, thầy Nguyễn Tuấn Ngọc nhóm chúng em hồn thành chun đề nhỏ số ứng dụng đa thức giải toán Do mặt hạn chế thời gian nên cịn nhiều thiếu sót,mong thầy bạn góp ý,chỉnh sửa thêm Xin chân thành cảm ơn Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 10 Toán Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn Phần SƠ LƯỢC VỀ ĐA THỨC : A.ĐA THỨC – NHÂN, CHIA ĐA THỨC – SỰ CHIA HẾT I Xét hàm số: f:R→R, ta nói f đa thức f=const tồn n ∈ ¥ , n ≥ tồn số thực a0 , a1 , a2 , , an với an ≠ cho f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0 với ∀x ∈ ¡ a0 , a1 , a2 , , an hệ số đa thức f, an hệ số cao nhất, a0 hệ số tự n bậc đa thức f ký hiệu degf=n ( trường hợp f=const ta nói deg f=0) Tập hợp tất đa thức với hệ số nguyên ký hiệu ¢ [ x ] Tập hợp tất đa thức với hệ số hu t c ký hiu l Ô [ x ] Tập hợp tất đa thức với hệ số thực ký hiệu ¡ [ x ] Hai đa thức gọi dạng tắc, hệ tử lũy thừa tương ứng ẩn x Do đa thức đa thức khơng hệ tử dạng tắc khơng ( Ngun lý so sánh II hệ số đa thức) Cho hai đa thức f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0 g ( x ) = bm x m + bm −1 x m−1 + + b1 x + b0 Tích chúng đa thức: f ( x).g ( x) = cm + n x m + n + + c0 ck = ∑ ab i + j =k i j Giả sử f(x) g(x) hai đa thức thuộc P[x], tìm cặp đa thức q(x) r(x) thuộc P[x] cho f(x)=g(x).q(x)+r(x), bậc r(x) bé bậc g(x) Nếu r(x) đa thức khơng ta nói f(x) chia hết cho g(x), hay g(x) chia hết f(x), hay f(x) bội g(x), g(x) ước f(x) Một đa thức d(x) chia hết đa thức f(x) g(x) cho gọi ước chung f(x) g(x) Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Nếu d(x) ước chung f(x) g(x), chia hết cho ước chung khác đa thức ấy, d(x) gọi ước chung lớn f(x) g(x), viết UCLN ký hiệu (f(x), g(x))=d(x) Để tìm ước chung lớn f(x) g(x) ta dùng thuật toán Oclide cách thức số phép chia liên tiếp sau: f ( x) = g ( x) + r ( x) g ( x) = r ( x).q1 ( x) + r1 ( x) rk − ( x ) = rk −1 ( x).qk ( x ) + rk ( x ) rk −1 ( x) = rk ( x)qk +1 ( x ) Đa thức dư cuối dãy phép chia liên tiếp UCLN phải tìm : r k ( x) = d ( x) = ( f ( x), g ( x)) Để đảm bảo tính UCLN ,ta qui ước hệ tử cao UCLN hai đa thức lấy Xuất phát từ thuật toán Oclide , ta chứng minh : d ( x) = ( f ( x), g ( x)) tìm hai đa thức u ( x)và v( x ) P { x} cho : f ( x).u ( x) + g ( x).v( x) = d ( x) Hơn , bậc f(x) g(x) lớn ta cịn chọn cho bậc u(x) bé bậc g(x) bậc v(x) bé bậc f(x) B.NGIỆM BỘI – PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ I Một đa thức bậc lớn P[x] gọi bất khả qui P[x], khơng thể viết dạng tích đa thức bậc r ≠ bé n , P[x] Mỗi đa thức bậc m > P[x] phân tích thành tích đa thức bất khả qui P [x] phân tích , khơng kể đến thứ tự nhân tử không kể đến nhân tử bậc Trên £ [x] , có nhị thức bậc đa thức bất khả qui Trên ¡ [x], có nhị thức bậc tam thức bậc hai khơng có nghiệm thực đa thức bất khả qui II a/ Giả sử f(x) ∈ ¡ [x] a ∈ ¡ Ta nói f(x) nhận α làm nghiệm f( α ) = 0, f(x) chia hết cho x-a hay nhận x-a làm nhân tử Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán b/ Giả sử f(x) ∈ ¡ [x] a ∈ ¡ k ∈ ¥ [x], k ≥ Ta nói α nghiệm bội đa thức f(x) tồn g(x) ∈ ¡ [x], g( α ) ≠ cho ( x − α ) k g ( x) với ∀x ∈ ¡ ( tức f(x) chia hết cho ( x − α )k không chia hết cho ( x − α ) k +1 ) Nếu k=1 ta nói α nghiệm đơn Nếu k≥2 ta nói α nghiệm bội C.CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ NGHIỆM ĐA THỨC ĐỊNH LÝ Nếu f,g ∈ℝ[x] deg f=n≥1, deg g=m f[g(x)]∈ℝ[x] có bậc m.n Giả sử f,g ∈ℝ[x] với deg f=n, deg g=m, ta có:  f(x)+g(x) ∈ℝ[x] có bậc ≤max(n,m), cịn n≠m f(x)+g(x) có bậc max(n,m)  f(x).g(x) ∈ℝ[x] f(x)≠0, g(x)≠0 deg (f(x).g(x))=m+n Nếu f∈R[x], deg f=n≥1 với an hệ số cao f(x+1)-f(x) đa thức có bậc n-1 hệ số cao nan ĐỊNH LÝ ( Định lý Bézout) α nghiệm đa thức f ∈ ¡ [ x] ⇔ f ( x)M( x − α ) ¡ (x) Chứng minh: ∀f ∈ ¡ [ x]& α ∈ ¡ tồn g∈ℝ[x] cho Xác định Xác định đa thức = 0thức ⇔ f ( x ) = ( x − α ).g ( x ) ⇔ f ( x) M( x − α ) Do α nghiệm f ∈ ¡ [ x] ⇔ f (α )đa f(x) biết f(x) biết ( x) − f (α )M( x − α ) Hệ quả: ∀f ∈ ¡ [ x], deg f = n ≥ ta luônrằng có fvới với x x thì: thì: Ví dụ 1: f ( x) = ( x − α ).g ( x ) + f (α ), ∀x ∈ ¡ Lời giải: Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang Xác Xác Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn định định các Đặt y = x + x = y – 1, đẳng thức trở thành: số số f ( y ) = ( y − 1) − 3( y − 1) + = y − y + thực thực p,q p,q Vì f ( x) = x − x + sao cho cho đa đa thức thức 10 Tốn Ví dụ 2: chia chia hết hết cho cho Lời giải : đa đa + px + q đa thức bậc hai có dạng Rõ ràng thương phép chia x + cho đa thức xthức thức Vì phép chia hết nên : x + ax + b x + = ( x + px + q )( x + ax + b) = x + (a + p) x + (b + ap + q) x + (bp + aq) x + bq a + p = b + ap + q =  Vì ta phải có  bp + aq = bq = (1) (2) (3) (4) Từ (1) suy a= -p , thay vào (3) = bp + aq = bp – pq = ( b - q)p, Tức p = 0, b – q = Nếu p = từ (2) suy b = -q, (4) trở thành −b = ,điều vơ lý Nên : p ≠ p = q.Thay vào (4) b = q = b = q= -1.Mặt khác , từ (2) suy 2b = a ≥ 0, nên b ≥ Từ ta có b = q = a = 2,hay a = ± 2, suy p = m Thử lại, ta thấy x + Mx ± x + ,bởi : x + = ( x +1)2 − x = ( x + − x)( x + + x ) Vậy đa thức x + px + q cần tìm x + x + x − x + Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang Chứng Chứng minh đa thức : đa thức : Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn Ví dụ : 10 Toán chia hết chia hết cho đa thức cho đa thức Lời giải : Đặt: A = x9 + x8 + x + x + + x + B = x 9999 + x8888 + x 7777 + x 6666 + + x1111 + Khi : B − A = ( x 9999 − x ) + ( x 8888 − x ) + ( x 7777 − x ) + ( x 6666 − x ) + + ( x1111 − x) = x [( x10 )999 − 1] + x8[( x10 )888 − 1] + x [( x10 ) 666 − 1] + + x[( x10 )111 − 1] Để ý với số tự nhiên k thì: ( x10 ) k −1 = ( x10 − 1)[ x10( k −1) + x10( k −2) + + x10 + 1] chia hết cho đa thức x10 − mà x10 − = ( x − 1)( x + x8 + x + x + + x + 1) nên đa thức ( x10 ) − chia hết cho đa thức k x9 + x8 + x + x + + x + Do B – A chia hết cho A, B chia hết cho A ĐỊNH LÝ ( Khai triển đa thức theo nghiệm) Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Toán Giả sử f ∈ ¡ [ x] số phân biệt α1 , α , , α m ∈ ¡ nghiệm đa thức f với bội tương ứng k1 , k , , k m tồn g∈ℝ[x] cho: m f ( x) = (∏ ( x − ) j ) g ( x) = ( x − α1 ) k1 ( x − α ) k2 ( x − am ) km g ( x), ∀x ∈ ¡ k i =1 m deg f = deg g + ∑ ki i =1 ĐỊNH LÝ VIÈTE Giả sử cho đa thức f(x) bậc n P[x] f ( x ) = a0 x n + a1.x n −1 + a2 x n − + + an −1 x + a0 Kí hiệu: α1 , α , , α n nghiệm f(x) P, nghiệm kể số lần bội số Ta có:` a1 = −(α1 + α + + α n ) a0 a2 = α1α + α1α + + α1α n + α 2α + + α n −1α n a0 a3 = −(α1α 2α + + α n −2α n−1α n ) a0 an −1 = (−1) n −1 (α1α α n −1 + + α 2α α n ) a0 an = (−1) n α1α α n a0 Ví dụ 4: Hãy tìm giá trị tham số a cho nghiệm x1,x2,x3 đa thức P ( x) = x3 + x + x + a thỏa mãn điều kiện x12 + x22 = x32 Lời giải : Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang Giáo viên hướng dẫn: Đỗ Kim Sơn 10 Tốn Chú ý tới cơng thức Viète điều kiện cho nghiệm x1,x2,x3 a thỏa mãn đẳng thức sau:  x1 + x2 + x3 = −2 x x + x x + x x = a  2 3   x1 x2 x3 =  x2 + x2 = x2  Từ đẳng thức ta nhân được: = ( x1 + x2 + x3 ) = x32 + 2a ⇒ x32 = − a Nhưng x3 nghiệm đa thức cho nên: Tam thức thức = x32 + x32 ax3 − = x3 − 2a Nghĩa Tam x =a a2=2-a bậc hai3 P(x) bậc hai P(x) với Giải phương trình ta nhận : a=1 a=-2 với hệ số thực hệ số thực cho cho phương trình phương trình P(x)=x P(x)=x khơng có khơng có nghiệm nghiệm thực.Chứng thực.Chứng minh rằng : minh rằng : phương trình Lời giải : phương trình P(P(x))=x Nếu tồn hai số a b so cho P(a)b, hàm liên tục Q(x)=P(x)-x nhận hai giá không không trị trái dấu Q(a)x với x hoac95 P(P(x))